o que há de comum entre... -a regra de Cramer para resolver equações lineares; -o algoritmo de Euclides para achar mdc;

Solu¸

c˜

oes de equa¸

c˜

oes polinomiais

o que h´a de comum entre. . .

-a regra de Cramer para resolver equa¸c˜oes lineares; -o algoritmo de Euclides para achar mdc;

-o c´alculo do n´umero m´ınimo de c´edulas ou moedas para perfazer uma dada quantia e ...

-a determina¸c˜ao dos pontos de interse¸c˜ao de curvas e superf´ıcies?

Tudo isso e muito mais se expressa no contexto de

manipula¸c˜oes com polinˆomios.

Ser´_{a ´algebra?}

Ser´_{a geometria?}

´

E MATEM ´

ATICA!

O roteiro apresentado abaixo segue os passos da aula magistral dada no MSRI por Bernd Sturmfels, Professor of

regra de Cramer, elimina¸

c˜

ao gaussiana

Aprendemos (e ensinamos) desde cedo a resolver quest˜oes que se reduzem a uma equa¸c˜ao linear.

“Uma m˜ae ´e 21 anos mais velha que seu filho. Daqui h´a seis anos ela ter´a uma idade

5 vezes maior que a do filho.

A m˜ae tem hoje Y anos; o menino, X anos. Ela ´e 21 anos mais velha: Y = X + 21;

Daqui a 6 anos : ( Y + 6 ) = 5( X + 6 ); simplificando:

Y + 6 = 5 X + 30, Y = 5X + 24.

Substituindo na primeira equa¸c˜ao Y = X + 21,

resulta 5X + 24 = X + 21.

Assim, 4X = –3; X = −3

O menino tem

hoje −

3

4

anos

(=−

3

4

de 12 meses),

ou seja, –9 meses

(

menos

nove meses !...

/ \

O problema anterior se equaciona pelo sistema linear



X − Y = −21 5X − Y = −24.

Um sistema desse tipo pode ser resolvido com a seq¨uˆencia de passos,

             (−1) · (X − Y ) = 21 5X − Y = −24. 4X = −3 X = −3/4 Y = 81/4.

Esse processo, chamado de elimina¸c˜ao gaussiana, consiste em fazer opera¸c˜oes elementares

visando a elimina¸c˜ao sucessiva de vari´aveis. No exemplo anterior, recebemos as equa¸c˜oes

{X − Y = −21, 5X − Y = −24} e a transformamos em outra, muuuuuuuuuito mais simples,

{X = −3/4, Y = 81/4}.

Generaliza-se para sistemas com um n´umero qualquer de inc´ognitas e de equa¸c˜oes

algoritmo de Euclides

O algoritmo determina o mdc de dois polinˆomios em uma vari´avel: p₁ = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2,

p₂ = x5 − 3x4 + 2x3 + 2x2 − 6x + 4 mdc(p₁, p₂) = x2 − 3x + 2.

O mdc pode ser obtido pelas divis˜oes sucessivas, x5 − 3x4 + 2x3 + 2x2 − 6x + 4 x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 −x3 + 5x2 − 8x + 4 x x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 −x3 + 5x2 − 8x + 4 5(x2 − 3x + 2) −x − 2 −x3 + 5x2 − 8x + 4 5(x2 − 3x + 2 | {z } mdc ) 0 −1₅x + 2₅

O mdc ´e o ´ultimo resto n˜ao nulo, a menos de fator constante.

programa¸

c˜

ao inteira

Suponha que a venda de ingressos para o

tenha que se sujeitar a propor¸c˜oes prefixadas de

torcidas, digamos um grupo de

25 brasileiros para cada grupo de

10 argentinos, de

5 colombianos e de

1 paraguaio. Cada bilhete ´e vendido por grupo ou setor. O bom senso recomenda que o total de

bilhetes (=total de grupos) seja o menor poss´ıvel,

Em s´ımbolos, queremos minimizar a fun¸c˜ao

A + B + C + P

exigindo A, B, C, P ≥ 0 e, digamos,

10A + 25B + 5C + P = 117, total.

Se a gente n˜ao insistir que A + B + C + P sejam

n´umeros inteiros, ´e claro que dever´ıamos fazer

B = 117₂₅ ∼ 4.68

programa¸

c˜

ao inteira × polinˆ

omios

A solu¸c˜ao “´otima” no contexto da programa¸c˜ao

inteira no caso presente tamb´em ´e ´unica:

(A, B, C, P ) = (1, 4, 1, 2) ; 10 + 100 + 5 + 2

A ponte para a ´_{algebra ´}e feita

representando cada candidato a solu¸c˜ao

(A, B, C, P ) = (a, b, c, p)

por um monˆomio

rela¸

c˜

oes melhores

Agora, a partir da tabela de rela¸c˜oes iniciais,

A = P 10, C = P 5, B = P 25

uma manipula¸c˜ao adequada leva a novas rela¸c˜oes

C2 = A, A2C = B, A3 = BC, P 5 = C.

Isto nos d´a uma receita para diminuir o n´umero a + b + c + p:

a caminho do ´

otimo

Concretamente, a partir de alguma dada solu¸c˜ao, n˜ao necessariamente ´otima, digamos

2 ×25+3×10+4×5+17=117,

a qual codificamos como o monˆomio

A3B2C4P 17,

vamos fazer substitui¸c˜oes sucessivas das nossas melhores rela¸c˜oes.

Recapitulando, a partir da solu¸c˜ao vi´avel

A3B2C4P 17;

vamso usar as regras de simplifica¸c˜ao

C2 = A, A2C = B, A3 = BC, P 5 = C, e assim percorrer o caminho

26 z }| { A3B2C4P 17 → 24 z }| { A3+2B2P 17 → 23 z }| { A2B2BCP 17 ↓ AB4CP 2 | {z } o ´otimo! ← B4C3P 2 | {z } 9 ← B2+1+1P 17 | {z } 21

outro passeio

daqui z }| { ABC7P 47 (P 5 =C) ; ABC7+9P 2; (C2=A) ; A9BP 2; (A3=BC) ; B4C3P 2 (C2−A) ; AB4CP 2 | {z } para o ´otimo .

Dobrando a capacidade, 234, A fica fora:

A2B2C14P 94 | {z } 112 ; A9B2P 94 | {z } 105 ; B5C3P 94 | {z } 102 ; B5C21P 4 | {z } 30 .

bases de Gr¨

obner

A tecnologia usada para simplificar rela¸c˜oes polinomiais atende pelo nome acima.

Wolfgang Gr¨obner (1899–1980) foi um matem´atico austr´ıaco. Estudou com Emmy Noether, que por

O principal respons´avel pela aplica¸c˜ao das id´eias de Gr¨obner foi seu aluno, Bruno Buchberger, Professor de Matem´atica Computacional, na Universidade

O algoritmo de Buchberger

– Generaliza o m´etodo de Gauss para solu¸c˜ao de sistemas lineares, aplicando-se a equa¸c˜oes de grau arbitr´ario

– No caso particular de polinˆomios de uma vari´avel, fornece o mdc.

– Na situa¸c˜ao da programa¸c˜ao inteira, permite passar de uma solu¸c˜ao vi´avel para uma solu¸c˜ao ´otima.

conceitos fundamentais

– ordem monomial.

– monˆomio inicial.

– divis˜ao em v´arias vari´aveis.

No caso de polinˆomios de uma s´o vari´avel, ordenamos pelo grau. Por exemplo, o

monˆomio inicial de p = 2x2 + x + 1 ´e declarado IN (p) = 2x2.

No caso de v´arias vari´aveis, ordenamos primeiramente pelo

grau total, fazendo desempate lexicogr´afico: IN (A + B + C + P ) = A;

IN (A + B + C + P 2) = P 2;

IN (AB + BC + C2 + P 2) = AB. .

Na divis˜ao de polinˆomios em v´arias vari´aveis, ´e dada uma lista F = [f₁, . . . , f_m].

Para cada polinˆomio p, podemos encontrar uma rela¸c˜ao p = q₁f₁ + · · · + q_mf_m + r.

O termo inicial do resto r n˜ao ´e divis´ıvel pelos IN (f_i).

Indicamos por R_F(p) o resto na divis˜ao de p por F . A filosofia ´e que o resto tem uma express˜ao menos

complicada do que o polinˆomio original p.

Em geral, o resto r depende da ordem na lista F . Veja o exemplo da divis˜ao de A2B + AB2 + B2,

primeiro por [AB − 1, B2 − 1]: A2B + AB2 + B2 =

(A + B) · (AB − 1) + (1) · (B2 − 1) + A + B + 1; depois por [B2 − 1, AB − 1]:

A2B + AB2 + B2 AB − 1 AB2 + B2 + A A B2 + A + B A + B B2 + A + B B2 − 1 A + B + 1 1 A2B + AB2 + B2 B2 − 1 A2B + A + 1 A + 1 A2B + A + 1 AB − 1 2A + 1 A

o algoritmo

entrada: lista finita F = [f1(x), . . . , fm(x)] de

polinˆomios a coeficientes n´umeros racionais, nas

vari´aveis x = x₁, . . . , x_n.

sa´ıda: uma lista finita G = [g1(x), . . . , gN(x)],

chamada base de Gr¨obner de F .

Esta ´e caracterizada pela propriedade seguinte

• para todo polinˆomio p, se o resto R_G(p) ´e nulo

ent˜ao p ´e combina¸c˜ao dos f_i, ou seja, p = PN_m h_if_i

e reciprocamente. O resto independe da ordem da

Opera¸

c˜

ao b´

asica

Para cada g, g0 _{∈ G, calcular o s-polinˆ}omio s(g, g0) = mg0 − m0g,

onde

(

m = IN (g_µ 0), m0 = IN (g)_µ , µ = mdc(IN (g), IN (g0)). Finalidade: cancelar termos iniciais.

Por exemplo,

s( 2x − 1, x − 1) = 2x_x (x − 1) − x_x(2x − 1) = −1. s( P 10 − A, P 5 − C) = P 5(P 5 − C) − (P 10 − A) =

Teste b´

asico

Dada uma lista finita F de polinˆomios e dado um polinˆomio p, verificar se o resto na divis˜ao de p por F ´e nulo.

Crit´erio de Buchberger: uma lista finita F de

polinˆomios ´e uma base de Gr¨obner se e s´o se para cada par p, q ∈ F valer

1 o passo: utilize o crit´erio de Buchberger para testar se F ´e uma base de Gr¨obner.

2 o passo: se sim, ent˜ao F ´e uma BG. V´a para o 4o passo.

3 o passo: se n˜ao, ´e porque achamos algum p = R_F(mg0 − m0g) n˜ao nulo. Fa¸ca F = F ∪ {p} e retorne ao 1o passo.

Vimos que F = [AB − 1, B2 − 1] n˜ao pode ser uma base de Gr¨obner pois falhava na m´a determina¸c˜ao

do resto. Aplicamos o algoritmo de Buchberger: s(AB − 1, B2 − 1) = −A + B.

Acrescentamos `a lista e repetimos o teste para F = [AB − 1, B2 − 1, A − B].

s(AB − 1, A − B) = −B2 + 1, resto zero;

s(B2 − 1, A − B) = −B3 + A = −B(B2 − 1) − B + A; idem.

interse¸

c˜

oes de curvas planas

         y = x2 16y2 − 4x − 24y + 5 = 0 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... `

As vezes ´e poss´ıvel resolver explicitamente.

Mas em geral, o melhor poss´ıvel ´e determinar o n´umero de solu¸c˜oes.

Teorema. O n´umero de solu¸c˜oes ´e igual ao n´umero de monˆomios n˜ao divis´ıveis pelos monˆomios iniciais de G.

Exemplo:  y3 _{− y}2 _{+ x}2 _{+ xy + x,} y3 − xy2 + x − 1. Uma BG ´e [y3 + x2 + xy − y2 + x, xy2 + x2 + xy − y2 + 1, x3 + 2x2 + xy − y2 − x − y + 2] . Monˆomios n˜ao divis´ıveis:

1, y, y2, x, x2, xy, x2y ⇒

N´umero de solu¸c˜oes, contadas com multiplicidades = 7.

bibliografia

–S. C. Coutinho Polinˆomios e Computa¸c˜ao Alg´ebrica, Universidade Federal do Rio de Janeiro,

http://www.dcc.ufrj.br/~collier/cursospre/ algcomp/algcomp.pdf

–D. Cox, J. Little, e D. O’Shea, Ideals, varieties and

algorithms, Springer, New York (1992). – B. Sturmfels, Gr¨obner Bases,Lecture 1,