CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E NÃO LINEARES

Circuitos magnéticos são usados para concentrar o efeito magnético de uma corrente em uma região particular do espaço. Em palavras mais simples, o circuito direciona o fluxo magnético para onde ele é necessário. Um circuito magnético pode ser construído a partir de uma variedade de seções com diferentes comprimentos, e diferentes propriedades magnéticas. As características magnetizantes dos materiais são não lineares, e isso deve ser levado em conta nos projetos de dispositivos eletromagnéticos. Um problema típico seria a determinação da corrente requerida em um enrolamento para produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro de um pequeno atuador, relé ou eletromagneto.

13.1 -CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES

São considerados magneticamente lineares os circuitos magnéticos onde a permeabilidade relativa é baixa. Circuitos magneticamente lineares podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou de material não-ferromagnético, ou quando o entreferro for bastante grande.

13.1.1 - Analogia com Circuitos Elétricos

Consideremos o dispositivo da figura 13.1, onde o núcleo é formado por um material magnético (µ µ〉 ₀).

figura 13.1 - Circuito magnético Pela lei de Ampére teremos:

r

s

H dL

I

l

.

∫

=

(13.1)

Considerando que H (em módulo) é constante ao longo do caminho mostrado na figura teremos:

13

CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E

NÃO LINEARES

V i

N

N I. = H l. m (13.2)

H N I

lm A esp m

= . ( . / ) _(13.3)

onde lm é o caminho médio percorrido por

ϕ

m.

O termo N.I será chamado de força magnetomotriz (Fmm). Como

r

B

= µ

H

, teremos: B N I lm = µ. . _(13.4)

e o fluxo magnético

ϕ

_m será:

ϕm = B S. (13.5) ϕm µ m Fmm l S = . _(13.6) ϕm Fmm = ℜ (13.7) O termo ℜ = lm _S µ (13.7)

é chamado de relutância do circuito magnético (dificuldade imposta à circulação do fluxo magnético), e tem como unidade : A/Wb.esp.

Considere agora o circuito elétrico da figura 13.2

Para esse circuito elétrico temos:

R l S = ρ _(13.8) I V R = _(13.9)

Portanto, para a corrente elétrica:

I Fem R Fem l S = _{= ρ (13.10)}

Podemos montar um circuito análogo ao circuito elétrico, para o circuito magnético:

V i R figura 19.2 - Circuito elétrico análogo

Circuito Magnético Circuito Elétrico

Fmm = N.I Fem = V

Fluxo Magnético =

ϕ

_m Corrente elétrica = I Relutância =

ℜ

Resistência Elétrica = R Permeabilidade = µ Condutividade = σ Permeância =

1

ℜ

Condutância =

G

=

1

R

Exemplo 13.1

Para o dispositivo da figura 13.1, têm-se: I = 5 A, N = 100 esp., M = 10 cm, Q = 8 cm, S = 2 cm2,

µ

_r = 1000. Calcular:

a) - A relutância do circuito magnético b) - A permeância do circuito magnético

c) - A intensidade de campo magnético no núcleo d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo e) - O fluxo magnético no núcleo

Resp:

ℜ

= 1,4x106 A/Wb.esp;

Ρ = ℜ

1

= 7.14x10-7 Wb.esp/A; H = 1.4x103 A.esp/m; B = 1.75 Wb/m2;

ϕ

_m = 3.5x10-4 Wb.

Exemplo 13.2

Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da figura 13.3, dados: N = 500 espiras, I = 1,0 A, µr1 = 200, µr2 = 100.

Figura 13.3 - Estrutura ferromagnética do exemplo 13.2 Solução

figura 13.4 - circuito elétrico análogo do exemplo 13.2

Para o lado do material 1:

NI= H l1 1 l cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm 1 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 28 = + + + + + + + + + + + = m / Ae 1 7 , 1785 28 , 0 1 500 l NI H 1 1 = × = =

Para o lado do material 2:

NI= H l_{2 2} 5 5 5 2 2 2 2 2 N medidas em cm espessura: 2 cm material 1 material 2 H1l1 H2l2 NI

m / Ae 71 , 1785 28 , 0 1 500 l NI H 2 2 = × = =

Indução magnética no braço esquerdo:

T 45 , 0 71 , 1785 10 4 200 H B₁=µ_r1µ_{0 1}= × ×π× −7× =

fluxo magnético no braço esquerdo:

φ_{1= B S1 1=0,45× ×4 10}−4 _{=1 8 10, ×} −4 _Wb

Indução magnética no braço direito:

T 23 , 0 71 , 1785 10 4 100 H B₂=µ_r1µ_{0 1}= × ×π× −7× =

fluxo magnético no braço direito:

φ_{2 = B S2 2 =0 23 4, × ×10}−4 _{=0 92, ×10}−4_Wb

fluxo magnético no braço central: φ_c=φ₁+φ₂ =2,72×10−4 Wb

13.2 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO-LINEARES

São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizam material ferromagnético, tais como ferro fundido, aço silício, aço fundido, ferrite etc. A maioria dos circuitos magnéticos reais são não lineares, pois a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos é variável (função de

r

B

no núcleo).

Exemplo 13.3

As dimensões da estrutura magnética 13.5 são indicadas na tabela. O enrolamento de excitação possui 100 espiras. Determine a corrente no enrolamento para estabelecer um fluxo de 1.5x10-4 (Wb). Considere que todo o fluxo está confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização da figura 13.7.

Mat. 1 - Ferro Fund. Mat. 2 - Aço-Silício

lm 0.2 m 0.4 m

S _{15x10-4 m2 15x10-4 m2}

Solução

figura 13.5 - Estrutura ferromagnética figura 13.6 - Circuito elétrico análogo

Fmm N I H li i i n = = =

∑

. . 1 Fmm = H l₁. ₁ + H₂.l₂ em série temos: φ1 φ2 φ 4 15 10 = = = . x − (Wb) φ =B S. φ =B S₁. ₁= B S₂. ₂ B B S x x Wb m 1 2 4 4 2 1 5 10 15 10 0 1 = = φ = . ₋− = . ( / ) 2 1

figura 13.7 - Curvas de magnetização

Das curvas de magnetização temos: ferro fundido - B₁=0 1. (Wb m/ 2)⇒H₁≅225( .A esp m/ ) aço-silício - B₂ =0 1. (Wb m/ 2)⇒H₂ ≅35( .A esp m/ ) portanto: I H l H l N = 1 1. + 2.2 I= 225 0 2x +35 0 4x = A 100 0 59 . . . ( )

Imagine que tivéssemos que escolher apenas um tipo de material, entre os materiais 1 e 2, para manter o mesmo fluxo magnético. Qual seria o escolhido?. Se o material escolhido fosse o 2 teríamos : I H l H l N x x A ' = 1 1. + 2 2. = 35 0 2. +35 0 4. = . ( ) 100 0 21

Se o material 1 fosse o escolhido teríamos :

I' ' = 225 0 2x . + 225 0 4x . = . ( )A

100 1 35

Portanto o material escolhido seria o material 2, por requerer uma corrente (e consequentemente uma força magnetomotriz) muito menor do que a exigida no caso do material 1.

Exemplo 13.4

Considere a estrutura magnética mostrada na figura 13.6. Para um fluxo magnético de 1,5x10-4 Wb, qual é o valor de B nos pontos 1 e 2, dados que S1 = 16 cm

2

, S2 = 20 cm 2

, l1 = 15 cm, l2 = 30 cm, N =

Solução

O fluxo magnético é o mesmo, em qualquer seção:

φ φ= 1=φ2

A indução magnética na seção 1 é:

B S T 1 1 4 4 1 5 10 16 10 0 = = × × = − − φ , ,084

Da curva para o aço fundido (figura 13.5):

B₁ =0,084T ⇒ H₁= 85Ae m/

A indução magnética na seção 2 é:

B S T 2 2 4 4 1 5 10 20 10 0 075 = = × × = − − φ , ,

Da curva para o aço fundido (figura 13.5):

B2 =0 075, T ⇒ H1=65Ae m/

Aplicando a lei de Ampére:

NI=H l_{1 1}+H l_{2 2} I=85×0 15+65×0 = A 200 0 16 , ,3 , Exemplo 13.5

Uma estrutura magnética é feita de aço-silício. Determine a corrente quer deve circular no enrolamento com 500 espiras para estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura, dados: l1 = l3 =

50 cm, l2 = 15 cm, S = 22,5 cm 2

.

figura 13.7 - Estrutura magnética do exemplo 13.5 Solução malha I : Fmm= H l1. 1 + H2.l2 ( )I malha II 0= H l₃. ₃ − H l₂. ₂ ( )II nó 1: φ1=φ2 +φ3 (III)

figura 13.8 - Circuito análogo do exemplo 13.5

N = 500

L1 L3

L2 N

1 ₂

φ₃ 4 9 10 = _x − _Wb φ3= B S3. 3 B x x x Wb m 3 4 2 9 10 0 05 0 05 0 9 0 4 = = − . . . . /

Da curva de magnetização para o aço silício:

B3 = 0 4. ⇒ H3 =60 A esp m. /

A partir da equação (II):

H H l l x x x A esp m 2 3 3 2 2 2 60 50 10 15 10 200 = . = ₋ − . / Da curva de magnetização : H₂ = 200 ⇒ B₂ 1 07. Wb m/ 2 φ_{2 2 2} 4 1 07 0 05 0 05 0 9 24 08 10 = _{B S.} = _{. x( . x . x . )} = _{. x} − _Wb Da equação III : φ1 4 4 4 24 08 10 9 10 33 08 10 = . x − + x − = . x − Wb B S x x Wb m 1 1 1 4 4 2 33 08 10 22 5 10 1 47 φ = . ₋− = . . / Da curva de magnetização : B₁ =1 47. ⇒ H₁ =2050 A esp m. / Da equação I : Fmm= 2050 50 10x x −2 + 200 15 10x x −2 =1055A esp. ∴ =i 1055= A 500 2 11.

13.3 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS COM ENTREFERROS

Alguns dispositivos eletromagnéticos, tais como instrumentos de medidas, motores, relés etc, possuem um espaço de ar na sua estrutura magnética. Este espaço é chamado de “entreferro" (ou "air gap" em inglês).

Fig. 13.9 - Estrutura magnética com entreferro

Ao cruzar o entreferro, o fluxo magnético sofre um fenômeno chamado de espraiamento (frangeamento, espalhamento, efeito de bordas são termos sinônimos à este), conforme pode ser visto da figura 13.10. Isto faz com que a área efetiva por onde passa o fluxo seja maior que a área geométrica do entreferroefetiva por onde passa o fluxo seja maior que a área geométrica do entreferro.

Fig. 13.10 - Campo magnético em um entreferro

) m ( ) l b ).( l a ( S_gap= +_g + _g 2 (13.11)

Quando o entreferro é muito reduzido, o espraiamento pode ser desprezado. Exemplo 13.6

Vamos investigar a influência de um entreferro sobre um circuito magnético. Imagine uma estrutura de aço silício, com 100 espiras, uma seção de 5 cm x 2 cm e um comprimento médio de 50 cm. Deseja-se estabelecer valores de fluxo magnético de 3x10-4, 6x10-4 e 9x10-4 Wb. Determinar os valores de corrente necessários. Em seguida imagine um entreferro de 1 mm, e refaça os cálculos para encontrar os mesmos valores de fluxo. Analise os resultados.

Solução Sem entreferro: para φ =3 10x −4 Wb φ = B S. B S x x T = φ= 3 10−₋ = 10 10 0 3 4 4 . da curva de magnetização : B= 0 3. T⇒H=55A esp m. /

o valor da corrente será:

I H l N x A = . = 55 0 5. = . 100 0 275 para φ=6x10−4Wb B x x T = 6 10−₋ = 10 10 0 6 4 4 . 0 6. T⇒75A esp m. / I= 75 0 5x = A 100 0 375 . . para φ=9x10−4Wb B x x T = 9 10−₋ = 10 10 0 9 4 4 . 0 9. T⇒135A esp m. / I=135 0 5x = A 100 0 675 . . Com o entreferro: área do entreferro: S_g = (5+ 0 1. ). (2 +0 1. )= 10 71. cm2 para φ = 3 10x −4 Wb B S x x T g g g = φ = 3 10−₋ = 10 71 10 0 28 4 4 . . H B x A esp m g g = = ₋ = µ0 π 7 0 28 4 10 222906 . . / I =55 0 499x +222906 0 001x = A 100 2 50 . . . para φ =6 10x −4 Wb B x x T g 6 10 10 72 10 0 56 4 4 − − = . . H x A esp m g = − = 0 56 4 10 7 445812 . . / π I=75 0 499x +445812 0 001x = A 100 4 83 . . . para φ =9 10x −4 Wb B x x T g = = − − 9 10 10 71 10 0 84 4 4 . . H x A esp m g = ₋ = 0 84 4 10 7 668718 . . / π I =135 0 499x +668718 0 001x = A 100 7 36 . . .

- Para se obter os mesmos valores de fluxo, com a introdução do entreferro, é necessário um aumento muito grande nos valores da corrente.

- Praticamente toda a Fmm é utilizada para vencer o entreferro (Isso é torna-se mais acentuado quando o entreferro é maior)

- A introdução do entreferro tornou o circuito magnético (material magnético + entreferro) praticamente linear.

13.3.1 - FATOR DE EMPACOTAMENTO (OU FATOR DE LAMINAÇÃO)

Quando um material ferromagnético é colocado na presença de um campo magnético variável no tempo, correntes parasitas (correntes de Foucault) serão induzidas em seu interior, provocando aquecimento do material e, consequentemente, perdas. Para se reduzir este fenômeno, o núcleo de dispositivos eletromagnéticos deve ser construído com chapas de material ferromagnético, isoladas entre sí (com verniz, por exemplo).

Assim, devido ao processo de empilhamento das chapas para montagem do núcleo, a área efetiva do material ferromagnético, Smagnética ,é menor que a área geométrica, Sgeométrica, ocupada pelo núcleo. Portanto define-se o fator de empacotamento como :

k S S S S e magnética geométrica N = = _(13.12)

Uma outra razão de natureza prática para a laminação é facilitar a colocação das bobinas no dispositivo (construção e manutenção).

Fig. 13.12 - Núcleo Laminado

Espessura da chapa (mm ) _Ke 0.0127 0.50 0.0258 0.75 0.0508 0.85 0.10 a 0.25 0.90 0.27 a 0.36 0.95 Exemplo 13.7

Considere uma estrutura magnética construída com chapas de aço silício, com fator de empacotamento igual a 0.9. As dimensões da seção transversal do núcleo são a = 5 cm, b = 6 cm. O comprimento médio do caminho do fluxo é 1 m. Determine a Fmm necessária para estabelecer um fluxo de 25x10-4 Wb no entreferro. O comprimento do entreferro é 0.5 cm.

(

)

(

)

B S T g g g = = × + + = − φ 25 10 0 05 0 005 0 06 0 005 0 7 4 , , , , , Hg B Ae m g = = µ₀ 557042 3, / B S T n n n = = × × × = − φ 25 10 0 05 0 06 0 9 0 93 4 , , , ,

Da curva de magnetização p/ o aço silício:

Bn = 0 93, T ⇒ Hn = 130Ae m/

Fmm=H l_{g g} + H l_{n n}

Fmm=557042 3 0 005, × , +130×0 995, = 2914 6, Ae

Exemplo 13.8

Considere a mesma estrutura, porém com uma bobina de 500 espiras, e uma corrente de 6 A. Qual é o valor do fluxo no entreferro ?

Solução N i. = H ln. n + H lg. g (I) φn = φg = =φ B S. φ =B Sg. g= B Sn. n ∴B = B S = S H g n n g g.µ0 H B S S g n n g = µ0 (II)

Substituindo (II) em (I) :

N i H l B S S l III n n n n g g . . . . ( ) = + µ0

A equação acima recebe o nome de reta negativa de entreferro (veja figura 18.4)

Fazendo-se Hn=0 em (III): B N i S S l Wb m n g n g = . . . ≅ . . ( / ) µ0 _{1 05} 2 Fazendo-se B_n = 0 em (III): H N i l A esp m n n = . =3000 ( . / )

Fig. 13.13 - Intersecção curva de magnetização e reta negativa de entreferro

Da figura 13.13, determinamos graficamente os valores m / esp . A 145 H e m / Wb 04 . 0 B'_n= 2 '_n= Portanto : Wb 10 x 0 , 30 ) 06 . x 05 (. x 9 . 0 x 93 . 0 S . B'_{n n}= = −4 = φ Exemplo 13.9

Um circuito magnético toroidal de aço fundido apresenta uma seção transversal circular de 10 cm2. O comprimento médio do circuito magnético é 35 cm, com um gap de 1 mm. O circuito elétrico é alimentado por uma corrente de 3 A, em uma bobina de 200 espiras. Determinar o fluxo no entreferro. Solução B H Reta negativa de entreferro Curva de magnetização V i R

Fig. 13.14 - Circuito Magnético e circuito análogo do exemplo

Vamos inicialmente calcular a área efetiva do entreferro. S_toróide =πr2 =10 10x −4 m2 r = x = m − 10 10 0 0178 4 π .

Raio efetivo do entreferro:

r =0 0178. + 0 001. = 0 0188. m

Área efetiva do entreferro :

S_g =π. .0 01882 =111 10.x −4 m2 Como o circuito é de aço fundido, ke = 1.

N I. = H_n.l_n + H_g.l_g φ = φn = φg B Sg g = B Sn n B S S B g n g n = . N I H l B S S l n n n n g g . = . + . . Fazendo Hn = 0 : ) m / Wb ( 837 . 0 10 . 10 x 10 10 x 1 . 11 x 10 x 4 x 3 x 200 l . S . S . I . N B 2 3 4 4 7 g n 0 g n = π = µ = − − − − Fazendo Bn= 0 : H N I l A esp m n n = . =1719 2. ( . / )

Do cruzamento da reta negativa de entreferro com a curva de magnetização do material magnético do núcleo obtemos :

B_n =0 61. (Wb m/ 2) H_n =325 ( .A esp m/ )

Retornando esses valores na equação original teríamos:

N I x

x x A esp

. = 325 0 349. + 0 61. ₋ . = . ( . ) 4π 10 7 0 01 598 85

O valor correto para N.I seria 600 A.esp. Portanto este método gráfico permite obter soluções bastantes precisas.

O fluxo no entreferro é : φg = B Sg. g = 6 77 10. x − (Wb)

EXERCÍCIOS

1) - Um circuito magnético compõe-se de duas partes de mesmo material ferromagnético (µr 4000).

A parte 1 tem 50 mm de comprimento e 104 mm2 de seção reta. A parte 2 tem 30 mm de comprimento e 120 mm2. O material está na parte da curva onde a permeabilidade relativa é proporcional à densidade de fluxo. Encontre o fluxo ϕ, supondo uma Fmm de 40 Ae.

2) - A figura abaixo mostra um circuito magnético cujos braços são de aço fundido. A parte 1 tem l1 = 34 cm, e S1 = 6 cm2. A parte 2 tem l2 = 16 cm e S2 = 4 cm2. Calcule a corrente do enrolamento I1 supondo que I2 = 0.5 A., N1 = 200 espiras, N2 = 100 espiras, e ϕ = 120 µWb.

figura do problema 2

3) - A figura abaixo mostra um circuito magnético com uma Fmm de 500 Ae. A parte 1 é de aço fundido, com l1 = 340 mm, e S1 = 400 mm2. A parte 2 é de ferro fundido, com l2 = 138 mm e S2 = 360 mm2. Calcule o fluxo magnético.

figura do problema 3

4) - Para o circuito magnético mostrado na figura abaixo, a permeabiliade relativa é 1000. A seção transversal é de 2 cm2, com exceção da perna central, que é de 4 cm2. Os caminhos l1 e l2 medem

24 cm, e l3 mede 8 cm. Calcular o fluxo magnético nos pontos 1 e 2.

figura do problema 4 2 1 N2 N1 F2 F1 1 2 1000 Ae 500 Ae L1 L2 L3

2 cm Espessura 2 cm Entreferro = 1 mm Fmm = 500 Fmm = 500 5 cm 2 cm 6 cm 4 cm 6 cm 2 cm 2 cm

5) - Um núcleo em aço-silício, seção retangular de 10 mm x 8 mm, comprimento médio de 150 mm. Possui um entreferro de 0.8 mm. O fluxo é 80 x 10-6 Wb. Calcule a Fmm.

6) - O circuito magnético mostrado na figura abaixo é de aço fundido. A bobina tem 500 espiras. As dimensões são : le = 1mm, S2 = S3 = 150 mm2 , S1 = 300 mm2 , l1 = 40 mm, l2 = 110 mm e l3 = 109 mm. Calcule a corrente na bobina para gerar um fluxo de 125 µWb no entreferro. Suponha que Se é 17 % maior que S3.

Figura do problema 6

7) - Encontre a densidade de fluxo em cada um dos três braços do circuito magnético mostrado na figura abaixo. Considere H = 200B no aço.

figura do problema 7

N = 500

L2 L3