ANÁLISE DE ESTABILIDADE EM ESTEIRAS DE CORPOS ROMBUDOS BIDIMENSIONAIS

ANÁLISE DE ESTABILIDADE EM ESTEIRAS DE CORPOS ROMBUDOS

BIDIMENSIONAIS

Bruno Araújo de Albuquerque Maranhão

Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA / CTA 12228-462 – São José dos Campos, São Paulo, Brasil Bolsista PIBIC-CNPq

Correio Eletrônico:

bruno.araujo.maranhao@gmail.com

Marcos Aurélio Ortega

ITA – IEAA

Praça Mal. Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias São José dos Campos – SP

Correio Eletrônico:

ortega@ita.br

Resumo: Neste artigo é mostrado um estudo sobre a análise de estabilidade de um escoamento em torno de um corpo rombudo, em

especial na sua esteira. A partir das equações da Dinâmica dos Fluidos e a introdução de uma perturbação inicial no escoamento é possível obter a equação de estabilidade de Rayleigh, para o caso de fluido não viscoso. Tal equação é resolvida para o caso de perfis com velocidade linear, onde a estabilidade do escoamento é analisada através da relação de dispersão do problema. Em seguida, é introduzido outro método de análise de estabilidade, o qual utiliza transformada de Laplace e de Fourier, bem como a teoria de Função de Green. O sucesso de tal método depende principalmente da solução de integrais complexas e da escolha do caminho de integração. A análise mais completa se faz de maneira não linear, chamada de análise de Floquet, que envolve os conceitos matemáticos abordados, porém de forma numérica.

Palavras chave: Estabilidade, Corpos Rombudos, Esteiras, Análise de Floquet.

1. Introdução

Este projeto tem como objetivo o estudo da estabilidade de escoamentos em torno de corpos rombudos. (Por “corpo rombudo” entende-se uma geometria tal que a espessura da esteira descolada é bem maior que uma espessura característica do corpo.) O estudo da estabilidade de fluidos viscosos em torno de um cilindro tem sido efetuado por muito tempo, haja vista sua importância prática e teórica. Desde as primeiras observações de Rayleigh, que apontavam que a formação de vórtices estava relacionada com uma instabilidade na esteira do cilindro, até estudos mais recentes, que mostram que a fronteira de estabilidade está diretamente ligada à relação de dispersão do sistema, é possível notar que a análise de estabilidade nem sempre é uma tarefa fácil, devido a grande complexidade do escoamento turbulento, representado pelas equações da dinâmica dos fluidos.

Para analisar a estabilidade de um escoamento, inicialmente obtemos o campo de velocidade

U x t

r r

( , )

e o campo de pressão

P x t

( , )

r

, necessários para determinar o escoamento básico. Esses campos são obtidos como solução das equações da dinâmica dos fluidos. Com o escoamento definido, introduz-se uma perturbação na esteira (média) do cilindro. A resposta do escoamento a esse impulso vai então dizer se o dado escoamento é estável, neutro, ou instável.

O escoamento será estável se a perturbação se extinguir assintoticamente; neutramente estável se o impulso persistir com amplitude semelhante; ou instável se a perturbação crescer a ponto de induzir uma transição qualitativa do escoamento — em geral transição laminar-laminar ou laminar-turbulenta. Além disso, há uma distinção no caráter da instabilidade do escoamento. Este é dito absolutamente instável se uma perturbação de pequena amplitude cresce exponencialmente e em

todos os sentidos a partir do local da geração do impulso. Se, por outro lado, a perturbação crescer, mas for transportada pelo próprio fluido para longe do local onde foi gerada, deixando o escoamento assintoticamente não-perturbado, é dito que o escoamento é convectivamente instável.

Matematicamente é possível fazer uma análise de estabilidade estudando a relação de dispersão do sistema perturbado. Nas equações de Navier-Stokes introduzimos os termos de perturbação de pressão e velocidade. Usando uma análise linear, desprezamos os termos quadráticos (pois se assume que as perturbações são pequenas) e chegamos a um sistema de equações diferenciais que nos dá a chamada relação de dispersão, que é função dos parâmetros: freqüência (

ω

), números de onda (

α β

,

) e número de Reynolds (Re). O estudo das singularidades desta relação possibilita a distinção do caráter estável, convectivamente instável ou absolutamente instável.

Para obter-se a chamada relação de dispersão do sistema, são utilizados métodos de resolução de equações diferencias, como no caso da equação de Rayleigh (caso não viscoso), ou da equação de Orr-Sommerfeld (caso viscoso). A dificuldade de se obter cada relação está relacionada ao perfil de velocidade utilizado. Para o caso de perfis lineares, ou lineares por partes, a solução torna-se relativamente simples. Já em perfis de velocidades mais complexos, a solução pode ser obtida utilizando transformadas de Fourier e Laplace, e posteriormente a Função de Green do problema. Este método não avalia a estabilidade diretamente pela relação de dispersão, mas sim pela análise da própria função de corrente, resolvida na equação diferencial.

2. Resultados Obtidos

2.1 Equações da Dinâmica dos Fluidos

As equações básicas da dinâmica dos fluidos são de fundamental importância para o estudo de estabilidade linear de um corpo submetido a um escoamento. Tem-se um conjunto de 3 equações: equação da continuidade, equação da

conservação da quantidade de movimento (equação vetorial) e equação da energia. Estas equações são deduzidas a partir de princípios físicos e mostradas abaixo, em sua forma diferencial, pois tem aplicação direta no problema proposto. Sendo

V

ur

o vetor velocidade, com componentes

u x y z t

( , , , )

,

v x y z t

( , , , )

e

w x y z t

( , , , )

,

p x y z t

( , , , )

a pressão estática e

( , , , )

x y z t

ρ

a densidade, tem-se:

(

V

)

0

t

ρ

ρ

∂

∇

+

=

∂

r

(1)

( )

u

₍

₎

p

uV

t

x

ρ

ρ

∂

_{+ ∇}

_{= −}

∂

∂

∂

r

(2)

( )

v

_{( )}

p

vV

t

y

ρ

ρ

∂

_{+ ∇}

_{= −}

∂

∂

∂

r

(3)

( )

w

₍

₎

p

wV

t

z

ρ

ρ

∂

_{+ ∇}

_{= −}

∂

∂

∂

r

(4)

Para um fluido incompressível, isto é, tal que a densidade seja praticamente invariável em relação a variações de pressão, as equações de momento e continuidade são suficientes para modelar um escoamento, pois temos duas equações para duas incógnitas, p e

V

r

. No entanto, ao tratarmos de fluidos compressíveis, introduzimos mais uma incógnita, a densidade, ρ, e precisamos de mais uma equação no sistema. Tal equação é a da energia, que envolve também mais duas variáveis, a energia interna e a temperatura (relacionadas pelas chamadas equações constitutivas).

2 2

(

)

2

2

V

V

e

e

V

V

t

ρ

ρ

ρ

⎡

⎛

⎞

⎤

⎡

⎛

⎞

⎤

∂

₊

_{+ ∇ ⋅}

₊

_{= −∇ ⋅}

⎢

⎜

⎟

⎥

⎢

⎜

⎟

⎥

∂

_⎣

_⎝

_⎠

_⎦

_⎣

_⎝

_⎠

_⎦

r

r

(5) (Nas equações apresentadas acima, os termos de viscosidade foram desprezados, bem como as forças de campo e transferência de calor).

A equação da energia introduz uma nova variável, a energia interna,

e

. Uma equação extra para a energia interna pode ser obtida através da termodinâmica. Por exemplo, se o gás é “caloricamente” perfeito, então

e c T

=

v , ou seja, a

energia é proporcional à temperatura, com uma constante chamada calor específico a volume constante. Se, além disso, o gás é “termicamente” perfeito, temos como equação de estado,

p

=

ρ

RT

, sendo R a constante específica do gás. Assim, dispomos de sete equações independentes (continuidade, três de momento, energia, e as duas relações acima) para sete incógnitas a serem determinadas,

ρ

, , , , , e

p u v w e T

, possibilitando o completo estudo do escoamento.

2.2 Equação de Rayleigh

Dado um escoamento incompressível conhecido (chamado normalmente de escoamento de base), estamos interessados em analisar a sua estabilidade quando o submetemos a uma perturbação inicial. Sendo os componentes de velocidade do escoamento de base (considerado estacionário e bidimensional) indicados por U, V, e a pressão por P, e ainda chamando as quantidades correspondentes de perturbação por

u%

,

v%

e

p%

, é evidente que:

(6)

u U u

v V v

p P p

= +

= +

= +

%

%

%

Aqui consideraremos que as perturbações impostas são pequenas em relação às condições de velocidade e pressão iniciais. Consideraremos, inicialmente, tanto o escoamento básico quanto as perturbações como bidimensionais. Ainda, simplificaremos as equações considerando que a velocidade média do escoamento de base seja dada por

U U z

=

( )

e

0

V

=

. Assim, temos escoamento paralelo ao plano xy. As perturbações são tomadas como dependentes de x, z, e do tempo:

u x z t v x z t p x z t

%

( , , ), ( , , ), ( , , )

%

%

.

Assim temos o movimento resultante descrito por

;

;

;

u U u

= +

%

v v

=

%

p P p

= +

%

(7)

Substituindo (6) nas equações de Euler (2, 3 e 4), desprezando termos quadráticos de perturbações, pois estas são pequenas em relação à velocidade inicial, e considerando que o escoamento não-perturbado foi obtido como solução das equações de Euler, resulta que:

1

0

1

0

0

u

u

dU

p

U

v

t

x

dz

x

v

v

p

U

t

x

z

u

v

x

z

ρ

ρ

∂

∂

∂

⎧

₊

₊

₊

₌

⎪ ∂

∂

∂

⎪

∂

∂

∂

⎪

₊

₊

₌

⎨ ∂

∂

∂

⎪

⎪∂

₊

∂

₌

⎪

_∂

_∂

⎩

%

%

_%

%

%

%

%

%

%

(8)

Supõe-se agora que a função de corrente representativa das perturbações seja da forma:

( )

( , , )

_{x z t}

( )

_{z e}

iα ωx t

ψ

₌

φ

−

. Tal perturbação pode ser expandida em série de Fourier, com cada um dos termos representando uma oscilação parcial. Na equação acima, α é um número real e

λ

=

2 /

π α

é o comprimento de onda da perturbação. A quantidade

ω

é, em geral, um complexo,

ω ω

=

R

+

i

ω

I, com

ω

R sendo a freqüência angular da oscilação

parcial, e

ω

I é um fator de amplificação, que determina o grau de amortecimento ou ampliação da perturbação. As

oscilações serão amortecidas se

ω

I

<

0

e ampliadas se

ω

I

>

0

. Introduzindo a definição da função de corrente, tem-se:

( ) ( )

'( )

(9)

( )

i x t i x t

u

z e

z

v

i

z e

x

α ω α ω

ψ φ

ψ

_αφ

− −

∂

=

=

∂

∂

= −

= −

∂

%

%

(10)

Com esses valores de

u%

e

v%

introduzidos nas equações (8), e após eliminar a pressão, chegamos à equação de Orr-Sommerfeld para fluido incompressível e não-viscoso:

(

_{U c}

₋

)

(

_{φ α φ}

_''

₋

2

)

₋

_U

_''

_φ

₌

_{0 (11)}

O valor de c é definido como:

c

=

ω

_α

Esta equação também é conhecida como equação de estabilidade sem fricção, ou equação de Rayleigh.

A equação de Rayleigh acima foi resolvida para casos em que o perfil de velocidade apresenta forma linear, ou linear por partes, resultando em uma maneira relativamente fácil de se obter a relação de dispersão do problema. Isto se deve ao fato de que a segunda derivada da velocidade é nula para um perfil linear. A equação de Rayleigh é resolvida juntamente com condições especiais, chamadas condições de compatibilidade ou continuidade, mostradas a seguir.

2.3 Relações de Dispersão

O problema de autovalor definido pela equação de Rayleigh é difícil de ser resolvido no caso de perfis de velocidade contínuos, pela própria dificuldade em se resolver a equação diferencial na forma geral. No entanto, como mostrado por Drazin (2004), para perfis de velocidade lineares por partes (isto é, formados pela união de retas), a solução da equação de Rayleigh é do tipo exponencial ou hiperbólica. Essas soluções devem satisfazer as chamadas condições de compatibilidade nas descontinuidades de U(z) ou U’(z). Supondo que U ou U’ seja descontínuo no ponto

z z

=

0, e denotando

0 0

(

)

(

)

f

f z

f z

∆ =

+ −

−

como sendo o salto (descontinuidade) da função

f

no ponto

z z

=

0, serão apresentadas as

duas condições de compatibilidade:

1ª condição:

∆

[(

U c

−

) '

φ

−

U

' ] 0

φ

=

em

z z

=

0

2ª condição:

∆

⎡

_⎢

_{U c}

φ

₋

⎤

_⎥

=

0

⎣

⎦

em

z z

=

0

Para ilustrar o método de obtenção das relações de dispersão, foram analisados dois tipos de escoamentos, mostrados abaixo: a)

,

1

( )

,

1

z

z

U z

z

z

z

⎧

<

⎪

= ⎨

_>

⎪

⎩

(12)

Neste escoamento, existem duas descontinuidades, em

z

0

=

1

e

z

0

= −

1

. A equação de Rayleigh para este caso

fica:

(

U c

−

)( ''

φ α φ

−

2

) 0

=

. A solução geral é da forma

( )

1 2

z z

z

c e

α

c e

α

φ

₌

₊

−

, que é expressa em três partes (dois pontos de descontinuidade). Levando em conta que no infinito temos solução nula, isto é, z

lim ( ) 0

→±∞

φ

z

=

, podemos

expressar mais convenientemente a solução como sendo:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

,

1

,

1

,

1

z z z z

Ae

z

Be

Ce

z

De

z

α α α α

φ

− − − − + +

⎧

>

⎪

=

_⎨

+

<

⎪

_{< −}

⎩

(13)

Aplicando as condições de compatibilidade em

z

0

=

1

e

z

0

= −

1

, chega-se a um sistema de equações

algébricas, cujas incógnitas são as constantes A, B, C e D. O sistema é da forma M.X = 0, e portanto para existir solução é necessário que Det[M]=0. O cálculo do determinante resulta na seguinte relação de disperão:

2 4 2 2

[(1 2 )

]

4

e

c

α

α

α

−

−

−

=

(14)

O segundo escoamento tem a seguinte expressão:

b)

1 , (

1)

( )

, (

)

1 , ( 1

)

b z

z

U z

z

b

b

z

b

< ≤

⎧

⎪⎪

=

_⎨

<

⎪

−

− ≤ < −

⎪⎩

(15)

A solução de (11) para este caso pode ser tomada da forma:

sinh[ (1

)] , (

1)

( )

sinh(

)

cosh(

) , (

) (16)

sinh[ (1

)] , ( 1

)

A

z

b z

z

B

z

C

z

z

b

D

z

z

b

α

φ

α

α

α

−

< ≤

⎧

⎪

=

_⎨

+

<

⎪

₊

_{− ≤ < −}

⎩

A solução acima satisfaz as condições de contorno em z = -1 e z = 1. Aplicando as condições de compatibilidade nos pontos de descontinuidade (z = - b e z = b), temos um sistema algébrico homogêneo, semelhante ao anterior, com quatro equações e quatro incógnitas (A, B, C e D). O cálculo do determinante desse sistema nos dá a seguinte relação de dispersão, que é representada de forma simplificada como:

2 2 2 2 2 2 2 2

tanh

(1

)

2

1

, onde

(17)

tanh[ (1

)]

[(1

)

(1

)]

X

b

b

X Y

bXY XY

c

Y

b

b

X Y X

Y

α

α

α

α

α

=

⎧

+

+

−

= −

_{⎨ =}

−

+

+

+

_⎩

Os exemplos acima ilustram o método de obtenção da relação de dispersão para perfis de velocidade lineares por partes, resumido a seguir:

i) Definir o perfil de velocidade linear por partes, com suas respectivas descontinuidades; ii) Resolver a equação de Rayleigh, que terá soluções exponenciais ou hiperbólicas;

iii) Aplicar as condições de compatibilidade nos pontos de descontinuidade do perfil;

iv) Montar um sistema linear algébrico, cujas incógnitas são as constantes da solução geral da EDO de Rayleigh;

v) Como o sistema é homogêneo, calcular o determinante do sistema e igualá-lo a zero, para finalmente obter a relação de dispersão do problema;

Segundo Triantafyllou (1993), uma maneira de prever o caráter absoluto ou convectivo da instabilidade é estudando as raízes duplas da relação de dispersão na forma

D

( , ) 0

ω α

=

. Se a parte imaginária de qualquer raiz dupla é positiva, a instabilidade é absoluta. Caso contrário é convectiva. Isto é fácil de constatar, pois para perturbações na forma

( )

i x z i t

e

α +β −ω

, se tivermos qualquer um dos parâmetros complexos

α β

,

ou

ω

com parte imaginária positiva, o impulso crescerá exponencialmente e o sistema se tornará absolutamente instável. Para simplificar o estudo, adotaremos

β

=

0

, isto é, uma perturbação apenas na direção transversal ao perfil de velocidade.

Uma raiz dupla da relação de dispersão satisfaz as seguintes relações:

( , )

( , )

D

0 (18)

D

ω α

ω α

α

∂

=

=

∂

Substituindo

c

ω

α

=

, e aplicando a equação (18) nas relações de dispersão mostradas acima, tem-se: Para a relação definida por (14):

(

)

2 4 3

4

2

1 2

1

0

2

e

α

ω

α

α

α

−

+

+ +

−

=

Resolvendo para

ω

, temos duas raízes em função de

α

. Substituindo tais raízes na relação de dispersão

D

( , )

ω α

, temos a seguinte equação em

α

:

4

1

1

0

2

e

α

α

−

−

− +

=

(19)

A solução de (19) dá um valor de

α

=

0.398406

. Substituindo na equação de

ω ω α

=

( )

, tem-se que as raízes duplas da relação de dispersão definida por (14) são

ω

= −

0.201186i

.

Como a parte imaginária da raiz acima é negativa, tem-se uma instabilidade convectiva para o escoamento com perfil de velocidade definido por (12).

Para analisar o caráter de estabilidade ou instabilidade do escoamento com perfil de velocidade dado por (15), tem-se que levar em conta o valor da constante b. Tomando o limite da expressão de

c

2dado por (17) quando

α

→

0

, tem-se

2

₂

₁

c

→

b

−

e quando

α

→ ∞

,

c

2

→

1

. Como

c

2 é uma função monótona crescente na variável

α

, o escoamento será instável se

c

2

<

0

, ou seja,

1

2

b

<

_.

Uma maneira alternativa de se resolver o problema proposto envolve o uso do chamado método de Laplace-Fourier, como mostrado por Case (1960). Este método nada mais é do que aplicar transformada de Laplace e posteriormente a transformada de Fourier nas equações linearizadas das perturbações. Estas transformações levam a uma equação diferencial ordinária não homogênea, que é resolvida através do uso da função de Green associada. Após a resolução da EDO, são aplicadas as transformadas inversas de Laplace e Fourier para a determinação da função de corrente.

O uso de transformadas integrais é utilizado para facilitar a solução de equações diferenciais, pois leva um problema de solução difícil a um problema no espaço transformado, cuja solução é relativamente fácil. Achando a solução no espaço transformado, aplica-se a transformada inversa e obtém-se a solução no espaço original.

Define-se a transforma da Laplace da função f, com respeito à variável t, como:

0

( )

{ ( )}

( )

st s

F s

L f t

f

f t e dt

∞ −

=

=

=

∫

₍₂₀₎

A transformada inversa é dada por:

1 0

( )

( )

( )

st

f t

F

s

F s e ds

∞ −

=

=

_∫

₍₂₁₎

A transformada de Fourier da função f, com respeito à variável x, será definida da seguinte forma:

1

( )

{ ( )}

( )

2

i x

F

ω

TF f x

f

_ω

f x e dx

ω

π

∞ −∞

=

=

=

_∫

₍₂₂₎

A função f, ou seja, a transformada inversa é dada por:

1

1

( )

{ ( )}

( )

2

i x

f x

TF

f x

F

ω

e

ω

d

ω

π

∞ − − −∞

=

=

_∫

₍₂₃₎

Outro tópico matemático importante são as funções do tipo impulso. Na realidade, este é um conceito mais generalizado de função, chamado distribuição. Um tipo de distribuição muito útil é o Delta de Dirac, pois este pode representar uma perturbação imposta sobre o escoamento, na forma de um pulso, isto é, de curta direção e alta intensidade. O Delta de Dirac é definido da seguinte forma:

(

) 0 ,

(

)

1

x a

x a

x a dx

δ

δ

∞ −∞

−

=

≠

−

=

∫

(24)

A transformada de Fourier do Delta de Dirac é:

{ (

)}

2

i a

e

TF

x a

ω

δ

π

−

=

Os conceitos de transformadas integrais acima foram aplicados para a obtenção da solução das equações diferenciais da perturbação inicial. Para resolver o problema de valor inicial, toma-se a transformada de Laplace das equações (8), com respeito a t, e em seguida a transformada de Fourier com respeito a x. As equações assumem a seguinte forma, se adotarmos a seguinte notação: 0

1

{ { ( , , )}}

( )

( , , )

2

st i x s

TF L f x z t

f

_ω

z

f x z t e dt e dx

ω

π

∞ ∞ − −∞

⎡

⎤

=

=

_⎢

_⎥

⎣

⎦

∫ ∫

(25)

1

( , ,0)

( )

'( )

0

1

( , ,0)

( )

0

0

s s s s s s s s s

u

p

su

u x z

U z

U z v

x

x

v

p

sv

v x z

U z

x

z

u

v

x

z

ρ

ρ

∂

∂

⎧

₋

₊

₊

₊

₌

⎪

_∂

_∂

⎪

∂

∂

⎪

₋

₊

₊

₌

⎨

_∂

_∂

⎪

⎪∂

₊

∂

₌

⎪

_∂

_∂

⎩

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

(26)

Em seguida, aplicando a transformada de Fourier com respeito a x:

0 0

(

( ))

'( )

( )

1

(

( ))

( )

1

s s s s s s s

i

s i U z u

U z v

u

z

p

p

s i U z v

v

z

z

v

u

i

z

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω

ω

ρ

ω

ρ

ω

⎧ −

+

−

=

⎪

⎪

∂

⎪ −

−

= −

⎨

_∂

⎪

⎪

∂

=

⎪

_∂

⎩

%

%

%

%

%

%

%

%

%

(27)

Acima foi utilizada a seguinte notação para a perturbação inicial:

0 0 0 0

{ ( , ,0)}

{ ( )}

( )

{ ( , ,0)}

{ ( )}

( )

TF u x z

TF u z

u

z

TF v x z

TF v z

v

z

ω ω

=

=

=

=

%

%

%

%

%

%

(28)

Do sistema (27), isola-se

p

%

sω da 1ª equação e substitui-se na 2ª equação, posteriormente substituindo a expressão de

s

u

%

ω. Chegamos à seguinte equação diferencial ordinária não homogênea, com relação à z, da função

v

%

sω:

2 2 2 0 2 0 2 2 2

''( )

1

1

( )

( )

s s

v

U z

v

v

v

z

i s

U z

s i U z

z

ω ω ω ω

ω

ω

ω

ω

ω

⎡

⎤

⎡

⎤

∂

∂

−

_⎢

+

_⎥

=

_⎢

−

_⎥

∂

_⎣

+

_⎦

−

_⎣

∂

_⎦

%

_%

%

_%

(29) Para resolver a EDO (29), faz-se uso da função de Green, uma técnica importante para a solução de equações diferenciais não homogêneas.

2.5 Função de Green

Retomando a EDO não homogênea (27), temos o seguinte operador diferencial :

( )

[

_s

]

d

( )

d

_s

L v

p z

v

q z

dz

dz

ω

=

⎛

⎜

⎞

⎟

ω

+

⎝

⎠

%

%

, onde temos

p z

( )

=

1

e

( )

2 2

''( )

1

( )

U z

q z

i s

U z

ω

ω

ω

⎡

⎤

= −

_⎢

+

_⎥

+

⎣

⎦

Tomemos o domínio do problema como sendo

z

∈

[ , ]

z z

1 2 ,supondo um escoamento bidimensional paralelo entre

Tal domínio poderá ser especificado posteriormente para o caso de escoamento bidimensional paralelo com fronteiras no infinito.

Temos o seguinte Problema de Valor de Contorno:

[ ]

s

( )

L v

%

_ω

= −

f z

, com

( )

2 2 0 0 2

1

( )

v

f z

v

i U z

s

z

ω ω

ω

ω

⎡

∂

⎤

=

_⎢

−

_⎥

−

_⎣

∂

_⎦

%

_%

Condições de Contorno:

v

%

sω

( )

z

1

=

v

%

sω

( ) 0

z

2

=

Usando Função de Green, a solução é da forma:

(

) ( )

2 1 0 0 0

,

z s z

v

%

_ω

=

∫

G z z f z dz

Podemos denotar

( )

0

(

_{( )}

0

)

0

;0

V z

f z

i U z

ω

s

=

−

, onde

V z

(

0

;0

)

corresponde à perturbação inicial na direção z. Assim:

(

)

(

_{( )}

)

2 1 0 0 0 0

;0

,

z s z

V z

v

G z z

dz

i U z

s

ω

=

∫

_ω

₋

%

(30)

Construindo a função de Green para o problema, temos:

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

2 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0 2 0 2 1 2 0

, z

, ;

,

, z

, ;

z

z

z z

W

z

G z z

z

z

z z

W

z

φ

φ

φ φ

φ

φ

φ φ

⎧

−

< <

⎪

⎪

= ⎨

⎪−

< <

⎪⎩

(31)

Onde

W

(

φ φ

1

, ;

2

z

0

)

é o Wronskiano calculado no ponto

z

0:

(

)

1

( )

_{( )}

0 2

( )

_{( )}

0 1 2 0 1 0 2 0

, ;

'

'

z

z

W

z

z

z

φ

φ

φ φ

φ

φ

=

As funções

φ

1 e

φ

2 são as soluções da EDO homogênea 2 2 2 2

''( )

1

0

( )

U z

z

φ ω

i s

ω

ω

U z

φ

⎡

⎤

∂

₋

₊

₌

⎢

⎥

∂

_⎣

+

_⎦

, com condições de contorno

φ

1

( )

z

1

=

φ

1

( )

z

2

=

0

e

φ

2

( )

z

1

=

φ

2

( )

z

2

=

0

, respectivamente.

Pode-se escolher

φ

1 e

φ

2 de maneira conveniente para termos

W

(

φ φ

1

, ;

2

z

0

)

=

1

.

Com a solução da EDO, devem-se tomar as transformadas inversas de Fourier e Laplace, para obter-se a solução do problema no espaço original, isto é, obter

v x z t

%

( , , )

e analisar seu comportamento ao longo do tempo e espaço. Desta maneira, determina-se se dado escoamento perturbado com um pulso inicial será estável ou instável.

1

z

2

z

No entanto, a inversão das transformadas exige atenção especial, pois o cálculo de integrais complexas de Fourier e Laplace requer que seja escolhido um caminho de integração no campo dos complexos. A razão disso é a existência de singularidades no integrando.

3. Conclusões

É importante citar que há outras maneiras de se resolver o problema de estabilidade, envolvendo tópicos de matemática como transformada de Fourier-Laplace, obtenção da função de Green e integração no campo dos complexos. O método da relação de dispersão para o caso de fluido não viscoso com perfil de velocidade linear foi aplicado, indicando uma instabilidade convectiva para o escoamento com perfil (12), e uma estabilidade dependente da constante b no caso do escoamento de perfil (15). O método de Fourier-Laplace, que também envolve a aplicação da função de Green para a solução de um EDO, foi abordado. No entanto, a inversão das transformadas se mostrou bastante complicado devido à não especificação do circuito de integração. Em geral, tanto um método quanto o outro apresentam dificuldades para o caso de um perfil de velocidade genérico, que em casos reais são não lineares.

Uma completa análise do escoamento em torno de um corpo rombudo exige o conhecimento detalhado de muitos conceitos matemáticos. Como mostrado, apenas um método geral foi apresentado, sendo necessária uma aplicação numérica para perfis de velocidade não lineares. A escolha do método de análise também é importante, devido à simplificações eventuais dependendo de cada escoamento.

A aplicação de um método de análise de estabilidade não linear ou de Floquet envolve assuntos como transformadas de Fourier-Laplace e integração no campo dos números complexos. Por isso a importância do estudo de tais tópicos. Porém, o cálculo de integrais e solução de equações diferenciais não lineares é feito numericamente.

4. Agradecimentos

Agradeço ao CNPq pela bolsa PIBIC a mim concedida.

5. Referências

Anderson Jr., John D., "Fundamentals of Aerodynamics”, Third Edition, McGraw-Hill.

Triantafyllou, George S., “On the formation of vortex sheets behind stationary cylinders”, J. Fluid Mech., vol. 170, 1986. Triantafyllou, George S., “Note on the Kelvin-Helmholtz instability of stratified fluids”, Phys. Fluids, vol. 6, January 1994. Drazin, P. G. and Reid, W. H., Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press, 2004.

Case, K. M., “Stability of and Idealized Atmosphere. I. Discussion of Results”, The Physics of Fluids, vol. 3, 1960; Case, K. M., “Stability of Inviscid Plane Couette Flow”, The Physics of Fluids, vol. 3, 1960;