Autor: Iago Israel
Observação: como nomes, datas e figuras ocupam o curto espaço que tenho disponível, e o professor já os conhece, resolvi omiti-los nesse pdf.
Motivação:
Fixado um referencial inercial (o do laboratório), sejam R e S duas regiões espaciais (tanto R quanto S: conexa por caminhos) de interseção vazia, mantidas inalteradas e em repouso em relação ao
referencial. Suponha que os campos elétrico e magnético são mantidos nulos na região R. Desse modo, classicamente seria impossível medirmos alguma alteração na dinâmica de um corpo confinado à região R decorrente da alteração do campo magnético confinado à região S.
Entretanto, o efeito Aharonov-Bohm (que introduziremos nesse pdf) é um exemplo de um fenômeno do tipo descrito como impossível no parágrafo anterior!! Estudando elétrons numa região R sem campo magnético pode-se medir o fluxo de campo magnético numa região S, sendo que R e S não tem interseção! Isso é classicamente impossível!!
E tal efeito, de fato, já foi observado experimentalmente!!!
Revisão de eletromagnetismo (no vácuo) e eletrodinâmica clássicos:
->Na teoria clássica do eletromagnetismo, em uma região espacial de vácuo (a menos de fontes de carga elétrica e de corrente elétrica) os campos elétrico E(𝐫, t) e magnético B(𝐫, t) se relacionam com as densidades de carga elétrica ρ(𝐫, t) e de corrente elétrica J(𝐫, t) segundo as Equações de Maxwell. A saber (ε0 e μ0 são constantes):
(1) ∇. 𝐄(𝐫, t) =ε1
0ρ(𝐫, t)
(2) ∇. 𝐁(𝐫, t) = 0 (3) ∇𝑥𝐄(𝐫, t) = −𝜕𝐁(𝐫,t)𝜕t
(4) ∇𝑥𝐁(𝐫, t) = μ0𝐉(𝐫, t) + μ0ε0𝜕𝐄(𝐫,t)𝜕t
Para uma situação física numa região espacial, conhecidas as fontes ρ e J e as condições de contorno que os campos E e B devem satisfazer, é possível determinar os campos E e B como solução desse sistema de equações diferenciais parciais.
->Na eletrodinâmica clássica, observado de um referencial inercial, força eletromagnética 𝐅EM(𝐫(t), t)
sobre um corpo pontual (sem estrutura) de carga q, que no instante t esteja na posição 𝐫 com velocidade v, é dada pela Lei de Força de Lorentz:
(5) 𝐅EM(𝐫(t), t) = q. 𝐄(𝐫(t), t) + q. 𝐯(t) 𝑥 𝐁(𝐫(t), t)
Se ao invés de um corpo pontual, lidarmos com um sistema material extenso com densidade de carga, falamos de densidade de força eletromagnética 𝐟EM(𝐫, t) sobre um ponto do sistema:
(6) 𝐟EM(𝐫, t) = ρ(𝐫, t). 𝐄(𝐫, t) + ρ(𝐫, t). 𝐯(𝐫, t) 𝑥 𝐁(𝐫, t)
De modo que a força eletromagnética liquida sobre o sistema é obtida por integração espacial. ->Pode-se afirmar, das equações (2) e (3) respectivamente, que dados E e B, existem duas funções ϕ(𝐫, t) e A(𝐫, t), de mesmo domínio que as equações, tais que:
(7) 𝐁(𝐫, t) = ∇𝑥𝐀(𝐫, t)
(8) 𝐄(𝐫, t) = −∇ϕ(𝐫, t) −𝜕𝐀(𝐫,t)𝜕t
Dessa forma, pode-se usar as equações (7) e (8) para reescrever as equações de (1) a (6), substituindo E e B em termos de ϕ e A. Essa mudança matemática é um recurso útil, mas como a física da
eletrodinâmica clássica pôde ser enunciada, nas equações de (1) a (6), inteiramente (pelo menos no vácuo) em termos dos campos E e B, os potenciais ϕ e A não precisam ser considerados.
Os potenciais ϕ e A não são unicamente obtidos, mas quaisquer ϕ e A obtidos de (2) e (3) levam aos mesmos campos E e B em (7) e (8), e assim à mesma física, logo são equivalentes. Iremos determinar ϕ e A adotando uma condição adicional que deverá ser obedecida (dados ϕ′ e A’ que não satisfaçam tal condição, matematicamente podemos sempre determinar unicamente ϕ e A fisicamente equivalentes que a satisfaçam). Isso significa adotar um calibre (gauge). Adotaremos o calibre de Lorentz:
(9) ∇. 𝐀(𝐫, t) + c12
𝜕ϕ(𝐫,t)
𝜕t = 0 , onde 𝑐 = 1
√μ0ε0 é a velocidade de propagação da luz no vácuo.
A equação de uma partícula quântica sujeita a potencial vetor A:
Suponha uma partícula (sem spin), de massa m, cuja função de onda é confinada a uma região R (conexa por caminhos) onde ϕ e A são nulos (consequentemente: E e B são nulos). De acordo com a Mecânica Quântica, tal função de onda ѱ, sujeita a um potencial V(𝐫), deve obedecer à Equação de Schrodinger: (10) −2mℎ2∇2ѱ(𝐫, t) + V(𝐫)ѱ(𝐫, t) = iℎ𝜕ѱ(𝐫,t)𝜕t , onde ℎ é a constante de Planck reduzida.
Suponha, agora, o mesmo caso que no parágrafo acima, com exceção de não mais exigir-se que o potencial vetor A seja nulo, mas ainda exigir-se que ϕ, E e B sejam mantidos nulos. Note que juntamente com (8) isso obriga que A seja estacionário, isto é, 𝜕𝐀(𝐫,t)𝜕t . Se a carga da partícula é q, de acordo com a Mecânica Quântica sua função de onda Ѱ deve obedecer a:
Em (11) o potencial vetor 𝐀(𝐫) está presente, mesmo que ϕ, E e B sejam mantidos nulos em toda a região R.
Como, por (7), em R temos que ∇𝑥𝐀(𝐫, t) = 0, podemos definir (já que a integral pode ser calculada por qualquer caminho contido em R que seja deformável a um ponto):
(12) g(𝐫) =qℎ∫ 𝐀(𝐱)𝑂𝐫 . 𝑑𝐱
Onde o ponto 𝑂, pertencente a R, é um ponto de referência (escolhido arbitrariamente). Agora, escrevemos a função de onda Ѱ(𝐫, t) de (11) como um produto:
(13) Ѱ(𝐫, t) = 𝑒ig(𝐫)ѱ(𝐫, t)
Substituindo (13) em (11) pode-se verificar que com essa mudança, ѱ(𝐫, t) satisfaz (10), isto é, satisfaz a Equação de Schrodinger com 𝐀(𝐫, t) = 0.
Mostremos isso:
Note que de (12) temos: (14) ∇ g(𝐫) = qℎ𝐀(𝐫)
De (13), pela regra do produto, temos:
(15) ∇Ѱ(𝐫, t) = 𝑒ig(𝐫)(i∇ g(𝐫))ѱ(𝐫, t) + 𝑒ig(𝐫)(∇ѱ(𝐫, t)) Substituindo (14) em (15) chega-se em:
(16) (ℎi∇ − q𝐀(𝐫)) Ѱ(𝐫, t) = ℎi𝑒ig(𝐫)(∇ѱ(𝐫, t)) De onde segue que:
(17) (ℎi∇ − q𝐀(𝐫))
2
Ѱ(𝐫, t) = −ℎ2𝑒ig(𝐫)(∇2ѱ(𝐫, t))
Substituindo (17) em (11) e usando (13), provamos o que queríamos demonstrar: que ѱ satisfaz (10): Em resumo: Na região R, onde E, B e ϕ são nulos (e portanto 𝐀 é estacionária): dada Ѱ(𝐫, t)
satisfazendo (11), com (13) a escrevemos como um produto de um fator conhecido graças a (12), multiplicado por um fator ѱ(𝐫, t) que satisfaz (10). Logo reduzimos o problema de resolver (11) ao de resolver (10).
O efeito Aharonov-Bohm (magnético):
Suponha a situação onde dentro de uma caixa cúbica realizamos, no vácuo, o experimento da dupla fenda, usando elétrons. Temos uma fonte que incide um fluxo de elétrons sobre um primeiro anteparo, com duas fendas. A função de onda eletrônica difrata por ambas as fendas, propaga interferindo onde
se superpõe, e então incide sobre um segundo anteparo, que mede (marca) onde o elétron incidiu. Entretanto, logo após o primeiro anteparo, na posição média das duas fendas, temos uma região cilíndrica inacessível aos elétrons, dentro da qual existe um solenoide ideal de raio a que mantém um fluxo de campo magnético constante. Pelos equipamentos do laboratório esse fluxo pode ser ajustado, como um parâmetro, mas entre os ajustes ele é constante. O campo magnético (e também elétrico) do solenoide está confinado numa região S, dentro da qual a função de onda eletrônica é asseguradamente nula. Esse confinamento dos campos é seguro, feito com camadas de materiais, inclusive
supercondutores. Na região R em que a função de onda do elétron pode ser não nula, os campos são mantidos nulos. R e S tem insercção vazia, tanto R quanto S é conexa por caminhos.
Mostraremos que o fluxo do campo magnético na região S pode ser medido pela dinâmica eletrônica na região R, ainda que que o elétron nunca esteja na região S, e esteja confinado a uma região R livre de campos E e B. Esse é o Efeito Aharonov-Bohm (magnético).
O campo B do solenoide é dado por ( I é a corrente elétrica no fio, N é a densidade de voltas do fio): (18) 𝐁(𝐫, t) = μ0IN𝐳̂ , na região interna do solenoide, 𝐁(𝐫, t) = 0, fora do solenoide
(19) 𝐀(𝐫) = 2𝜋𝜌Φ𝐵 𝝋̂, na região externa ao solenoide, isto é, 𝜌 > 𝑎, onde Φ𝐵 = π𝑎2B(0,t) é o fluxo do
vetor magnético 𝐁 pela seção transversal a 𝐁 no solenoide.
Num ponto 𝐫𝒔𝒊𝒎 do anteparo, localizado no plano de simetria do sistema, calculemos g(𝐫𝒔𝒊𝒎) por dois
caminhos diferentes: ambos começam na fonte e terminam no anteparo final, mas um atravessa pela fenda da esquerda e outro pela fenda da direita:
(20) g(𝐫𝒔𝒊𝒎) = qℎ∫𝑂𝐫𝒔𝒊𝒎𝐀(𝐱). 𝑑𝐱 = qΦ2𝜋ℎ𝐵∫ (1𝜌𝝋̂) . (𝜌𝝋̂𝑑𝜑) = ±qΦ2ℎ𝐵
O sinal + significa que a integração foi feita no sentido de 𝐀, e assim no sentido de I no solenoide. O sinal – é o contrário.
A diferença de fase, no ponto 𝐫𝒔𝒊𝒎,entre esses dois caminhos será:
(21) δ = qΦℎ𝐵
Isto é, a diferença de fase (observável no experimento, por exemplo, pelo padrão de interferência) é diretamente proporcional ao fluxo de campo magnético 𝐁, mesmo que a função de onda seja nula na região S, dentro da qual o campo 𝐁 está confinado.
Aproveitando a descrição que fizemos, imagina agora uma outra situação. A fonte de elétrons está desligada. Confinamos uma função de onda de um elétron a um trilho unidimensional fechado, uma circunferência de raio b que pode ser desenhada seguindo-se uma linha de campo de 𝛗̂ numa região de
R, e não de S. Pode-se mostrar que o fluxo ΦBquebra a degenerescência de níveis de energia desse elétron: (22) 𝐸𝑛= ℎ 2 2𝑚𝑏(𝑛 − qΦ𝐵 2𝜋ℎ) 2
, com 𝑛 inteiro, isto é, 𝑛 = 0, ±1, ±2, …
E como podemos notar, para qΦ2𝜋ℎ𝐵≠ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜, quebra-se a degenerescência entre os níveis. Perspectivas:
Esse tema ainda poderia ser muito explorado. Existe muita pesquisa tanto teórica quanto prática sobre esse efeito e suas variantes, e o conectando com outras teorias. Poderíamos de forma muito similar (no rascunho teórico, mas não necessariamente na montagem experimental) tratarmos o efeito Aharonov-Bohm elétrico. Poderíamos buscar discuti-lo no contexto de Mecânica Quântica Relativística, ou mesmo de Teoria das Cordas. Poderíamos relacionar esse efeito com a fase de Berry. Poderíamos entender mais sobre a matemática e geometria por trás desse efeito: e iríamos para o estudo de geometria em
variedades diferenciáveis e fibrados principais, onde poderíamos entender que o efeito é intimamente ligado com a topologia do espaço disponível para a função de onda: se a topologia fosse simplesmente conexa o efeito não ocorreria, pois um teorema matemático afirma que o fibrado principal seria trivial. Poderíamos seguir a afirmação do próprio Bohm, com a formulação bohmiana da mecânica quântica poderíamos ter uma intuição melhor de que esse efeito é ligado à não localidade da função de onda, que no limite clássico fica localizada numa distribuição delta de dirac, com o denominado potencial quântico tornando-se desprezível, o que faz esse efeito desaparecer no limite clássico.
Bibliografia:
