Sistema de Informa¸c˜ ao
Profa.Let´ıcia Garcia Polac
Universidade Federal de Uberlˆandia UFU-MG
11 de outubro de 2017
CARDINALIDADE DE CONJUNTOS
Introdu¸c˜ ao
Vimos que a cardinalidade de um conjunto finito ´e o n´umero de elementos no conjunto, assim conseguimos comparar quando dois conjuntos finitos possuem o mesmo tamanho, ou quando um ´e maior que o outro.
Pergunta: Podemos estender esta no¸c˜ao para conjuntos infinitos?
Introdu¸c˜ ao
Vimos que a cardinalidade de um conjunto finito ´e o n´umero de elementos no conjunto, assim conseguimos comparar quando dois conjuntos finitos possuem o mesmo tamanho, ou quando um ´e maior que o outro.
Pergunta: Podemos estender esta no¸c˜ao para conjuntos infinitos?
Introdu¸c˜ ao
Um exemplo de conjunto infinito ´e o conjunto dos n´umeros naturais: mesmo tomando-se um n´umero natural n muito grande, sempre existe outro maior, por exemplo, seu sucessor n+1, ou tamb´em o dobro den, 2n, ou ainda seu triplo 3n.
No final do s´eculo XIX apareceu a necessidade de
compreender melhor os conjuntos infinitos, motivada pelo estudo de fun¸c˜oes integr´aveis: Sabemos que se uma fun¸c˜ao limitada tem uma quantidade finita de descontinuidades, ela ´e integr´avel. E se a quantidade de descontinuidades for infinita?
Em alguns casos, a fun¸c˜ao ainda ´e integr´avel, em outros, n˜ao!
Foi justamente a curiosidade de entender em quais situa¸c˜oes a fun¸c˜ao ´e integr´avel e em quais n˜ao que levou ao estudo da cardinalidade de conjuntos.
Defini¸c˜ao
Os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se e somente se existir uma bije¸c˜ao de A para B.
Vamos dividir o conjuntos infinitos em dois grupos: enumer´aveis e n˜ao enumer´aveis.
Defini¸c˜ao
Um conjunto que ´e finito ou tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos n´umeros naturais ´e chamado de enumer´avel (ou cont´avel). Um conjunto que n˜ao ´e enumer´avel ´e chamado de n˜ao enumer´avel (ou incont´avel).
Quando um conjuntoAinfinito ´e enumer´avel indicamos a cardinalidade deApor : |A|=ℵ0, e dizemos queAtem cardinalidade ”alef zero”.
Veremos agora exemplos de conjuntos enumer´aveis e n˜ao enumer´aveis. Para isto daremos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao
O inteiro n ´e par se existe um inteiro k tal que n = 2k, e n ´e ´ımpar se existe um inteiro k tal que n= 2k+ 1
Note que um inteiro ´e sempre par ou ´ımpar e nenhum inteiro ´e par e ´ımpar.
Exemplos
1 O exemplo mais simples de conjunto enumer´avel ´e o conjunto N dos n´umeros naturais.
2 O conjunto dos n´umeros inteiros positivo pares P ´e um conjunto enumer´avel. Neste caso ´e f´acil ver que a fun¸c˜ao f :P →Ndada por f(n) = 2n´e bijetora.
3. O conjuntos dos n´umeros inteirosZ. Defato, podemos pensar na fun¸c˜ao que levaN emZ associando os n´umeros naturais aos inteiros na seguinte ordem:
0,1,−1,2,−2,3,−3, . . . Essa fun¸c˜ao pode ser dada como:
f(n) = n
2, se n ´e par;
−n−12 , se n ´e ´ımpar.
Basta verificar quef ´e bijetora.
Um conjunto infinitoA´e enumer´avel se e somente se for poss´ıvel listar os elementos do conjunto em uma sequˆencia.
A justificativa para isto ´e que a bije¸c˜aof do conjunto dos n´umeros naturais para o conjuntoA pode ser expessa em termos de uma sequˆenciaa1,a2, . . . ,an, . . . em que
a1 =f(1),a2=f(2), . . . ,an=f(n), . . .
Exemplo
O conjunto dos n´umeros inteiros positivos pares pode ser listado na sequˆencia a1,a2, . . . ,an, . . ., em que an = 2n.
Teorema
Todo subconjunto infinito de um conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao: Quadro
A ideia que esse teorema nos apresenta ´e que os conjuntos enumer´aveis s˜ao conjuntos do menor tipo de infinito, j´a que nenhum conjunto n˜ao enumer´avel pode ser subconjunto de um enumer´avel.
Teorema
Seja A1,A2, . . . ,An, . . . ,uma sequˆencia de conjuntos enumer´aveis e seja B=S∞
i=1Ai. Ent˜ao B ´e enumer´avel.
Corol´ario
A reuni˜ao finita de conjuntos enumer´aveis ´e um conjunto enumer´avel.
Teorema
Sejam A e B conjuntos enumer´aveis. Ent˜ao o produto cartesiano A×B ´e enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao: Quadro
Lema
Seja A um conjunto enumer´avel. Se f:A−→B ´e sobrejetora, ent˜ao, Y ´e enumer´avel.
Teorema
O conjunto dos n´umeros racionais ´e enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao: Quadro
Teorema
O inetrvalo[0,1] n˜ao ´e enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao: Quadro
Corol´ario
R´e n˜ao enumer´avel
