Método de Painel para o Cálculo do Escoamento Potencial em
Torno de Vários Perfis Sustentadores
Diogo de Arriaga e Cunha Matos Chaves
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Júri
Presidente: Professor Doutor Mário Manuel Gonçalves da Costa
Orientador: Professor Doutor Luís Rego da Cunha Eça
Vogal:
Professor Doutor João Manuel de Melo e Sousa
iii
Agradecimentos
Ao professor Luís Eça por toda a disponibilidade, orientação e apoio dado durante a
elaboração da dissertação.
v
Resumo
Neste trabalho efetuou-se uma implementação em ambiente MATLAB de um método de painel 2D para aplicações a hiper-sustentadores e perfis sob efeito solo. O código teve como base um código original apenas para perfis simples implementado na linguagem de programação FORTRAN utilizando um método de 1ª ordem com fontes e vórtices de intensidade constante e painéis rectos. A descrição detalhada do método utilizado é incluída, assim como a metodologia seguida na criação do código. Efetuou-se uma extensa verificação do código, primeiro para perfis simples e depois para multi-componentes, a fim de se quantificar ordem de convergência do erro numérico do código e a incerteza dos resultados. Mostram-se também vários exemplos de possíveis aplicações do programa, onde se compararam resultados obtidos com o código desenvolvido com alguns resultados experimentais e outros provenientes de cálculos de CFD disponíveis na literatura específica da área. No que diz respeito ao efeito solo, constatou-se que os resultados do coeficiente de sustentação e da distribuição de pressão seguem em geral as mesmas tendências que os casos sujeitos a análise, concluindo-se que o código é ideal para análises qualitativas, sendo também ideal para ser utilizado em optimizações de geometrias e orientações relativas entre corpos sustentadores.
vi
Abstract
An implementation in MATLAB of a 2D panel method was performed for use in applications with airfoils in ground effect and multi-element configurations. The code was based on an earlier code developed in the FORTRAN language, using a 1st order panel method that followed an implementation with constant source and vortex strengths and flat panels. The description of the method used is included, as is the methodology used in the development of the code. An extensive verification procedure to quantify the uncertainty and the error convergence was performed both for single airfoils and for multi-element configurations. Also, several examples of possible applications of the program were analyzed, where the results obtained with the developed code were compared with some experimental and CFD results available in relevant papers. Regarding profiles in ground effect, it is demonstrated that the trends of the lift coefficient and pressure distribution results follow those of the experimental or CFD results, making this code an ideal tool for qualitative analyses and optimization of geometries and relative orientations between airfoils.
vii
Índice
Agradecimentos ... iii
Resumo ... v
Abstract ...vi
Índice de Figuras ... ix
Índice de Tabelas ... xi
Lista de Abreviaturas ... xii
1.
Introdução ... 1
2.
Formulação Matemática ... 5
2.1.
Formulação Básica ... 5
2.2.
Método de Hess & Smith ... 10
2.2.1.
Equações da velocidade em cada painel ... 15
2.2.2.
Cálculo dos coeficientes de influência ... 16
2.2.3.
Equações de velocidade normal nula na superfície do corpo ... 20
2.2.4.
Equação da condição de Kutta ... 21
2.2.5.
Resolução do sistema de equações para as incógnitas e . ... 23
2.2.6.
Cálculo das velocidades tangenciais em cada ponto de controlo ... 23
2.2.7.
Cálculo dos coeficientes de pressão em cada ponto de controlo. ... 24
2.2.8.
Cálculo dos coeficientes adimensionais ... 24
2.3.
Introdução da circulação no ASA 2D ... 26
2.4.
Extensão do método para múltiplos componentes ... 29
2.4.1.
Cálculo das velocidades tangenciais e do coeficiente de pressão ... 30
2.4.2.
Cálculo dos coeficientes adimensionais ... 31
3.
Organização do Método de Cálculo ... 33
3.1.
Pré-processador ... 33
3.1.1.
Malha de pontos gerados externamente ... 33
3.1.2.
Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos ... 33
3.1.3.
Geração de um perfil de Kármán-Trefftz e de Joukowski ... 35
3.1.4.
Sistema de eixos local e sistema de eixos global ... 37
3.2.
Processador ... 40
3.2.1.
Cálculo com Efeito solo ... 40
3.2.2.
Cálculo sem Efeito solo ... 41
viii
3.3.1.
Cálculo das velocidades em pontos de uma malha ... 42
3.3.2.
Visualização das linhas de corrente do escoamento ... 43
3.3.3.
Visualização da distribuição de velocidade em torno dos perfis ... 43
3.3.4.
Visualização da distribuição dos coeficientes de pressão em torno do perfis .... 44
3.3.5.
Visualização dos vetores de velocidade do escoamento ... 44
3.3.6.
Visualização das distribuições de pressão de cada perfil ... 45
3.3.7.
Escrita dos resultados obtidos num ficheiro ... 45
4.
Verificação do código ... 47
4.1.
Verificação para Perfis Simples ... 47
4.1.1.
Procedimento de verificação ... 47
4.1.2.
Casos teste ... 48
4.1.3.
Parâmetros Seleccionados ... 48
4.1.4.
Resultados ... 51
4.2.
Verificação para Multi-Componente ... 61
4.2.1.
Procedimento de verificação ... 61
4.2.2.
Casos Teste ... 61
4.2.3.
Resultados ... 62
5.
Aplicações Práticas ... 65
5.1.
Perfis sujeitos a Efeito solo ... 65
5.1.1.
Perfil NACA 0015 ... 66
5.1.2.
Perfil NACA 4412 ... 67
5.1.3.
Perfil NACA 0012 ... 71
5.1.4.
Perfil Tyrrell026 invertido ... 72
5.2.
Turbina de Eixo Vertical com Rotor Duplo ... 74
6.
Conclusões... 79
ix
Índice de Figuras
Figura 1 - Fronteira S e volume V ... 5
Figura 2 - Região de integração ... 6
Figura 3 - Definição da circunferência em torno do ponto P ... 8
Figura 4 - Escoamento não circulatório ... 11
Figura 5 - Escoamento de um vórtice puro ... 11
Figura 6 - Escoamento que satisfaz a condição de Kutta ... 12
Figura 7 - Discretização dos painéis ... 13
Figura 8 - Nomenclatura utilizada nos painéis ... 13
Figura 9 - Definição de um ponto de controlo ... 14
Figura 10 - Bordo de Fuga do perfil ... 15
Figura 11 - Sistema de coordenadas local e global ... 16
Figura 12 - Nomenclatura utilizada na construção das matrizes de influência ... 18
Figura 13 - Forças actuantes no perfil em função do ângulo de ataque ... 25
Figura 14 - Comparação entre resultados com métodos diferentes ... 27
Figura 15 – Vista em pormenor da distribuição de pressão no bordo de fuga ... 27
Figura 16 - Discretização da linha média do perfil ... 28
Figura 17 - Perfil NACA 4412 com 80 painéis ... 35
Figura 18 - Círculo gerador da transformação conforme ... 36
Figura 19 - Círculo Gerador 61 pontos ... 37
Figura 20 - Perfil Plano transformado 61 pontos ... 37
Figura 21 - Sistema de Eixos Global para Perfil Simples ... 37
Figura 22 - Sistema de Eixos Global e Local ... 38
Figura 23 - Exemplo de Transformação de Coordenadas de dois perfis ... 39
Figura 26 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples ... 40
Figura 27 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples com rotação ... 41
Figura 28 - Criação de uma malha de pontos em torno do corpo. ... 42
Figura 29 - Linhas de corrente em torno de um perfil invertido com hiper-sustentador em efeito solo .. 43
Figura 30 - Mapa de cores da velocidade no escoamento. ... 44
Figura 31 - Mapa de cores dos coeficientes de pressão ... 44
Figura 32 - Vista em pormenor dos vetores de velocidade numa região do escoamento ... 45
Figura 33 - Distribuição de pressão do perfil principal ... 45
Figura 34 - Distribuição de pressão do hiper-sustentador ... 45
Figura 33 - Ilustração do método para se encontrar o ponto mais próximo do ponto de controlo ... 49
Figura 34 - Nomenclatura utilizada ... 50
Figura 35 - Resultados obtidos para o perfil Kármán-Trefftz simétrico. ... 52
x
Figura 37 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski com flecha. ... 54
Figura 38 - Resultados da norma L1 para o perfil Joukowski com flecha ... 55
Figura 39 - Comparação das distribuições de pressão analitica e numérica ... 56
Figura 40 - Pormenor do pico de sucção ... 56
Figura 41 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski simétrico ... 57
Figura 42 - Tendência de evolução do erro numérico do perfil de Joukowski simétrico ... 58
Figura 43 - Resultados obtidos para o perfil NACA 5412 ... 59
Figura 49 - Coeficiente de Sustentação em função de h/c para =2 ... 62
Figura 46 - Incerteza de CL para NACA 0015 com h/c=0.2 e =0 ... 63
Figura 47 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.1 e α=2° ... 64
Figura 48 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.5 e α=6° ... 64
Figura 48 – Definições da distância ao solo ... 66
Figura 49 - Resultados para o NACA 0015, =0 ... 66
Figura 50 - Resultados para o NACA 4412 ... 67
Figura 51- Fig. 13 da referência [26]. Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA 4412 ... 68
Figura 52 - Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA 4412... 69
Figura 53 - Distribuição de pressão do NACA 4412 ... 70
Figura 54 - Resultados para o perfil NACA 0012 ... 71
Figura 55 - Geometria do perfil Tyrrell026 ... 72
Figura 56 - Resultados para o perfil Tyrrell026 a =3.6 ... 73
Figura 57 - 5 Configurações dos Perfis objeto de análise ... 74
Figura 58 - CL vs para as várias configurações possíveis ... 75
Figura 59 - CP vs para as várias configurações possíveis ... 75
Figura 60 - CP vs CL para as várias configurações possíveis ... 76
Figura 61 - Distribuições de pressão para o 1º e 2º perfil respectivamente ... 77
xi
Índice de Tabelas
Tabela 1 – Resultados de CL calculados pelos dois métodos alternativos ... 27
Tabela 2 - Casos teste para verificação do código para perfil simples ... 48
Tabela 3 – Casos teste utilizados na verificação para multi-componente ... 62
Tabela 4 - Resultados incerteza para os perfis analisados ... 63
xii
Lista de Abreviaturas
– Coeficiente de sustentação obtido pela circulação – Coeficiente de sustentação obtido pela integração – Coeficiente de resistência obtido pela integração – Coeficiente de pressão
– Coeficiente de momento em torno do centro do perfil – Ângulo de ataque
– Comprimento da corda do perfil
– Comprimento da corda do perfil principal 2D – Bidimensional
3D – Tridimensional
CFD – Mecânica dos fluidos computacional – Velocidade do escoamento uniforme
– Componentes da velocidade nas direcções e
– Influência do painel no painel devido a uma fonte – Influência do painel no painel devido a um vórtice
– Potencial do escoamento uniforme
– Ângulo do painel em relação ao eixo – Número de painéis de um perfil
– Intensidade da fonte no painel – Intensidade do vórtice
– Comprimento do painel da linha média – Intensidade do vórtice corrigida
– Vetor relacionado com o escoamento uniforme
– Matriz dos coeficientes de influência na direcção normal – Matriz dos coeficientes de influência na direcção tangencial – Matriz que contém as matrizes individuais
– Vetor que contém as singularidades de cada corpo – Vector que contém os vetores individuais
– Matriz que contém as matrizes individuais
– Vetor das velocidades tangenciais devido às singularidades – Comprimento do painel de superfície
– Coordenada do ponto de fronteira – Coordenada do ponto de fronteira
– Integração da pressão na direcção – Integração da pressão na direcção
xiii
– Componente do momento na direcção – Componente do momento na direcção
– Distribuição de espessura para um perfil NACA da série de 4 dígitos
– Distribuição de curvatura para um perfil NACA da série de 4 dígitos BA – Bordo de ataque
BF – Bordo de fuga
, – Coeficientes de influência no ponto devido a uma singularidade na direcção and
– Declive de um determinado painel
– Declive da normal de um determinado painel
( ) – Função que procura o ponto analítico mais próximo do perfil discretizado – Norma do erro numérico do coeficiente de pressão
⁄ – Distância à parede adimensionalizada pela corda do perfil – Erro numérico para a malha zero
– Parâmetro de refinamento da malha
– Ordem de convergência observada – Constante
1
1. Introdução
Uma das primeiras implementações de mecânica dos fluidos computacional tornada possível pelo aparecimento dos computadores foram os chamados métodos de painel. Estes métodos, que apareceram por volta da década de sessenta do século passado, tornaram possível o cálculo de escoamentos em torno de geometrias arbitrárias complexas através da discretização da superfície do corpo em segmentos de recta, posterior distribuição de singularidades pela superfície do corpo e resolução da equação de Laplace [1] como um somatório das contribuições das singularidades em cada painel. Estes métodos podem ser aplicados a uma grande gama de geometrias – incluindo vários corpos inseridos no mesmo problema – e têm a possibilidade de se uma boa precisão numérica com um reduzido número de painéis. Além disso, efectuando cálculos com corpos sustentadores a pequenos ângulos de ataque, obtém-se uma concordância muito boa com o escoamento real, mesmo sem se considerar a camada limite.
Quando surgiram os primeiros computadores com capacidade para efetuar cálculos de escoamento potencial, os cálculos bidimensionais invíscidos foram os que primeiro foram alvo de estudo, tendo-se desenvolvido vários programas comerciais com base em vários métodos, entre eles, o método dos painéis desenvolvido por Hess, J. e Smith, A. [2]. Mais tarde, com a evolução das capacidades de cálculo dos computadores, houve uma clara tendência para se concentrarem esforços no desenvolvimento de programas de cálculo para geometrias tridimensionais e, paralelamente, no desenvolvimento de códigos de cálculo viscoso pelas maiores capacidades de previsão das características dos escoamentos reais que quer um tipo quer outro consegue fornecer. Os cálculos invíscidos a duas dimensões foram então perdendo importância em detrimento dos a três dimensões e dos de cálculo viscoso, quer numa questão de esforços de desenvolvimento de métodos de cálculo distintos, quer também em termos de utilização dos códigos já anteriormente desenvolvidos. Contudo, embora os resultados de métodos de cálculo mais evoluídos se aproximem mais das condições de um escoamento real, são poucas as aplicações destes programas que não beneficiem de um cálculo prévio com um método de painel a duas dimensões [3], não só pela grande precisão numérica e facilidade de uso deste método comparativamente a qualquer outro método mais complexo, mas também pela grande correlação que se consegue alcançar entre os resultados obtidos por este método e os resultados obtidos por outros métodos mais pesados, fornecendo uma boa estimativa preliminar da solução a uma fracção muito reduzida do elevado tempo de cálculo que outros métodos mais complexos inevitavelmente consomem.
Deste modo, apesar de hoje em dia existirem programas de CFD já muito avançados que contemplam escoamentos turbulentos e ocorrências de separação, métodos tão simples como o método de painel bidimensional ainda são utilizados em situações em que não interessa tanto saber o valor exacto do coeficiente de sustentação ou obter a distribuição de pressão exacta em torno de perfis, mas sim saber
2
estimativas e tendências de variação daqueles parâmetros consoante as condições do cálculo. Tomando
como exemplo situações de efeito solo, saber como varia o parâmetro
pode ser suficiente
para alguns estudos preliminares no design de certas geometrias, algo que, como se verá posteriormente, este método consegue captar facilmente. Embora no final do século passado tenham sido efectuados diversos estudos com métodos de painel aplicados a asas dianteiras duplas de carros de Fórmula 1 por Katz, J. [4] [5] [6] [7] e Knowles et al [8] (ver tab. 1 em [9]), hoje em dia estudos mais aprofundados sobre o efeito solo são efectuados com códigos CFD mais complexos. No entanto, uma vez que os métodos de painel são extremamente rápidos quando comparados com outros métodos mais complexos, podem ser por exemplo utilizados em algoritmos genéticos para optimizações de design de corpos sustentadores em diversas situações. Como exemplo, Sun, S. et al [10] utilizou um método de painel invíscido de 2ª ordem juntamente com um algoritmo genético para optimizar uma asa dianteira sob efeito solo de um carro de Fórmula 1. No mesmo artigo [10], é citado que as razões pela qual se utilizou um método de painel invíscido devem-se à sua versatilidade no cálculo de diversas geometrias e pelo seu reduzido tempo de cálculo, condição essencial para se efectuar este tipo de optimização num tempo aceitável. Outro procedimento de optimização da geometria de perfis em que se utilizou um método de painel de 1ª ordem acoplado a um algoritmo genético é descrito por Wickramasinghe, U. et al em [11].
Assim, dada a importância dos códigos de cálculo bidimensionais ainda nos dias de hoje, o desenvolvimento deste trabalho consistiu na generalização de um programa de cálculo baseado num método de painel bidimensional invíscido para permitir a sua utilização com multi-componentes, ou seja, com vários corpos inseridos no mesmo escoamento. O objectivo principal foi o de fornecer um programa fácil de utilizar, rápido e que representasse fielmente o escoamento real em torno de vários perfis para situações em não ocorra separação do escoamento. A extensão do programa apresenta várias vantagens em relação ao programa original, pois não só o programa pode ser aplicado ao cálculo de um perfil isolado, mas possibilita também a aplicação a várias situações em que se tem mais do que um perfil, tal como são os casos dos hiper-sustentadores e nos estudos do efeito solo, abrindo portas a que este código seja utilizado em rotinas de optimização de geometrias e orientações relativas entre corpos sustentadores, tal como referido nos exemplos do parágrafo anterior.
O programa original, chamado ASA 2D [12], utiliza fontes e vórtices de intensidade constante com base no método desenvolvido por Hess & Smith [2] e originalmente estava escrito na linguagem de programação FORTRAN. A parte inicial do trabalho desenvolvido foi a de reescrever o programa na linguagem de programação MATLAB e de estudar a convergência do erro numérico para perfis simples, comparando soluções exatas dadas pela transformação conforme com os resultados obtidos pelo programa. A segunda parte do trabalho consistiu na extensão do código para o cálculo com múltiplos componentes, tendo-se novamente efetuado uma extensa verificação do código, onde se mostra que numa situação de efeito solo a solução tende para a do perfil isolado à medida que a distância à parede
3
aumenta e onde também se quantifica qual a incerteza associada ao cálculo para um determinado número de painéis. A terceira e última parte consistiu na aplicação do programa a várias situações de cálculos com mais de um perfil. O objectivo foi o de demonstrar a boa concordância dos resultados que se obtêm com o código com resultados disponíveis na literatura, ao mesmo tempo que se dão a conhecer possíveis aplicações deste programa. Efectuaram-se vários cálculos de corpos sustentadores
sob efeito solo, onde se demonstra que os resultados do parâmetro
para várias distâncias
ao solo é o mesmo que se obtém através de códigos CFD e com resultados experimentais. Efectuou-se também um estudo de um rotor duplo de uma turbina de eixo vertical, onde, com o objectivo de reduzir o pico de sucção máximo, mostrou-se que o programa pode ser utilizado para a optimização da configuração ideal dos corpos sustentadores que compõem o rotor.
5
2. Formulação Matemática
2.1. Formulação
Básica
Tal como referido na introdução, este trabalho baseou-se num método de painel, pelo que nesta secção se fará primeiro uma exposição do modelo matemático por detrás destes métodos, baseada nas descrições de Katz & Plotkin [1], Moran [13] e Mason [14].
O método dos painéis é uma técnica de solução aplicável à teoria de escoamento potencial, pelo que a equação que rege a formulação matemática do método é a equação de Laplace, dada pela seguinte expressão:
(2 - 1)
A equação acima é válida para um escoamento estacionário, incompressível e irrotacional, condições que se verificam num escoamento de fluido perfeito. Embora haja várias formas de resolver esta equação, o método utilizado neste caso é através de singularidades, funções algébricas que satisfazem a equação de Laplace. As singularidades mais comuns são as fontes (e poços), os dipolos e os vórtices. Uma vez que a equação é linear, é possível utilizar uma sobreposição de singularidades para se obter a solução de um determinado escoamento.
Na teoria potencial clássica, algumas superfícies podem ser criadas a partir de singularidades localizadas dentro dos corpos (exemplo do cilindro criado por um dipolo com origem no centro do círculo). No entanto, para se criar uma forma arbitrária, tal não é possível. É necessária então uma abordagem mais sofisticada para se determinar o escoamento potencial em torno de corpos de forma arbitrária.
Defina-se então um volume que contém um corpo cuja superfície é , visível na
Figura 1
.6
Para resolver o problema, primeiramente é necessário definir as duas condições de fronteira. A primeira dita que a componente normal da velocidade em qualquer superfície sólida tem de ser nula. A segunda impõe que a velocidade do escoamento tenda para a velocidade do escoamento não perturbado à medida que nos afastamos do corpo. As expressões seguintes descrevem respectivamente estas condições:
(2 - 2)
(2 - 3)
Definidas as condições de fronteira, é necessário agora obter a equação do potencial que seja passível de ser utilizada nos cálculos do método dos painéis. Para tal, aplica-se o teorema da divergência de Gauss, que relaciona um integral de volume com um integral de superfície:
∭ ∯ (2 - 4)
O integral da equação (2 - 4) é aplicado ao problema interior, ou seja, ao interior de uma fronteira arbitrária .
Figura 2 - Região de integração
Para começar a derivação, introduz-se o vector função de dois escalares, dado por:
(2 - 5)
7
∭ ( ) ∯( ) (2 - 6)
Utilizando agora a identidade vectorial para simplificar o lado esquerdo da equação (2 - 6), e recordando que , obtém-se:
( ) ( ) ( )
(2 - 7)
Substituindo então na equação (2 - 6), obtém-se:
∭( ) ∯( ) (2 - 8)
Ou igualmente, recordando que ,
∭( ) ∯ (
) (2 - 9)
Chega-se assim a uma expressão conhecida por Teorema de Green de segunda ordem. A partir deste ponto seria possível continuar o desenvolvimento da equação acima para uma situação a duas ou a três dimensões. Uma vez que a implementação desenvolvida neste trabalho foi a duas dimensões, omitir-se-á o desenvolvimento para o caso tridimensional.
Pode-se então agora substituir e por quantidades de interesse para se chegar a uma expressão para o potencial que descreva o escoamento bidimensional. Assim, define-se e , onde é uma função harmónica que satisfaz a equação de Laplace. O termo é uma singularidade do tipo fonte – a duas dimensões –, onde é a distância a um determinado ponto . Substituindo agora e pelas suas respectivas definições na equação principal e trocando os termos, obtém-se:
∮[ ( )] ∬[ ( )] (2 - 10)
Onde é a região compreendida na superfície . Pela equação (2 - 1), é igual a zero, pelo que a equação (2 - 10) reduz-se a:
8
∮[ ( )] ∬ ( ) (2 - 11)
Se um ponto for exterior a , então a expressão ( ) será nula em todo espaço, uma vez que é uma fonte e satisfaz a equação de Laplace ( ). Assim, a expressão acima fica:
∯[ ( )] (2 - 12)
No entanto, definiu-se a origem dentro da região , pelo que se estiver dentro de , então ( ) em . Para excluir o ponto da região de integração, define-se uma circunferência de raio que engloba a origem, tal como na Figura 3.
Figura 3 - Definição da circunferência em torno do ponto P Então, aplicando o integral à região entre e , obtém-se:
∮[ ( )] ⏟ ∮ [ ] ⏟ (2 - 13)
Ou, passando o 2º termo para o membro direito
∮ [
] ∮[ ] (2 - 14)
Considerando o integral do membro esquerdo, fazendo e assumindo que a função é bem comportada, será aproximadamente constante e logo . Assim, é apenas necessário avaliar o integral dado por:
9
∮ (2 - 15)
O qual será calculado ao longo da linha da circunferência onde . Para um círculo, o elemento de linha é dado pela expressão:
(2 - 16)
Substituindo a expressão de no integral acima, obtém-se:
∮ ∮ ∮ (2 - 17)
Integrando de até , obtém-se:
∫
(2 - 18)
Obtendo-se finalmente o resultado final dado por:
∮ [
] (2 - 19)
Substituindo este resultado na expressão (2 - 14), obtém-se:
( )
∮[ ] (2 - 20)
Com a expressão acima, o valor de em qualquer ponto dentro da região pode ser obtido sabendo-se o valor de e de na fronteira do corpo.
Até agora utilizou-se a região interior do corpo sólido para que se pudesse escrever a origem no ponto . No entanto, esta equação pode ser estendida para a região exterior a . Aplicando a solução encontrada entre a superfície do corpo e uma superfície arbitrária Σ que envolva e deixando esta última tender para o infinito, os integrais sobre Σ tenderão para , ou seja, para o escoamento não perturbado pelo corpo, tal como a 2ª condição de fronteira impõe. Assim, chega-se à expressão final do potencial a duas dimensões para qualquer ponto do escoamento na região exterior ao corpo:
10
( )
∮[ ] (2 - 21)
Na equação acima é a normal unitária que aponta no sentido exterior à superfície. Utilizando a regra do produto interno da normal com o gradiente, obtém-se a expressão:
( )
∮ [
( )] (2 - 22)
A equação acima está agora numa forma em que é possível interpretar o integral como uma função de uma distribuição de singularidades. O primeiro termo do integral pode ser interpretado como o potencial de uma fonte de intensidade , enquanto o 2º termo pode ser interpretado como o potencial de um dipolo de intensidade . A expressão final fica então:
( )
∮ [ ] (2 - 23)
O problema pode agora ser resolvido encontrando as intensidades das fontes e dos dipolos para uma determinada geometria e determinadas condições do escoamento não perturbado, .
A principal conclusão da equação (2 - 23) é que é possível representar uma qualquer geometria arbitrária a partir da sobreposição de fontes e dipolos distribuídos por painéis – segmentos de recta no caso a duas dimensões – ao longo da sua superfície. No entanto, é preponderante que se certifique que a superfície do corpo é totalmente fechada e que a normal à superfície aponta sempre para fora. Para implementar este método, há várias formas de abordar o problema, sendo possível variar as singularidades utilizadas, variar a intensidade das singularidades ao longo de cada painel e utilizar diferentes geometrias dos painéis.
Embora haja várias abordagens possíveis aplicando a teoria acima exposta, o método utilizado no desenvolvimento do código foi o já conhecido método de Hess & Smith [2], o qual será abordado em detalhe na próxima secção.
2.2. Método de Hess & Smith
O método de Hess & Smith [2] foi a primeira forma do método dos painéis a ser implementada e foi concretizada pelo matemático John Hess e pelo aerodinamicista A.M.O. Smith. A exposição do método que se apresenta de seguida foi baseada nos textos de Hess [2], Moran [13] e Mason [14].
11
Neste método apenas se utilizam fontes e poços para se definir a forma de um corpo arbitrário, pelo que a equação (2 - 23), referente ao potencial de um ponto exterior ao corpo, reduz-se neste caso à seguinte expressão:
∫
(2 - 24)
No entanto, um modelo matemático baseado apenas num escoamento uniforme e numa distribuição de fonte e poços produziria um escoamento como o da figura seguinte:
Figura 4 - Escoamento não circulatório
O escoamento resultante reproduz corretamente a forma do corpo, mas no entanto, uma vez que a condição de Kutta não é verificada, não há circulação e logo o corpo não produz sustentação. Assim, há que introduzir na equação do potencial algo que produza a circulação necessária para que a condição de Kutta se verifique. Um vórtice puro, cujo escoamento se pode observar na Figura 5, cumpre os requisitos para satisfazer a equação de Kutta.
Figura 5 - Escoamento de um vórtice puro
Assim, somando à equação (2 - 24) o potencial de um vórtice puro, pelo princípio da sobreposição obtém-se:
12 (2 - 25) ∫ ∫ (2 - 26) ⏟ ∫ [ ( ) ⏟ ⏟ ] (2 - 27)
Onde ( ) e ( ) ⁄ . O sinal negativo que antecede o membro referente ao vórtice deve-se ao facto de se considerar por convenção o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio como o sentido positivo da circulação. Como tal, uma vez que a circulação necessária para satisfazer a condição de Kutta é no sentido dos ponteiros do relógio, o membro da equação respeitante ao vórtice aparece com sinal negativo. O escoamento resultante do potencial dado pela equação acima já obedecerá à equação de Kutta, e como tal, produzirá sustentação. Será então da forma que se apresenta na Figura 6.
Figura 6 - Escoamento que satisfaz a condição de Kutta
Visto de uma forma simples, o método consiste em discretizar a superfície do corpo em segmentos de reta, aplicar fontes de intensidade constante ao longo de cada painel – mas variando de painel para painel – e aplicar um vórtice de intensidade constante ao longo de cada painel – com o mesmo valor para todos os painéis. Uma vez que a velocidade normal em cada ponto da superfície tem de ser nula, a intensidade das fontes tem de variar de painel para painel. No entanto, dado que o vórtice necessário para que se verifique a condição de Kutta é apenas um, a sua intensidade pode ser a mesma em todos os painéis.
A figura abaixo ilustra como a forma do corpo é aproximada por vários segmentos de reta. A numeração dos pontos fronteira que definem a geometria começa no bordo de fuga, prosseguindo ao longo do intradorso até ao bordo de ataque, continuando ao longo do extradorso e terminando novamente no bordo de fuga. A linha encarnada e a linha verde – que representam respetivamente o extradorso e o
13
intradorso – contêm exatamente o mesmo número de pontos fronteira. Assim, pontos fronteira definem painéis.
Figura 7 - Discretização dos painéis
A equação do potencial após a discretização do corpo é então dada pela expressão seguinte:
( ) ∑ ∫ [ ( )
]
(2 - 28)
Onde, como já referido anteriormente, é o valor da velocidade do escoamento no infinito, , , e são as coordenadas de um determinado ponto do escoamento e ( ) e são respetivamente a intensidade da fonte (ou poço) em cada painel e a intensidade do vórtice, comum para todos os painéis.
Para se definir a geometria de cada painel, utiliza-se a nomenclatura representada na figura 2.
Figura 8 - Nomenclatura utilizada nos painéis
O painel é definido como estando entre os nós e o , tem comprimento e o ângulo que faz com o eixo das abcissas é , tal como está representado na Figura 8 . Assim, o seno e o cosseno de são dados pelas seguintes expressões:
(2 - 29)
(2 - 30)
14
(2 - 31)
(2 - 32)
Para cada painel, existe um ponto de controlo situado no centro deste. Será neste ponto que será satisfeita a condição de velocidade normal nula na superfície do corpo.
Figura 9 - Definição de um ponto de controlo
As coordenadas do ponto de controlo são então definidas pelas seguintes expressões:
̅ (2 - 33)
̅ (2 - 34)
Definida a geometria de cada painel, as equações que permitem resolver o sistema a incógnitas são, como já referido anteriormente, as equações referentes à condição de velocidade normal nula em cada ponto de controlo e a equação referente à condição de Kutta.
A condição de velocidade normal nula na superfície é dada pela expressão , a qual pode ser desenvolvida na seguinte expressão:
( ) ( )
(2 - 35)
15
(2 - 36)
Para cada . Embora neste caso apenas nos interesse que a velocidade normal num determinado ponto de controlo seja nula, tal não é necessariamente obrigatório. É possível definir uma velocidade de transpiração na parede [12], podendo-se desta forma por exemplo simular o efeito da camada limite numa determinada superfície através do desvio das linha de corrente da superfície originado por uma velocidade normal a apontar para o exterior da superfície.
Falta apenas a equação N+1, a qual é dada pela condição de Kutta. Esta condição dita que o escoamento saia paralelo à bissectriz que divide o bordo de fuga, ou por outras palavras, implica que no bordo de fuga a pressão seja igual no intradorso e no extradorso. Existem várias formas de abordar numericamente esta condição, mas a utilizada neste método é a de obrigar a que as velocidades tangenciais no primeiro e no último painel (os painéis adjacentes ao bordo de fuga) sejam iguais.
Figura 10 - Bordo de Fuga do perfil
Utilizando esta condição, o erro do método vai ser afetado pelo tamanho dos dois painéis adjacentes ao bordo de fuga, diminuindo à medida que o tamanho destes painéis for reduzindo e se ambos tiverem tamanhos semelhantes. A condição é então dada pela expressão:
(2 - 37)
Ou tendo em conta a diferença de sinal entre os dois versores tangenciais:
(2 - 38)
Efetuando o desenvolvimento da expressão (2 - 38), obtém-se a expressão final:
(2 - 39) Expostas as linhas principais deste método e as relações que permitem resolver o problema, descrever-se-á agora detalhadamente cada passo a seguir para se chegar a uma solução.
16
As componentes da velocidade em cada painel i são dadas pela soma das contribuições do escoamento não perturbado e das velocidades induzidas pela distribuição de fontes e de vórtices em cada painel. Assim: ∑ ∑ (2 - 40) ∑ ∑ (2 - 41)
Onde , , e são os coeficientes de influência. Como exemplo, o coeficiente de influência
é a componente x da velocidade induzida em devido a uma fonte unitária sobre o painel j.
2.2.2.
Cálculo dos coeficientes de influência
Para se determinar os coeficientes de influência , , e , utiliza-se o sistema de coordenadas local e , que está ligado ao sistema de coordenadas global e através do angulo
, tal como ilustrado na figura abaixo.
Figura 11 - Sistema de coordenadas local e global
Deste modo, a integração da distribuição das fontes e dos vórtices ao longo do painel fica uma tarefa fácil, procedendo-se à passagem para o sistema de coordenadas global através de uma transformação de coordenadas simples. As expressões que executam a rotação de eixos são as seguintes:
17
(2 - 42)
(2 - 43)
Estabelecido o sistema de eixos, o próximo passo é descobrir as velocidades induzidas pelas singularidades. No caso da fonte, a velocidade induzida por uma fonte nas suas coordenadas cilíndricas naturais é:
̂ (2 - 44)
Passando a expressão acima para coordenadas cartesianas, tem-se que:
( )
( ) (2 - 45) (2 - 46)
Onde a origem da fonte é em e .
Colocando as fontes ao longo da coordenada de cada painel num ponto e integrando num comprimento , as velocidades induzidas pelas distribuições de fontes são obtidas pelas expressões:
∫ ( ) ( ) (2 - 47) ∫ ( ) ( ) (2 - 48)
Para se obter os coeficientes de influência, escrevem-se as equações acima no referencial e com ( ) . ∫ ( ) (2 - 49) ∫ ( ) (2 - 50)
18 [( ) ] | (2 - 51) ( )| (2 - 52)
As expressões acima podem ser interpretadas com a ajuda da Figura 12. Na expressão da velocidade tangencial, os termos dentro do logaritmo podem ser interpretados como as distâncias e . Na
expressão da velocidade normal, os termos dentro da inversa da tangente podem ser interpretados como os ângulos e .
Figura 12 - Nomenclatura utilizada na construção das matrizes de influência
Assim, os coeficientes de influência devido às fontes resultam nas expressões finais que se seguem:
( ) (2 - 53) (2 - 54) Ou, simplificando: ( ) (2 - 55) (2 - 56)
O caso da auto-indução – a velocidade induzida num painel por si mesmo – requere especial consideração. A fonte apenas induz velocidades normais e não tangenciais, pelo que a velocidade
19
será nula e depende do lado pelo qual se faz a aproximação. Neste caso, trata-se de uma aproximação pelo lado exterior, pelo que então será igual a , e logo:
Considerando agora a influência dos vórtices, as expressões para as velocidades induzidas são semelhantes ao caso das fontes devido à semelhança das expressões gerais da velocidade em coordenadas cilíndricas.
̂ (2 - 57)
Tal como no caso da fonte, passando a expressão (2 - 57) para coordenadas cartesianas, obtêm-se as seguintes expressões:
( )
( ) (2 - 58) (2 - 59)
Onde a origem do vórtice é em e e é a intensidade do vórtice.
Realizando o mesmo exercício feito para as fontes, também é possível chegar às expressões para os coeficientes de influência devido a um vórtice. Integrando num comprimento no referencial do painel e substituindo ( ) , obtêm-se as seguintes expressões para os coeficientes de influência devido a um vórtice no referencial e : ∫ ( ) (2 - 60) ∫ ( ) (2 - 61)
Resolvendo as equações (notando que os integrais são os mesmos que se tinham para o caso das fontes, embora trocados), obtêm-se as expressões finais dos coeficientes de influência devido a um vórtice.
20 (2 - 62) ( ) (2 - 63)
Onde a nomenclatura é a mesma utilizada no caso das fontes, patente na Figura 12. No caso da auto-indução, como agora neste caso o vórtice apenas induz velocidade tangencial, será nula, e, tal como no caso das fontes e uma vez que a aproximação é feita pelo lado exterior, e logo:
2.2.3.
Equações de velocidade normal nula na superfície do corpo
Para se encontrarem os valores das intensidades das singularidades, é necessário primeiro obter uma matriz de dimensão ( ) que contenha os coeficientes de influência das fontes e vórtices e
uma matriz que contenha as componentes respeitantes ao escoamento uniforme. Assim, com base nas equações da velocidade normal nula (eq. (2 - 36)), o objetivo nesta primeira parte é o de se obter um sistema de equações da forma:
∑
(2 - 64)
Assim, recordando a equação (2 - 36):
(2 - 36)
Onde as velocidades são dadas por:
∑ ∑ (2 - 65) ∑ ∑ (2 - 66)
21 ( ∑ ∑ ) ( ∑ ∑ ) (2 - 67)
Reagrupando, a expressão (2 - 67) dá origem à expressão:
( ) ⏟ ∑ ( ) ⏟ ( ∑ ∑ ) ⏟ (2 - 68)
A expressão (2 - 68) pode ser aplicada para todos os pontos de controlo.
2.2.4.
Equação da condição de Kutta
A equação necessária para completar o sistema a ser resolvido vem da expressão da condição de Kutta, tal como já referido anteriormente. Esta equação dita que a velocidade – e consequentemente a pressão – no bordo de fuga seja igual no intradorso e no extradorso. Como tal, é necessário garantir que a velocidade tangencial nos pontos de controlo dos painéis adjacentes ao bordo de fuga é igual. Recordando a expressão (2 - 39):
(2 - 69)
O sinal negativo no lado direito da equação advém do facto de o sentido positivo da direção tangencial ser no sentido dos ponteiros do relógio, e como tal, em sentido contrário nos dois painéis referidos.
Com base na equação (2 - 39), o objetivo neste caso é o de se obter a linha da matriz , que
será da forma:
∑
(2 - 70)
22 ∑ ∑ (2 - 71) ∑ ∑ (2 - 72) ∑ ∑ (2 - 73) ∑ ∑ (2 - 74)
As quais, substituindo na equação (2 - 39), fica-se com:
( ∑ ∑ ) ( ∑ ∑ ) ( ∑ ∑ ) ( ∑ ∑ ) (2 - 75)
23 ∑ ( ⏟ ) [∑ ( ) ] ⏟ ( ⏟ ) (2 - 76)
Os coeficientes de influência , , e , , são calculados no referencial local do painel j e transformados para o sistema de eixos global através das expressões (2 - 42) e (2 - 43):
2.2.5.
Resolução do sistema de equações para as incógnitas
e .
Expostas as equações necessárias e juntando as equações (2 - 64) e (2 - 70), neste momento é possível resolver o sistema de equações global para se encontrarem os valores das singularidades em cada painel.
O sistema final é o seguinte:
[ ][ ] [ ] (2 - 77)
O qual é facilmente resolvido pelo método de eliminação de Gauss-Jordan [15] com recurso a uma rotina do MATLAB.
2.2.6.
Cálculo das velocidades tangenciais em cada ponto de controlo
Calculados os valores das singularidades, é agora possível saber-se a velocidade tangencial ao longo da superfície do corpo. Desenvolvendo a expressão da equação da velocidade tangencial para cada ponto de controlo, tem-se: ( ∑ ∑ ) ( ∑ ∑ ) (2 - 78)
24
Tal como para o caso das velocidades normais em que se introduziu a matriz , a expressão acima
também pode ser simplificada introduzindo a matriz . Assim, analogamente à matriz , a matriz irá conter as componentes tangenciais dos coeficientes de influência induzidos pelas fontes e pelos
vórtices em cada painel. A equação para o cálculo das velocidades tangenciais poderá então ser simplificada para: ( ) ∑ ( ) ⏟ ( ∑ ∑ ) ⏟ ( ) (2 - 79)
2.2.7.
Cálculo dos coeficientes de pressão em cada ponto de controlo.
Sabendo a velocidade tangencial em cada ponto de controlo, é possível agora calcular o coeficiente de pressão ao longo da superfície do perfil através da definição de e da equação de Bernoulli, dadas respectivamente pelas seguintes expressões:
(2 - 80)
(2 - 81)
Onde é a velocidade tangencial calculada por (2 - 79) num determinado ponto do escoamento. Através de uma manipulação algébrica simples é possível chegar à forma mais conveniente para a expressão de de modo a se poder calcular a pressão em qualquer ponto sabendo apenas a velocidade local. Assim, a expressão final para o coeficiente de pressão é dada por:
( ) (2 - 82)
Com a expressão (2 - 82) é assim possível calcular o em cada ponto de controlo do perfil.
2.2.8.
Cálculo dos coeficientes adimensionais
O coeficiente de sustentação pode ser calculado através de duas formas. A primeira é através da equação de Kutta-Joukowski [16]. Para tal é necessário primeiro calcular a circulação total através da expressão:
25
∫ ∑
(2 - 83)
Onde é a intensidade do vórtice constante em todos os painéis vindo da solução do sistema de equações e é o comprimento do respetivo painel i. Sabendo a circulação total, pela equação de Kutta tem-se que:
(2 - 84)
Onde é a velocidade do escoamento não perturbado e é a corda do perfil.
Também é possível calcular o coeficiente de sustentação através da integração da pressão ao longo do perfil, assim como também é possível calcular o coeficiente de resistência e o coeficiente momento em torno do centro do perfil.
Figura 13 - Forças actuantes no perfil em função do ângulo de ataque
O coeficiente de sustentação e o coeficiente de resistência são dados respectivamente pelas seguintes expressões:
(2 - 85)
(2 - 86)
26 ∮ ( ) ∑ ( ) (2 - 87) ∮ ( ) ∑ ( ) (2 - 88)
Também é possível calcular o coeficiente de momento em torno do centro do perfil através da expressão:
(2 - 89
)
Onde e são dados pelas integrações da pressão multiplicadas pelo braço em relação ao centro do perfil: ∑ ( ) (2 - 90) ∑ ( ) ( ) (2 - 91)
Para um perfil em fluido perfeito, o coeficiente de resistência ( ) deverá aproximar-se o mais possível de zero, uma vez que não existem forças viscossas. Será um um parâmetro útil na verificação do código uma vez que quanto mais se aproximar de zero, maior será a precisão numérica.
2.3. Introdução da circulação no ASA 2D
No programa ASA 2D a circulação é introduzida de forma diferente daquela descrita pelo método de
Hess & Smith original. Embora o método original seja numericamente simples, os resultados da
distribuição de pressão não são satisfatórios para bordos de fuga muito pronunciados, tal como demonstrado por Hess, J. [18]. Na Figura 14 e Figura 15 utilizou-se um perfil de Joukowski com espessura de 15% e flecha relativa de 5% a um ângulo de ataque de 2 para demonstrar este efeito.
27
Figura 14 - Comparação entre resultados com métodos diferentes
Figura 15 – Vista em pormenor da distribuição de pressão no bordo de fuga
Método Utilizado
Vórtices na Superfície Vórtices na Linha Média
Método Exacto
Tabela 1 – Resultados de CL calculados pelos dois métodos alternativos
Embora o valor de obtido pela condição de Kutta não seja demasiado diferente nos dois casos, como se pode depreender dos resultados da Tabela 1, é fácil de constatar que no caso em que se aplicam os vórtices na superfície, a distribuição de pressão junto do bordo de fuga é errada. Seguindo o método que será exposto de seguida, os resultados obtidos aproximam-se consideravelmente mais da
28
distribuição de pressão exata para o perfil de Joukowski definido acima, a qual é dada pela transformação conforme.
O método alternativo difere do tradicional na forma como são distribuídos os vórtices no corpo. No método de Hess & Smith [2], os vórtices são distribuídos por cada painel da superfície do corpo. Neste caso, aplica-se uma distribuição de vórtices constantes ao longo de painéis contidos numa linha média do perfil, correspondentes aos triângulos da Figura 16.
Figura 16 - Discretização da linha média do perfil
A linha média é definida a partir das coordenadas dos pontos que definem a superfície do corpo e o número de painéis nesta linha é metade dos painéis da superfície. Embora no método de Hess & Smith [2] original não seja necessário que os pontos fronteira homólogos no intradorso e no extradorso tenham o mesmo valor de abcissa, nesta implementação alternativa tal é necessário porque há que garantir que nenhum ponto de controlo dos painéis definidos no interior do perfil tem abcissa negativa, situação que conduziria a resultados errados.
A intensidade do vórtice em cada painel é constante e é dada pela expressão disponível em [12]:
(2 - 92)
Onde é a distância medida ao longo da linha média desde o ponto de controlo de um dado painel até ao bordo de fuga e é a intensidade do vórtice a ser determinada pela condição de Kutta, tal como no método original. A circulação total em torno do perfil, dada pela equação de Kutta, obtém-se através da expressão seguinte:
∫ ∑
(2 - 93)
29
2.4. Extensão do método para múltiplos componentes
Na descrição do método de Hess & Smith chegou-se ao sistema de equações final para calcular as singularidades que definem o escoamento em torno de um perfil (2 - 77), o qual, recordando, era da forma: [ ][ ] [ ] (2 - 77)
Tinha-se então um sistema com equações para incógnitas, onde é o número de painéis do perfil. Estas equações são as equações correspondentes à condição de fronteira que dita que a componente normal da velocidade seja nula na superfície do corpo e mais uma equação correspondente à condição de Kutta. Assim, para se estender este método dos painéis para um número de corpos arbitrário serão necessárias ( ) equações, onde é o número de componentes definido e é o número de painéis de cada perfil . Estas equações correspondem igualmente às condições de fronteira descritas anteriormente para cada perfil, mas agora terão de ser satisfeitas para todos os perfis. O sistema de equações geral será então da forma que se apresenta de seguida:
[ ][ ] [ ] (2 - 94)
No sistema acima, cada posição na matriz corresponde a uma matriz , tal como se tinha no caso
para apenas um perfil. As posições da diagonal principal correspondem aos coeficientes de influência dos painéis de um perfil sobre si mesmo. As restantes posições correspondem aos coeficientes de influência de um determinado perfil sobre os restantes outros perfis. Assim, por exemplo, e por ordem, a primeira linha da matriz contém a matriz de influência do primeiro perfil sobre si mesmo, a matriz
de influência do segundo perfil sobre o primeiro perfil, a matriz de influência do terceiro perfil sobre o primeiro perfil, etc. até se chegar ao último perfil , seguindo-se a mesma lógica para as restantes linhas da matriz.
Por sua vez, o vetor contém por ordem as intensidades das fontes e dos vórtices associados aos painéis de cada perfil, que no sistema não resolvido ainda são incógnitas. O vetor (o qual não deve ser confundido com o vetor definido anteriormente) corresponde à junção dos vetores individuais
30
O sistema de equações estendido para perfis é assim em grande medida semelhante ao sistema de equações para o cálculo de apenas um perfil. Cada posição das matrizes do sistema é calculada individualmente exatamente pelo mesmo método que seria calculada para apenas um perfil, tornando o cálculo sistemático.
2.4.1.
Cálculo das velocidades tangenciais e do coeficiente de pressão
Para o cálculo das velocidades tangenciais em cada painel, agora é necessário contar com todas as contribuições de todas as distribuições de singularidades nos perfis. Tal como a matriz se
transformou na matriz, a matriz será agora a junção de várias sub-matrizes, agrupadas na matriz : [ ] (2 - 95)
Uma vez mais, as posições da diagonal principal serão os coeficientes de influência na direcção tangencial de um determinado perfil sobre si mesmo. As restantes posições serão as componentes tangenciais dos coeficientes de influência de um determinado perfil sobre outro, consoante a posição na matriz. A posição será por exemplo a matriz das componentes tangenciais do perfil número 2 sobre
o perfil número 1.
Multiplicando a matriz pelo vector das singularidades , obtém-se um vetor – aqui designado por
– que conterá para cada painel a soma de todas as contribuições dos outros restantes painéis.
[ ][ ] (2 - 96)
A velocidade tangencial em cada painel para cada perfil será então a soma da resultante do escoamento de aproximação com a respectiva posição no vector :
( ) (2 - 97)
Finalmente, o cálculo do coeficiente de pressão é feito utilizando a mesma equação que é utilizada para o caso de se ter apenas um perfil, dada por:
31
( ) (2 - 82)
2.4.2.
Cálculo dos coeficientes adimensionais
Tal como no caso em que se tinha apenas um perfil, através da condição de Kutta é possível calcular o coeficiente de sustentação através da circulação. No entanto, uma vez que a equação de Kutta-Joukowski [16] apenas é válida para a circulação total do sistema, quando se tem mais de um corpo não é possível calcular os coeficientes de sustentação individuais de cada perfil. Assim, a circulação de cada perfil é novamente calculada através da seguinte expressão:
∫ ∑
(2 - 98)
Onde é a intensidade do vórtice calculado para o perfil e é o comprimento de cada painel do respetivo perfil. A circulação total será dada por:
∑
(2 - 99)
Sabendo a circulação total, pela equação de Kutta-Jowkowski [16] tem-se que:
(2 - 100)
Onde é a velocidade do escoamento não perturbado. Por uma questão de uniformização dos resultados, escolheu-se definir os coeficientes de sustentação de todos os perfis em função da corda do perfil principal, o qual, como se verá adiante, será por regra o primeiro perfil a ser definido. Assim, corresponde à corda do perfil principal.
Da integração da pressão ao longo da superfície de cada perfil, é possível também calcular os coeficientes de sustentação, de resistência e de momento em torno do perfil através das mesmas equações utilizadas para o caso em que se tinha apenas um perfil (equações (2 - 81), (2 - 82) e (2 - 84)), com a ressalva de agora a corda utilizada para a adimensionalização ser a do perfil principal.
33
3. Organização do Método de Cálculo
A parte inicial deste trabalho consistiu na passagem do programa ASA 2D, desenvolvido em linguagem FORTRAN, para o ambiente MATLAB. A principal razão para esta escolha deveu-se ao facto de o
software Matlab permitir uma melhor manipulação dos resultados, possibilitando a criação de gráficos e
figuras que facilitam a posterior análise de resultados.
Optou-se por desenvolver o programa em três blocos, um bloco pré-processador onde se podem definir as geometrias dos perfis e a sua orientação relativa, um processador onde se efetua o cálculo pelo método dos painéis propriamente dito e um pós-processador onde se podem visualizar os gráficos dos resultados e onde se podem gerar ficheiros de saída.
3.1. Pré-processador
No pré-processador é possível escolher entre quatro opções para se gerar a geometria dos perfis. Essas opções são:
- Malha de pontos gerados externamente. - Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos. - Geração de um perfil de Kármán-Trefftz. - Geração de um perfil de Joukowski.
Apresenta-se de seguida uma descrição detalhada de cada opção de construção dos perfis.
3.1.1.
Malha de pontos gerados externamente
Nesta opção é possível introduzir-se o nome de um ficheiro no qual estão contidas as coordenadas dos pontos de definem um perfil. Também fica a possibilidade de se introduzir uma rotina que interpole os pontos e que gere um perfil consoante o número de painéis que se queira.
3.1.2.
Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos
Os perfis NACA da série de 4 dígitos são construídos com base em equações analíticas [16], sendo necessários três parâmetros para definir um determinado perfil: a espessura, a flecha máxima e a abcissa relativa onde esta ocorre. O sistema de numeração dos perfis NACA segue uma lógica que tem por base estes parâmetros. A nomenclatura é definida como:
34
Onde:
F é a flecha máxima no perfil, em percentagem da corda.
M é a abcissa em percentagem da corda onde ocorre a flecha máxima TT é a espessura máxima em percentagem da corda.
As equações que definem o intradorso e o extradorso do perfil são dadas por:
( ) ( ) ( ) (3 - 1) e ( ) ( ) ( ) (3 - 2)
Onde ( ) e ( ) representam respetivamente a distribuição de espessura e a distribuição de curvatura, definidas mais adiante, e onde , o declive da função de curvatura, é dado por:
(
) (3 - 3)
Embora estas funções possam ser contínuas, de modo a que estes perfis possam ser aplicados no método dos painéis há que criar uma distribuição discreta de pontos. Como tal, utilizou-se a chamada função de espaçamento do cosseno. A sua expressão é dada por:
[ {( ) ( )}] (3 - 4)
Onde é o número de painéis pretendido. Esta função tem como objetivo o de criar mais pontos – e consequentemente mais painéis – junto do bordo de ataque e do bordo de fuga. A necessidade de haver mais painéis junto do bordo de ataque tem a ver com o facto de nesta zona haver uma rápida variação da geometria, enquanto que no bordo de fuga a precisão numérica melhora quanto mais pequenos forem os painéis.
A função de distribuição de espessura e distribuição de curvatura do perfil, assim como as respetivas derivadas, são dadas respetivamente pelas expressões:
35 ( ) [ √ ] (3 - 5) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] (3 - 6) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] (3 - 7)
Com estas expressões a construção do perfil NACA da serie de 4 dígitos fica totalmente definida. Como exemplo, na Figura 17 mostra-se o resultado da construção de um perfil NACA 4412 gerado com 81 pontos fronteira que definem 80 painéis.
Figura 17 - Perfil NACA 4412 com 80 painéis
É possível observar uma maior concentração de pontos junto dos bordos de ataque e de fuga, resultado da função de distribuição de cosseno.
3.1.3.
Geração de um perfil de Kármán-Trefftz e de Joukowski
Esta opção permite criar perfis de Kármán-Trefftz e de Joukowski através da transformação conforme [16], baseado no círculo gerador e respetiva nomenclatura, visível na Figura 18.
36
Figura 18 - Círculo gerador da transformação conforme
Introduzindo as coordenadas do centro do círculo gerador no sistema de eixos e , através da transformação Kármán-Trefftz e de Joukowski é possível criar perfis no plano transformado. A transformação de Kármán-Trefftz é dada pela seguinte expressão:
( )( ) ( )
( ) (3 - 8)
Onde são as coordenadas complexas de um determinado ponto no plano do círculo gerador, é a abcissa em que o círculo corta o eixo positivo das abcissas e é um valor que varia entre 2 e 1 e está relacionado com o ângulo do bordo de fuga do perfil , sendo dado pela seguinte expressão:
(3 - 9)
A transformação de Joukowski é um caso particular da transformação de Kármán-Trefftz, e dá-se quando , ou seja, quando o ângulo do bordo de fuga é nulo. Fica-se então numa situação em que a expressão (3 - 8) se reduz a:
(3 - 10)
Mais uma vez, embora estas funções sejam contínuas, para estes perfis poderem ser aplicados ao método dos painéis é necessário discretizá-las por pontos. Criando pontos no círculo gerador com espaçamento igual, irão haver mais pontos junto do bordo de ataque e de fuga do perfil no plano transformado, tal como está demonstrado nas Figura 19 e Figura 20.
37
Figura 19 - Círculo Gerador 61 pontos Figura 20 - Perfil Plano transformado 61 pontos
Com um espaçamento igual dos pontos no círculo gerador, o perfil no plano transformado terá mais pontos junto do bordo de ataque e de fuga, tal como pretendido devido às razões já anteriormente expostas.
3.1.4.
Sistema de eixos local e sistema de eixos global
Cada perfil tem associado a si um sistema de eixos local, tendo a origem no bordo de ataque e o eixo das abcissas alinhado com a corda do perfil, tal como visível na Figura 21.
Figura 21 - Sistema de Eixos Global para Perfil Simples
No entanto, uma vez que o programa suporta cálculos com vários componentes, torna-se necessário definir um sistema de eixos global e independente do sistema de eixos de cada perfil. Assim, é necessário definir as coordenadas dos bordos de ataque e de fuga de cada perfil em relação a uma origem arbitrária. Como cada perfil continua individualmente a ser definido em relação ao seu
38
referencial local, a partir deste momento há que proceder a uma rotação de eixos e a uma translação consoante a respetiva posição de cada perfil no referencial global.
O procedimento da transformação de coordenadas é descrito de seguida para um determinado perfil, podendo este exercício ser aplicado ao número de perfis pretendido. Tenha-se por exemplo um perfil no sistema de eixos global onde se definiram as coordenadas do borde ataque e do bordo de fuga, tal como se pode ver na Figura 22.
Figura 22 - Sistema de Eixos Global e Local
Com base nas coordenadas do bordo de ataque (BA) e do bordo de fuga (BF), define-se o ângulo que a corda do perfil faz com o eixo .
( )
(3 - 11)
Com base no ângulo acima definido, pode-se agora fazer uma rotação de eixos, sendo as novas coordenadas dos pontos definidas por:
(3 - 12)
(3 - 13)
As coordenadas do perfil no referencial local estão definidas numa escala entre e , ao que lhe corresponde uma corda igual a . No entanto, no referencial global, tal pode não ser o caso. Como tal, é necessário calcular o valor da corda com base na expressão:
