ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO II
EXERCÍCIO: Cálculo de uma Laje maciça
Calcule as armaduras positivas de uma laje isolada de 250 x 450 cm, sujeita a trânsito de veículos, com as seguintes características:
ϒ CA (Peso específico do concreto) = 25 kN/m³
fck (Resistência do Concreto à Compressão - traduzido do inglês Feature Compression Know) = 25 MPa Revestimento = 2,5 kN/m²
Cobrimento das armaduras = 3,5 cm Carga Acidental = 3,0 kN/m²
Aço CA50
Resolução passo a passo:
Passo 1: Pré-dimensionamento da espessura da laje (h), em cm
Esta primeira determinação da espessura da laje é dada pela divisão do seu lado menor (lx) pelo número 40 (constante), multiplicado pela razão do seu lado maior (ly) pelo lado menor (lx) elevado a 75 centésimos (constante). Se o valor resultar em número fracionado, deve -se arredondar para um número inteiro, em cm, observadas as espessuras mínimas em razão do tipo de laje.
Passo 2: Cálculo do peso próprio da laje (pp), por m²
Deve ser calculado o peso da estrutura de concreto para 1 m² de laje; para isso, multiplica-se o volume (em m³) pelo valor do peso específico do concreto armado (ϒCA). Na prática multiplicando a espessura da laje (em m) pelo peso específico (em kN/m³), temos o mesmo resultado. O valor-padrão de ϒCA = 25kN/m³, mas se for fornecido outro valor nos exercícios e avaliações, deve-se adotar o valor fornecido.
pp = ?
Passo 3 – Cálculo do carregamento (Pk), por m²
O valor de Pk é a somatória de todas as cargas atuantes sobre 1 m² de laje. Portanto, somam-se (1) o peso próprio da estrutura; (2) as demais cargas fixas, tais como revestimento de piso, impermeabilização, enchimentos e outros; (3) a carga acidental, em razão do uso.
O valor de Pk é usado para o cálculo dos esforços sobre a laje.
Peso próprio (pp) = 3,00 kN/m² Revestimento = 2,50 kN/m² Carga Acidental = 3,00 kN/m²
Pk = ?
Passo 4 - Determinação dos momentos característicos (Mk), em kN, com o uso das Tabelas de Czerny, de acordo com o tipo de vinculação de laje.
Neste passo, para se determinar os momentos fletores característicos (Mk), positivos ou negativos , precisamos inicialmente observar as condições de vinculação da laje em análise com as demais lajes do pavimento.
Observadas essas condições de vinculação, escolhemos a tabela correspondente ao tipo de vinculação que se encaixa à laje em questão. Depois calculamos o índice λ (lambda) para acharmos os coeficientes α x, α y, β x, β y, correspondentes.
Condições de vinculação Tabela Índice λ
Laje com 4 bordas simplesmente apoiadas Tipo 1
Ver tabela para α x e α y:
Coeficientes obtidos na tabela, para λ = 1,80
α x α y β x β y
10,70 23,50 - -
Os valores de α x e α y já estão colocados acima, mas é bom saber localizar eles na tabela de Czerny.
Calculando os momentos característicos (Mk) em KNm:
Nota: Neste caso, por ser uma laje isolada e não termos na tabela os coeficientes βx e βy, não calculamos os momentos negativos (Mk’x e Mk’y).
Passo 5 – Determinação dos momentos de cálculo (Md), em kNcm, com aplicação dos coeficientes de segurança (ϒf)
Depois que já definimos os momentos característicos (Mk), devemos determinar os momentos de cálculo, ou de projeto (Md), aplicando o coeficiente de segurança, ou de ponderação (ϒf), para majorarmos a solicitação (esforços atuantes). Também, aproveitamos para transformar a unidade de kNm para kNcm, multiplicando por 100, pois nos será útil na próxima etapa.
Nota: Quando o 𝛄𝐟 não for informado nas diretrizes de projeto, devemos adotar seu valor mínimo: 1,4.
𝐌𝐝𝐱= 𝐌𝐤𝐱 × 𝛄𝐟 × 𝟏𝟎𝟎 =
𝐌𝐝𝐲 = 𝐌𝐤𝐲 × 𝛄𝐟 × 𝟏𝟎𝟎 =
Passo 6 Cálculo das seções de armaduras (As), em cm²/m, com uso da Tabela K
Determinados os momentos de projeto (Md) da laje, podemos calcular a área das seções das armaduras (As). Fazemos isso, utilizando as fórmulas abaixo em conjunto com a “Tabela K – Flexão Simples Normal”. Depois de calcularmos o fator “Kc”, procuramos na Tabela K (na coluna do respectivo fck do concreto) o valor mais próximo do Kc calculado. Achado esse Kc aproximado, procuramos na linha desse valor o fator Ks correspondente (na coluna do respectivo fyk do aço).
Determinando os fatores Kc para os respectivos momentos de projeto (Md) para achar os fatores Ks correspondentes:
Kc Ks
Correspondente
Kc Calculado Kc Tabelado
Ksx =
Ksy =
Valores sugeridos para b e d são 100 e 8,5 respectivamente.
Tendo achado os fatores Ks, calculamos as respectivas seções das armaduras:
𝐊𝐜𝐱 = 𝐛 × 𝐝𝟐
𝐌𝐝𝐱 = 100 × 8,52
Mdx =
𝐊𝐜𝐲 = 𝐛 × 𝐝𝟐
𝐌𝐝𝐲 = 100 × 8,52
Mdy =
Passo 7: Verificação das seções mínimas de armaduras (Asmin), em cm²/m
Neste passo verificamos se as seções calculadas no passo anterior atendem ao requisito mínimo.
Para tanto é preciso saber se a laje em questão é armada em cruz ou apenas em uma direção e qual a classe de resistência do aço adotado.
Será utilizado armada em cruz
Classe de resistência do aço: CA50 (utilizar coeficiente 0,1) ∴ Asxy = 0,1 × h =
Nota: h extraído do cálculo no passo 1
Essa verificação resultou em:
Para Asxy: Se o valor acima for inferior ao calculado no Passo 6, manter o anterior.
Para Asxy: Se o valor acima for superior ao calculado no Passo 6, adotar o novo valor calculado.
Passo 8: Fixação dos limites (mínimo e máximo) de espaçamento (S) entre as armaduras, em cm Deverão ser definidos os limites de espaçamento para todos os tipos de armadura, conforme as regras estabelecidas.
PRINCIPAL POSITIVA: mínimo = 7cm; máximo = 20cm.
PRINCIPAL NEGATIVA: mínimo = 7cm; máximo = 24cm.
SECUNDÁRIA (DISTRIBUIÇÃO): mínimo = 7cm; máximo = 33cm.
Passo 9 – Determinação das bitolas (Φ), em mm, e espaçamento (S), em cm
A determinação das bitolas deverá ser feita com base nas áreas de seção de armadura adotadas anteriormente, respeitando os limites de espaçamento, com o uso de Tabela de Armadura para Lajes.
Pesquisar na tabela aços com bitola de 5 e 6,3 mm para Asx e Asy
Asx = Asy =
Material de suporte
pp = Peso próprio da laje pk = Carregamento Mk = Momentos fletores Mp = Momentos de projeto
Alfabeto grego:
RESUMO DA TABELA DE CZERNY
TABELA DE ARMADURA (cm
2/m)
Tabela K – Flexão Simples Normal” - Em função do fck do concreto
VALORES DE Kc E Ks - FLEXÃO NORMAL SIMPLES - ESTADO LIMITE ÚLTIMO Mesma de cima de forma reduzida e com visão ampliada
Valores de kc para concretos Valores de ks para aços
βx 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 CA-25 CA-50 CA-60 βx
0,01 103,355 82,684 68,903 59,060 51,677 45,935 41,342 0,046 0,023 0,019 0,01 0,02 51,886 41,509 34,590 29,649 25,943 23,060 20,754 0,046 0,023 0,019 0,02 0,03 34,730 27,784 23,154 19,846 17,365 15,436 13,892 0,047 0,023 0,019 0,03 0,04 26,154 20,923 17,436 14,945 13,077 11,624 10,462 0,047 0,023 0,019 0,04 0,05 21,008 16,807 14,006 12,005 10,504 9,337 8,403 0,047 0,023 0,020 0,05 0,06 17,579 14,063 11,719 10,045 8,789 7,813 7,032 0,047 0,024 0,020 0,06 0,07 15,130 12,104 10,086 8,645 7,565 6,724 6,052 0,047 0,024 0,020 0,07 0,08 13,293 10,634 8,862 7,596 6,647 5,908 5,317 0,048 0,024 0,020 0,08 0,09 11,865 9,492 7,910 6,780 5,933 5,273 4,746 0,048 0,024 0,020 0,09 0,10 10,723 8,578 7,149 6,127 5,362 4,766 4,289 0,048 0,024 0,020 0,10 0,11 9,789 7,831 6,526 5,594 4,895 4,351 3,916 0,048 0,024 0,020 0,11 0,12 9,011 7,209 6,007 5,149 4,505 4,005 3,604 0,048 0,024 0,020 0,12 0,13 8,353 6,682 5,569 4,773 4,176 3,712 3,341 0,049 0,024 0,020 0,13 0,14 7,789 6,231 5,193 4,451 3,895 3,462 3,116 0,049 0,024 0,020 0,14 0,15 7,301 5,841 4,867 4,172 3,650 3,245 2,920 0,049 0,024 0,020 0,15 0,16 6,874 5,499 4,582 3,928 3,437 3,055 2,749 0,049 0,025 0,020 0,16 0,17 6,497 5,198 4,331 3,713 3,249 2,888 2,599 0,049 0,025 0,021 0,17 0,18 6,163 4,930 4,108 3,522 3,081 2,739 2,465 0,050 0,025 0,021 0,18 0,19 5,864 4,691 3,909 3,351 2,932 2,606 2,345 0,050 0,025 0,021 0,19
