Identidades de Grupo, Identidades Polinomiais e a Conjectura de Hartley

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Identidades de Grupo, Identidades Polinomiais e a

Conjectura de Hartley

Lucinea do Amaral

Departamento de Matem´

atica - ICEx - UFMG

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(3)

Sum´

ario

Abstract v

Resumo vii

Agradecimentos ix

Introdu¸c˜ao 1

1 Grupos, ´Algebras de Grupos e Identidades 3

1.1 Grupos e An´eis de Grupos . . . 3

1.2 Identidades Polinomiais e Identidades de Grupo . . . 7

1.3 Identidade Padr˜ao e o Processo de Lineariza¸c˜ao . . . 9

1.4 Identidade Polinomial Generalizada . . . 13

1.5 Conjectura de Hartley . . . 15

1.6 O Radical Nilpotente . . . 17

2 Resultados Cl´assicos sobre An´eis 19 2.1 Anel Artiniano e Localmente Artiniano . . . 19

2.2 Radical de Jacobson . . . 20

2.3 An´eis Semisimples e a Decomposi¸c˜ao de Wedderburn . . . 21

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3 Algebras de Grupo Satisfazendo uma GPI´ 23 3.1 Identidades de Grupos de Formas Especiais . . . 23 3.2 Unidades em uma ´Algebra . . . 25 3.3 GPI e PI-´algebras . . . 31

4 Demonstra¸c˜ao da Conjectura de Hartley 35 4.1 Algebra de Grupo Semiprima . . . 35´ 4.2 Caso Geral . . . 39

(5)

Abstract

Let KG be the group algebra of a group G over a field K, and let U (KG) be its group of units. A conjecture by Brian Hartley asserts that if G is a torsion group and U (KG) satisfies a group identity, then KG satisfies a polynomial identity.

This result was verified by A. Giambruno, S. Sehgal and A. Valenti in case K is an infinite field. In 1999, Chia-Hsin Liu proved the conjecture whether K is infinite or finite.

In this work, based on the article entitled Group Algebras with Units Satisfying a Group Identity, we introduce the proof of the conjecture in the general case.

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Resumo

Seja KG uma álgebra de grupo de um grupo G sobre um corpo K e U (KG) o grupo das unidades de KG. Uma conjectura de Brian Hartley afirma que se G é um grupo de tor¸cão e U (KG) satisfaz uma identidade de grupo então KG satisfaz uma identidade de polinomial.

Este resultado foi verificado em 1997 por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti no caso quando o corpo K ´e infinito. Em 1999, Chia-Hsin Liu demonstrou tal conjectura sem fazer restri¸c˜oes sobre o tamanho do corpo.

Neste trabalho, baseado no artigo de Liu, intitulado Group Algebras with Units Satisfying a Group Identity apresentaremos a demonstra¸c˜ao de tal conjectura no caso geral.

(8)

(9)

Agradecimentos

A Deus, por me dar for¸ca e coragem para vencer mais esta grande etapa da minha vida.

Aos meus pais e irm˜aos que me apoiaram e incentivaram durante todo esse tempo.

Agrade¸co de forma especial, à minha orientadora, Ana Cristina Vieira, que durante todo este trabalho, não mediu esfor¸cos para me auxiliar, contribuindo assim, com ensinamentos valios´ıssimos, que permitiram tanto o meu crescimento quanto a concretiza¸cão deste trabalho.

Aos professores Antônio Giambruno e Carmen Rosa Giraldo Vergara, pelas sugestões e considera¸cões feitas ao trabalho.

Aos colegas do Mestrado e Doutorado pelo conv´ıvio, alegria compartilhada du-rante todo o curso e pelas discuss˜oes que muito contribu´ıram para enriquecer meu conhecimento.

Aos professores e funcion´arios do Departamento de Metem´atica.

A Fapemig, pelo apoio financeiro.

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(11)

Introdu¸

c˜

ao

Na Teoria de An´eis de Grupo ´e interessante relacionar a estrutura multiplicativa com a estrutura aditiva do anel, ou seja, dado um anel de grupo KG tal que o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo, podemos nos perguntar se o anel de grupo KG satisfaz uma identidade polinomial.

Nesta dire¸c˜ao, nos anos 70, Brian Hartley propˆos a seguinte conjectura:

Seja G grupo de tor¸c˜ao e K um corpo. Se U (KG) satisfaz uma identidade de grupo ent˜ao KG satisfaz uma identidade polinomial.

Em 1997, A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti [3] demonstraram tal conjectura assumindo que a cardinalidade do corpo ´e infinita.

Logo depois, em 1999, Chia Hsin Liu estendeu os resultados de Giambruno, Sehgal e Valenti e confirmou que tal conjectura vale sem fazer restri¸c˜oes sobre a cardinalidade do corpo.

Neste trabalho, centraremos nossos estudos para compreendermos a demonstra¸c˜ao feita por Liu, onde nos basearemos principalmente no artigo [6], inti-tulado “Group Algebras with units satisfying a group identity”, entre outros artigos citados.

Inicialmente vamos enunciar alguns resultados conhecidos e definiremos alguns conceitos básicos que nos serão úteis na compreensão desta disserta¸cão. Veremos porque é necessária a hipótese de G ser de tor¸cão e mostraremos que a rec´ıproca da conjectura de Hartley é falsa.

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No Cap´ıtulo 2, veremos alguns resultados clássicos sobre anéis que serão muito utilizados no decorrer de nosso estudo. Apresentaremos demonstra¸cões de alguns deles e para outros, indicaremos as referências.

No Cap´ıtulo 3, centraremos nossas aten¸c˜oes em formas poss´ıveis para identidades de grupo e identidades polinomiais. Veremos como Liu estendeu os resultados de Giambruno, Sehgal e Valenti para garantir a conjectura de Hartley na situa¸c˜ao mais geral.

No Cap´ıtulo 4, já com a teoria necessária constru´ıda, apresentaremos a demon-stra¸cão da conjectura de Hartley. Tal prova se encontra dividida em dois casos:

´

Algebra de Grupo Semiprima e caso geral, onde foi explorado o conceito de Radical Nilpotente de uma álgebra. Tudo estará bem detalhado para entendermos como Liu conseguiu demonstrar a conjectura de Hartley sem colocar hipóteses sobre a cardinalidade do corpo.

Por fim, conclu´ıremos nosso trabalho com algumas observa¸cões sobre a classi-fica¸cão de álgebras de grupo cujas unidades satisfazem uma identidade de grupo.

(13)

Cap´ıtulo 1

Grupos, ´

Algebras de Grupos e

Identidades

1.1 Grupos e An´

eis de Grupos

Nesta se¸cão enunciaremos alguns resultados sobre teoria de grupos, muitos dos quais consagrados pelo constante uso. Omitiremos tais demonstra¸cões que poderão ser encontrados em [10]. Depois disto, introduziremos a no¸cão de Anéis de Grupos e algumas de suas propriedades.

Defini¸cão 1.1 Um grupo não comutativo tal que todos os seus subgrupos são nor-mais é chamado de grupo hamiltoniano.

Os grupos hamiltonianos serão parte constante do nosso trabalho, por isso é importante saber um pouco mais sobre sua estrutura, o que pode ser visto com os próximos resultados.

Teorema 1.2 Um grupo G ´e hamiltoniano se, e somente se, ele ´e da forma

G = Q8× E × A,

onde Q8 é o grupo dos quatérnios, E é um 2-grupo abeliano elementar e A é um

grupo abeliano de tor¸c˜ao, no qual todo elemento tem ordem ´ımpar.

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Teorema 1.3 (Dedekind-Baer) Seja G um grupo. S˜ao equivalentes:

1. Todo subgrupo de G ´e normal em G;

2. Todo subgrupo c´ıclico de G ´e normal em G; 3. G ´e ou abeliano ou hamiltoniano.

Defini¸cão 1.4 Um grupo G é chamado de FC-grupo se qualquer elemento g ∈ G possui um número finito de conjugados em G.

Mais geralmente, um elemento g em um grupo G ´e chamado um FC-elemento se g possui um n´umero finito de conjugados em G.

Lema 1.5 Seja G um grupo. Ent˜ao o conjunto

∆(G) := {g ∈ G / g ´e FC-elemento }

´

e um subgrupo caracter´ıstico de G, denominado FC-subgrupo de G.

Defini¸cão 1.6 Dizemos que um grupo G é localmente finito se todo subgrupo finitamente gerado de G é finito.

Teorema 1.7 Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. Se H e G H são localmente finitos, então G é localmente finito.

Denotaremos por G0 o subgrupo comutador (ou derivado) de G, isto ´e, G0 :=[g, h] / g, h ∈ G, onde [g, h] = g−1h−1gh.

Nem sempre ´e verdade que um subgrupo H de um grupo finitamente gerado G ´

e finitamente gerado. Por exemplo, se tomarmos G o grupo livre de posto 2 e H o seu comutador, teremos que G é finitamente gerado mas H não. Porém em casos particulares podemos concluir que H é finitamente gerado.

Proposi¸cão 1.8 Seja G um grupo finitamente gerado e H um subgrupo de ´ındice finito. Então H é finitamente gerado.

(15)

1.1. GRUPOS E AN ´EIS DE GRUPOS 5

Particularmente, para grupos nilpotentes temos:

Proposi¸cão 1.9 Seja G um grupo nilpotente finitamente gerado e H um subgrupo de G. Então H é finitamente gerado.

Além disso, é bastante simples verificar que se G é um grupo abeliano finitamente gerado e de tor¸cão então G é finito. Uma generaliza¸cão desse fato é o seguinte:

Proposi¸cão 1.10 Se G é um grupo nilpotente de tor¸cão finitamente gerado então G é finito.

Defini¸cão 1.11 Um grupo G é dito p−abeliano se seu subgrupo derivado G0 é um p−grupo finito.

Observa¸c˜ao: Na defini¸c˜ao acima, temos p primo ou p = 0.

Se p = 0 ent˜ao temos G0 = 1, ou seja, um grupo 0-abeliano ´e um grupo abeliano.

A seguir, consideramos R um anel com unidade e G um grupo qualquer.

Defini¸c˜ao 1.12 Seja RG o conjunto de todas somas formais finitas X

g∈G

αgg, com

αg ∈ R e g ∈ G, ou seja, somas com apenas um n´umero finito de αg 6= 0. Definimos:

1. X g∈G αgg + X g∈G βgg = X g∈G (αg+ βg)g; 2. X g∈G αgg. X h∈G βhh = X g,h∈G (αg.βh)(gh); 3. λX g∈G αgg = X g∈G (λαg)g, λ ∈ R.

Com as opera¸cões 1 e 2 acima, RG é um anel, denominado anel de grupo sobre R. A opera¸cão 3 torna RG um R−módulo.

Dado um elemento α =X

g∈G

αgg ∈ RG, chama-se suporte de α o conjunto de

ele-mentos de G que aparecem efetivamente na express˜ao de α, ou seja, supp(α) = {g ∈ G / αg 6= 0}.

(16)

Observemos que, se identificamos g ∈ G com 1.g ∈ RG, podemos considerar G contido em RG, e assim os elementos de G formam uma base de RG sobre R. Com esta identifica¸c˜ao, 1 ∈ G ´e a unidade de RG.

Facilmente se comprova que quando R é comutativo e G é abeliano então RG é comutativo.

Neste trabalho centraremos nossas aten¸cões para o caso espec´ıfico em que o anel R é um corpo. Usaremos a letra K para denotar tal corpo. Na verdade estaremos trabalhando com álgebras de grupo.

Uma álgebra sobre um anel comutativo R é um anel A que também é um módulo sobre R (ou R−módulo), onde a multiplica¸cão do anel e a do módulo estão relacionados da seguinte maneira:

x(ab) = (xa)b = a(xb),

para todo x ∈ R, a, b ∈ A. Assim dizemos que A ´e uma R−´algebra.

Quando R é um corpo, dizemos que uma base para A como espa¸co vetorial é uma base para A como uma R−álgebra. Além disso, dizemos que A é de dimensão finita se A tem dimensão finita como espa¸co vetorial sobre R (isto é, se A tem uma base finita sobre R). Notemos que a dimensão da álgebra RG é |G|.

Dado um anel A, denotamos por U (A) o grupo multiplicativo das unidades de A. Isto ´e,

U (A) := {x ∈ A / (∃ y ∈ A) xy = yx = 1}.

Em particular, dado um grupo G e um anel R, U (RG) denota o grupo das unidades do anel de grupo RG.

Um elemento da forma rg, onde r ∈ U (R) e g ∈ G, possui um inverso r−1g−1. Os elementos desta forma s˜ao chamados unidades triviais de RG. Se K ´

e um corpo, ent˜ao as unidades triviais de KG s˜ao elementos da forma kg, onde k ∈ K, k 6= 0, g ∈ G.

(17)

1.2. IDENTIDADES POLINOMIAIS E IDENTIDADES DE GRUPO 7

O grupo das unidades de um anel de grupo tem sido objeto de aten¸cão de diversos pesquisadores na área de Teoria de Anéis. Muitos são os resultados que determinam, em casos particulares, a estrutura deste grupo.

Em 1940, G. Higman mostrou que se G é um grupo abeliano finito então, o grupo das unidades de tor¸c˜_{ao de ZG é ±G.}

Outros resultados nesta dire¸cão já foram provados como o seguinte, que será útil em uma das próximas se¸cões.

Proposi¸cão 1.13 Sejam G grupo nilpotente livre de tor¸cão e K um corpo. Então as unidades de KG são as triviais.

1.2 Identidades Polinomiais e Identidades de Grupo

Nesta se¸c˜ao veremos quando uma ´algebra satisfaz uma identidade polinomial e quando um grupo satisfaz uma identidade de grupo e assim poderemos compreender como Hartley tentou relacionar a estrutura multiplicativa e a estrutura aditiva em ´

algebras de grupo.

Seja K um corpo e X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto de vari´aveis n˜ao

comu-tativas. Então, K[X] é o K-espa¸co vetorial com uma base formada pelo conjunto de monômios {xi0xi1· · · xir; r = 0, 1, 2, . . .}. Os elementos de K[X] são chamados

polinˆomios.

Defini¸cão 1.14 Uma álgebra A sobre K satisfaz uma identidade polinomial, ou é uma P I álgebra, se existe um polinômio não nulo f (x1, . . . , xn) ∈ K[X] tal que

f (a1, . . . , an) = 0 para todo a1, . . . , an ∈ A. Este polinˆomio f (x1, . . . , xn) que satisfaz

esta propriedade ´e dito uma identidade polinomial em A. Escrevemos A ∈ PI.

• Grau de um polinˆomio

O grau de um polinômio não nulo f (x1, · · · , xn) ∈ K[X] é o maior grau dentre os

(18)

• P I ´algebra de grau n

Dizemos que uma álgebra A é uma P I álgebra de grau n quando satisfaz um polinômio de grau n, ou seja, quando A satisfaz uma identidade polinomial de grau n.

EXEMPLOS:

i) Uma ´algebra comutativa satisfaz f (x1, x2) = x1x2− x2x1.

ii) Uma ´algebra nilpotente de grau m satisfaz f (x1, . . . , xm) = x1· · · xm.

• Monˆomio multilinear

Um monômio é dito multilinear se cada uma de suas variáveis ocorre uma única vez.

EXEMPLOS:

i) x1x3x4x2 ´e multilinear.

ii) x1x3x22 n˜ao ´e multilinear.

• Polinˆomio multilinear

Um polinômio é multilinear se suas parcelas são monômios multilineares que en-volvem as mesmas variáveis.

EXEMPLOS:

i) f (x1, x2, x3) = x1x2x3+ 4x3x2x1− 2x2x1x3 ´e um polinˆomio multilinear.

ii) f (x1, x2, x3) = x3x2+ 5x2x1x3 não é um polinômio multilinear.

iii) f (x1, x2) = x1x23 − 3x1x22 não é um polinômio multilinear.

O próximo resultado nos garante que uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo sempre satisfaz uma identidade polinomial.

Proposi¸cão 1.15 Se A é uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo K, então A ∈ P I.

(19)

1.3. IDENTIDADE PADR ÃO E O PROCESSO DE LINEARIZAÇ ÃO 9

A partir desta proposi¸cão podemos observar que se G é um grupo finito então a ´

algebra de grupo KG satisfaz uma identidade polinomial, j´a que dimKKG = |G|.

Proposi¸c˜ao 1.16 Seja E = Mm(A) o anel das matrizes m × m sobre uma

K− álgebra comutativa A. Então E não satisfaz uma identidade polinomial de grau menor que 2m.

Demonstra¸c˜ao: Veja lema 1.4, p´ag. 171 em [9].

Defini¸c˜ao 1.17 Dizemos que um grupo G satisfaz uma identidade de grupo se existe uma palavra n˜ao trivial ω(x1, . . . , xm) no grupo livre gerado por x1, · · · , xm

tal que ω(g1, . . . , gm) = 1 para qualquer gi ∈ G. Escrevemos G ∈ GI.

EXEMPLOS:

i) Se G ´e abeliano, ent˜ao G satisfaz a identidade ω(x1, x2) = x1−1x2−1x1x2.

ii) Se G ´e um grupo nilpotente, ent˜ao G satisfaz a identidade ω(x1, . . . , xl) = [x1, . . . , xl] para algum l ≥ 2, onde [x1, . . . , xl] denota o

co-mutador de peso l no grupo G.

1.3 Identidade Padr˜

ao e o Processo de Lineariza¸

c˜

ao

Um tipo especial de identidade polinomial é conhecida como identidade padrão, a seguir falaremos desta identidade e do fato de sempre poder linearizar identidades polinomiais através do processo de lineariza¸cão.

Em K[X], a identidade padr˜ao de grau n ´e:

sn(x1, · · · , xn) =

X

σ∈Sn

(−1)σxσ(1). . . xσ(n)

σ varia em Sn (grupo das permuta¸c˜oes de n elementos) e (−1)σ = ±1 dependendo

(20)

EXEMPLOS:

i) s2(x1, x2) = x1x2− x2x1 ´e a identidade padr˜ao de grau dois.

ii) s3(x1, x2, x3) = x1x2x3+x2x3x1−x3x2x1+x3x1x2−x1x3x2−x2x1x3´e a identidade

padr˜ao de grau trˆes.

Proposi¸c˜ao 1.18 A identidade padr˜ao sn possui as seguintes propriedades:

i sn ´e linear em cada vari´avel;

ii sn(. . . , xi, . . . , xj, . . .) = −sn(. . . , xj, . . . , xi, . . .);

iii sn(. . . , xi, . . . , xi, . . .) = 0;

iv sn+1(x1, x2, . . . , xn+1) =P ±xisn(x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1). Desta forma se uma ´algebra satisfaz sn ent˜ao esta satisfaz sn+1, onde xbi significa que xi foi deletada.

Demonstra¸c˜ao: Veja lema 1.5, p´ag. 172 em [9].

A proposi¸cão 1.16 afirma que o anel das matrizes m × m sobre uma K− álgebra comutativa A não satisfaz uma identidade polinomial de grau menor que 2m, mas o próximo resultado nos garante que o anel das matrizes m × m so-bre um corpo satisfaz a identidade polinomial padrão s2m, ou seja, uma identidade

polinomial padr˜ao de grau 2m.

Teorema 1.19 (Amitsur-Levitzki) Se K ´e um corpo ent˜ao Mm(K) satisfaz a

identidade polinomial padr˜ao s2m.

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 1.9, p´ag. 175 em [9].

O próximo resultado é conhecido como processo de lineariza¸cão sobre identidades polinomiais, ou seja, se uma álgebra satisfaz uma identidade polinomial de grau n, então esta satisfaz um identidade polinomial multilinear de grau n. Através deste processo conseguimos obter, a partir do polinômio satisfeito pela álgebra, um polinômio multilinear de mesmo grau também satisfeito pela álgebra.

(21)

1.3. IDENTIDADE PADR ÃO E O PROCESSO DE LINEARIZAÇ ÃO 11

Proposi¸cão 1.20 Seja A uma álgebra sobre um corpo K. Se A satisfaz uma iden-tidade polinomial de grau n, então A satisfaz uma identidade polinomial

f = X

σ∈Sn

aσxσ1xσ2. . . xσn

onde aσ ∈ K, e estes coeficientes n˜ao s˜ao todos nulos.

Demonstra¸c˜ao: Seja g(x1, x2, . . .) a identidade polinomial de grau n satisfeita por A.

Em primeiro lugar, suponhamos que alguma vari´avel xiocorra em algum dos monˆomios

de g mas n˜ao em todos. Assim podemos escrever: g = g0+ g00 onde xi ocorre em todos os monˆomios de g

0

e n˜ao ocorre nos monˆomios de g00. Logo g00 6= 0, grau g00 ≤ n e

g00(x1, x2, . . . , xi, . . .) = g(x1, x2, . . . , 0, . . .)

Claramente A também satisfaz g00. Desta maneira substituindo g por g00, temos uma identidade polinomial para A de grau menor ou igual a n, com menos variáveis. Repetimos esta processo até obtermos uma identidade h de grau menor ou igual a n satisfeita por A, onde cada xi aparece pelo menos uma vez em cada monômio.

Como grau h ≤ n, vemos que h é uma fun¸cão com no máximo n variáveis. Reescrevendo, se necessário, podemos supor h ∈ K[x1, x2, . . . , xn].

Seja H o conjunto de todos h ∈ K[x1, x2, . . . , xn], h 6= 0 os quais s˜ao identidades

polinomiais para A de grau menor ou igual a n e que todas as vari´aveis envolvidas em h apare¸ca em cada monˆomio de h.

Por constru¸cão H é não vazio.

Tomemos f ∈ H como sendo a fun¸cão que possui um número máximo de variáveis, digamos t.

Agora, mostraremos que realmente f ´e a identidade polinomial procurada.

Sem perda de generalidade, suponhamos que algum monômio de h não é linear em x1. Como grau f ≤ n e f ∈ H, logo f não pode conter todos xi, 1 ≤ i ≤ n,

portanto algum xi não aparece em f. Suponhamos então que xn não apare¸ca em f.

Seja

f0 = f (x1+ xn, x2, . . .) − f (x1, x2, . . .) − f (xn, x2, . . .).

Considerando os monômios envolvidos que não são lineares em x1, segue facilmente

que f0 6= 0 e f0 ∈ H. Porém, f0 é uma fun¸cão de t + 1 variáveis, uma contradi¸cão. Consequentemente todos os monômios em f são lineares em cada variável xi e desta

forma todos possuem o mesmo grau t ≤ n.

Suponhamos t < n e digamos, xn n˜ao aparece em f . Fazendo f

00

= xnf obtemos

uma contradi¸c˜ao.

(22)

O próximo resultado é uma caracteriza¸cão muito importante, pois este nos dá condi¸cões necessárias e suficientes para uma álgebra de grupo satisfazer uma iden-tidade polinomial.

Teorema 1.21 (Isaacs/Passman, 1997) Se carK = p ≥ 0, ent˜ao KG ∈ P I se, e somente se, G cont´em um subgrupo p-abeliano de ´ındice finito.

(23)

1.4. IDENTIDADE POLINOMIAL GENERALIZADA 13

1.4 Identidade Polinomial Generalizada

Seja A uma álgebra sobre K. Um polinômio generalizado sobre A, é grosseira-mente falando, um polinômio em indeterminadas não comutativas x1, x2, . . . , xn no

qual os elementos de A s˜ao permitidos aparecer tanto como coeficientes como en-tradas entre as indeterminadas.

Dizemos que A satisfaz uma identidade polinomial generalizada se existe um polinˆomio generalizado n˜ao nulo f (x1, . . . , xn) tal que f (a1, . . . , an) = 0 ∀ ai ∈ A.

O problema aqui é como garantir um polinômio desta maneira que não seja nulo. Por exemplo, considerando a ∈ A elemento central tal que a /∈ K, então A satisfaz a identidade f (x1) = ax1− x1a, mas certamente esta deve ser considerada trivial.

Um outro exemplo ocorre quando A ´e anel n˜ao primo, pois podemos escolher a, b ∈ A tal que A satisfaz a identidade f (x1) = ax1b, mas esta novamente deve ser

considerada trivial.

Por causa destas dificuldades, vamos nos restringir a uma forma permitida para os polinˆomios.

Defini¸cão 1.22 Dizemos que g é um polinômio multilinear generalizado de grau n se tem a forma: g(x1, x2, . . . , xn) = X σ∈Sn gσ(x1, x2, . . . , xn) e gσ(x1, x2, . . . , xn) = aσ X j=1 α0,σ,jxσ(1)α1,σ,jxσ(2). . . αn−1,σ,jxσ(n)αn,σ,j

onde αi,σ,j ∈ A e aσ ´e algum n´umero positivo.

Defini¸cão 1.23 Dizemos que g é não degenerado se para algum σ ∈ Sn, gσ não é

(24)

Desta forma, dizemos que A satisfaz uma GPI se A satisfaz uma identidade polinomial multilinear generalizada n˜ao degenerada.

Lema 1.24 Seja A uma ´algebra sobre K e seja I um ideal `a direita de A. Se I satisfaz uma identidade polinomial de grau n e In_{6= 0, ent˜}_{ao A satisfaz uma GP I.}

Demonstra¸c˜ao: Pelo processo de lineariza¸c˜ao, I satisfaz uma identidade polinomial multilinear de grau n

g(x1, x2, . . . , xn) =

X

σ∈Sn

ασxσ1xσ2. . . xσn

onde ασ ∈ K, e podemos supor α1 6= 0.

Por hip´otese In 6= 0, logo podemos escolher a1, a2, · · · , an ∈ I, tais que

a1a2· · · an6= 0. Portanto α1a1a2· · · an6= 0, consequentemente

f = X

σ∈Sn

ασaσ1xσ1aσ2xσ2. . . aσnxσn

´

e uma identidade polinomial multilinear generalizada n˜ao degenerada para A, pois quando σ = 1

gσ(x1, x2, . . . , xn) = g1(x1, x2, . . . , xn) = α1a1x1a2x2. . . anxn

e claramente g1(x1, x2, . . . , xn) não é identidade polinomial generalizada, já que

g1(1, 1, . . . , 1) = α1a1a2. . . an6= 0.

No próximo teorema, (a demonstra¸cão pode ser encontrada em [9] pág. 202) obtemos uma caracteriza¸cão para uma álgebra de grupo KG que satisfaz uma GP I através seu F C−subgrupo.

Teorema 1.25 KG satisfaz uma GP I se, e somente se, [G : ∆(G)] < ∞ e |∆(G)0| < ∞.

Agora enunciaremos um teorema muito importante e que será bastante utilizado em nosso trabalho. Este resultado relaciona a presen¸ca de identidades de grupo no grupo das unidades de KG com as identidades polinomiais de KG. Neste momento, veremos apenas o enunciado. A demonstra¸cão de tal teorema será objeto de nosso estudo no cap´ıtulo 3.

Teorema 1.26 Seja G um grupo de tor¸c˜ao. Se U (KG) ∈ GI e KG satisfaz uma GP I, ent˜ao KG ∈ P I.

(25)

1.5. CONJECTURA DE HARTLEY 15

Neste trabalho estaremos interessados em obter resultados suficientes para a compreensão da demonstra¸cão da Conjectura de Hartley. Dedicaremos a próxima se¸cão a tal conjectura para podermos compreendê-la de uma maneira mais geral.

1.5 Conjectura de Hartley

Nos anos 70, na inten¸c˜ao de relacionar a estrutura multiplicativa e a estrutura aditiva em ´algebras de grupo KG, B. Hartley fez a seguinte conjectura:

Teorema 1.27 (Conjectura de Hartley) Sejam G um grupo de tor¸c˜ao e K um corpo. Ent˜ao,

U (KG) ∈ GI ⇒ KG ∈ PI.

O primeiro fato que podemos questionar ao ver o enunciado da Conjectura de Hartley é o seguinte: A conjectura é verdadeira se G for livre de tor¸cão?

Para responder essa pergunta, consideremos K um corpo tal que car K = p > 0 e G grupo nilpotente livre de tor¸c˜ao.

Através da proposi¸cão 1.13 conclu´ımos que as unidades de KG são as triviais. Segue claramente que U (KG) ∈ GI, já que G é nilpotente.

Pergunta: KG satisfaz uma identidade polinomial?

Se KG ∈ PI de acordo com o teorema 1.25 G teria um subgrupo H p−abeliano de ´ındice finito, ou seja, H0 seria um p−grupo finito tal que [G : H] < ∞, mas isto n˜ao ´e necessariamente verdadeiro para todo grupo nilpotente G.

Podemos tamb´em levantar a seguinte pergunta.

Se G é de tor¸cão, KG ∈ PI ⇒ U (KG) ∈ GI? (ou seja, queremos saber se a rec´ıproca da conjectura é verdadeira.)

Para responder a essa pergunta, vamos usar o seguinte resultado:

Teorema 1.28 (Jairo Gon¸calves,[4]) Seja G grupo finito e K corpo tal que carK = 0. Então U (KG) não contém subgrupo livre de posto 2 se, e somente se, G é abeliano.

(26)

Considerando G não abeliano finito temos que KG é uma álgebra de dimensão finita sobre K (dimKKG = |G|), consequentemente pela proposi¸cão 1.15 KG ∈ PI.

Agora usando o fato de que G é não abeliano e considerando carK = 0, conclu´ımos pelo Teorema 1.28 que U (KG) contém um subgrupo livre de posto 2 e portanto U (KG) /∈ GI.

Desta forma vemos que a rec´ıproca da Conjectura de Hartley é falsa e que a hipótese de G ser de tor¸cão é necessária para formulá-la.

Em 1997, A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti demonstraram tal conjectura no caso em que K ´e um corpo infinito, ou seja, eles demonstraram o seguinte teorema:

Teorema 1.29 Suponha que K é um corpo infinito e G é um grupo de tor¸cão. Se U (KG) ∈ GI então KG ∈ P I.

A demonstra¸cão do teorema acima pode ser encontrado em [3]. Eles usaram forte-mente o “Argumento do determinante de Vandermonde”e tal argumento é válido somente quando K é infinito ou suficientemente grande.

Um exemplo é a Proposi¸cão 1 de [1] que basicamente diz que se a, b são elementos de uma álgebra sobre um corpo infinito cujas unidades satisfazem uma identidade de grupo e a2 = b2 = 0 então (ab)m = 0, para algum inteiro m determinado pela iden-tidade. Um resultado análogo para álgebras sobre corpos finitos se torna necessário, mas tal resultado é certamente falso neste caso. De fato:

Considere M2(K), K corpo finito.

Sejam a = e12 = 0 1 0 0 , b = e21= 0 0 1 0 .

Ent˜ao U (M2(K)) ∈ GI desde que ´e um grupo finito e a2 = b2 = 0, mas

ab = e11 =

1 0 0 0

n˜ao ´e nilpotente.

No cap´ıtulo 2, veremos um resultado análogo a Proposi¸cão 1 de [1] que independe do fato de K ser infinito e no cap´ıtulo 4, veremos a demonstra¸cão da Conjectura de Hartley na sua formula¸cão mais geral.

(27)

1.6. O RADICAL NILPOTENTE 17

1.6 O Radical Nilpotente

Nesta se¸cão veremos alguns resultados clássicos, que serão bastante utilizados no decorrer de nossos estudos. Não apresentaremos demonstra¸cões, pois caso contrário estenderemos demais nosso estudo (tais demonstra¸cões envolvem muita teoria que não será detalhada neste trabalho, mas podem ser encontradas em [9]). Estare-mos interessados em obter apenas resultados que darão base para demonstrarmos a Conjectura de Hartley.

Denotaremos a caracter´ıstica do corpo K por p, ou seja, carK = p (onde p ≥ 0). Lembremos que um grupo é p0−grupo se não possui elemento de ordem p. Quando p = 0, convecionamos que qualquer grupo é um 00−grupo e o único 0−grupo é {1}.

Notaremos por ∆p_{(G), o subgrupo de G, gerado pela interse¸c˜}_{ao dos conjuntos}

∆(G) e P := {g ∈ G / o(g) = pk _{para algum k ∈ N}, isto ´e,}

∆p(G) =P ∩ ∆(G)

Seja N = N (KG) o radical nilpotente de KG, ou seja, a soma de todos os ideais nilpotentes de KG.

Se KG n˜ao tem ideais nilpotentes ent˜ao N (KG) = 0.

Lembremos que um anel R é semiprimo se R não tem ideais nilpotentes não triviais.

Proposi¸cão 1.30 Se carK = 0 então KG é semiprimo.

Proposi¸cão 1.31 Suponha carK = p > 0. Então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

1. KG ´e semiprimo;

2. G n˜ao tem subgrupo normal finito com ordem divis´ıvel por p; 3. ∆(G) n˜ao tem elemento de ordem p;

(28)

4. N (KG) = 0.

Lema 1.32 Suponha carK = p > 0. Então N (KG) é nilpotente se, e somente se, ∆p(G) é finito.

Lema 1.33 Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja G um grupo. Se N (KG) ´

e nilpotente, ent˜ao G possui subgrupos P e H tais que P ´e um p−grupo, [G : H] < ∞, e P = ∆p_(H).

(29)

Cap´ıtulo 2

Resultados Cl´

assicos sobre An´

eis

Neste cap´ıtulo recordaremos alguns fatos b´asicos da teoria de an´eis.

2.1 Anel Artiniano e Localmente Artiniano

Defini¸cão 2.1 Seja R um anel. Dizemos que R é artiniano à esquerda se toda cadeia descendente de ideais à esquerda de R é estacionária. Ou seja, se I1, I2, I3, · · · , são ideais de R, com

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ii ⊃ · · ·

ent˜_{ao existe um k ∈ N tal que ∀ i ∈ N}

Ik = Ik+i.

Proposi¸cão 2.2 Seja I é um ideal de R. Então R é artiniano se, e somente se, I e R

I s˜ao artiniano.

Demonstra¸c˜ao: Veja lema 2.4.9, p´ag. 87 em [10].

Proposi¸cão 2.3 O anel de KG é artiniano se, e somente se, G é finito.

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 6.6.1, p´ag. 214 em [10].

(30)

Consideremos R anel com identidade. Dizemos que R ´e um anel localmente ar-tiniano se qualquer subconjunto finito X de R est´a contido em um subanel artiniano de R.

Proposi¸cão 2.4 Se G é um grupo localmente finito então KG é um anel localmente artiniano.

Demonstra¸cão: Se G é localmente finito então todo subconjunto finito de G gera um subgrupo finito. Seja X ⊂ KG, X finito.

Considere S = [

xi∈X

supp(xi).

Temos S finito e S ⊂ G, então H =< S > é finito. Consequentemente, pela proposi¸cão 2.3 KH é anel artiniano. E assim X ⊂ KH, ou seja, KG é localmente artiniano.

2.2 Radical de Jacobson

Sabe-se que a interseçcão dos ideais maximais à esquerda de um anel R coincide com a interseçcão dos ideias maximais à direita. Usando tal fato definimos:

Defini¸cão 2.5 Seja R um anel com unidade. O radical de Jacobson de R, denotado por J (R) é a interseçcão de todos ideais maximais à esquerda de R.

O seguinte lema foi demonstrado por Karpilovsky em [5].

Lema 2.6 Seja R um anel e suponha R

J (R) é artiniano. Se I é qualquer ideal de R, então a aplica¸cão natural U (R) → U (R

I) ´e sobrejetiva.

Podemos observar que se R é um anel tal que U (R) satisfaz uma identidade de grupo e S é qualquer subanel de R, então U (S) também satisfaz uma identidade de grupo já que U (S) = U (R) ∩ S ⊆ U (R). Mas quando tal anel é localmente artiniano, obtemos um resultado mais forte que pode ser visto no seguinte lema:

(31)

2.3. AN ÉIS SEMISIMPLES E A DECOMPOSIÇ ÃO DE WEDDERBURN 21

Lema 2.7 Seja R um anel localmente artiniano tal que U (R) ∈ GI. Se R é qualquer imagem homomórfica de R, então U (R) ∈ GI.

Demonstra¸cão: Para R, é suficiente mostrar que o homomorfismo U (R) → U (R) é sobrejetivo.

Como R ´e qualquer imagem homom´orfica de R, logo R = R

I, onde I ´e o n´ucleo do homomorfimo φ : R → R.

Tomemos a ∈ R tal que a = a + I é a sua imagem em U (R). Como R é localmente artiniano, logo {a} ⊂ E, onde E é um subanel artiniano de R.

Usando a proposi¸c˜ao 2.2 temos que E

J (E) ´e artiniano. Seja J = E ∩ I.

Claramente J é um ideal de E, logo pelo lema 2.6 a aplica¸cão U (E) → U (E) é sobrejetiva, onde E = E

J.

Mas a ∈ U (E), portanto podemos encontrar c ∈ U (E) ⊆ U (R) que ´e levado em a. Desta forma obtemos que o homomorfismo U (R) → U (R) ´e sobrejetivo.

Defini¸cão 2.8 Dizemos que um anel R é semiprimitivo se J (R) é o ideal nulo.

2.3 An´

eis Semisimples e a Decomposi¸

c˜

ao de

Wed-derburn

Nesta se¸cão recordaremos importantes resultados a respeito da estrutura de anéis e as suas consequências quando considerados no contexto de Anéis de Grupos.

Sempre podemos encarar R como sendo um m´odulo sobre si mesmo. Assim podemos definir anel semisimples:

Defini¸cão 2.9 Seja R um anel. Dizemos que R é semisimples à esquerda, se todo submódulo à esquerda I de R é somando direto de R. Isto é, para todo submódulo à esquerda de I, existe um submódulo à esquerda J , tal que I ∩ J = 0 e I + J = R. Denotamos a soma direta de I e J por,

(32)

Usaremos somente o termo semisimples, pois um anel com unidade é semisim-ples à esquerda se, e somente se, é semisimples à direita.

Teorema 2.10 (Wedderburn-Artin) Um anel R ´e semisimples se, e somente se,

R '

r

M

i=1

Mni(Di),

onde cada Mni(Di) é uma álgebra de matrizes sobre Di, Di é um anel de divisão, r

´

e único e os pares (Di, ni) são únicos a menos de permuta¸cão.

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 2.6.18 e 2.6.19, p´ag.104, 105 em [10].

Teorema 2.11 (Teorema de Maschke) Seja G um grupo. Então o anel de grupo RG é semisimples se e somente se as seguintes condi¸cões valem:

1. R ´e um anel semisimples; 2. G ´e finito;

3. |G| ´e invert´ıvel em R.

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 3.4.7, p´ag. 140 em [10].

No caso particular em que R = K é um corpo temos que K é sempre semisimples e |G| ´_{e invert´ıvel em K se e somente se, car(K) - |G|. Uma consequência direta do} Teorema de Maschke pode ser vista no seguinte corolário:

Corolário 2.12 Seja G um grupo finito e seja K um corpo. Então KG é semisim-ples se, e somente se, car(K) - |G|.

(33)

Cap´ıtulo 3

´

Algebras de Grupo Satisfazendo

uma GPI

O objetivo deste cap´ıtulo é provar o teorema 1.26, que garante que para um grupo de tor¸cão G tal que U (KG) satisfaz uma identidade de grupo e KG satisfaz uma GP I temos que KG satisfaz uma identidade polinomial. Este teorema será fundamental para a demonstra¸cão da Conjectura de Hartley.

3.1 Identidades de Grupos de Formas Especiais

Dado um grupo G que satisfaz uma identidade de grupo, mostraremos que pode-mos escolher uma identidade com uma forma especial satisfeita por G.

Lema 3.1 Seja G um grupo. Se G ∈ GI, ent˜ao G satisfaz uma identidade de grupo da seguinte forma:

w0 = xα1yβ1· · · xαsyβs =1

onde αi, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeita

por G e α1 < 0, βs > 0.

Demonstra¸c˜ao: Seja w = w(x1, · · · , xr) a identidade de grupo satisfeita por G.

Temos que w(g1, · · · , gr) = 1, ∀ gi ∈ G.

Consideramos g, h ∈ G e substituamos gi por g−ihgi, consequentemente

encon-tramos uma express˜ao da seguinte forma: gα1_hβ1_{· · · g}αs_hβs_gαs+1 _{= 1, onde α}

i, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos.

(34)

Ent˜ao G satisfaz a seguinte palavra:

w(x, y) = xα1_yβ1_{· · · x}αs_yβs_xαs+1_,

ou seja, encontramos uma identidade de grupo n˜ao trivial em duas vari´aveis x e y satisfeitas por G. Portanto

xα1_yβ1_{· · · x}αs_yβs_xαs+1 _{= 1}

logo,

xα1_yβ1_{· · · x}αs_yβs_xαs+1_x−αs+1 _{= x}−αs+1

xαs+1_xα1_yβ1_{· · · x}αs_yβs _{= 1}

xαs+1+α1_yβ1_{· · · x}αs_yβs _{= 1.}

Agora temos dois casos a analisar:

1◦ caso: Suponha αs+1+ α1 6= 0

Se βs < 0 trocamos y por y−1 logo −βs> 0.

Se αs+1+ α1 > 0 trocamos x por x−1 logo −(αs+1+ α1) < 0.

Portanto obtemos a forma procurada.

2◦ caso: Suponha αs+1+ α1 = 0. Ent˜ao encontramos

yβ1_xα2_{· · · y}βs−1_xαs_yβs _{= 1}

logo,

y−β1_yβ1_xα2_{· · · y}βs−1_xαs_yβs _{= y}−β1

xα2_{· · · y}βs−1_xαs_yβs_yβ1 _{= 1}

xα2_{· · · y}βs−1_xαs_yβs+β1 _{= 1}

Se α2 > 0 trocamos x por x−1 logo −α2 < 0.

Se βs+ β1 < 0 trocamos y por y−1 logo −(βs+ β1) > 0.

Portanto obtemos a forma procurada.

Agora se G satisfaz uma identidade da forma xα _{= 1 para algum α 6= 0, tomemos}

g, h ∈ G, logo g−1h ∈ G. Portanto

(g−1h)|α| = g−1h · · · g−1h | {z }

|α|vezes

= 1.

Logo podemos reescrever w da seguinte maneira: w(x, y) = x−1y · · · x−1y

| {z }

|α|vezes

(35)

3.2. UNIDADES EM UMA ´ALGEBRA 25

Obs: Na verdade, a palavra w satisfeita por G pode ser escrita de uma maneira mais refinada, ou seja, G satisfaz

w1(x1, x2) = xγ11x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.

De fato, pelo lema anterior G satisfaz

w0(x, y) = xα1yβ1· · · xαsyβs

onde αi, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeita

por G, α1 < 0 e βs> 0.

Agora sejam g1, g2 ∈ G, temos g2g1−1, g1−1g2 ∈ G, portanto

w0(g2g1−1, g1−1g2) = 1

ou seja,

(g2g1−1)α1(g1−1g2)β1· · · (g2g1−1)αs(g1−1g2)βs = 1 (3.1)

como α1 < 0 ⇒ −α1 > 0, podemos reescrever (3.1) como

(g1g2−1) · · · (g1g2−1) | {z } |α1| vezes (g1−1g2)β1· · · (g2g1−1)αs(g1−1g2) · · · (g1−1g2) | {z } βs vezes = 1.

Portanto obtemos a seguinte palavra:

w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.

3.2 Unidades em uma ´

Algebra

Os resultados de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti (ver em [3]) tiveram como consequência a demonstra¸cão do teorema 1.27 no caso em que o corpo K é infinito, ou seja, eles demonstraram a conjectura de Hartley assumindo que a álgebra KG é sobre um corpo infinito, conforme enunciado no cap´ıtulo 1.

Precisamos de um resultado que nos permita estender os demais resultados de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti para uma situa¸cão mais geral, como é o caso do próximo lema.

(36)

De agora em diante denotaremos K0 como sendo os inteiros do corpo K, assim:

Se carK = 0 ent˜_{ao Q ⊂ K logo K}0 = Z, e se carK = p, (p primo) ent˜ao K0 = Zp e

neste caso sempre podemos fazer redu¸c˜oes m´odulo p.

Lema 3.2 Seja A uma álgebra sobre um corpo K e suponha que U (A) ∈ GI. Então existe um polinômio f (x) sobre K0 de grau d (o qual é determinado pela identidade

de grupo satisfeita por U (A)) tal que se a, b ∈ R e a2 = b2 = 0 ent˜ao f (ab) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Pela observa¸c˜ao anterior podemos assumir que U (A) satisfaz w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk= 1.

Temos dois casos para analisar:

1o _{caso: Se car K 6= 2, consideremos o polinˆ}_{omio h em duas vari´}_{aveis dado por:}

h(x1, x2) = (1 + γ1x1)(1 + δ1x2) · · · (1 + γkx1)(1 + δkx2)

= h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2) (3.2)

onde h0 consiste de todos os monômios que contém x21 ou x22 e gij contém todos os

monˆonios os quais come¸cam com xi e terminam com xj. Note que cada monˆomio

em g12(x1, x2) tem a forma x1x2· · · x1x2 = (x1x2)n para algum n, ou seja,

g12(x1, x2) = n

X

i=1

αi(x1x2)βi.

O termo l´ıder de h(x1, x2) est´a em g12(x1, x2) e tem coeficiente γ1δ1· · · γkδk6= 0 pois

carK 6= 2. Como γi, δj ∈ {±1, ±2} temos k Y i=1 γiδi = ±1 ou k Y i=1 γiδi = ±2m, m ∈ Z.

Consequentemente podemos escrever

x2g12(x1, x2)x1 = f (x2x1)

para algum polinˆomio n˜ao nulo f (x) sobre K0 de grau d = 2k + 2. Certamente f (x)

´

e determinado por h(x1, x2) e por sua vez por w.

Por hip´otese a2 _{= b}2 _{= 0, logo}

(37)

ou seja, (1 + a) e (1 + b) s˜ao unidades de A. Temos tamb´em que (1 + a)n _{= 1 + na, ∀ n ∈ Z.} Sabemos que w1(1 + b, 1 + a) = 1 ou seja, w1(1 + b, 1 + a) − 1 = 0. Assim: 0 = a[w1(1 + b, 1 + a) − 1]b = a[(1 + b)γ1_{(1 + a)}δ1_{· · · (1 + b)}γk_{(1 + a)}δk_]b = a[(1 + γ1b)(1 + δ1a) · · · (1 + γkb)(1 + δka)]b = a[h(b, a)]b = a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.

Notemos que ah0(b, a)b = 0 pois cada termo de h0 tem a2 ou b2 como fator. Al´em

disso

a[g11(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b,

pois cada termo de g21 ou g22 come¸ca com a e cada termo de g11 termina com b.

Portanto temos que:

a[g12(b, a)]b = 0.

Mas

f (ab) = ag12(b, a)b = 0.

2o _{caso: Se carK = 2, temos que U (A) satisfaz:}

w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.

Tomemos g1, g2, g3 ∈ U (A) logo g1g2, g1g3 ∈ U (A) e portanto

w1(g1g2, g1g3) = (g1g2)γ1(g1g3)δ1· · · (g1g2)γk(g1g3)δk = 1.

Obtemos ent˜ao a seguinte palavra:

w2(x1, x2, x3) = (x1x2)γ1(x1x3)δ1· · · (x1x2)γk(x1x3)δk.

Podemos reescrever w2(x1, x2, x3) da seguinte forma:

w3(x1, x2, x3) = zη11z η2

2 · · · z ηr

(38)

onde zi ∈ {x1, x2, x3}, zi 6= zi+1 e ηi ∈ {±1}. Mais ainda z1 = x1, zr = x3 e

η1 = ηr = 1.

Definimos o polinˆomio h em duas vari´aveis por:

h(x1, x2) = (1 + t1)(1 + t2) · · · (1 + tr) − 1 onde ti =    x1x2x1 zi = x1; x2x1x2x1x2 zi = x2; (x1+ x2x1)x2(x1+ x1x2) zi = x3.

Em particular, t1 = x1x2x1 e tr = (x1+ x2x1)x2(x1+ x1x2). Agora escrevemos h tal

como em (3.2), ou seja,

h(x1, x2) = h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2)

Olhando para o polinˆomio t1t2· · · tr em h, vemos que g12 6= 0, e consequentemente

x2g12(x1, x2)x1 = f (x2x1) para algum polinômio não nulo f (x) ∈ K0[x]. É claro que

f (x) ´e determinada por h(x1, x2) e consequentemente por w.

Temos que

(bab)2 = (ababa)2 = ((b + ab)a(b + ba))2 = 0, ou seja,

1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba) s˜ao unidades. Portanto

w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) = 1

assim,

w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) − 1 = 0.

Como car K = 2, quando c ∈ A ´e tal que c2 _{= 0, temos (1 + c)}−1 _{= 1 − c = 1 + c.}

Ent˜ao,

0 = a[w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) − 1]b = ah(b, a)b

= a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.

Usando os mesmos argumentos como no caso anterior, conclu´ımos que

a[g12(b, a)]b = 0

portanto

(39)

Vamos usar daqui em diante, as nota¸c˜oes f (x) e d como no lema anterior.

Lema 3.3 Seja A uma ´algebra sobre um corpo K e suponha U (A) ∈ GI. Sejam a, b ∈ A tais que a2 _{= b}2 _{= 0, ent˜}_ao:

1. Se |K| > d; ent˜ao (ab)d_{= 0.}

2. Se ab ´e nilpotente, ent˜ao (ab)d _{= 0.}

Demonstra¸c˜ao:

1. Primeiramente suponhamos |K| > d. Para qualquer λ ∈ K temos que que (λa)2 _{= 0 e b}2 _{= 0. Logo pelo Lema 3.2 existe f (x) ∈ K[x] de grau d tal que}

f (λab) = 0. Seja f (x) =

d

X

i=0

aixi onde ad6= 0. Ent˜ao ad(ab)λd+ · · · + a1abλ + a0 = 0 para

qualquer λ ∈ K

Se |K| > d, o argumento do determinante de Vandermonde mostra que ad(ab)d = 0. Consequentemente (ab)d= 0.

2. Agora suponhamos que ab é nilpotente. Usando novamente o Lema 3.2 temos que existe f (x) ∈ K[x] de grau d tal que f (ab) = 0. Seja g(x) o polinômio min´ımo de ab sobre K. Então g(x) = xk _{para algum k, pois ab ´}_e

nilpo-tente. Tamb´em g(x) | f (x) logo k ≤ d. Consequentemente (ab)d = 0 pois 0 = g(ab) = (ab)k_.

Seja Mn(K) a ´algebra das matrizes n × n sobre um corpo K. Se U (Mn(K))

satisfaz uma identidade polinomial e n ≥ 2, ent˜ao n´os temos controle sobre o tipo de corpo K e o grau n. De fato, temos:

Lema 3.4 Seja K um corpo. Se U (Mn(K)) satisfaz w = 1 e n ≥ 2, ent˜ao

1. |K| ≤ d e consequentemente K ´e um corpo finito. 2. n < 2 log|K| d + 2 ≤ 2 log2 d + 2.

(40)

1. Consideremos as matrizes elementeres a = e12 e b = e21, ent˜ao a2 = b2 = 0.

Mas e11 = ab n˜ao ´e nilpotente, portanto pelo Lema 3.3 que |K| ≤ d. Desta

forma provamos 1.

2. Seja s o menor inteiro positivo tal que |K|s _> _d, _ent˜_ao

|K|s−1 _{≤ d < |K|}s_.

Seja F um corpo finito tal que [F : K] = s, ou seja, DimKF = s. Portanto

|F | = |K|s _{> d.}

Agora se α ∈ F, consideremos fα um K-homomorfismo tal que:

fα : F → F

β 7→ βα ou seja, F age sobre F por multiplica¸c˜ao `a direita. Podemos considerar o homomorfismo injetor:

f∗ : F → EndK(F )

α 7→ fα

Portanto F ,→ EndK(F ) ∼= Ms(K) e consequentemente

M2s(K) = M2(Ms(K)) ⊇ M2(F ).

Se n ≥ 2s, ent˜ao U (M2s(K)) ,→ U (Mn(K)) e por hip´otese U (Mn(K)) ∈ GI

e desta forma U (M2(F )) ∈ GI. Então temos que M2(F ) é uma álgebra sobre

F com |F | > d, mas isto contradiz a parte 1. Portanto conclu´ımos que n < 2s.

Afirma¸c˜ao 1: s − 1 ≤ log|K| d.

De fato: Temos que |K|s−1 _{≤ d logo}

logK |K|s−1≤ log|K| d ⇔ (s − 1)log|K| |K| ≤ log|K| d ⇔ (s − 1) ≤ log|K| d.

Desta forma n < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2.

Afirma¸c˜ao 2: |K| ≥ 2 ⇒ log|K| d ≤ log2 d.

De fato: Temos que

log|K| d = x ⇔ |K|x = d log2 d = y ⇔ 2y = d Mas |K| ≥ 2 ⇒ |K|x _{≥ 2}x _{⇒ d ≥ 2}x_, e como 2x ≤ d = 2y ⇒ log|K| d ≤ log2 d. Portanto n < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2 ≤ 2 log2 d + 2

(41)

3.3. GPI E PI- ´ALGEBRAS 31

3.3 GPI e PI-´

algebras

O próximo resultado de J. Gon¸calves dá condi¸cões que garantem quando um anel de divisão não comutativo contém um subgrupo livre de posto dois. Este resultado pode ser visto mais detalhadamente em [4], lema 2.0.

Lema 3.5 Seja D um anel de divisão não comutativo de dimensão finita sobre seu centro. Então U (D) contém um subgrupo livre de posto dois.

Podemos agora estabelecer um resultado sobre ´algebras de p0-grupos localmente finitos.

Lema 3.6 Seja K um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e seja G um p0−grupo local-mente finito. Se U (KG) ∈ GI ent˜ao KG satisfaz uma identidade polinomial padr˜ao s2m para algum m determinado pela identidade de grupo satisfeita por U (KG).

Demonstra¸c˜_{ao: Seja m ∈ Z tal que m > 2 log}2 d + 2.

Sejam α1, . . . , α2mquaisquer 2m elementos em KG e seja H o subgrupo de G gerado

pelos suportes dos elementos αi.

Por hipótese G é localmente finito e como H é finitamente gerado, temos H finito, digamos |H| = n.

Consequentemente KH ´e artiniano pela proposi¸c˜ao 2.3.

Como H ≤ G e G ´e p0−grupo, segue imediatamente que H ´e p0−grupo, ou seja, H n˜_{ao possui p−elementos e portanto p - n.}

Desta forma, KH ´e semisimples e pelo teorema de Wedderburn-Artin KH ∼= r X i=1 Mni(Di), onde ni ∈ Z + _{e D}

i são K−álgebras de divisão com dimensão

finita sobre K.

Certamente cada U (Di) ∈ GI e [Di : Zi] ≤ [Di : K] < ∞ onde Zi ´e o centro de Di.

Pelo Lema 3.5, Di deve ser comutativo, ou seja, Di ´e um corpo.

Agora cada U (Mni) ∈ GI, ent˜ao pelo Lema 3.4 temos que ni < 2 log2 d + 2 < m,

ou seja, ni < m.

Consequentemente conclu´ımos que KH satisfaz s2m = 0 pelo teorema de

Amitsur-Levitzki e pela proposi¸c˜ao 1.18 (iv).

Mas α1, . . . , α2m∈ KH, logo s2m(α1, . . . , α2m) = 0 e portanto, KG satisfaz s2m.

Agora já estamos em condi¸cões de demonstrar o teorema 1.26 enunciado na se¸cão 4 do cap´ıtulo 1, ou seja, vamos assumir que G é um grupo de tor¸cão, com U (KG) ∈ GI e KG satisfazendo uma GP I e vamos mostrar que KG ∈ P I.

(42)

Demonstra¸c˜ao: Seja ∆(G) = ∆ o FC-subgrupo, ou seja, ∆ := {g ∈ G / |cl(g)| < ∞}. Pelo Teorema 1.25, [G : ∆] < ∞ e |∆0| < ∞.

Afirma¸cão 1: G de tor¸cão, |∆0| < ∞ e [G : ∆] < ∞ ⇒ G localmente finito. De fato: Seja H 6 G tal que H é finitamente gerado.

Pergunta: H ´e finito?

Por hip´otese [G : ∆] < ∞, logo [∆H : ∆] < ∞. Como ∆H

∆ ∼ = H

∆ ∩ H, conclu´ımos que [H : ∆ ∩ H] < ∞. Pela proposi¸c˜ao 1.8, ∆ ∩ H ´e finitamente gerado.

Tamb´em temos que |∆0| < ∞ e como ∆0∩ H ≤ ∆0, logo |∆0 ∩ H| < ∞. Temos que ∆ ∩ H ∆0 ∩ H ∼ = ∆ ∩ ∆ 0 H ∆0 ≤ ∆ ∆0, onde ∆ ∆0 ´e abeliano. Desta forma ∆ ∩ H

∆0∩ H é finitamente gerado, abeliano e de tor¸cão, logo pela proposi¸cão 1.10, temos ∆ ∩ H ∆0 ∩ H < ∞. Portanto |H| < ∞ já que |H| = [H : ∆ ∩ H][∆ ∩ H : ∆0 ∩ H]|∆0 ∩ H|.

Seja C o centralizador de ∆0 em ∆, ou seja, C = C∆(∆

0

). Temos que [∆ : C] < ∞ pois |∆0| < ∞.

Afirma¸c˜ao 2: C0 ⊂ Z(C).

De fato: Como C ≤ ∆, logo C0 ≤ ∆0. Tomemos [x, y] ∈ C0 e b ∈ C.

Portanto [x, y]b _{= b}−1_{[x, y]b = [x, y]b}−1_{b = [x, y]}

Desde que C0 ⊂ Z(C), temos C nilpotente.

Seja P o conjunto de todos os p−elementos em C, ou seja, P := {x ∈ C / o(x) = pn _{para algum n ∈ Z}+}.

Afirma¸c˜ao 3: P C.

De fato: Sejam x, y ∈ P, logo o(x) = pk, o(y) = pl.

Consideremos H =< x, y >. Temos que H nilpotente finitamente gerado e de tor¸cão, portanto pela proposi¸cão 1.10, H é finito.

Temos que x, y ∈ Pi, onde Pi ´e um subgrupo de Sylow de C. Portanto xy ∈ Pi.

Consequentemente, P ≤ C. Claramente P C.

(43)

3.3. GPI E PI- ´ALGEBRAS 33

Também C é localmente finito portanto KC é anel localmente artiniano pela proposi¸cão 2.3. Pelo lema 2.7 conclu´ımos que UKC

P

satisfaz uma identidade de grupo. Vemos que C

P ´e um p

0

−grupo localmente finito, consequentemente pelo lema 3.6 KC

P

satisfaz uma identidade polinomial. Usando o teorema 1.21, obtemos que C

P cont´em um subgrupo p−abeliano A

P de ´ındice finito (ou seja, A P 0 < ∞ e hC P : A P i < ∞). Claramente A P 0 | {z } p−grupo ≤ C P |{z} p0−grupo , portanto A P 0 = {1} e desta forma A P ´e abeliano e ent˜ao A0 ≤ P.

Agora [G : A] = [G : ∆][∆ : C][C : A] < ∞ e A0 ≤ P ∩ ∆0 é um p−grupo finito. Portanto A0 é um p−grupo finito. Logo A é um subgrupo p−abeliano e [G : A] < ∞. Desta forma pelo teorema 1.21 conclu´ımos que KG satisfaz uma identidade polino-mial.

(44)

(45)

Cap´ıtulo 4

Demonstra¸

c˜

ao da Conjectura de

Hartley

Neste cap´ıtulo, veremos quais foram os argumentos utilizados por Liu no artigo [6] para demonstrar a Conjectura de Hartley. Veremos que ele considerou dois casos: Primeiramente considerou o caso em que a álgebra de grupo é semiprima e consequentemente atacou o problema quando a caracter´ıstica do corpo é zero. Depois, ele se preocupou no caso em que a caracter´ıstica do corpo é prima, levando em considera¸cão o radical nilpotente de KG e o teorema principal do cap´ıtulo 3. Poderemos notar que os argumentos de Liu são basicamente os mesmos usados por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti em [3], na demonstr¸cão da conjectura de Hartley, no caso em que o corpo K é infinito.

4.1 Algebra de Grupo Semiprima

´

Antes de apresentarmos a demonstra¸cão da Conjectura de Hartley veremos alguns lemas que serão essenciais para a demonstra¸cão de tal Conjectura, quando estivermos no caso em que KG é uma álgebra de grupo semiprima.

O pr´oximo resultado foi demonstrado por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti em [3].

Lema 4.1 Seja R um anel semiprimo e seja S := {a ∈ R / ∀ b, c ∈ R, bc = 0 ⇒ bac = 0}. Se S contém todos elementos de R de quadrado zero, então S contém todos elementos nilpotentes de R.

(46)

Lema 4.2 Seja R uma ´algebra sobre um corpo K. Suponha que para todo a, b, c ∈ R com a2 = bc = 0, temos bac = 0. Ent˜ao qualquer idempotente de R ´

e central.

Demonstra¸c˜ao: Veja lema 2 em [3].

O próximo resultado é uma imediata e simples consequência do Lema 3.2.

Recordemos que K0 denota o conjunto dos inteiros em K e que o lema 3.2 nos

garante que para uma álgebra A sobre um corpo K tal que U (A) satisfaz uma identidade de grupo, obtemos um polinômio f (x) sobre K0 de grau d (o qual é

determinado pela identidade de grupo satisfeita por U (A)) tal que se a, b ∈ R e a2 = b2 = 0 temos f (ab) = 0.

Lema 4.3 Seja R uma ´algebra sobre um corpo K e suponha que U (R) ∈ GI. Se a, b, c ∈ R tal que a2 _{= bc = 0, ent˜}_{ao todos os elementos de bacR satisfaz algum}

polinˆomio g(x) ∈ K0[x] de grau d + 1.

Demonstra¸c˜ao: Pelo lema 3.2 existe um polinˆomio f (x) ∈ K0[x] de grau d tal que

f (acrb) = 0.

Seja f (x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + adxd e consideremos g(x) = xf (x).

Ent˜ao:

g(bacr) = bacrf (bacr)

= bacr[a0+ a1(bacr) + a2(bacr)2+ · · · + ad(bacr)d]

= b[a0+ a1(acrb) + a2(acrb)2+ · · · ad(acrb)d]acr

= bf (acrb)acr = 0

A partir destes lemas, temos agora condi¸cões de ver a demonstra¸cão da Conjectura de Hartley quando KG é uma álgebra de grupo semiprima. Para uma compara¸cão com os argumentos de Giambruno, Sehgal e Valenti ver [3].

Teorema 4.4 Seja K um corpo tal que carK = p ≥ 0 e seja G um grupo de tor¸cão. Suponha que KG é uma álgebra de grupo semiprima. Se U (KG) ∈ GI então KG ∈ P I.

(47)

4.1. ALGEBRA DE GRUPO SEMIPRIMA´ 37

Demonstra¸c˜ao: Seja k = d + 1. Consideraremos dois casos:

1o _{caso: Existem elementos a, b, c ∈ KG tais que a}2 _{= bc = 0 e (bacKG)}k _{6= 0.}

Pelo lema 4.3, bacKG satisfaz uma identidade polinomial de grau k. Pelo lema 1.24 KG satisfaz uma GP I pois (bacKG)k 6= 0. Agora usando o teorema 1.26 obtemos que KG satisfaz uma identidade polinomial.

2o _caso: _{Para todos elementos a, b, c ∈ KG tais que a}2 _{= bc = 0, temos}

(bacKG)k _{= 0.}

Por hipótese KG é semiprimo, portanto bac = 0. Pelo lema 4.2 todos idempotentes de KG são centrais. Pelo lema 4.1, se a, b, c ∈ KG são tais que a é nilpotente e bc = 0, então bac = 0.

Consideremos P e Q os conjuntos:

P := {g ∈ G / o(g) = pk para algum k};

Q := {g ∈ G / p - o(g)}. Se p = 0 ent˜ao P = {1}.

Suponhamos carK = p > 0.

Tomemos h ∈ P. Logo o(h) = pr para algum r. Seja bh = 1 + h + h2_{+ · · · + h}pr₋₁

. Temos que (h − 1)bh = 0.

Desde que para qualquer g ∈ P, temos g − 1 nilpotente e pelo que observamos anteriormente, (h − 1)(g − 1)bh = 0. Mas (h − 1)(g − 1)bh = (h − 1)gbh − (h − 1)bh = (h − 1)gbh ou seja, (h − 1)gbh = 0. Consequentemente g = hghi para algum i. Portanto g−1hg = h−i.

Isto mostra que P ´e um grupo e < h >P.

Para qualquer h ∈ P, g ∈ Q, h − 1 ´e nilpotente e (g − 1)_bg = 0. Novamente (g − 1)(h − 1)_bg = 0.

Fazendo os mesmos c´alculos como acima, obtemos

(48)

Portanto h−1gh = g−j. Notemos que g−1h−1g | {z } ∈ P h | {z } ∈ P = g−1g−j = g−j−1 | {z } ∈ Q ∈ P ∩ Q = 1,

j´a que P ´e um subgrupo normal.

Obtemos ent˜ao que gh = hg para qualquer h ∈ P, g ∈ Q.

Assim para qualquer h ∈ P, < h > comuta com Q e ´e normalizado por P, logo < h > G.

Mas, | < h > | = pr_{, pelo lema 1.31 conclu´ımos que h = 1 pois KG ´}_{e uma ´}_algebra

semiprima. Desta forma para carK = p > 0, tamb´em obtemos que P = {1}.

Agora temos que P = {1} quando carK = p ≥ 0, portanto Q = G, ou seja, G ´e um p0−grupo.

Tomemos x ∈ G tal que o(x) = m. Claramente m 6= 0 em K. O elemento e = xb

m ´e idempotente de KG; onde bx = 1 + x + x

2_{+ · · · + x}m−1_.

Como todos os idempotentes s˜ao centrais, eg = ge, ∀ g ∈ G. Consequentemente xg = gxi para algum i, ou seja,

< x > G, ∀ x ∈ G.

Então G é p0−grupo para o qual todo todo subgrupo de G é normal. Desta forma G é abeliano ou hamiltoniano.

Suponhamos que G ´e hamiltoniano, logo Q8 ⊂ G.

Agora se p = 2 significa que G ´e um 20−grupo, ou seja, n˜ao possui elemento de ordem 2 (o que seria um absurdo, pois Q8 ⊂ G).

Logo p 6= 2 e deste modo KQ8 ´e semisimples pelo teorema de Maschke.

Assim KQ8 u ⊕Mni(Di), onde Dié anel de divisão para todo i com dimensão finita

sobre seu centro.

Mas KQ8 ⊂ KG e como os idempotentes de KG s˜ao centrais ent˜ao todos os

idem-potentes de KQ8 s˜ao centrais ( Mni(Di) ´e comutativo para todo i). Deste modo

cada ni = 1.

Por hipótese U (KG) ∈ GI, então também U (KQ8) ∈ GI. Logo U (Di) ∈ GI e

portanto n˜ao pode conter um subgrupo livre. Usando o lema 3.5 obtemos que Di ´e

comutativo, ou seja, KQ8 ´e comutativo. Absurdo.

Logo G ´e abeliano.

Consequentemente KG satisfaz a identidade polinomial w1(x, y) = xy − yx.

(49)

4.2. CASO GERAL 39

4.2 Caso Geral

O radical nilpotente de uma álgebra de grupo KG foi definido no cap´ıtulo 1 como a soma de todos os ideais nilpotentes de KG. Veremos agora alguns resultados sobre a nilpotência de N (KG). A demonstra¸cão do primeiro deles pode ser encontrado em [9]. Desde que na se¸cão anterior, trabalhamos com álgebras de grupos semiprimas, já foi tratado o caso carK = 0. Portanto nos próximos resultados nos preocuparemos somente com o caso carK = p > 0.

Lema 4.5 Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja G um grupo. Se N (KG) é nilpotente então G possui subgrupos P e H tais que P é um p−grupo finito, [G : H] < ∞ e P = ∆p_(H).

Teorema 4.6 Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja G um grupo de tor¸cão. Se N (KG) é nilpotente e U (KG) ∈ GI então KG ∈ P I .

Demonstra¸c˜ao: Como N (KG) ´e nilpotente, podemos escolher subgrupos P e H de G como no lema 4.5.

Mas G ´e de tor¸c˜ao e ∆p_{(H) = P ´}_{e um p−grupo finito, portanto ∆}H

P

= ∆(H) P ´e um p0−grupo, consequentemente pela proposi¸c˜ao 1.31 KH

P ´ e semiprimo. Como P H, a aplica¸c˜ao ϕ : KH → KH P ´

e um homomorfismo sobrejetor onde kerϕ é o ideal ∆(H, P ) com base {x − 1 / x ∈ P, x 6= 1} sobre K. Além disso, se P é um p−grupo finito e car K = p então ∆(H, P ) é nilpotente [fazer referência]. Isto garante que o homomorfismo ϕ : U (KH) → U_e

K H P ´e sobrejetor. Agora, fazendo uso do teorema 4.4 conclu´ımos que KH

P

satisfaz uma identi-dade polinomial. Portanto H

P possui um subgrupo p−abeliano A P de ´ındice finito (teorema 1.21), ou seja, A P 0 ´ e um p−grupo finito e hH P : A P i

< ∞, da´ı segue que [H : A] < ∞.

Consequentemente A0 ´e um p−grupo finito e como [G : H] < ∞ conclu´ımos que A ´e um subgrupo p−abeliano de G e [G : A] < ∞. Pelo teorema 1.21 KG satisfaz uma identidade polinomial.

Antes de enunciar o próximo resultado que tem como conclusão o teorema anterior para N (KG) não nilpotente, introduziremos alguns conceitos referentes a álgebras livres.

(50)

Seja A = K{X} a ´algebra livre em um conjunto enumer´avel X = {x1, x2, . . .}

e K um corpo de caracter´ıstica p > 0. Denotaremos por A[[t]] o anel das séries de potências sobre A, onde t é uma indeterminada. Para qualquer n, os elementos 1 + x1, 1 + x2, . . . , 1 + xn são unidades em A[[t]] com inverso 1 +

P∞

k=1(−1) k_xk

itk para

cada i.

Tais unidades geram um subgrupo livre pelo seguinte argumento de Magnus: Suponhamos que (1 + xi1t) α1_{(1 + x} i2t) α2_{· · · (1 + x} iet) αe_{, = 1.} _(4.1)

Escrevemos αi = psiβi, p - βi. Ent˜ao a equa¸c˜ao. (4.1) fica

(1 + xi1 ps1β1_tps1β1_{)(1 + x} i2 ps2β2_tps2β2_{) · · · (1 + x} ie pse_β e_tpseβe_{) = 1.} _(4.2) Agora seja yik = xik

p_sk_{, portanto a equa¸c˜}_{ao (4.2) fica:}

(1 + yi1t ps1 )β1_{(1 + y} i2t ps2 )β2_{· · · (1 + y} iet pse )βe _{= 1.}

Observamos que o coeficiente de yi1yi2· · · yiet

P psj

no lado esquerdo ´e β1β2· · · βs, o

qual não é zero e portanto obtemos uma contradi¸cão. Consequentemente o grupo das unidades de A[[t]] não satisfaz nenhuma palavra.

Em particular se w = w(y1, y2, . . . , yk) ´e uma identidade de grupo satisfeita por

U (KG) ent˜ao w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.

Visto isto, agora podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema 4.7 Seja K um corpo de caracter´ıtica p > 0 e seja G um grupo de tor¸cão. Se N (KG) não é nilpotente e U (KG) ∈ GI, então KG ∈ P I.

Demonstra¸cão: Consideramos A[[t]] o anel das séries de potências sobre A. Como vimos anteriormente, se w é uma palavra em k variáveis satisfeita por U (KG) então w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.

Portanto podemos encontrar uma express˜ao da forma

w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) − 1 =

X

i≥1

(51)

4.2. CASO GERAL 41

onde fi(x1, . . . , xk) ∈ K{X} é um polinômio homogêneo de grau i.

Consequentemente existe um menor inteiro s ≥ 1 tal que fs(x1, . . . , xk) 6= 0 e

podemos escrever

w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) − 1 =

X

i≥s

fi(x1, . . . , xk)ti 6= 0,

Afirma¸c˜ao: Para qualquer inteiro n, existe um ideal nilpotente I de KG tal que In6= 0.

De fato: Suponhamos por absurdo que In _{= 0 para qualquer ideal nilpotente I de}

KG.

Sejam a1, . . . , an ∈ N (KG).

Existe um n´umero finito de ideais nilpotentes I1, . . . , Ij tal que

{a1, . . . , an} ⊆ J =

Pj

i=1Ii. Claramente J ´e nilpotente, portanto Jn= 0.

Logo a1a2· · · an = 0 e (N (KG))n = 0, absurdo.

Consequentemente podemos encontrar um ideal nilpotente I de KG tais que Ir _{6= 0}

e Ir+1 _{= 0 para algum inteiro r > s.}

Para quaisquer a1, . . . , ak, ak+1 ∈ I, 1+a1, . . . , 1+ak s˜ao unidades de KG. Portanto:

0 = w(1 + a1, . . . , 1 + ak) − 1 = r

X

i=s

fi(a1, . . . , ak)

pois Ir+1 = 0 e f é um polinômio homogêneo de grau i. Então

0 = (w(1 + a1, . . . , 1 + ak) − 1)ar−sk+1 = r X i=s fi(a1, . . . , ak)ar−sk+1 Para i ≥ s + 1, fi(a1, . . . , ak)ar−sk+1 = 0

pois fi(x1, . . . , xk)xr−sk+1 ´e homogˆeneo de grau i + r − s ≥ r + 1 e Ir+1 = 0.

Consequentemente fs(a1, . . . , ak)ar−sk+1 = 0.

Desta forma fs(x1, . . . , xk)ar−s_k+1´e uma identidade polinomial de grau r para I. Como

Ir _{6= 0, logo pelo lema 1.24 KG satisfaz uma GPI e consequentemente uma}

identi-dade polinomial pelo teorema 1.26.

Desta forma, combinando o teorema 1.30 e o teorema 4.4 demonstramos a con-jectura no caso quando a caracter´ıstica do corpo ´e zero. Os teoremas 4.6 e 4.7 demonstram a Conjectura de Hartley no caso quando a caracter´ıstica do corpo ´e prima.

(52)

(53)

Considera¸

c˜

oes Finais

Após termos visto a demonstra¸cão da Conjectura de Hartley, podemos nos per-guntar quais as condi¸cões sobre um corpo K e um grupo de tor¸cão G que nos garantem que U (KG) satisfaz uma identidade de grupo pois, sob estas condi¸cões, automaticamente teremos que KG satisfaz uma identidade polinomial.

Logo após a publica¸cão do artigo de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti [3] em 1997, D. Passman respondeu esta questão para álgebras de grupos sobre corpos infinitos. De fato, o seguinte foi demonstrado:

Teorema 4.8 (Passman, [8]) Se K é um corpo infinito de caracter´ıstica p > 0 e G é um grupo de tor¸cão, então o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo se, e somente se, KG satisfaz uma identidade polinomial e G0 é de expoente limitado.

Por outro lado, o lema 2.3 de [3] afirma que para qualquer grupo finito n˜ao abeliano G e qualquer corpo infinito K de caracter´ıstica p > 0, se o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo ent˜ao o subgrupo comutador G0 deve ser p-grupo.

De uma certa maneira, estes resultados podem ser estendidos para corpos finitos, ou seja, podem ser provados de uma maneira mais geral, quando K ´e um corpo de caracter´ıstica p > 0 e G um grupo de tor¸c˜ao.

O seguinte resultado foi provado em 1999 por Liu e Passman [7]:

(54)

Teorema 4.9 (Liu/Passman) Seja G um grupo de tor¸cão e K um corpo tal que carK = p > 0. Se G0 é um p−grupo, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

1. U (KG) satisfaz uma identidade de grupo.

2. G possui um subgrupo normal p−abeliano de ´ındice finito e G0 tem expoente limitado.

3. U (KG) satisfaz [x, y]pk = 1 para algum inteiro k ≥ 0.

Além disso, se G0 não é um p−grupo, então não somente o expoente de G0 pode ser limitado, como afirma o próximo resultado:

Teorema 4.10 (Liu/Passman [7]) Seja G grupo de tor¸cão e K um corpo tal que carK = p > 0. Se G0 não é um p−grupo, então as seguintes afirma¸cões são equiva-lentes:

1. U (KG) satisfaz uma identidade de grupo.

2. G possui um subgrupo normal p−abeliano de ´ındice finito e G tem expoente limitado e K ´e finito.

3. U (KG) satisfaz xn_{= 1 para algum inteiro n.}

Agora, suponhamos que G seja um grupo arbitrário, não necessariamente de tor¸cão. Se U (KG) satisfaz uma identidade de grupo, já vimos que a conclusão da conjectura de Hartley não é necessariamente verdadeira.

O maior problema em caracterizar álgebras de grupo KG cujas unidades satisfaz uma identidade de grupo é a dificuldade de manipular a parte livre de tor¸cão do grupo G.

Parece necessário assumir algumas hipóteses sobre G, principalmente no que se diz respeito ao seu subconjunto de tor¸cão.

Em 2000, no artigo [2], Giambruno, Sehgal e Valenti dão uma completa classi-fica¸cão de grupos G tais que U (KG) satisfaz uma identidade de grupo sob a hipótese que G tem um elemento de ordem infinita ou que G_T é nilpotente, onde T é o con-junto dos elementos de tor¸cão de G e K é um corpo infinito (observando que nesta situa¸cão, temos T G).

(55)

4.2. CASO GERAL 45

De fato, considerando K um corpo tal que carK = p ≥ 0, G um grupo e P o conjunto dos p−elementos em G, o seguinte resultado foi provado em [2]:

Teorema 4.11 Suponha que K ´e infinito ou G possui um elemento de ordem in-finita. Temos que:

a) Se U (KG) satisfaz uma identidade de grupo ent˜ao P ´e um subgrupo.

b) Se P é de expoente ilimitado e U (KG) satisfaz uma identidade de grupo então: (i) G contém um subgrupo p−abeliano de ´ındice finito.

(ii) G0 ´e de expoente limitado potˆencia de p.

Reciprocamente, se P ´e um subgrupo e G satisfaz (i) e (ii) ent˜ao U (KG) satisfaz uma identidade de grupo.

c) Se P ´e de expoente limitado e U (KG) satisfaz uma identidade de grupo ent˜ao:

(1) P ´e finito ou G possui um subgrupo p−abeliano de ´ındice finito. (2) T

G P

´e um p0−subgrupo abeliano e T ´e um grupo.

(3) Qualquer idempotente de KG P

´e central.

Reciprocamente, se P ´e um subgrupo, G satisfaz (1), (2), (3) e G

T ´e nilpotente ent˜ao U (KG) satisfaz uma identidade de grupo.

(56)

(57)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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