Aritmética Digital: Operações e
Circuitos Aritméticos
Aritmética Binária
• A aritmética binária é essencial em todos os computadores digitais e em muitos outros tipos de sistemas digitais.
• Os números binários são somados como os decimais:
Para decimais, quando um número soma mais do que 9, um carry (vai um) é resultante.
Para binários, quando números somam mais que 1, um carry (vai um) assume a posição.
• A adição é a operação aritmética básica utilizada pelos dispositivos digitais tanto para subtração como multiplicação e divisão.
Adição Binária
As quatro regras básicas para a adição de dígitos binários (bits) são:
Meio Somador
O meio-somador aceita dois dígitos binários em suas entradas e produz dois dígitos binários em suas saída, um bit de soma e um bit de carry.
Somador Completo
O somador- completo aceita dois bits de entrada e um carry de entrada, e gera uma saída de soma e um carry de saída.
Projeto do somador Completo
Usando métodos algébricos ou mapas K para simplificar a forma SOP
resultante, o circuito completo com as entradas A, B e CIN e as saídas S e COUT representará o somador completo (FA).
Somador Completo a partir de meio - somadores
Somador Completo a partir de meio - somadores
Somadores Binários Paralelos
Para somar binários com mais de 1 bit, temos que usar somadores completos adicionais.
Quando um número binário é somado a outro, cada coluna gera um bit de soma e um bit de carry para próxima coluna à esquerda.
Somador Paralelo de 4 bits
Um somador de 4 bits básico é implementado com quatro estágios de somadores-completos.
Um Somador Paralelo de 4 bits (74HC283)
Expansão de Somadores
Um somador paralelo pode ser expandido para efetuar uma adição de dois números de 8 bits usando dois somadores de 4 bits.
Subtração Binária
• A subtração binária é efetuada exatamente como a subtração de números decimais.
• São quatro as possíveis situações ao se subtrair um bit de outro em qualquer posição de um número binário.
• Quando subtraímos números, às vezes temos que fazer um empréstimo
(borrow) da próxima coluna à esquerda. Em binário um borrow é necessário apenas quando tentamos subtrair 1 de 0.
Exemplo: Subtração Binária
Efetue as seguintes subtrações binárias:
a) 11 – 01 b) 11 – 10
Efetue a subtração binária: 101 – 011
Representação do Número com Sinal
Como só é possível mostrar a magnitude com um número binário, o sinal (+) ou (-) é mostrado pela soma de um “bit de sinal” extra.
Um 0 no bit de sinal indica um número positivo.
Um 1 no bit de sinal indica um número negativo.
Representação do Número com Sinal – Complemento de 1
• Números positivos na forma do complemento de 1 são representados da mesma forma que números positivos expressos como sinal-magnitude.
• Entretanto, os números negativos estão na forma do complemento de 1 do número positivo correspondente.
Por exemplo:
Usando oito bits, o número decimal −25 é expresso como o complemento de 1 de +25 (00011001) como a seguir:
-25 11100110
• Na forma do complemento de 1, um número negativo é o complemento de 1 do número positivo correspondente.
Complemento de 1
O complemento de 1 de um número binário é determinado trocando-se todos os 1s por 0s e todos os 0s por 1s, conforme ilustrado a seguir:
A forma mais simples de obter o complemento de 1 de um número binário com um circuito digital é usar inversores em paralelo (circuitos NOT),
conforme mostra a figura para um número binário de 8 bits.
Representação do Número com Sinal – Complemento de 2
• O sistema de complemento de 2 é a forma mais comum usada para representar números binários com sinal.
• Para se determinar o complemento de 2 para um número binário, este deve ser inicialmente transformado para o complemento de 1:
Substitui-se cada bit do binário por seu complemento (oposto).
Somando-se 1 na posição do bit menos significativo do complemento de 1 este será convertido para seu complemento de 2.
• Negação é a operação de conversão de um número positivo em seu equivalente negativo ou de um número negativo em seu equivalente positivo. Quando os números binários
Complemento de 2
O complemento de 2 de um número binário é determinado somando 1 ao LSB do complemento de 1.
complemento de 2 = (complemento de 1) + 1
Exemplo: Determine o complemento de 2 de 10110010.
Método alternativo para determinar o complemento de 2 de um número binário
Exemplo: Determine o complemento de 2 de 10111000.
1. Comece à direita com o LSB e escreva os bits como eles aparecem até o primeiro 1 (inclusive).
2. Tome o complemento de 1 dos bits restantes.
O complemento de 2 de um número binário negativo pode ser obtido usando inversores e um somador.
A figura ilustra como um número de 8 bits pode ser convertido no seu complemento de 2 invertendo primeiro cada bit (tomando o complemento de 1) e em seguida somando 1 ao complemento de 1 com um circuito somador.
Adição no Sistema de Complemento de 2
• Executa-se a soma binária normal de magnitudes.
Os bits de sinal são somados com os bits de magnitude.
• Se a soma resulta em um carry de bit de sinal, ele é desconsiderado.
• Caso o resultado seja positivo, será em formato de binário puro.
• Se for negativo, será em forma de complemento de 2.
Subtração no Sistema de Complemento de 2
• A subtração utilizando o sistema de complemento de 2 envolve, na verdade, a operação de adição.
Realiza-se a operação de negação do subtraendo (o 1º binário).
Adiciona-se o número obtido ao minuendo (o 2º binário envolvido).
A resposta representará a diferença entre ambos.
• Quando dois números positivos ou negativos são somados e sempre produzem um resultado incorreto, há a ocorrência de um overflow (transbordamento). Se a resposta exceder o número de bits de magnitude, há um overflow nos resultados
Subtração no Sistema de Complemento de 2
• Para a adição, inicia-se no valor da 1ª parcela, avançando-se ao redor do círculo, no sentido horário, pelo número de casas da segunda parcela.
• A forma mais natural para a subtração é movendo-se ao redor do círculo, no sentido anti- horário.
• Qualquer operação de subtração entre números de quatro bits de sinal oposto produzindo um resultado superior a 7 ou menor do que -8 é um overflow.
Uso de um círculo de números:
Adição
Dois números de uma adição são 1ª parcela e 2ª parcela. O resultado é a soma. Existem quatro casos que podem ocorrer quando dois números
binários sinalizados são somados.
1. Os dois números são positivos
2. O número positivo com magnitude maior que o número negativo 3. O número negativo com magnitude maior que o número positivo 4. Os dois números são negativos
Ambos os números são positivos:
A soma é positiva estando portanto em binário verdadeiro
(não complementado).
O bit de carry final é descartado. A soma é positiva e portanto é um binário verdadeiro
(não complementado).
Número positivo com magnitude maior que a do número negativo:
O bit de carry final é descartado. A soma é negativa e portanto na forma do complemento de 2.
Ambos os números são negativos:
A soma é negativa e portanto na forma do complemento de 2.
Número negativo com magnitude maior que a do número positivo:
Exercício:
Realize cada uma das seguintes subtrações de números sinalizados:
a) 00001000 – 00000011 b) 00001100 – 11110111 c) 11100111 – 00010011 d) 10001000 – 11100010
Continuando com a solução:
Condição de Overflow
Quando dois números são somados e o número de bits necessário para representar a soma excede o número de bits nos dois números, resulta em um overflow (transbordamento de capacidade) conforme indicado por um bit de sinal incorreto.
Um overflow pode ocorrer apenas quando os dois números são positivos ou ambos negativos.
Exemplo:
Multiplicação de Números Binários
• Os termos de uma multiplicação são o multiplicando, o multiplicador e o produto.
• A multiplicação de números binários é similar à multiplicação dos números decimais.
Cada bit no multiplicador é multiplicado pelo multiplicando.
• Os resultados são deslocados à medida que avançamos do LSB para o MSB no multiplicador.
Todos os produtos parciais são somados para geração do produto final.
Multiplicação de Números Binários – Adição Direta
• A operação de multiplicação na maioria dos computadores é realizada usando adição.
• Adição direta e produtos parciais são dois métodos básicos para realizarmos multiplicação usando adição.
• No método da adição direta, somamos o multiplicando um número de vezes igual ao multiplicador.
Exemplo: 01001101 x 00000100
Ob: Como o bit de sinal do multiplicando é 0, ele não tem efeito no resultado.
Todos os bits do produto são bits de magnitude.
• O método do produto parcial talvez seja o mais comumente usado porque ele reflete a forma com que multiplicamos manualmente.
• O multiplicando é multiplicado por cada dígito do multiplicador começando pelo dígito menos significativo. Esse resultado é denominado de produto parcial.
• Cada produto parcial sucessivo é movido (deslocado) uma posição para a esquerda e quando todos os produtos parciais são gerados, eles são
somados para se obter o produto.
Multiplicação – Produto Parcial
O sinal do produto de uma multiplicação depende dos sinais do multiplicando e multiplicador de acordo com as seguintes regras:
• Se os sinais são iguais, o produto é positivo.
• Se os sinais são diferentes, o produto é negativo.
Exemplo : 01010011 x 11000101.
• O bit de sinal do multiplicando é 0 e o bit de sinal do multiplicador é 1. O bit de sinal do produto será 1 (negativo).
• Obtenha o complemento de 2 para colocá-lo na forma verdadeira. 11000101 00111011
• Como o sinal do produto é 1, obtenha o complemento de 2 do produto.
100100100001 0110011011111
Verifique se a multiplicação está correta convertendo
Divisão Binária
• É similar à divisão entre decimais, mas mais simples, pois quando verificamos quantas vezes o divisor ‘cabe’ dentro do dividendo, somente 1 ou 0 são possíveis.
• A subtração que faz parte da operação de divisão normalmente é feita usando o complemento de 2.
Se os sinais do dividendo e do divisor forem os mesmos, a resposta será positiva.
Em caso contrário, a resposta será negativa.
Exemplo : Efetue a divisão de 01100100 por 00011001.
• Os sinais dos dois números são positivos, de forma que o quociente será positivo.
• Subtraia o divisor a partir do dividendo usando a adição do complemento de 2.
• Some 1 ao quociente: 00000000 + 00000001 = 00000001.
• Subtraia o divisor do 1º resto parcial usando a adição do complemento de 2.
• Subtraia o divisor do 2º resto parcial usando a adição do complemento de 2.
Continuando ...
• Some 1 ao quociente: 00000010 + 00000001 = 00000011.
• Some 1 ao quociente: 00000011 + 00000001 = 00000100 (quociente final).
• O processo está completo.
Verifique se a multiplicação está correta convertendo para números decimais e realizando a multiplicação.
• Subtraia o divisor do 3º resto parcial usando a adição do complemento de 2.
Circuitos Aritméticos
Uma unidade lógica e aritmética (ULA) recebe os dados armazenados na memória e executa operações aritméticas e lógicas com instruções
provenientes da unidade de controle.
Somador Binário Paralelo
Computadores e calculadoras realizam operações de adição sobre dois números de cada vez em que cada número binário pode ter vários dígitos binários
Diagrama em blocos de um circuito somador paralelo de cinco bits utilizando somadores completos.
Somador Paralelo Completo com Registradores
Circuito somador paralelo de quatro bits, incluindo os registradores de armazenamento.
• O somador paralelo mais comum é um dispositivo de quatro bits, que contém quatro FAs interligados e um circuito de carry antecipado.
• CIs 7483A, 74LS83A, 74LS283, e 74HC283 são somadores paralelos TTL de quatro bits.
• As entradas do CI são dois números de quatro bits, A3A2A1A0 e B3B2B1B0, e o carry, C0, na posição LSB. As saídas são os bits do resultado da soma e o carry, C4, proveniente da posição MSB.
Somadores paralelos podem ser conectados em cascata para implementar a adição de números binários maiores, nesse caso, dois números de 8 bits.
Sistema de Complemento de 2
O circuito do somador paralelo poderá ser adaptado para realizar a
subtração, desde que se consiga obter o complemento de 2 do número armazenado no registrador B.
Sistema de Complemento de 2
Um circuito completo pode realizar tanto a adição quanto a subtração.
Esse circuito somador/subtrator é controlado por dois sinais de controle, chamados ADD e SUB:
Quando ADD está ALTO, o circuito realizará a adição dos números armazenados nos registradores A e B.
Quando SUB está ALTO, ele subtrairá o número que está em B daquele que está em A.
Sistema de
Complemento de 2
Somador/subtrador paralelo, usando o sistema de complemento de 2.
