derburn
Nesta se¸c˜ao recordaremos importantes resultados a respeito da estrutura de an´eis e as suas consequˆencias quando considerados no contexto de An´eis de Grupos.
Sempre podemos encarar R como sendo um m´odulo sobre si mesmo. Assim podemos definir anel semisimples:
Defini¸c˜ao 2.9 Seja R um anel. Dizemos que R ´e semisimples `a esquerda, se todo subm´odulo `a esquerda I de R ´e somando direto de R. Isto ´e, para todo subm´odulo `a esquerda de I, existe um subm´odulo `a esquerda J , tal que I ∩ J = 0 e I + J = R. Denotamos a soma direta de I e J por,
Usaremos somente o termo semisimples, pois um anel com unidade ´e semisim- ples `a esquerda se, e somente se, ´e semisimples `a direita.
Teorema 2.10 (Wedderburn-Artin) Um anel R ´e semisimples se, e somente se,
R '
r
M
i=1
Mni(Di),
onde cada Mni(Di) ´e uma ´algebra de matrizes sobre Di, Di ´e um anel de divis˜ao, r
´
e ´unico e os pares (Di, ni) s˜ao ´unicos a menos de permuta¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 2.6.18 e 2.6.19, p´ag.104, 105 em [10].
Teorema 2.11 (Teorema de Maschke) Seja G um grupo. Ent˜ao o anel de grupo RG ´e semisimples se e somente se as seguintes condi¸c˜oes valem:
1. R ´e um anel semisimples; 2. G ´e finito;
3. |G| ´e invert´ıvel em R.
Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 3.4.7, p´ag. 140 em [10].
No caso particular em que R = K ´e um corpo temos que K ´e sempre semisimples e |G| ´e invert´ıvel em K se e somente se, car(K) - |G|. Uma consequˆencia direta do Teorema de Maschke pode ser vista no seguinte corol´ario:
Corol´ario 2.12 Seja G um grupo finito e seja K um corpo. Ent˜ao KG ´e semisim- ples se, e somente se, car(K) - |G|.
Cap´ıtulo 3
´
Algebras de Grupo Satisfazendo
uma GPI
O objetivo deste cap´ıtulo ´e provar o teorema 1.26, que garante que para um grupo de tor¸c˜ao G tal que U (KG) satisfaz uma identidade de grupo e KG satisfaz uma GP I temos que KG satisfaz uma identidade polinomial. Este teorema ser´a fundamental para a demonstra¸c˜ao da Conjectura de Hartley.
3.1
Identidades de Grupos de Formas Especiais
Dado um grupo G que satisfaz uma identidade de grupo, mostraremos que pode- mos escolher uma identidade com uma forma especial satisfeita por G.
Lema 3.1 Seja G um grupo. Se G ∈ GI, ent˜ao G satisfaz uma identidade de grupo da seguinte forma:
w0 = xα1yβ1· · · xαsyβs =1
onde αi, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeita
por G e α1 < 0, βs > 0.
Demonstra¸c˜ao: Seja w = w(x1, · · · , xr) a identidade de grupo satisfeita por G.
Temos que w(g1, · · · , gr) = 1, ∀ gi ∈ G.
Consideramos g, h ∈ G e substituamos gi por g−ihgi, consequentemente encon-
tramos uma express˜ao da seguinte forma: gα1hβ1· · · gαshβsgαs+1 = 1, onde α
i, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos.
Ent˜ao G satisfaz a seguinte palavra:
w(x, y) = xα1yβ1· · · xαsyβsxαs+1,
ou seja, encontramos uma identidade de grupo n˜ao trivial em duas vari´aveis x e y satisfeitas por G. Portanto
xα1yβ1· · · xαsyβsxαs+1 = 1
logo,
xα1yβ1· · · xαsyβsxαs+1x−αs+1 = x−αs+1
xαs+1xα1yβ1· · · xαsyβs = 1
xαs+1+α1yβ1· · · xαsyβs = 1.
Agora temos dois casos a analisar:
1◦ caso: Suponha αs+1+ α1 6= 0
Se βs < 0 trocamos y por y−1 logo −βs> 0.
Se αs+1+ α1 > 0 trocamos x por x−1 logo −(αs+1+ α1) < 0.
Portanto obtemos a forma procurada.
2◦ caso: Suponha αs+1+ α1 = 0. Ent˜ao encontramos
yβ1xα2· · · yβs−1xαsyβs = 1
logo,
y−β1yβ1xα2· · · yβs−1xαsyβs = y−β1
xα2· · · yβs−1xαsyβsyβ1 = 1
xα2· · · yβs−1xαsyβs+β1 = 1
Se α2 > 0 trocamos x por x−1 logo −α2 < 0.
Se βs+ β1 < 0 trocamos y por y−1 logo −(βs+ β1) > 0.
Portanto obtemos a forma procurada.
Agora se G satisfaz uma identidade da forma xα = 1 para algum α 6= 0, tomemos
g, h ∈ G, logo g−1h ∈ G. Portanto
(g−1h)|α| = g−1h · · · g−1h | {z }
|α|vezes
= 1.
Logo podemos reescrever w da seguinte maneira: w(x, y) = x−1y · · · x−1y
| {z }
|α|vezes
3.2. UNIDADES EM UMA ´ALGEBRA 25
Obs: Na verdade, a palavra w satisfeita por G pode ser escrita de uma maneira mais refinada, ou seja, G satisfaz
w1(x1, x2) = xγ11x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.
De fato, pelo lema anterior G satisfaz
w0(x, y) = xα1yβ1· · · xαsyβs
onde αi, βj s˜ao inteiros n˜ao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeita
por G, α1 < 0 e βs> 0.
Agora sejam g1, g2 ∈ G, temos g2g1−1, g1−1g2 ∈ G, portanto
w0(g2g1−1, g1−1g2) = 1
ou seja,
(g2g1−1)α1(g1−1g2)β1· · · (g2g1−1)αs(g1−1g2)βs = 1 (3.1)
como α1 < 0 ⇒ −α1 > 0, podemos reescrever (3.1) como
(g1g2−1) · · · (g1g2−1) | {z } |α1| vezes (g1−1g2)β1· · · (g2g1−1)αs(g1−1g2) · · · (g1−1g2) | {z } βs vezes = 1.
Portanto obtemos a seguinte palavra:
w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.
3.2
Unidades em uma ´Algebra
Os resultados de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti (ver em [3]) tiveram como consequˆencia a demonstra¸c˜ao do teorema 1.27 no caso em que o corpo K ´e infinito, ou seja, eles demonstraram a conjectura de Hartley assumindo que a ´algebra KG ´e sobre um corpo infinito, conforme enunciado no cap´ıtulo 1.
Precisamos de um resultado que nos permita estender os demais resultados de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti para uma situa¸c˜ao mais geral, como ´e o caso do pr´oximo lema.
De agora em diante denotaremos K0 como sendo os inteiros do corpo K, assim:
Se carK = 0 ent˜ao Q ⊂ K logo K0 = Z, e se carK = p, (p primo) ent˜ao K0 = Zp e
neste caso sempre podemos fazer redu¸c˜oes m´odulo p.
Lema 3.2 Seja A uma ´algebra sobre um corpo K e suponha que U (A) ∈ GI. Ent˜ao existe um polinˆomio f (x) sobre K0 de grau d (o qual ´e determinado pela identidade
de grupo satisfeita por U (A)) tal que se a, b ∈ R e a2 = b2 = 0 ent˜ao f (ab) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Pela observa¸c˜ao anterior podemos assumir que U (A) satisfaz w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk= 1.
Temos dois casos para analisar:
1o caso: Se car K 6= 2, consideremos o polinˆomio h em duas vari´aveis dado por:
h(x1, x2) = (1 + γ1x1)(1 + δ1x2) · · · (1 + γkx1)(1 + δkx2)
= h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2) (3.2)
onde h0 consiste de todos os monˆomios que cont´em x21 ou x22 e gij cont´em todos os
monˆonios os quais come¸cam com xi e terminam com xj. Note que cada monˆomio
em g12(x1, x2) tem a forma x1x2· · · x1x2 = (x1x2)n para algum n, ou seja,
g12(x1, x2) = n
X
i=1
αi(x1x2)βi.
O termo l´ıder de h(x1, x2) est´a em g12(x1, x2) e tem coeficiente γ1δ1· · · γkδk6= 0 pois
carK 6= 2. Como γi, δj ∈ {±1, ±2} temos k Y i=1 γiδi = ±1 ou k Y i=1 γiδi = ±2m, m ∈ Z.
Consequentemente podemos escrever
x2g12(x1, x2)x1 = f (x2x1)
para algum polinˆomio n˜ao nulo f (x) sobre K0 de grau d = 2k + 2. Certamente f (x)
´
e determinado por h(x1, x2) e por sua vez por w.
Por hip´otese a2 = b2 = 0, logo
3.2. UNIDADES EM UMA ´ALGEBRA 27
ou seja, (1 + a) e (1 + b) s˜ao unidades de A. Temos tamb´em que (1 + a)n = 1 + na, ∀ n ∈ Z. Sabemos que w1(1 + b, 1 + a) = 1 ou seja, w1(1 + b, 1 + a) − 1 = 0. Assim: 0 = a[w1(1 + b, 1 + a) − 1]b = a[(1 + b)γ1(1 + a)δ1· · · (1 + b)γk(1 + a)δk]b = a[(1 + γ1b)(1 + δ1a) · · · (1 + γkb)(1 + δka)]b = a[h(b, a)]b = a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.
Notemos que ah0(b, a)b = 0 pois cada termo de h0 tem a2 ou b2 como fator. Al´em
disso
a[g11(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b,
pois cada termo de g21 ou g22 come¸ca com a e cada termo de g11 termina com b.
Portanto temos que:
a[g12(b, a)]b = 0.
Mas
f (ab) = ag12(b, a)b = 0.
2o caso: Se carK = 2, temos que U (A) satisfaz:
w1(x1, x2) = x γ1 1 x δ1 2 · · · x γk 1 x δk 2 onde γi, δj ∈ {±1, ±2} e γ1 = δk = 1.
Tomemos g1, g2, g3 ∈ U (A) logo g1g2, g1g3 ∈ U (A) e portanto
w1(g1g2, g1g3) = (g1g2)γ1(g1g3)δ1· · · (g1g2)γk(g1g3)δk = 1.
Obtemos ent˜ao a seguinte palavra:
w2(x1, x2, x3) = (x1x2)γ1(x1x3)δ1· · · (x1x2)γk(x1x3)δk.
Podemos reescrever w2(x1, x2, x3) da seguinte forma:
w3(x1, x2, x3) = zη11z η2
2 · · · z ηr
onde zi ∈ {x1, x2, x3}, zi 6= zi+1 e ηi ∈ {±1}. Mais ainda z1 = x1, zr = x3 e
η1 = ηr = 1.
Definimos o polinˆomio h em duas vari´aveis por:
h(x1, x2) = (1 + t1)(1 + t2) · · · (1 + tr) − 1 onde ti = x1x2x1 zi = x1; x2x1x2x1x2 zi = x2; (x1+ x2x1)x2(x1+ x1x2) zi = x3.
Em particular, t1 = x1x2x1 e tr = (x1+ x2x1)x2(x1+ x1x2). Agora escrevemos h tal
como em (3.2), ou seja,
h(x1, x2) = h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2)
Olhando para o polinˆomio t1t2· · · tr em h, vemos que g12 6= 0, e consequentemente
x2g12(x1, x2)x1 = f (x2x1) para algum polinˆomio n˜ao nulo f (x) ∈ K0[x]. ´E claro que
f (x) ´e determinada por h(x1, x2) e consequentemente por w.
Temos que
(bab)2 = (ababa)2 = ((b + ab)a(b + ba))2 = 0, ou seja,
1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba) s˜ao unidades. Portanto
w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) = 1
assim,
w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) − 1 = 0.
Como car K = 2, quando c ∈ A ´e tal que c2 = 0, temos (1 + c)−1 = 1 − c = 1 + c.
Ent˜ao,
0 = a[w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) − 1]b = ah(b, a)b
= a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.
Usando os mesmos argumentos como no caso anterior, conclu´ımos que
a[g12(b, a)]b = 0
portanto
3.2. UNIDADES EM UMA ´ALGEBRA 29
Vamos usar daqui em diante, as nota¸c˜oes f (x) e d como no lema anterior.
Lema 3.3 Seja A uma ´algebra sobre um corpo K e suponha U (A) ∈ GI. Sejam a, b ∈ A tais que a2 = b2 = 0, ent˜ao:
1. Se |K| > d; ent˜ao (ab)d= 0.
2. Se ab ´e nilpotente, ent˜ao (ab)d = 0.
Demonstra¸c˜ao:
1. Primeiramente suponhamos |K| > d. Para qualquer λ ∈ K temos que que (λa)2 = 0 e b2 = 0. Logo pelo Lema 3.2 existe f (x) ∈ K[x] de grau d tal que
f (λab) = 0. Seja f (x) =
d
X
i=0
aixi onde ad6= 0. Ent˜ao ad(ab)λd+ · · · + a1abλ + a0 = 0 para
qualquer λ ∈ K
Se |K| > d, o argumento do determinante de Vandermonde mostra que ad(ab)d = 0. Consequentemente (ab)d= 0.
2. Agora suponhamos que ab ´e nilpotente. Usando novamente o Lema 3.2 temos que existe f (x) ∈ K[x] de grau d tal que f (ab) = 0. Seja g(x) o polinˆomio min´ımo de ab sobre K. Ent˜ao g(x) = xk para algum k, pois ab ´e nilpo-
tente. Tamb´em g(x) | f (x) logo k ≤ d. Consequentemente (ab)d = 0 pois 0 = g(ab) = (ab)k.
Seja Mn(K) a ´algebra das matrizes n × n sobre um corpo K. Se U (Mn(K))
satisfaz uma identidade polinomial e n ≥ 2, ent˜ao n´os temos controle sobre o tipo de corpo K e o grau n. De fato, temos:
Lema 3.4 Seja K um corpo. Se U (Mn(K)) satisfaz w = 1 e n ≥ 2, ent˜ao
1. |K| ≤ d e consequentemente K ´e um corpo finito. 2. n < 2 log|K| d + 2 ≤ 2 log2 d + 2.
1. Consideremos as matrizes elementeres a = e12 e b = e21, ent˜ao a2 = b2 = 0.
Mas e11 = ab n˜ao ´e nilpotente, portanto pelo Lema 3.3 que |K| ≤ d. Desta
forma provamos 1.
2. Seja s o menor inteiro positivo tal que |K|s > d, ent˜ao
|K|s−1 ≤ d < |K|s.
Seja F um corpo finito tal que [F : K] = s, ou seja, DimKF = s. Portanto
|F | = |K|s > d.
Agora se α ∈ F, consideremos fα um K-homomorfismo tal que:
fα : F → F
β 7→ βα ou seja, F age sobre F por multiplica¸c˜ao `a direita. Podemos considerar o homomorfismo injetor:
f∗ : F → EndK(F )
α 7→ fα
Portanto F ,→ EndK(F ) ∼= Ms(K) e consequentemente
M2s(K) = M2(Ms(K)) ⊇ M2(F ).
Se n ≥ 2s, ent˜ao U (M2s(K)) ,→ U (Mn(K)) e por hip´otese U (Mn(K)) ∈ GI
e desta forma U (M2(F )) ∈ GI. Ent˜ao temos que M2(F ) ´e uma ´algebra sobre
F com |F | > d, mas isto contradiz a parte 1. Portanto conclu´ımos que n < 2s.
Afirma¸c˜ao 1: s − 1 ≤ log|K| d.
De fato: Temos que |K|s−1 ≤ d logo
logK |K|s−1≤ log|K| d ⇔ (s − 1)log|K| |K| ≤ log|K| d ⇔ (s − 1) ≤ log|K| d.
Desta forma n < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2.
Afirma¸c˜ao 2: |K| ≥ 2 ⇒ log|K| d ≤ log2 d.
De fato: Temos que
log|K| d = x ⇔ |K|x = d log2 d = y ⇔ 2y = d Mas |K| ≥ 2 ⇒ |K|x ≥ 2x ⇒ d ≥ 2x, e como 2x ≤ d = 2y ⇒ log|K| d ≤ log2 d. Portanto n < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2 ≤ 2 log2 d + 2
3.3. GPI E PI- ´ALGEBRAS 31
3.3
GPI e PI-´algebras
O pr´oximo resultado de J. Gon¸calves d´a condi¸c˜oes que garantem quando um anel de divis˜ao n˜ao comutativo cont´em um subgrupo livre de posto dois. Este resultado pode ser visto mais detalhadamente em [4], lema 2.0.
Lema 3.5 Seja D um anel de divis˜ao n˜ao comutativo de dimens˜ao finita sobre seu centro. Ent˜ao U (D) cont´em um subgrupo livre de posto dois.
Podemos agora estabelecer um resultado sobre ´algebras de p0-grupos localmente finitos.
Lema 3.6 Seja K um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e seja G um p0−grupo local- mente finito. Se U (KG) ∈ GI ent˜ao KG satisfaz uma identidade polinomial padr˜ao s2m para algum m determinado pela identidade de grupo satisfeita por U (KG).
Demonstra¸c˜ao: Seja m ∈ Z tal que m > 2 log2 d + 2.
Sejam α1, . . . , α2mquaisquer 2m elementos em KG e seja H o subgrupo de G gerado
pelos suportes dos elementos αi.
Por hip´otese G ´e localmente finito e como H ´e finitamente gerado, temos H finito, digamos |H| = n.
Consequentemente KH ´e artiniano pela proposi¸c˜ao 2.3.
Como H ≤ G e G ´e p0−grupo, segue imediatamente que H ´e p0−grupo, ou seja, H n˜ao possui p−elementos e portanto p - n.
Desta forma, KH ´e semisimples e pelo teorema de Wedderburn-Artin KH ∼= r X i=1 Mni(Di), onde ni ∈ Z + e D
i s˜ao K−´algebras de divis˜ao com dimens˜ao
finita sobre K.
Certamente cada U (Di) ∈ GI e [Di : Zi] ≤ [Di : K] < ∞ onde Zi ´e o centro de Di.
Pelo Lema 3.5, Di deve ser comutativo, ou seja, Di ´e um corpo.
Agora cada U (Mni) ∈ GI, ent˜ao pelo Lema 3.4 temos que ni < 2 log2 d + 2 < m,
ou seja, ni < m.
Consequentemente conclu´ımos que KH satisfaz s2m = 0 pelo teorema de Amitsur-
Levitzki e pela proposi¸c˜ao 1.18 (iv).
Mas α1, . . . , α2m∈ KH, logo s2m(α1, . . . , α2m) = 0 e portanto, KG satisfaz s2m.
Agora j´a estamos em condi¸c˜oes de demonstrar o teorema 1.26 enunciado na se¸c˜ao 4 do cap´ıtulo 1, ou seja, vamos assumir que G ´e um grupo de tor¸c˜ao, com U (KG) ∈ GI e KG satisfazendo uma GP I e vamos mostrar que KG ∈ P I.
Demonstra¸c˜ao: Seja ∆(G) = ∆ o FC-subgrupo, ou seja, ∆ := {g ∈ G / |cl(g)| < ∞}. Pelo Teorema 1.25, [G : ∆] < ∞ e |∆0| < ∞.
Afirma¸c˜ao 1: G de tor¸c˜ao, |∆0| < ∞ e [G : ∆] < ∞ ⇒ G localmente finito. De fato: Seja H 6 G tal que H ´e finitamente gerado.
Pergunta: H ´e finito?
Por hip´otese [G : ∆] < ∞, logo [∆H : ∆] < ∞. Como ∆H
∆ ∼ = H
∆ ∩ H, conclu´ımos que [H : ∆ ∩ H] < ∞. Pela proposi¸c˜ao 1.8, ∆ ∩ H ´e finitamente gerado.
Tamb´em temos que |∆0| < ∞ e como ∆0∩ H ≤ ∆0, logo |∆0 ∩ H| < ∞. Temos que ∆ ∩ H ∆0 ∩ H ∼ = ∆ ∩ ∆ 0 H ∆0 ≤ ∆ ∆0, onde ∆ ∆0 ´e abeliano. Desta forma ∆ ∩ H
∆0∩ H ´e finitamente gerado, abeliano e de tor¸c˜ao, logo pela proposi¸c˜ao 1.10, temos ∆ ∩ H ∆0 ∩ H < ∞. Portanto |H| < ∞ j´a que |H| = [H : ∆ ∩ H][∆ ∩ H : ∆0 ∩ H]|∆0 ∩ H|.
Seja C o centralizador de ∆0 em ∆, ou seja, C = C∆(∆
0
). Temos que [∆ : C] < ∞ pois |∆0| < ∞.
Afirma¸c˜ao 2: C0 ⊂ Z(C).
De fato: Como C ≤ ∆, logo C0 ≤ ∆0. Tomemos [x, y] ∈ C0 e b ∈ C.
Portanto [x, y]b = b−1[x, y]b = [x, y]b−1b = [x, y]
Desde que C0 ⊂ Z(C), temos C nilpotente.
Seja P o conjunto de todos os p−elementos em C, ou seja, P := {x ∈ C / o(x) = pn para algum n ∈ Z+}.
Afirma¸c˜ao 3: P C.
De fato: Sejam x, y ∈ P, logo o(x) = pk, o(y) = pl.
Consideremos H =< x, y >. Temos que H nilpotente finitamente gerado e de tor¸c˜ao, portanto pela proposi¸c˜ao 1.10, H ´e finito.
Temos que x, y ∈ Pi, onde Pi ´e um subgrupo de Sylow de C. Portanto xy ∈ Pi.
Consequentemente, P ≤ C. Claramente P C.
3.3. GPI E PI- ´ALGEBRAS 33
Tamb´em C ´e localmente finito portanto KC ´e anel localmente artiniano pela proposi¸c˜ao 2.3. Pelo lema 2.7 conclu´ımos que UKC
P
satisfaz uma identidade de grupo. Vemos que C
P ´e um p
0
−grupo localmente finito, consequentemente pelo lema 3.6 KC
P
satisfaz uma identidade polinomial. Usando o teorema 1.21, obtemos que C
P cont´em um subgrupo p−abeliano A
P de ´ındice finito (ou seja, A P 0 < ∞ e hC P : A P i < ∞). Claramente A P 0 | {z } p−grupo ≤ C P |{z} p0−grupo , portanto A P 0 = {1} e desta forma A P ´e abeliano e ent˜ao A0 ≤ P.
Agora [G : A] = [G : ∆][∆ : C][C : A] < ∞ e A0 ≤ P ∩ ∆0 ´e um p−grupo finito. Portanto A0 ´e um p−grupo finito. Logo A ´e um subgrupo p−abeliano e [G : A] < ∞. Desta forma pelo teorema 1.21 conclu´ımos que KG satisfaz uma identidade polino- mial.
Cap´ıtulo 4
Demonstra¸c˜ao da Conjectura de
Hartley
Neste cap´ıtulo, veremos quais foram os argumentos utilizados por Liu no artigo [6] para demonstrar a Conjectura de Hartley. Veremos que ele considerou dois casos: Primeiramente considerou o caso em que a ´algebra de grupo ´e semiprima e consequentemente atacou o problema quando a caracter´ıstica do corpo ´e zero. Depois, ele se preocupou no caso em que a caracter´ıstica do corpo ´e prima, levando em considera¸c˜ao o radical nilpotente de KG e o teorema principal do cap´ıtulo 3. Poderemos notar que os argumentos de Liu s˜ao basicamente os mesmos usados por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti em [3], na demonstr¸c˜ao da conjectura de Hartley, no caso em que o corpo K ´e infinito.
4.1
Algebra de Grupo Semiprima´
Antes de apresentarmos a demonstra¸c˜ao da Conjectura de Hartley veremos alguns lemas que ser˜ao essenciais para a demonstra¸c˜ao de tal Conjectura, quando estivermos no caso em que KG ´e uma ´algebra de grupo semiprima.
O pr´oximo resultado foi demonstrado por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti em [3].
Lema 4.1 Seja R um anel semiprimo e seja S := {a ∈ R / ∀ b, c ∈ R, bc = 0 ⇒ bac = 0}. Se S cont´em todos elementos de R de quadrado zero, ent˜ao S cont´em todos elementos nilpotentes de R.
Lema 4.2 Seja R uma ´algebra sobre um corpo K. Suponha que para todo a, b, c ∈ R com a2 = bc = 0, temos bac = 0. Ent˜ao qualquer idempotente de R ´
e central.
Demonstra¸c˜ao: Veja lema 2 em [3].
O pr´oximo resultado ´e uma imediata e simples consequˆencia do Lema 3.2.
Recordemos que K0 denota o conjunto dos inteiros em K e que o lema 3.2 nos
garante que para uma ´algebra A sobre um corpo K tal que U (A) satisfaz uma identidade de grupo, obtemos um polinˆomio f (x) sobre K0 de grau d (o qual ´e
determinado pela identidade de grupo satisfeita por U (A)) tal que se a, b ∈ R e a2 = b2 = 0 temos f (ab) = 0.
Lema 4.3 Seja R uma ´algebra sobre um corpo K e suponha que U (R) ∈ GI. Se a, b, c ∈ R tal que a2 = bc = 0, ent˜ao todos os elementos de bacR satisfaz algum
polinˆomio g(x) ∈ K0[x] de grau d + 1.
Demonstra¸c˜ao: Pelo lema 3.2 existe um polinˆomio f (x) ∈ K0[x] de grau d tal que
f (acrb) = 0.
Seja f (x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + adxd e consideremos g(x) = xf (x).
Ent˜ao:
g(bacr) = bacrf (bacr)
= bacr[a0+ a1(bacr) + a2(bacr)2+ · · · + ad(bacr)d]
= b[a0+ a1(acrb) + a2(acrb)2+ · · · ad(acrb)d]acr
= bf (acrb)acr = 0
A partir destes lemas, temos agora condi¸c˜oes de ver a demonstra¸c˜ao da Conjectura de Hartley quando KG ´e uma ´algebra de grupo semiprima. Para uma compara¸c˜ao com os argumentos de Giambruno, Sehgal e Valenti ver [3].
Teorema 4.4 Seja K um corpo tal que carK = p ≥ 0 e seja G um grupo de tor¸c˜ao. Suponha que KG ´e uma ´algebra de grupo semiprima. Se U (KG) ∈ GI ent˜ao KG ∈ P I.
4.1. ALGEBRA DE GRUPO SEMIPRIMA´ 37
Demonstra¸c˜ao: Seja k = d + 1. Consideraremos dois casos:
1o caso: Existem elementos a, b, c ∈ KG tais que a2 = bc = 0 e (bacKG)k 6= 0.
Pelo lema 4.3, bacKG satisfaz uma identidade polinomial de grau k. Pelo lema 1.24 KG satisfaz uma GP I pois (bacKG)k 6= 0. Agora usando o teorema 1.26 obtemos que KG satisfaz uma identidade polinomial.
2o caso: Para todos elementos a, b, c ∈ KG tais que a2 = bc = 0, temos
(bacKG)k = 0.
Por hip´otese KG ´e semiprimo, portanto bac = 0. Pelo lema 4.2 todos idempotentes de KG s˜ao centrais. Pelo lema 4.1, se a, b, c ∈ KG s˜ao tais que a ´e nilpotente e bc = 0, ent˜ao bac = 0.
Consideremos P e Q os conjuntos:
P := {g ∈ G / o(g) = pk para algum k};
Q := {g ∈ G / p - o(g)}. Se p = 0 ent˜ao P = {1}.
Suponhamos carK = p > 0.
Tomemos h ∈ P. Logo o(h) = pr para algum r. Seja bh = 1 + h + h2+ · · · + hpr−1
. Temos que (h − 1)bh = 0.
Desde que para qualquer g ∈ P, temos g − 1 nilpotente e pelo que observamos anteriormente, (h − 1)(g − 1)bh = 0. Mas (h − 1)(g − 1)bh = (h − 1)gbh − (h − 1)bh = (h − 1)gbh ou seja, (h − 1)gbh = 0. Consequentemente g = hghi para algum i. Portanto g−1hg = h−i.
Isto mostra que P ´e um grupo e < h >P.
Para qualquer h ∈ P, g ∈ Q, h − 1 ´e nilpotente e (g − 1)bg = 0. Novamente (g − 1)(h − 1)bg = 0.
Fazendo os mesmos c´alculos como acima, obtemos
Portanto h−1gh = g−j. Notemos que g−1h−1g | {z } ∈ P h | {z } ∈ P = g−1g−j = g−j−1 | {z } ∈ Q ∈ P ∩ Q = 1,
j´a que P ´e um subgrupo normal.
Obtemos ent˜ao que gh = hg para qualquer h ∈ P, g ∈ Q.
Assim para qualquer h ∈ P, < h > comuta com Q e ´e normalizado por P, logo < h > G.
Mas, | < h > | = pr, pelo lema 1.31 conclu´ımos que h = 1 pois KG ´e uma ´algebra
semiprima. Desta forma para carK = p > 0, tamb´em obtemos que P = {1}.
Agora temos que P = {1} quando carK = p ≥ 0, portanto Q = G, ou seja, G ´e um p0−grupo.
Tomemos x ∈ G tal que o(x) = m. Claramente m 6= 0 em K. O elemento e = xb
m ´e idempotente de KG; onde bx = 1 + x + x
2+ · · · + xm−1.
Como todos os idempotentes s˜ao centrais, eg = ge, ∀ g ∈ G. Consequentemente xg = gxi para algum i, ou seja,
< x > G, ∀ x ∈ G.
Ent˜ao G ´e p0−grupo para o qual todo todo subgrupo de G ´e normal. Desta forma G ´e abeliano ou hamiltoniano.
Suponhamos que G ´e hamiltoniano, logo Q8 ⊂ G.
Agora se p = 2 significa que G ´e um 20−grupo, ou seja, n˜ao possui elemento de ordem 2 (o que seria um absurdo, pois Q8 ⊂ G).
Logo p 6= 2 e deste modo KQ8 ´e semisimples pelo teorema de Maschke.
Assim KQ8 u ⊕Mni(Di), onde Di´e anel de divis˜ao para todo i com dimens˜ao finita
sobre seu centro.
Mas KQ8 ⊂ KG e como os idempotentes de KG s˜ao centrais ent˜ao todos os idem-
potentes de KQ8 s˜ao centrais ( Mni(Di) ´e comutativo para todo i). Deste modo
cada ni = 1.
Por hip´otese U (KG) ∈ GI, ent˜ao tamb´em U (KQ8) ∈ GI. Logo U (Di) ∈ GI e
portanto n˜ao pode conter um subgrupo livre. Usando o lema 3.5 obtemos que Di ´e
comutativo, ou seja, KQ8 ´e comutativo. Absurdo.
Logo G ´e abeliano.
Consequentemente KG satisfaz a identidade polinomial w1(x, y) = xy − yx.
4.2. CASO GERAL 39
4.2
Caso Geral
O radical nilpotente de uma ´algebra de grupo KG foi definido no cap´ıtulo 1 como a soma de todos os ideais nilpotentes de KG. Veremos agora alguns resultados sobre a nilpotˆencia de N (KG). A demonstra¸c˜ao do primeiro deles pode ser encontrado em [9]. Desde que na se¸c˜ao anterior, trabalhamos com ´algebras de grupos semiprimas, j´a foi tratado o caso carK = 0. Portanto nos pr´oximos resultados nos preocuparemos somente com o caso carK = p > 0.
Lema 4.5 Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja G um grupo. Se N (KG) ´e nilpotente ent˜ao G possui subgrupos P e H tais que P ´e um p−grupo finito, [G : H] < ∞ e P = ∆p(H).
Teorema 4.6 Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja G um grupo de tor¸c˜ao. Se N (KG) ´e nilpotente e U (KG) ∈ GI ent˜ao KG ∈ P I .
Demonstra¸c˜ao: Como N (KG) ´e nilpotente, podemos escolher subgrupos P e H de G como no lema 4.5.
Mas G ´e de tor¸c˜ao e ∆p(H) = P ´e um p−grupo finito, portanto ∆H
P
= ∆(H) P ´e um p0−grupo, consequentemente pela proposi¸c˜ao 1.31 KH
P ´ e semiprimo. Como P H, a aplica¸c˜ao ϕ : KH → KH P ´
e um homomorfismo sobrejetor onde kerϕ ´e o ideal ∆(H, P ) com base {x − 1 / x ∈ P, x 6= 1} sobre K. Al´em disso, se P ´e um p−grupo finito e car K = p ent˜ao ∆(H, P ) ´e nilpotente [fazer referˆencia]. Isto garante que o homomorfismo ϕ : U (KH) → Ue
K H P ´e sobrejetor. Agora, fazendo uso do teorema 4.4 conclu´ımos que KH
P
satisfaz uma identi- dade polinomial. Portanto H
P possui um subgrupo p−abeliano A P de ´ındice finito (teorema 1.21), ou seja, A P 0 ´ e um p−grupo finito e hH P : A P i
< ∞, da´ı segue que [H : A] < ∞.
Consequentemente A0 ´e um p−grupo finito e como [G : H] < ∞ conclu´ımos que A ´e um subgrupo p−abeliano de G e [G : A] < ∞. Pelo teorema 1.21 KG satisfaz uma identidade polinomial.
Antes de enunciar o pr´oximo resultado que tem como conclus˜ao o teorema anterior para N (KG) n˜ao nilpotente, introduziremos alguns conceitos referentes a ´algebras livres.
Seja A = K{X} a ´algebra livre em um conjunto enumer´avel X = {x1, x2, . . .}
e K um corpo de caracter´ıstica p > 0. Denotaremos por A[[t]] o anel das s´eries de potˆencias sobre A, onde t ´e uma indeterminada. Para qualquer n, os elementos 1 + x1, 1 + x2, . . . , 1 + xn s˜ao unidades em A[[t]] com inverso 1 +
P∞
k=1(−1) kxk
itk para
cada i.
Tais unidades geram um subgrupo livre pelo seguinte argumento de Magnus: Suponhamos que (1 + xi1t) α1(1 + x i2t) α2· · · (1 + x iet) αe, = 1. (4.1)
Escrevemos αi = psiβi, p - βi. Ent˜ao a equa¸c˜ao. (4.1) fica
(1 + xi1 ps1β1tps1β1)(1 + x i2 ps2β2tps2β2) · · · (1 + x ie pseβ etpseβe) = 1. (4.2) Agora seja yik = xik
psk, portanto a equa¸c˜ao (4.2) fica:
(1 + yi1t ps1 )β1(1 + y i2t ps2 )β2· · · (1 + y iet pse )βe = 1.
Observamos que o coeficiente de yi1yi2· · · yiet
P psj
no lado esquerdo ´e β1β2· · · βs, o
qual n˜ao ´e zero e portanto obtemos uma contradi¸c˜ao. Consequentemente o grupo das unidades de A[[t]] n˜ao satisfaz nenhuma palavra.
Em particular se w = w(y1, y2, . . . , yk) ´e uma identidade de grupo satisfeita por
U (KG) ent˜ao w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.
Visto isto, agora podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 4.7 Seja K um corpo de caracter´ıtica p > 0 e seja G um grupo de tor¸c˜ao. Se N (KG) n˜ao ´e nilpotente e U (KG) ∈ GI, ent˜ao KG ∈ P I.
Demonstra¸c˜ao: Consideramos A[[t]] o anel das s´eries de potˆencias sobre A. Como vimos anteriormente, se w ´e uma palavra em k vari´aveis satisfeita por U (KG) ent˜ao w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.
Portanto podemos encontrar uma express˜ao da forma
w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) − 1 =
X
i≥1
4.2. CASO GERAL 41
onde fi(x1, . . . , xk) ∈ K{X} ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau i.
Consequentemente existe um menor inteiro s ≥ 1 tal que fs(x1, . . . , xk) 6= 0 e
podemos escrever
w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) − 1 =
X
i≥s
fi(x1, . . . , xk)ti 6= 0,
Afirma¸c˜ao: Para qualquer inteiro n, existe um ideal nilpotente I de KG tal que In6= 0.
De fato: Suponhamos por absurdo que In = 0 para qualquer ideal nilpotente I de
KG.
Sejam a1, . . . , an ∈ N (KG).
Existe um n´umero finito de ideais nilpotentes I1, . . . , Ij tal que
{a1, . . . , an} ⊆ J =
Pj
i=1Ii. Claramente J ´e nilpotente, portanto Jn= 0.
Logo a1a2· · · an = 0 e (N (KG))n = 0, absurdo.
Consequentemente podemos encontrar um ideal nilpotente I de KG tais que Ir 6= 0
e Ir+1 = 0 para algum inteiro r > s.
Para quaisquer a1, . . . , ak, ak+1 ∈ I, 1+a1, . . . , 1+ak s˜ao unidades de KG. Portanto:
0 = w(1 + a1, . . . , 1 + ak) − 1 = r
X
i=s
fi(a1, . . . , ak)
pois Ir+1 = 0 e f ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau i. Ent˜ao
0 = (w(1 + a1, . . . , 1 + ak) − 1)ar−sk+1 = r X i=s fi(a1, . . . , ak)ar−sk+1 Para i ≥ s + 1, fi(a1, . . . , ak)ar−sk+1 = 0
pois fi(x1, . . . , xk)xr−sk+1 ´e homogˆeneo de grau i + r − s ≥ r + 1 e Ir+1 = 0.
Consequentemente fs(a1, . . . , ak)ar−sk+1 = 0.
Desta forma fs(x1, . . . , xk)ar−sk+1´e uma identidade polinomial de grau r para I. Como
Ir 6= 0, logo pelo lema 1.24 KG satisfaz uma GPI e consequentemente uma identi-
dade polinomial pelo teorema 1.26.
Desta forma, combinando o teorema 1.30 e o teorema 4.4 demonstramos a con- jectura no caso quando a caracter´ıstica do corpo ´e zero. Os teoremas 4.6 e 4.7 demonstram a Conjectura de Hartley no caso quando a caracter´ıstica do corpo ´e prima.
Considera¸c˜oes Finais
Ap´os termos visto a demonstra¸c˜ao da Conjectura de Hartley, podemos nos per- guntar quais as condi¸c˜oes sobre um corpo K e um grupo de tor¸c˜ao G que nos garantem que U (KG) satisfaz uma identidade de grupo pois, sob estas condi¸c˜oes, automaticamente teremos que KG satisfaz uma identidade polinomial.
Logo ap´os a publica¸c˜ao do artigo de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti [3] em 1997, D. Passman respondeu esta quest˜ao para ´algebras de grupos sobre corpos infinitos. De fato, o seguinte foi demonstrado:
Teorema 4.8 (Passman, [8]) Se K ´e um corpo infinito de caracter´ıstica p > 0 e G ´e um grupo de tor¸c˜ao, ent˜ao o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo se, e somente se, KG satisfaz uma identidade polinomial e G0 ´e de expoente limitado.
Por outro lado, o lema 2.3 de [3] afirma que para qualquer grupo finito n˜ao abeliano G e qualquer corpo infinito K de caracter´ıstica p > 0, se o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo ent˜ao o subgrupo comutador G0