CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI HENRIQUE LANZA FARIA TORRES

CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI HENRIQUE LANZA FARIA TORRES

INTERAÇÃO ENTRE A LUZ CLÁSSICA E A MATÉRIA QUÂNTICA

São Bernardo do Campo

HENRIQUE LANZA FARIA TORRES

INTERAÇÃO ENTRE A LUZ CLÁSSICA E A MATÉRIA QUÂNTICA

Relatório Final de Projeto de Iniciação Científica, apresentado ao Centro Universitário da FEI, como requisito fundamental para a apresentação dos resultados do presente projeto de pesquisa, orientado pelo Prof. Dr. Roberto Baginski Batista Santos.

São Bernardo do Campo

A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.

RESUMO

A interação entre a luz e a matéria é um dos ramos de estudo da Física Quântica mais amplos. Um de seus processos fundamentais é a absorção e a emissão de luz que serve como base tanto para tecnologias de informação quântica quanto para a computação, comunicação e a criptografia quânticas. Sendo assim, a compreensão correta da interação entre a radiação e a matéria é importante para a fundamentação e o desenvolvimento de aplicações tecnológicas como a geração e a detecção de laser e a transmissão de informação por lasers em fibras ópticas. O objetivo do presente projeto é modelar e descrever como um átomo se comporta quando está interagindo com um feixe de laser. O átomo será modelado como um sistema de dois níveis e o feixe de laser será modelado como um estado coerente de luz, pois envolve um grande número de fótons. A interação entre o átomo e a luz será descrita pelo modelo de Jaynes-Cummings, no qual um fóton é retirado do campo de luz sempre que o átomo é excitado e um fóton é acrescido ao campo de luz quando o átomo realiza uma transição para seu estado de menor energia.

SUMÁRIO

1 OBJETIVO ... 6

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 6

2.1 Introdução ao formalismo e aos postulados da física quântica ... 7

2.1.1 Postulado 1: estados físicos e vetores ... 8

2.1.2 Postulado 2: observáveis e operadores ... 9

2.1.3 Postulado 3: medições e autovalores ... 10

2.1.4 Postulado 4: valores médios e probabilidades ... 13

2.1.5 Postulado 5: evolução temporal ... 15

2.1.6 O Quadro da Interação ... 16

2.2 Sistemas quânticos de dois níveis: um modelo simples para o átomo ... 18

2.2.1 A evolução temporal dos operadores atômicos ... 21

2.3 Oscilador harmônico: a descrição quântica da luz ... 22

2.3.1 A evolução temporal dos operadores de criação e aniquilação de fótons ... 24

2.4 Modelo de Jaynes-Cummings: a interação entre átomos e fótons ... 25

2.4.1 A evolução temporal do hamiltoniano de interação ... 29

2.5 Estados coerentes de luz ... 31

3 METODOLOGIA ... 33

4 RESULTADOS ... 36

4.1 Estados vestidos e emaranhamento quântico ... 36

4.2 Probabilidade de transição e as oscilações de Rabi ... 38

4.3 Inversão da população e número de fótons ... 41

4.4 O operador densidade... 43

4.5 Colapsos e revivais quânticos ... 44

5 CONCLUSÃO ... 50

6

1 OBJETIVO

O objetivo do projeto é a descrição detalhada da evolução temporal de um sistema atômico simples, tratado como um sistema de dois níveis, em interação com a luz de um laser, tratada como um campo eletromagnético quantizado em um estado coerente de radiação.

Este relatório apresenta uma descrição detalhada da evolução temporal de um sistema atômico em interação com um campo eletromagnético quantizado em um estado de Fock, no qual há um número definido de fótons. Serão obtidos os autoestados do sistema bem como suas respectivas energias. As oscilações de Rabi para a probabilidade de transição do átomo serão deduzidas e comparadas com resultados experimentais da literatura.

Em seguida, serão introduzidos os estados coerentes da radiação e algumas de suas propriedades para que possamos obter a evolução temporal do sistema e descrever os fenômenos de colapsos e revivais quânticos, comparando-os com resultados empíricos também encontrados na literatura.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Na teoria da interação da luz com a matéria, supõe-se que o átomo possa ser descrito por um sistema de dois níveis e que a luz do laser possa ser representada por um único modo de campo eletromagnético com N fótons. A esse estado damos o nome de estado de Fock da luz.

Por sua vez, estados de Fock puros são muito difíceis de produzir experimentalmente[1,2]. Na maior parte das vezes, a luz é adequadamente representada como um estado coerente, também conhecido como estado clássico[3,4]. Um estado coerente, no qual a fase do campo eletromagnético é bem definida, é a descrição quântica mais próxima possível da chamada luz clássica. Em um estado coerente, o número de fótons presentes no feixe de luz não é uma grandeza bem definida.

7

Nesta seção, vamos inicialmente revisar os postulados da física quântica, aproveitando a oportunidade para introduzir o formalismo abstrato de Dirac no chamado quadro de Schrödinger, em que os estados físicos evoluem no tempo enquanto a maior parte dos operadores não evolui no tempo. Em seguida, vamos apresentar os principais resultados relacionados a sistemas de dois níveis e osciladores harmônicos, que serão usados como modelos para um átomo e para o campo eletromagnético, respectivamente. Introduziremos o quadro da interação (ou quadro de Dirac), no qual tanto os vetores de estado quanto os operadores dependem do tempo. Apresentaremos uma descrição detalhada do modelo de Jaynes-Cummings para a interação entre átomos e fótons e, finalmente, definiremos os estados coerentes e revisaremos algumas de suas propriedades.

2.1 Introdução ao formalismo e aos postulados da física quântica

Nesta seção, faremos uma revisão dos cinco postulados da física quântica, essenciais para o desenvolvimento deste trabalho. Os postulados explicam como

i. descrever o estado físico de um sistema quântico por meio de vetores em um espaço vetorial abstrato;

ii. descrever as grandezas físicas observáveis por meio de operadores neste espaço vetorial;

iii. extrair os valores possíveis das grandezas físicas na forma dos autovalores dos operadores que as representam;

iv. atribuir probabilidades de observação a cada um dos valores possíveis da medição de uma grandeza física;

v. computar a evolução temporal do estado físico do sistema quântico.

Nesta revisão, faremos uso do formalismo abstrato introduzido por Dirac[5] para a física quântica. Este formalismo mostrou-se bastante conveniente para o estudo da interação de um átomo com um modo do campo eletromagnético por permitir que os detalhes específicos do sistema fossem especificados à medida que o trabalho se desenvolvia.

8

2.1.1 Postulado 1: estados físicos e vetores

Na física quântica, átomos e seus estados físicos são representados por vetores em espaços vetoriais abstratos conhecidos por espaços de Hilbert.

Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial dotado de produto interno, ou seja, com noções de distância e ângulos, de dimensão finita ou infinita definida sobre os complexos. Esse espaço obedece a uma relação de completude e permite que, de certa forma, noções intuitivas sejam aplicadas em espaços funcionais[6]. Esta estrutura algébrica é a linguagem matemática natural para o desenvolvimento da física quântica.

Em mecânica quântica, o estado de um sistema físico é descrito por um vetor de estado (ket) em um espaço de Hilbert complexo. Os vetores de estado armazenam toda a informação disponível sobre o sistema.

Partindo-se do princípio da superposição, o vetor de estado , pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base do espaço de Hilbert

(1)

Os kets definem os vetores de estado existentes no espaço de Hilbert, porém paralelamente também existe o espaço dual definido pelos seus próprios vetores de estado, conhecidos como bras , de forma que para todo ket existe um bra em seu espaço dual correspondente [7].

Partindo-se desta correspondência dual CD temos:

, (2)

e se

(3)

então

9

Tendo conhecimento destes princípios, podemos introduzir o conceito de produto interno entre os vetores | e | como

(5)

isto é, como sendo a ação do bra associado ao ket sobre o ket e o resultado é sempre um número complexo que depende de .

Define-se também como norma do vetor a seguinte propriedade:

(6)

e dois vetores não nulos são ortogonais apenas se

(7)

Outro ponto importante a se destacar, é que tanto o vetor quanto o vetor (onde c é um número complexo não nulo) representam o mesmo estado físico. Desta forma, exige-se que todos os vetores obedeçam a condição de normalização

(8)

A condição de normalização é de extrema importância, pois está associada à interpretação probabilística da física quântica.

2.1.2 Postulado 2: observáveis e operadores

Uma grandeza observável, como o próprio nome já diz, é uma grandeza que pode ser mensurada e necessita ter como valor um número real. O segundo postulado afirma que todo observável é representado por um operador linear hermitiano.

Matematicamente, um operador é um ente que estabelece uma relação funcional entre dois espaços vetoriais. A relação funcional que um operador estabelece pode ser chamada de transformação linear. Na mecânica quântica os operadores são utilizados para representar grandezas físicas. Um operador  que representa o observável A atua sobre o ket pelo lado esquerdo produzindo um novo ket

10

Ao exigir que o operador seja linear, estamos apenas preservando o caráter lienar das operações sobre os vetores do espaço de Hilbert,

(10)

Para compreender o que significa para um operador ser hermitiano, é preciso

introduzir a noção de adjunto hermitiano ou, simplesmente, adjunto do operador Â. O operador ajunto é definido por meio da correspondência dual. Assim como a operação produz o ket , o operador adjunto é aquele que atuando sobre o bra pela direita produz o bra , isto é,

(11)

Deve-se notar que enquanto um operador atua sobre um ket pela esquerda, sua ação sobre o bra é realizada pela direita.

Finalmente, um operador é hermitiano se

. (12)

Neste caso, ainda podemos dizer que o operador é autoadjunto visto que . Operadores hermitianos possuem duas propriedades que são úteis para a física quântica. A primeira propriedade estabelece que os autovalores de um operador hermitiano são sempre reais enquanto a segunda afirma que os autovetores de um operador hermitiano formam uma base ortogonal para o espaço de Hilbert.

2.1.3 Postulado 3: medições e autovalores

O terceiro postulado afirma que os resultados possíveis para a medição do observável A no estado físico são os autovalores de . Neste caso, o estado do sistema após a medição é descrito pelo autovetor associado ao autovalor .

Um autovetor associado a um autovalor do operador é um vetor que satisfaz

11

Como operadores hermitianos possuem sempre autovalores reais, fica claro por qual motivo os observáveis devem ser representados por deles. Além disso, operadores hermitianos possuem autovetores que formam uma base de vetores ortonormais para o espaço de Hilbert. Assim, podemos expandir qualquer vetor em termos dos N autovetores de um operador hermitiano Â,

(14)

Neste caso, dizemos que é uma superposição dos autovetores . Para determinar os coeficientes da expansão, basta notar que como os autovetores de  são ortonormais,

(15)

então,

(16)

isto é, o coeficiente é apenas projeção do vetor de estado de estado sobre o vetor da

base. Esta relação permite que escrevamos

(17)

e definimos uma representação para o operador identidade Î em termos dos autovetores de qualquer operador hermitiano Â

(18)

Como e , o produto interno

(19)

12

(20)

Esta identificação sugere a chamada representação matricial na qual o ket é representado na base dos autovetores de  pela matriz coluna

(21)

e o bra é, por sua vez, representado pela matriz linha

(22)

Em outras palavras, o bra é representado por uma matriz que é a conjugada complexa da transposta da matriz que representa o ket . De modo semelhante, podemos representar matricialmente um operador na base dos autovetores de Â. Para tal, basta notar que se , então

(23)

na qual é o coeficiente da expansão de e o elemento de matriz do operador entre os autovetores do operador  é

(24)

Deste modo, o operador pode ser representado na base dos N autovetores de  como

(25)

Já a representação do operador  na base de seus autovetores tem uma característica especial. Como , a representação matricial de  é diagonal e os elementos da diagonal são os autovalores de Â,

13

Na representação matricial, operadores sempre serão matrizes quadradas. Aproveitando-se que foi introduzido o conceito de representação matricial dos operadores hermitianos, podemos introduzir agora a noção de comutador. O comutador entre os operadores  e é definido por

(27)

Os observáveis A e B são compatíveis se o comutador . Neste caso, é possível medir simultaneamente tanto o observável A quanto o B, isto é, os autovetores do operador  são também autovetores do operador . Por outro lado, se , é possível mostrar que[7]

(28)

na qual é a dispersão ou variância do observável A em torno do valor médio . Comumente define-se a incerteza na medição do observável A como .

A equação (28) é o enunciado matemático geral do princípio de incerteza de Heisenberg. O que o princípio de incerteza afirma é que certos pares de observáveis não podem ter ambos valores bem definidos, isto é, incerteza nula, em um dado estado físico. Do ponto de vista físico, a incompatibilidade entre observáveis é uma das novidades trazidas pela física quântica. Do ponto de vista formal, contudo, a ausência de comutatividade do produto de matrizes é a regra geral. Isso significa que a maior parte dos observáveis não devem ser compatíveis entre si, isto é, não podem ser medidos simultaneamente com incerteza nula.

2.1.4 Postulado 4: valores médios e probabilidades

No quarto postulado, temos que o valor médio das medições do observável A em um sistema físico descrito pelo vetor de estado é

14

Se expandirmos o vetor de estado como uma superposição dos autovetores ortonormais do operador  que representa o observável A,

(30)

obteremos

(31)

pois

(32)

Como os únicos valores possíveis para o observável A são seus autovalores , podemos interpretar a equação (32) como uma sugestão de que a probabilidade de obter o autovalor em uma medição do observável A em um sistema físico descrito por é

(33)

O número complexo é a amplitude de probabilidade de obter em uma medição de A em um sistema no estado . A amplitude de probabilidade é muito importante na física quântica. Se e se , então a probabilidade da transição entre os estados e é dada por

(34)

O termo é responsável pela interferência entre estados classicamente distinguíveis.

15

2.1.5 Postulado 5: evolução temporal

O postulado 5 afirma que o ket que descreve o estado físico do sistema no instante de tempo t se relaciona com o ket que descreve o estado do sistema no instante de tempo por

(35)

e o operador de evolução temporal obedece a equação de Schrödinger

Hˆ

(36)

Equivalentemente, podemos escrever a equação de Schrödinger para o ket como

Hˆ

(37)

Em qualquer uma das versões da equação de Schrödinger, o operador hamiltoniano Hˆ

representa o observável energia, que é a única grandeza física mencionada explicitamente nos postulados da física quântica.

No caso simples em que Hˆ não depende explicitamente do tempo,

Hˆ (38)

Como o operador hamiltoniano é hermitiano, há um conjunto de autovetores , os autoestados da energia, que satisfazem Hˆ E_i E_i E_i e que formam uma base para o espaço de Hilbert. Neste caso, podemos expandir o estado inicial em termos dos autoestados da energia,

(39)

para descobrir que

16

O valor médio do observável é, então,

(41)

o que mostra que o valor médio é constituído por termos que oscilam no tempo na frequência

(42)

No caso particular em que é um autoestado da energia, o valor médio de se torna

(43)

que é uma grandeza independente do tempo. Por este motivo, os autoestados da energia são chamados estados estacionários.

2.1.6 O Quadro da Interação

Todos os postulados introduzidos e discutidos até o presente momento consideram o operador de evolução temporal afetando somente os vetores de estado. Nesta formulação, os operadores não participam da dinâmica do sistema. Essa abordagem da mecânica quântica é conhecida como quadro ou representação de Schrödinger[7].

Há, contudo, duas abordagens alternativas ao quadro de Schrödinger, os quadros de Heisenberg e da interação ou de Dirac. No quadro de Heisenberg, são os operadores que evoluem no tempo enquanto os vetores de estado permanecem constantes. Esta abordagem realça o paralelismo formal entre a mecânica clássica e a mecânica quântica sugerindo uma interpretação[5] em que a física quântica é uma física clássica em que variáveis dinâmicas foram substituídas por operadores e em que o colchete de Poisson foi substituído pelo comutador .

Já o quadro da interação é uma forma intermediária entre os quadros de Schrödinger e Heisenberg, no qual a interação física entre as partes de um sistema é destacada. No quadro da interação, tanto operadores quanto vetores de estado evoluem no tempo. Porém, enquanto os operadores evoluem segundo uma dinâmica regida pelo hamiltoniano livre, não interagente,

17

os vetores de estado evoluem segundo uma dinâmica regida pelo hamiltoniano de interação. O quadro da interação torna-se interessante por facilitar os cálculos em problemas nos quais os termos de interação do hamiltoniano dependem explicitamente do tempo.

A fim de definir melhor o quadro da interação, considere um hamiltoniano no quadro de Schrödinger. Este hamiltoniano pode ser dividido em uma componente livre e outra com dependência explícita do tempo que representa a interação:

(44)

Ainda que a divisão do hamiltoniano seja bastante arbitrária, é uma boa prática escolher para a parte do hamiltoniano total que não deve depender do tempo e deixar todos os termos que podem apresentar dependência temporal para . Deste modo, os operadores, que obedecem uma álgebra difícil, não comutativa, evoluem de modo mais simples enquanto a parte mais difícil da evolução temporal pode ser deixada para os vetores de estado.

No quadro da interação, os vetores de estado são novamente definidos como transformações dos estados de Schrödinger. Estes vetores de estado são transformados apenas pela parte livre do hamiltoniano:

(45) onde

(46)

de forma semelhante podemos obter as transformações para os operadores:

(47)

É interessante notar que o operador evolução temporal livre comuta com seu operador adjunto, ou seja:

18

A partir destas propriedades, obtemos a equação de Schrödinger (evolução temporal dos estados) no quadro da interação como sendo:

(49)

e, consequentemente, a equação de Heisenberg (evolução temporal dos operadores) será:

(50)

Podemos concluir que no quadro de Dirac a evolução temporal dos estados é determinada somente pelo termo de interação do hamiltoniano do sistema. Em contrapartida, a evolução temporal dos operadores neste quadro é controlada pelo componente livre do hamiltoniano.

Havendo descrito o formalismo básico da física quântica, passamos ao estudo da interação entre o átomo e o campo eletromagnético. No projeto, o átomo foi descrito como um sistema de dois níveis análogo a uma partícula de spin 1/2 enquanto o campo eletromagnético foi tratado como um conjunto de osciladores harmônicos quânticos distribuídos por todos os pontos do espaço. Nesta representação, a quantização da energia surge naturalmente e leva à introdução do conceito de fóton, o quantum de luz.

2.2 Sistemas quânticos de dois níveis: um modelo simples para o átomo

Sistemas de dois níveis são importantes na física quântica porque, na maior parte das vezes, apenas dois níveis estão envolvidos em transições radiativas, isto é, transições que envolvem a absorção ou a emissão de um fóton de energia bem definida. Desta forma, é conveniente representar um sistema atômico ou molecular complexo em interação com fótons de energia bem definida por apenas os dois níveis envolvidos na transição, descartando os demais, que não estão diretamente envolvidos.

A construção de um sistema de dois níveis segue o modelo de uma partícula de spin ½, como o elétron. Podemos aproximar o átomo de dois níveis por um spin pois o fóton que faz a

19

primeira transição não possui energia suficiente para as transições posteriores e, na maior parte das vezes, os átomos decaem para o estado fundamental antes de serem capazes de absorver outro fóton.

Neste caso, os autoestados do sistema de dois níveis são denotados por e (“e” correspondendo a excited e “g” correspondendo a ground, que representam respectivamente os estados excitado e fundamental do átomo de dois níveis) e são autovetores do operador de Pauli

(51)

associados aos autovalores +1 e -1, respectivamente. Os outros operadores de Pauli podem ser representados, na base dos autovetores de , como

(52)

e

(53)

Estes operadores, representam as rotações do spin em um espaço abstrato de duas dimensões, por isso todos são descritos por matrizes de ordem 2. Vale lembrar que esta representação dos operadores de Pauli foi realizada no quadro de Schrödinger. No quadro de Heisenberg, os operadores de Pauli podem evoluir no tempo, dependendo da escolha que fizermos para o hamiltoniano livre .

O conjunto dos três operadores de Pauli obedece à álgebra do momento angular expressa na relação de comutação[7]

(54)

na qual é o símbolo antissimétrico de Levi-Civita[6]. Isso mostra que os operadores de Pauli são observáveis incompatíveis, isto é, não existe um estado físico que seja, simultaneamente, autovetor de , e . Em outras palavras, não é possível conhecer precisamente os valores de , e ao mesmo tempo.

Podemos escrever o hamiltoniano para um sistema de dois níveis não interagente como

20

Hˆ (55)

de tal modo que

Hˆ Hˆ (56)

É conveniente introduzir operadores não hermitianos que realizam transições entre os dois níveis do sistema. Neste caso, o operador

(57)

responde pela transição do estado para o estado enquanto o operador

(58)

é responsável pela transição do estado para o estado .

Para analisar a influência destes operadores sobre um sistema de dois níveis devemos considerar o sistema em uma superposição como , onde e assumem valores entre 0 e 1 e representam, respectivamente, as probabilidades do átomo ser encontrado ou no estado excitado ou no fundamental. Vamos utilizar também a representação matricial para os estados e ,

. (59)

Há duas situações particulares interessantes. Considerando o átomo no estado fundamental ( e )

(60)

e

(61)

Vemos que se o átomo estiver inicialmente no estado fundamental, a ação de corresponde a uma excitação atômica enquanto aniquila o estado pois não há um nível de

21

energia abaixo do fundamental. Por outro lado, se o átomo estiver no estado excitado ( e )

(62)

e

. (63)

Neste caso, o operador desexcita o átomo enquanto o operador aniquila o estado pois, por hipótese, não há um nível de energia acima do excitado que seja acessível. A visualização correta do papel destes operadores para um sistema de dois níveis é essencial para o desenvolvimento deste projeto.

2.2.1 A evolução temporal dos operadores atômicos

Vimos na seção 2.1.6 que tanto os vetores de estado quanto os operadores que descrevem observáveis físicos de um sistema podem evoluir no tempo no quadro da interação. Por esse motivo, torna-se interessante neste momento descrever como os operadores atômicos , e se comportam na análise temporal do quadro de Dirac. Este resultado se mostrará importante quando calcularmos a evolução temporal da função de onda que sistematiza a interação de um átomo com um estado coerente de luz.

Já sabemos que a evolução temporal de um operador no quadro da interação é descrita pela equação de Heisenberg. Fazendo a escolha para que o hamiltoniano livre não dependa explicitamente do tempo, a aplicação da equação (50) para o operador , nos leva a

(64)

pois uma vez que o operador não depende explicitamente do tempo. Nesta equação, é o próprio operador do quadro de Schrödinger ( ) e, portanto, suas propriedades já são bem conhecidas. De modo semelhante,

22

com .

Por fim, a partir da mesma análise é possível observar que a derivada do operador no tempo é nula, o que nos leva a concluir que este operador não evolui no tempo. Assim,

(66)

Este resultado é interessante e confirma que, como o operador de Pauli permanece o mesmo tanto no quadro de Schrödinger como no quadro de Dirac, o hamiltoniano atômico para o sistema de dois níveis também se mantém inalterado em ambas as representações.

2.3 Oscilador harmônico: a descrição quântica da luz

O campo de radiação eletromagnética pode ser descrito como uma grande coleção de osciladores harmônicos[8,9,10]. O hamiltoniano de um oscilador harmônico de massa m e frequência angular em uma dimensão é

Hˆ pˆ

xˆ ₍₆₇₎

Esse é o operador que representa a energia do sistema e podemos claramente observar os termos referentes à energia cinética e à energia potencial através dos operadores de posição

xˆ e de momento linear pˆ respectivamente, que satisfazem a relação de comutação

xˆ pˆ (68)

É conveniente introduzir dois operadores não hermitianos

xˆ pˆ xˆ pˆ (69)

chamados operadores de aniquilação e de criação, respectivamente. Estes operadores satisfazem a relação de comutação

(70)

23

Nˆ Hˆ

(71)

cujos autovetores, os estados de número , satisfazem

Nˆ (72)

Como Hˆ e Nˆ comutam, os autovalores n de Nˆ representam o número de excitações da energia do oscilador e a aplicação dos operadores de aniquilação e de criação em um estado de número resulta em

(73) justificando seus nomes pois o operador aniquila uma excitação do oscilador enquanto o operador cria uma excitação no oscilador. A partir do estado fundamental é possível obter todos os autovetores pela aplicação repetida do operador de criação, isto é,

(74)

Os estados de número , autovetores de Nˆ , são também autoestados da energia. Deste modo,

Hˆ Nˆ (75)

e o espectro de energia do oscilador harmônico é facilmente obtido em termos dos autovalores

n do operador Nˆ ,

(76)

A representação do campo eletromagnético em termos de osciladores harmônicos permite escrever o campo elétrico como[11]

(77)

na qual e são operadores de aniquilação e de criação de fótons no modo espacial determinado pela função que, por sua vez, é solução da equação de onda[8,9,10]

24 0 2 2 2    k _k k u c u  (78)

Deve-se notar que o índice k representa tanto o vetor kde propagação de onda quanto as duas possíveis polarizações (1 ou 2) ortogonais a k.

Em termos dos operadores e , o hamiltoniano do campo eletromagnético é

Hˆ Nˆ ₍₇₉₎

e o espectro de energia

₍₈₀₎

pode ser interpretado como a soma das energias de fótons em cada modo k do campo. Um estado com fótons em um dado modo do campo é, por analogia com o oscilador harmônico, chamado estado de número.

Esta interpretação dá origem à chamada representação de Fock para a luz. Em um estado de Fock

(81)

o número de fótons e, portanto, a intensidade da luz em cada modo são grandezas bem definidas. Já a amplitude e a fase do campo não são grandezas bem definidas em um estado de Fock. Pode-se dizer que um estado de Fock é a representação mais pura da natureza corpuscular da luz. Todavia, é extremamente difícil produzir estados de Fock[12,13].

2.3.1 A evolução temporal dos operadores de criação e aniquilação de fótons

Na seção 2.2.1, utilizamos a equação de Heisenberg para calcular a evolução temporal dos operadores atômicos , e . Podemos utilizar a mesma equação para o cálculo da evolução temporal dos operadores de criação e de aniquilação de fótons. Este resultado será utilizado em conjunto com a análise temporal dos operadores atômicos no cálculo da evolução temporal do sistema interagente átomo mais estado coerente de luz.

25

A aplicação da equação de Heisenberg ao operador de aniquilação nos fornece como resultado

₍₈₂₎

pois uma vez que o operador não depende explicitamente do tempo. Nesta equação, é o próprio operador do quadro de Schrödinger ( ) e, portanto, suas propriedades já são bem conhecidas. De modo semelhante,

₍₈₃₎

com .

Neste caso, podemos concluir que

(84)

o que significa que o operador de número de fótons permanece o mesmo tanto no quadro de Schrödinger como no quadro de Dirac. Assim, o hamiltoniano que representa o oscilador harmônico para a descrição quântica da luz também se mantém inalterado em ambas as representações.

2.4 Modelo de Jaynes-Cummings: a interação entre átomos e fótons

O modelo de Jaynes-Cummings descreve a interação entre um átomo de dois níveis e um modo de campo eletromagnético quantizado, formado por uma determinada frequência, uma certa polarização e uma direção de propagação.

Para o projeto, consideramos a existência de um campo eletromagnético confinado dentro de uma cavidade, como mostrado na figura 1, no regime de acoplamento forte onde haveria a interação com o átomo de dois níveis. No regime de acoplamento forte, a probabilidade de se perder fótons por emissão espontânea em direção à lateral aberta da cavidade ou por transmissão através dos espelhos é pequena e, portanto, os fótons têm aumentada a probabilidade de interagir com o átomo.

26

Figura 1: Representação de um átomo e do campo eletromagnético no centro de uma cavidade isolada. A interação de um sistema atômico de dois níveis com um único modo de campo eletromagnético é usualmente descrita pelo hamiltoniano ressonante de Jaynes-Cummings[14]

Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ (85)

no qual Hˆ é o hamiltoniano referente ao átomo, Hˆ é o hamiltoniano referente ao campo

eletromagnético ou radiação e Hˆ é o hamiltoniano de energia que surge a partir da interação átomo-radiação.

O hamiltoniano para o sistema de dois níveis não interagente é:

Hˆ (86)

e o hamiltoniano para um único modo de campo eletromagnético pode ser escrito como:

Hˆ _Nˆ (87)

A interação entre átomo e campo pode ser descrita pelo hamiltoniano de interação entre um dipolo elétrico e o campo elétrico,

Hˆ (88)

27

(89)

e

(90)

é o momento de dipolo elétrico, operador responsável pelas transições atômicas.

É conveniente também neste momento introduzir o conceito da constante de acoplamento entre o momento de dipolo elétrico (sistema atômico) e a amplitude do campo elétrico (luz), também conhecida como frequência de Rabi

₍₉₁₎

onde é a amplitude do campo elétrico definida como

(92)

O hamiltoniano de interação nos leva a quatro processos diferentes, ilustrados na figura 2. No modelo de Jaynes-Cummings, o hamiltoniano de interação consiste de dois termos com interpretação física simples. O termo representa a absorção de luz na qual um fóton é aniquilado do campo de radiação enquanto o átomo realiza uma transição para o estado de maior energia e o termo representa a emissão de luz na qual um fóton é emitido enquanto o átomo realiza uma transição para o estado de menor energia. Já os outros dois processos não conservam o número de excitações do sistema (número de fótons mais número de átomos no estado excitado) ou, se , não conservam a energia do sistema.

28

Descartando os processos que não conservam a energia, em uma aproximação conhecida por aproximação da onda girante, o hamiltoniano de interação se reduz a

Hˆ (93)

Por fim, o hamiltoniano de Jaynes-Cummings será, na aproximação da onda girante,

Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ (94)

Figura 3: Energia e processos envolvidos na interação dentro da cavidade.

A figura 3 mostra cada uma das partes do sistema, bem como a interação entre elas e suas energias. Nesta figura, é a diferença de energia entre o átomo e o campo. O detuning ou dessintonia pode ser escrito como

(95)

A situação em que , é conhecido como caso de ressonância, e é quando a excitação do átomo pode acontecer com maior facilidade. Para os outros casos ( ), a probabilidade de transição é menor.

O hamiltoniano de Jaynes-Cummings também pode ser escrito na forma matricial para o caso com n fótons na cavidade como

Hˆ

29

proveniente do espaço dos estados da base, gerados pelos processos e que foram mantidos, conhecidos como estados desacoplados:

 correspondendo ao átomo excitado e n fótons na cavidade;

 correspondendo ao átomo no estado fundamental e consequentemente a geração de mais 1 fóton na cavidade.

Porém, podemos observar que os termos da diagonal secundária são diferentes de zero, o que mostra que a base desacoplada não é a ideal, pois nesta base, a energia do sistema não é bem definida.

Um caso particular, que por facilidade algébrica, será comumente tratado neste projeto é o caso em que temos um número definido de fótons na cavidade, que por sua vez, também formarão a base vetorial utilizada em cálculos posteriores. Este caso é:

1. Quando temos 1 fóton na cavidade e o átomo está no estado de menor energia, formando o vetor da base ;

2. Quando não há fótons na cavidade, pois o mesmo foi utilizado no processo de excitação do átomo, formando o vetor da base .

Para esta situação, o hamiltoniano total de interação se resume a:

Hˆ (97)

2.4.1 A evolução temporal do hamiltoniano de interação

Quando introduzimos o conceito de quadro de Dirac ou da interação, explicamos a necessidade da divisão do hamiltoniano em duas componentes

(98)

Essa seleção, apesar de ser arbitrária, pode ser melhor executada escolhendo-se para a parte do hamiltoniano total que não dependa do tempo e deixando todos os termos que podem apresentar dependência temporal para .

30

Aplicando-se esse conceito ao hamiltoniano de Jaynes-Cummings, podemos então escolher

(99)

pois como vimos, e permanecem os mesmos tanto para o quadro de Schrödinger quanto para o quadro da interação por não apresentarem dependência explícita no tempo.

Consequentemente,

(100)

é a parte do hamiltoniano de Jaynes-Cummings que pode, ao menos em princípio, sofrer alguma variação temporal.

O objetivo desta seção é descobrir a forma do hamiltoniano de interação no quadro da interação. Este resultado é importante, pois segundo a equação de Schrödinger, a evolução temporal de um estado coerente depende explicitamente do hamiltoniano de interação no quadro de Dirac.

O hamiltoniano de interação no quadro de Dirac pode ser definido como

(101)

Substituindo pelos valores de , , e encontrados respectivamente nas seções 2.2.1 e 2.3.1, temos

(102)

em que, novamente, é a dessintonia entre as frequências características da transição atômica e do laser. Por fim, podemos facilmente notar que no caso de ressonância, , o hamiltoniano de interação é o mesmo tanto para o quadro de Dirac quanto para o de Schrödinger

(103)

o que deve facilitar os cálculos, já que o hamiltoniano de interação entre átomo e radiação para o quadro de Schrödinger já foi amplamente utilizado.

31 2.5 Estados coerentes de luz

Até o presente momento, a luz foi tratada como um campo eletromagnético quantizado em um estado de Fock. Os estados de Fock são caracterizados por apresentarem um número definido de fótons e, portanto, a intensidade da luz em cada modo também é uma grandeza bem definida, o que já não acontece com a amplitude e a fase do campo eletromagnético. Porém, sabemos que a representação da luz pelos estados de Fock não é a mais adequada devido ao fato de que o número de partículas de um sistema quântico nem sempre é bem definido, sendo possível que, ao se fazer diversas medições do número de fótons presentes em um feixe de laser, sejam obtidos resultados diferentes a cada medição.

Neste contexto, a melhor representação possível na física quântica para descrever a luz gerada por uma fonte clássica, com amplitude e fase bem definidas, são os estados coerentes de luz. Os estados coerentes são uma superposição dos estados de Fock e por isso não possuem um número bem definido de fótons[3],[8],[11].

Um estado coerente é definido como

(104)

onde é denominado operador deslocamento e sua aplicação sobre o estado de vácuo gera o estado coerente . Podemos observar claramente que um estado coerente é uma superposição de estados com todos os números de fótons possíveis, desde o estado de vácuo com zero fótons até estados com número arbitrariamente grande de fótons.

O operador deslocamento é por sua vez, definido como

₍₁₀₅₎

e é responsável pela transformação de um estado coerente atual para outro estado coerente, dentro do espaço de fase óptico. O espaço de fase óptico é um espaço de fase em que todos os estados quânticos de um sistema são descritos. Os espaços de fase dão origem aos diagramas de fase, que são ferramentas utilizadas para se descobrir propriedades e comportamentos de um sistema quântico que não podem ser obtidos de uma outra maneira imediata.

32

Para se entender a representação física associada ao parâmetro , é interessante o resultado obtido durante o cálculo da média do número de fótons em um estado coerente :

(106)

isto é, o quadrado do módulo de representa a média do número de fótons em um estado coerente de luz.

Podemos facilmente demonstrar também que um estado coerente é um autoestado do operador de aniquilação

(107)

e como o operador de aniquilação não é hermitiano, seus autovalores não são necessariamente números reais. A partir da equação (107) observamos que aniquilar um fóton de um estado coerente não altera o número médio de fótons, pois o sistema ainda é descrito pelo mesmo estado . Este resultado é bastante contraintuitivo. Por outro lado, acrescentar um fóton a um estado coerente, altera o estado do feixe de laser. Contudo, pela correspondência dual temos

(108)

Além das propriedades já mencionadas, os estados coerentes são também conhecidos por apresentarem incerteza mínima. Para que essa propriedade seja demonstrada, é conveniente neste momento definirmos os operadores de quadratura e em função dos operadores de aniquilação e criação de fótons:

(109) Enquanto o operador está relacionado ao campo elétrico (Eq, 77), o operador está associado ao campo magnético. Para um fim de comparação, podemos calcular a variância do operador nos estado de Fock como

(110)

33

(111)

Já que a variância de representa a média da flutuação do campo elétrico no estado, vemos que a flutuação do campo elétrico em um estado de Fock é sempre maior ou igual a variância em um estado coerente. O mesmo é válido para as flutuações do campo magnético.

Finalmente, sabemos que o princípio da incerteza de Heisenberg impõe uma restrição na precisão com que se podem efetuar medições simultâneas de uma classe de pares de observáveis, o que aplicado às medições de posição e momento linear, define a seguinte lei:

(112)

Partindo-se do cálculo da variância de e _{em um estado coerente, descobrimos que}

(113)

o que prova que um estado coerente realmente é um estado de incerteza mínima.

Outro resultado curioso é obtido no cálculo da probabilidade de se obter fótons em uma medição em um estado coerente. Essa probabilidade pode ser definida como:

(114)

e tem como resultado

(115)

É interessante notar que a chance de se obter um certo número de fótons na medição de um estado coerente obedece a uma distribuição de Poisson.

3 METODOLOGIA

Como se trata de um projeto de caráter teórico, para sua realização não foram utilizados materiais nem equipamentos necessários para experimentos. A metodologia

34

empregada consistiu em realizar, inicialmente, uma revisão bibliográfica dos postulados da física quântica e de suas interpretações. Em seguida, realizamos um estudo dos sistemas de dois níveis, do oscilador harmônico quântico e do modelo de Jaynes-Cummings, tendo deduzido todos os resultados apresentados nas seções 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5, independentemente deles já existirem na literatura.

Após a revisão bibliográfica, diagonalizamos o hamiltoniano de Jaynes-Cummings e obtivemos as energias permitidas (autovalores) e os autoestados do sistema. Aplicamos a equação de Schrödinger, obtivemos a evolução temporal do estado que descreve o sistema e, com ela, calculamos a probabilidade de transição do átomo, que pôde ser comparada com resultados experimentais. Calculamos a inversão de população e o número de fótons do sistema dentro de uma cavidade e analisamos os resultados obtidos. Finalmente determinamos a evolução temporal do sistema formado por um átomo em interação com um estado coerente de luz e observamos os fenômenos de colapsos e revivais, comparando-os também com resultados experimentais. As etapas mencionadas estão descritas com mais detalhes a seguir.

A) Revisão bibliográfica sobre a física quântica

Neste período, realizamos uma revisão bibliográfica da física quântica com ênfase no entendimento dos postulados, em suas interpretações e no formalismo quântico necessário para o desenvolvimento do projeto. Introduzimos o quadro da interação e neste quadro, obtivemos a evolução temporal dos operadores e usando a equação de Heisenberg.

B) Propriedades de um sistema atômico de dois níveis

Nesta etapa, deduzimos as propriedades de um sistema de dois níveis usando técnicas de física quântica. Os autovalores e os autovetores de um átomo de dois níveis foram calculados e pudemos entender a ação dos operadores e .

C) Propriedades do oscilador harmônico

Nesta etapa, deduzimos as propriedades do oscilador harmônico unidimensional, em especial o espectro de energia do sistema e seus autoestados, e nos familiarizamos com o formalismo dos operadores de aniquilação e de criação.

35 D) Modelo de Jaynes-Cummings

Nesta etapa, entendemos como a interação entre o campo elétrico e um dipolo elétrico leva ao hamiltoniano de interação proposto por Jaynes e Cummings. Simplificamos o hamiltoniano de Jaynes-Cummings ao desprezar os termos que não preservam o número de excitações do sistema e introduzimos uma representação matricial para o operador hamiltoniano no caso geral de fótons e no caso particular de fóton.

E) Interação de um sistema de dois níveis com um único fóton

Usando as técnicas desenvolvidas anteriormente, diagonalizamos o hamiltoniano e obtivemos as energias e os autoestados de um sistema de dois níveis interagindo com fótons. Estudamos com mais profundidade o caso particular fóton e obtivemos a evolução temporal de um estado quântico que descreve o sistema físico estudado. Ainda neste caso, conseguimos calcular a probabilidade de transição do sistema tendo a chance de observar as oscilações de Rabi no resultado teórico deduzido. O resultado foi comparado com os dados experimentais disponíveis na literatura.

F) Estados coerentes de luz

Nesta etapa, deduzimos as propriedades dos estados coerentes, fizemos sua representação em termos dos estados de Fock com número de fótons definidos e obtivemos a distribuição de probabilidade de encontrar fótons em um estado coerente .

G) Revivais quânticos

Nesta etapa, obtivemos, no quadro da interação, a evolução temporal de um estado físico inicialmente descrito por usando a equação de Schrödinger. Calculamos a probabilidade de encontrar o sistema no estado inicial e comparamos os resultados obtidos com os colapsos e revivais observados por Rempe, Walther e Klein em sistemas compostos por átomos de rubídio em interação com estados coerentes da radiação no interior de uma cavidade[22].

36

4 RESULTADOS

Nesta seção, descreveremos os resultados obtidos no contexto do modelo de Jaynes-Cummings. Inicialmente, vamos obter os autoestados do sistema, nos quais o átomo está vestido pelo campo de luz. Por analogia com os estados de partículas vestidas da eletrodinâmica quântica[17], estes estados podem ser chamados estados vestidos. Indicaremos as características de emaranhamento quântico do sistema introduzidas pela interação entre átomo e fótons no interior da cavidade.

Em seguida, usaremos os estados vestidos para obter a probabilidade de transição

de encontrar o sistema no estado após ter sido preparado no estado . Este resultado será comparado ao obtido experimentalmente por Brune e colaboradores[18]. Adicionalmente, calcularemos a inversão da população atômica e o número de fótons na cavidade como função do tempo e obteremos a matriz densidade que descreve as propriedades estatísticas e de coerência do sistema.

Para finalizar o trabalho, utilizaremos a equação de Schrödinger no quadro de Dirac para calcular a evolução temporal de um sistema composto por um átomo de dois níveis em interação com um estado coerente de luz. Calcularemos a probabilidade de encontrar o sistema em seu estado inicial após um intervalo de tempo . Compararemos os resultados com os colapsos e revivais observados por Rempe e colaboradores[22] em sistemas compostos por átomos de rubídio em interação com estados coerentes de radiação.

4.1 Estados vestidos e emaranhamento quântico

A interação entre átomo e campo dentro da cavidade fortemente acoplada faz com que ocorra um desdobramento dos estados atômicos, dando origem a novos estados. Estes estados são denominados estados vestidos, e representam um sistema no qual o átomo se encontra vestido pelos fótons do campo de luz.

Os estados desacoplados formam a base nas quais as medições das propriedades do sistema são usualmente efetuadas enquanto os estados vestidos formam a base na qual a física realmente acontece, onde a dinâmica da interação entre átomo e luz é observada.

37

Os estados vestidos são autoestados do hamiltoniano de Jaynes-Cummings, estados em que suas energias são bem definidas, e suas energias são os autovalores, obtidos através da

diagonalização, da matriz Hˆ.

Para o caso com n fótons na cavidade, em que o modelo de Jaynes-Cummings é representado pela equação (96), os autovalores, ou seja, as energias obtidas através da diagonalização desta matriz são:

(116)

associadas respectivamente, aos estados vestidos e .

Este resultado permite entender como a energia do sistema depende da dessintonia, como mostrado na figura 4. Podemos observar que quanto maior for o módulo da dessintonia, maior é a diferença de energia entre os estados vestidos e portanto, menos acoplados estão átomo e fóton. Para , a interação entre os estados desacoplados e é máxima e a diferença de energia entre os estados vestidos é mínima, . Quando a dessintonia é grande, átomo e luz interagem cada vez menos e as energias tendem aos valores de energia dos estados desacoplados, representados pelos extremos laterais do gráfico abaixo.

Figura 4: Energias dos estados vestidos em função da dessintonia.

Para o caso particular importante em que temos 0 ou 1 fótons na cavidade, as energias dos estados vestidos são simplificadas para

38

(117)

que nos permite escrever os estados vestidos como:

(118) A partir da equação (118), é fácil constatar que os estados vestidos são uma superposição não-separável de estados puros, isso porque há uma correlação quântica entre o átomo e o campo. A esta correlação é dado o nome de emaranhamento.

O emaranhamento é um fenômeno da mecânica quântica referente à inseparabilidade das partes de um sistema isolado e nos permite descobrir informações sobre algumas partes do sistema realizando medições apenas sobre outras partes do sistema, de forma que uma parte não pode ser descrita sem que sua contraparte emaranhada seja mencionada. Esta característica da interação átomo-fóton pode ser explorada em um esquema de medição quântica não destrutiva[15] ou medição QND (Quantum Nondemolition). Tradicionalmente, para descobrir o número de fótons na cavidade, seria preciso contá-los com um detector de luz que absorveria todos os fótons, destruindo o sistema do qual obtivemos informação. Em uma medição QND, o emaranhamento entre o estado atômico e o estado do campo de luz permite que obtenhamos informação sobre o campo de luz sem jamais perturbá-lo, simplesmente ao medir o estado atômico emaranhado[16]. Vale lembrar que os estados vestidos são naturalmente emaranhados e representam a situação em que o emaranhamento é máximo.

Os estados desacoplados também podem ser escritos em função dos estados vestidos, em uma relação de mudança de base que será posteriormente utilizada

(119)

4.2 Probabilidade de transição e as oscilações de Rabi

Calcular a evolução temporal do sistema interagindo dentro da cavidade, nos permite descobrir como ele se comporta em função do tempo. Considerando o sistema dentro da cavidade como uma superposição de estados vestidos, temos:

39

(120)

onde e assumem valores entre 0 e 1 e representam, respectivamente, as probabilidades de encontrarmos, dentro da cavidade, o sistema no estado ou no estado .

De forma análoga à revisão bibliográfica, a evolução temporal do estado pode ser calculada através da equação de Schrödinger

Hˆ (121) da qual obtemos (122)

e os coeficientes e dependem do estado do sistema em e obedecem a relação

(123)

que garante a conservação da probabilidade durante a evolução temporal.

Uma evidência da característica quântica da luz é encontrada quando calculamos a probabilidade de transição de encontrar o sistema no estado após ter sido preparado no estado Neste caso, descobrimos que e que, portanto,

₍₁₂₄₎

A probabilidade de transição de encontrar o sistema no estado após ter sido preparado no estado é dada por

(125)

Na situação de ressonância em que e, portanto, , a diferença de energia entre os estados vestidos pode ser escrita como

(126)

40

(127)

Este resultado pode ser comparado com o obtido em um experimento em eletrodinâmica quântica em cavidades por Brune e colaboradores[18]. No experimento, átomos de rubídio foram preparados no estado excitado , um estado de Rydberg com número quântico principal , e enviados um por um em direção a uma cavidade na qual havia apenas o campo eletromagnético de vácuo. Após a interação com o vácuo da cavidade, o estado de cada átomo foi medido por ionização seletiva ao estado , outro estado de Rydberg com número quântico principal , e a probabilidade de transição foi medida. A figura 5 mostra o resultado teórico que deduzimos juntamente com o resultado experimental obtido por Brune e colaboradores[18]. Podemos verificar que a probabilidade de encontrar o átomo no estado fundamental oscila com o tempo em uma frequência compatível com a determinada experimentalmente. Estas oscilações são chamadas oscilações de Rabi associadas à frequência de Rabi por semelhança com o fenômeno análogo que ocorre em ressonância magnética nuclear[19].

Figura 5: Oscilações de Rabi para o caso e .. A curva teórica foi calculada usando a constante de acoplamento do experimento de Brune et al.[18] do qual foram extraídos os dados experimentais.

Podemos observar que, experimentalmente, as oscilações têm sua amplitude reduzida à medida que o tempo passa enquanto a previsão teórica é de oscilações com amplitude constante. A discrepância é causada pelo fato de que, no experimento, os átomos não estão em

41

repouso no interior da cavidade mas passam por ela com uma velocidade média de em . Estes átomos permanecem na região central, onde a interação é semelhante à estudada no nosso modelo teórico, em torno de pois a largura do modo eletromagnético da cavidade é de apenas

Excetuando os casos extremos em que a probabilidade valeria exatamente 0 ou 1 e o sistema seria descrito por um dos dois estados desacoplados, o que acontece é que há um certo nível de emaranhamento correspondendo a uma superposição de estados vestidos. Particularmente quando , o emaranhamento é máximo e o sistema possui todas as características descritas na seção 4.1.

Portanto, é possível concluir que controlando-se o tempo que o átomo permanece na cavidade, ou seja, o tempo de interação entre átomo e campo eletromagnético, podemos definir o grau de emaranhamento apresentado pelo sistema.

4.3 Inversão da população e número de fótons

A inversão da população e o número de fótons na cavidade como função do tempo foram dois outros resultados obtidos nesta etapa do projeto. Para ambos os casos, considerou-se o sistema em ressonância e a existência de uma única excitação na cavidade. Deste modo, haveria no máximo um fóton na cavidade, em qualquer instante de tempo.

A inversão da população pode ser entendida como o número de átomos no estado excitado menos o número de átomos no estado fundamental e é representada pelo operador . O valor médio desta grandeza no sistema no estado descrito por é, conforme a equação (29), dado por .

Como resultado, temos que

(128)

representando, justamente, como a população de átomos excitados se comporta dentro da cavidade com o passar do tempo. Como na cavidade só há um único átomo, este resultado é equivalente à probabilidade deste átomo ser encontrado no estado excitado.

42

Já a média do número de fótons é definida como , e, neste caso, é equivalente à probabilidade de encontrarmos exatamente um fóton dentro da cavidade.

(129)

A figura 6 mostra as previsões para a inversão da população e para o número médio de fótons na cavidade em função do tempo. Podemos entender o resultado mostrado da seguinte maneira. Quando , ou seja, o átomo na cavidade está no estado excitado, temos , representando que, como já era esperado, não há fótons dentro da cavidade, pois o mesmo foi utilizado para excitar o átomo. Para o caso oposto, em que o átomo na cavidade está no estado de menor energia ( ), temos 100% de chance de encontrarmos 1 fóton na cavidade ( ). Sendo assim, tanto a população atômica oscila entre os estados e e o número de fótons na cavidade oscila entre os estados e com frequência .

Figura 6: Inversão da população e número médio de fótons na cavidade em função do tempo para o

43 4.4 O operador densidade

O operador densidade descreve aspectos estatísticos relacionados a um sistema quântico misto. A descrição estatística do sistema através do operador densidade é necessária quando o sistema em questão é formado por n sistemas diferentes ou quando não se conhece a forma como o sistema foi preparado e, consequentemente, não se tem certeza absoluta sobre qual estado quântico puro o sistema se encontra[20].

Como o operador densidade é definido como

(130)

e como , representado na base dos estados vestidos, é dado por ₍₁₃₁₎

a representação matricial do operador densidade, conhecida como matriz densidade será

(132)

Nesta representação, os elementos diagonais nos dão informação sobre a população do respectivo estado e os elementos fora da diagonal principal são chamados de coerências e dão informação sobre a fase relativa entre os estados e a capacidade de haver interferência entre eles. Na base dos estados vestidos, tanto a população de estados como a de estados são constantes e apresentam probabilidade de 50% de encontrarmos o sistema em cada um deles.

Podemos observar também, que uma das propriedades da matriz densidade é que a soma dos elementos que compõem a diagonal principal (traço) será sempre igual a 1, correspondendo à normalização da probabilidade.

Considerando-se agora sendo representado na base desacoplada,

44

a matriz densidade será

(134)

Assim, na base desacoplada, a população do estado oscila entre 0 e 1 segundo

e a população do estado oscila segundo , e a coerência entre estes estados é representada por

(135)

indicando a possibilidade de interferência entre os estados.

4.5 Colapsos e revivais quânticos

O estudo da interação entre a luz e a matéria baseado no modelo de Jaynes-Cummings, nos permitiu, até o presente momento, descrever alguns dos fenômenos apresentados por este sistema. Porém, como já foi discutido anteriormente, modelar um feixe de laser como um estado de Fock não é o procedimento mais adequado uma vez que estados de Fock, com número bem definido de fótons, apresentam características quânticas que estão em desacordo com o esperado da luz clássica de um laser.

Com isso, nesse estágio do projeto, finalizamos nossos estudos baseados em sistemas formados por um átomo de dois níveis em interação com um campo eletromagnético que possui um número definido de fótons e passamos agora, a tratar a luz clássica de um laser por um modelo mais realista, os estados coerentes.

Neste caso, o sistema que antes era descrito pela equação (133), passa agora a ser representado por

45

evidenciando mais uma vez, que um estado coerente é uma superposição de estados com todos os números de fótons possíveis, ou seja, uma superposição de estados de Fock.

Os coeficientes e em princípio, apresentam dependência temporal. Já o coeficiente é definido como

(137)

de forma que represente um átomo em interação com um estado coerente de radiação.

O problema da evolução temporal do sistema representado por na equação (136) já foi resolvido por Eberly e colaboradores[21] utilizando a abordagem do quadro de Heisenberg. A solução é bastante complexa pois se baseia na evolução temporal de um conjunto de operadores quânticos sem significado físico imediato, sendo, portanto, pouco natural ainda que formalmente correta. O método que utilizaremos para se analisar a evolução temporal de um átomo em interação com um feixe de laser é mais simples que o proposto na referência [21] e se baseia no quadro de Dirac. Até onde sabemos, é um tratamento inédito e mostrou-se conveniente pela relativa simplicidade quando comparado à solução do problema no quadro de Heisenberg.

O sistema representado por será inicialmente descrito por

(138)

e utilizaremos a equação de Schrödinger para o quadro da interação, pois como vimos anteriormente, é a equação que rege a evolução temporal dos estados dos observáveis

(139) onde (140)

porém, como consideraremos o caso de ressonância em que , o hamiltoniano de interação se resume a

46

A resolução da equação de Schrödinger para a interação nos fornece outras duas equações:

(142)

As equações diferenciais obtidas desacoplam facilmente levando a uma equação de segunda ordem equivalente à do oscilador harmônico. A solução geral para este caso é

(143)

Como o estado inicial do sistema é formado por um átomo excitado em interação com um estado coerente de luz, obtemos e , o que nos leva a

(144)

e a amplitude de probabilidade do estado fundamental

(145)

Reescrevendo a equação (136) obteremos

(146)

que é a solução final da evolução temporal de um sistema formado pela interação entre um átomo de dois níveis e um estado coerente de luz.

Considerando-se agora o caso mais geral, com dessintonia diferente de zero ( ), teríamos para a amplitude de probabilidade do estado excitado e fundamental respectivamente

(147) ambas levando a