UFRJ - CCMN - IM - Departamento de M´etodos Estat´ısticos Estat´ıstica (MAD231) - Prova # 1 - Padr˜ao de resposta
1. Uma pesquisa sobre a qualidade de um produto foi realizada enviando-se question´arios a donas de casa pelo correio. Aventando-se a possibilidade de que os respondentes volunt´arios tenham um particular vi´es de respostas, fizeram-se mais de duas tentativas entre os n˜ao-respondentes. Os resultados obtidos est˜ao resumidos na tabela a seguir.
Opini˜ao Donas de casa
sobre o primeira segunda terceira total produto tentativa tentativa tentativa
Excelente 62 (58,4) 36 (34,4) 12 (17,2) 110 Satisfat´orio 84 (74,4) 42 (43,8) 14 (21,8) 140 Insatisfat´orio 24 (37,2) 22 (21,8) 24 (11,0) 70
Total 170 100 50 320
Fonte: Dados Fict´ıcios.
(a) Vocˆe diria que existe alguma associa¸c˜ao entre a opini˜ao sobre o produto e ordem da tentativa na qual foi dada a resposta? Por que?
Sim. Olhando os perfis-linha (distribui¸c˜oes marginais por tipo de opini˜ao), percebemos que entre os de opini˜ao “Insatisfat´orio” a propor¸c˜ao de respostas ´e aproximadamente 1/3 em qualquer das tentativas, mas entre os de opini˜ao “Excelente” ou “Satisfat´orio” a propor¸c˜ao ´e maior que a metade na primeira tentativa, caindo para cerca de 1/3 na segunda tentativa e cerca de 10% na terceira.
Opini˜ao Donas de casa
sobre o primeira segunda terceira total produto tentativa tentativa tentativa
Excelente 56,5% 32,7% 10,9% 100%
Satisfat´orio 60,0% 30,0% 10,0% 100%
Insatisfat´orio 34,3% 31,4% 34,3% 100%
Total 53,1% 31,3% 15,6% 100%
Parece que na terceira tentativa o respondente tende a dar mais respostas negativas. Talvez, a insistˆencia do pesquisador em mandar o question´ario faz com que a pessoa o responda de forma “mal-humorada”.
(b) Calcule o qui-quadrado correspondente a esses dados sob a hip´otese de que as respostas s˜ao independentes?
Na tabela inicial est˜ao discriminados os valores esperados
χ2 = 0, 2219+0, 0744+1, 5721+1, 2387+0, 0740+2, 7908+4, 6839+0, 0018+15, 3636 = 26, 0212
(c) Que cela da tabela mais contribuiu para o valor do qui-quadrado?
A cela da terceira tentativa com resposta “Insatisfat´orio” (15,3636) corresponde a 60% do valor total do qui-quadrado.
2. A tabela a seguir fornece informa¸c˜ao sobre a expectativa de vida ao nascer (em anos) e o n´umero de pessoas por aparelho de TV para uma amostra de 22 pa´ıses.
Pa´ıs E. V. P/TV Pa´ıs E.V. P/TV
Angola 44,0 200,0 M´exico 72,0 6,6 Austr´alia 76,5 2,0 Marrocos 64,5 21,0 Camboja 49,5 177,0 Paquist˜ao 56,5 73,0 Canad´a 76,5 1,7 R´ussia 69,0 3,2
China 70,0 8,0 Africa do Sul´ 64,0 11,0 Egito 60,5 15,0 Sri Lanka 71,5 28,0
Fran¸ca 78,0 2,6 Uganda 51,0 191,0
Haiti 53,5 234,0 Reino Unido 76,0 3,0 Iraque 67,0 18,0 Estados Unidos 75,5 1,3 Jap˜ao 79,0 1,8 Vietnam 65,6 29,0
Madagascar 52,5 92,0 Yemen 50,0 38,0
Fonte: Rossman e Chance. (1998).
Workshop Statistics. Springer.
(a) Construa o boxplot dos dados sobre expectativa de vida, sabendo que o esquema dos cinco n´umeros correspondente ´e 44,0 53,5 66,0 75,5 79,0 .
H´a algum pa´ıs dessa amostra com valor discrepante em rela¸c˜ao `a expectativa de vida? Diga qual ou quais em caso afirmativo.
DEQ = Q3 − Q1 = 22, 1, 5DEQ = 33, Q1 − 1, 5DEA = 20, 5. N˜ao h´a pa´ıses com E.V. menor que 20,5. Q3 + 1, 5DEQ = 108, 5. N˜ao h´a pa´ıses com E. V. maior que 108,5. Logo, na distribui¸c˜ao de esperan¸ca de vida dessa amostra, n˜ao h´a valores discrepantes. O box-plot ´e dado por:
(b) Construa o boxplot dos dados sobre n´umero de pessoas por TV, sabendo que o esquema dos cinco n´umeros correspondente ´e 1,3 3,0 16,5 73,0 234,0 .
H´a algum pa´ıs dessa amostra com valor discrepante em rela¸c˜ao ao n´umero de pessoas por TV? Diga qual ou quais em caso afirmativo.
DEQ = Q3 − Q1 = 70, 1, 5DEQ = 105, Q1 − 105 < 0. N˜ao h´a pa´ıses com valores discrepantes baixos. Q3 + 1, 5DEQ = 178. H´a tr es pa´ıses discrepantes: Angorla (200), Haiti (234) e Uganda (191). O box-plot ´e dado por:
(c) Calcule a correla¸c˜ao entre essas duas vari´aveis usando as informa¸c˜oes a seguir. Informa¸c˜ao Expectativa de vida (X) Pessoas por TV (Y)
soma simples 1422,0 1157,20
soma de quadrados 94391,50 180684,40
soma de produtos (xy)=60545,20
c ' −14252
49, 795 × 346, 144 ' −0, 83
(d) Uma pessoa, ap´os obter a correla¸c˜ao, concluiu que “mandar aparelhos de TV para os pa´ıses com baixa expectativa de vida poderia acarretar em amior longevidade de seus habitantes”. O que vocˆe acha dessa argumenta¸c˜ao?
Errada. Apesar da correla¸c˜ao ser alta e negativa, trata-se de correla¸c˜ao esp´uria. De fato existe uma terceira vari´avel, n˜ao considerada nesse exemplo, que pode explicar os movimentos opostos dessas duas. Qualquer indicador da Economia do Pa´ıs deve explicar esse comportamento. Pa´ıses em melhores condi¸c˜oes economicas tendem a ter maior expectativa de vida e um menor n´umero de pessoas por aparelho de TV. Nesse caso a correla¸c˜ao alta n˜ao implica em rela¸c˜ao de causa e efeito entre as vari´aveis analisadas.
3. A tabela a seguir resume os dados sobre taxas de mortalidade infantil (TMI) (por mil) de acordo com o n´ıvel de instru¸c˜ao da m˜ae para as 27 unidades da federa¸c˜ao em que o n´ıvel I corresponde a m˜aes com at´e 3 anos de estudo, o n´ıvel II corresponde a m˜aes com 4 a 7 anos de estudo e, o n´ıvel III, a m˜aes com 8 ou mais anos de estudo. (Fonte: IBGE, 2010, dados agregados por n´ıvel de instru¸c˜ao.)
dado n´ıvel I n´ıvel II n´ıvel III total
ni 27 27 27 81
soma simples (xi.) 672,7 469,5 324, 6 1466,8
soma de quadrados 17677,27 8593,45 4074,4 30345,12 (a) Calcule a m´edia e a variˆancia da TMI para cada n´ıvel de instru¸c˜ao.
I II III geral ¯
x 24,9 17,4 12,0 18,1 s2 35,27 16,51 6,61 47,29
(b) Vocˆe diria que as vari´aveis TMI e n´ıvel de instru¸c˜ao da m˜ae est˜ao de alguma forma relacionadas? Por que?
Sim. As taxas de mortalidade infantil m´edias decrescem conforme aumenta o n´ıvel de instru¸c˜ao da m˜ae.
(c) Calcule a propor¸c˜ao da varia¸c˜ao total das taxas de mortalidade infantil que ´e explicada pelo n´ıvel de instru¸c˜ao da m˜ae (R2). R2 = 672,72 27 + 469,52 27 + 324,62 27 − (1466, 8) 2/81 30345, 12 − (1466, 8)2/81 ' 2264, 94 3783, 36 ' 0, 5987
