Figura 01 Táxi em M.U

∆𝒕 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝒕 − 𝒕_𝟎

Cinemática

Teoria

Movimento Uniforme

Imagine que você está em casa e pede um taxi para ir até a casa de um amigo. Durante todo o trajeto, o taxista permanece a uma velocidade de 20 km/h. Eu sei que você estaria bem nervoso dentro desse carro, mas vamos tentar entender o movimento que o taxista fez.

Figura 01 – Táxi em M.U

Se um carro percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, o seu movimento é chamado de movimento uniforme (M.U.). Sendo um movimento uniforme, então podemos dizer que ele apresenta uma velocidade média constante (valor fixo) e esse valor pode ser calculado como:

Sendo:

● 𝑉_𝑚→ velocidade escalar média

● 𝛥𝑆 → deslocamento (variação de posição)

● 𝛥𝑡 → intervalor de tempo (variação de tempo)

Note que, na fórmula, temos um ∆. Esse termo chama-se delta e a função dele é calcular a variação da grandeza a que está atrelado. Logo:

∆𝑺 = 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝑺 − 𝑺𝟎

𝑽_𝒎=∆𝑺

∆𝒕

Classificação do movimento uniforme

O movimento uniforme (M.U) é classificado de acordo com o sentido da velocidade em relação a trajetória.

Classificamos o movimento como:

● Progressivo: Quando a velocidade tem o seu vetor na mesma direção e sentido da trajetória.

● Retrogrado: Quando a velocidade tem o seu vetor na mesma direção, mas sentido oposto a trajetória.

Figura 02 – Classificação do M.U

Função horária da posição

Além dessa fórmula de velocidade escalar média, podemos descrever esse movimento através de uma função. A função que relaciona a posição S com o tempo t é denominada função horária da posição, dada por:

Principais conversões de unidades

Aqui no Brasil, é comum trabalharmos com velocidade em km/h por conta dos contadores de velocidade dos automóveis. Mas esse não é a unidade padrão para Física. Lembre-se que, para o Sistema Internacional (SI) utilizamos:

● [V] = metro por segundo (m/s)

● [∆t] = segundo (s)

● [∆s] = metro (m)

Por conta disso, precisamos aprender a fazer determinadas conversões.

● 1 km = 1000 m

● 1 hora = 60 min = 3600 s

● 1 m/s = 3,6 km/h

Figura 03 – Conversão de km/h para m/s

𝑺 = 𝑺_𝟎+ 𝒗𝒕

Movimento retilíneo uniformemente variado (M.U.V.)

Figura 3 – Velocímetro

A figura 1 é uma imagem clássica de filmes de ação, como Velozes e Furiosos, que demonstra um momento de ação. A função do velocímetro é medir a velocidade do carro durante a trajetória e mostrar como essa velocidade pode mudar ou não. O movimento retilíneo uniformemente variado (M.U.V.) descreve um corpo que apresenta um movimento com aceleração constante (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒), ou seja, esse corpo apresenta variações de velocidade com o passar do tempo.

Aceleração

Antes de começarmos a mostrar as fórmulas, precisamos definir o que é aceleração. Para a Física, aceleração é a mudança do valor da velocidade de um corpo em função do tempo. Logo, podemos escrevê-la da seguinte forma:

Com essa definição, já somos capazes de desenvolver as fórmulas do M.U.V.

Função horária da velocidade

A função horária da velocidade é uma expressão matemática que descreve como a velocidade de um corpo pode ser alterada em função do tempo. Essa função é feita a partir da fórmula da aceleração, da seguinte forma:

Função horária da posição

A função horária da posição é uma expressão matemática que descreve a posição de um corpo em função do tempo. Ela apresenta a seguinte forma:

𝓪 =∆𝑽

∆𝒕

𝑽 = 𝑽_𝟎+ 𝓪𝒕

𝑺 = 𝑺_𝟎+ 𝑽_𝟎𝒕 +𝓪𝒕² 𝟐

Podemos modificar essa função para que ela não dê a posição final do corpo, mas sim o deslocamento dele por completo. Com o objetivo de encontrar o deslocamento, podemos utilizar a função horária da posição do seguinte modo:

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é a única equação do M.U.V. que não utiliza a grandeza tempo para descrever a trajetória, ela é um trunfo para quando você não tiver o tempo como dado do seu problema. Essa equação apresenta a seguinte forma:

Com essas três equações, a dúvida sempre aparece durante as questões: qual dessas fórmulas eu devo usar?

Para responder a essa pergunta, você precisa separar todos os dados que a questão forneceu e analisá-los.

Os dados definem qual fórmula você deve utilizar.

Classificação do movimento

Assim como foi feito em M.U., podemos classificar o movimento de um corpo em M.U.V. a partir da direção e sentido da aceleração em relação à trajetória. O seu movimento será:

● Acelerado: caso a aceleração apresente a mesma direção e sentido da trajetória.

● Retardado: caso a aceleração apresente a mesma direção, mas sentido oposto à trajetória.

Como podemos ver, a classificação do M.U.V. pode ser feita junto da classificação do M.U. Então, para facilitar a sua vida, montamos uma tabela para você entender como classificar o movimento.

Velocidade Aceleração Movimento

Positiva Positiva Progressivo acelerado

Positiva Negativa Progressivo retardado

Negativa Positiva Retrógrado retardado

Negativa Negativa Retrógrado acelerado

∆𝑺 = 𝑽_𝟎𝒕 +𝓪𝒕² 𝟐

𝑽² = 𝑽_𝟎^𝟐+ 𝟐𝓪∆𝑺

Exercícios de Fixação

1.

Uma partícula descreve um movimento uniforme. A função horária dos espaços, com unidades do Sistema Internacional de Unidades é: 𝑠 = 2,0 − 4,0. 𝑡. Nesse caso, podemos afirmar que a velocidade escalar da partícula é:

a) -2 m/s e o movimento é retrógrado.

b) -2 m/s e o movimento é progressivo.

c) 4,0 m/s e o movimento é progressivo d) 4,0 m/s e o movimento é retrógrado

2.

A posição de um móvel, em movimento uniforme, varia com o tempo conforme a tabela que segue.

s(m) 25 21 17 13 9 5

t(s) 0 1 2 3 4 5

A equação horária desse movimento é:

a) s = 4 – 25.t b) s = 25 - 4.t c) s = 25 + 4.t d) s = -4 + 25.t

3.

Sabendo que o espaço do móvel varia com o tempo, e obedece a seguinte função horária do espaço:

𝑥 = −100 + 25𝑡. O instante quando o móvel passa na origem das posições é:

a) t = 2s b) t = 4s c) t = 8s d) t = 10s

4.

É dado o movimento cujo espaço 𝑆, medido na trajetória (em metros) a partir de uma origem, varia em função do tempo conforme:

𝑆 = 10 − 2𝑡 +𝑡² 2 (os instantes 𝑡 estão medidos em segundos)

a) Determine o tipo geral do movimento

b) Determine o espaço e a velocidade iniciais, e a aceleração escalar.

5.

Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e os seus espaços variam no tempo de acordo com a função horária:

𝑆 = 9 + 3𝑡 − 2𝑡² (𝑡 em segundos e 𝑆 em metros)

Determine o espaço e a velocidade iniciais, e a aceleração escalar.

Exercícios de Vestibulares

1.

(Enem (Libras), 2017) No Brasil, a quantidade de mortes decorrentes de acidentes por excesso de velocidade já é tratada como uma epidemia. Uma forma de profilaxia é a instalação de aparelhos que medem a velocidade dos automóveis e registram, por meio de fotografias, os veículos que trafegam acima do limite de velocidade permitido. O princípio de funcionamento desses aparelhos consiste na instalação de dois sensores no solo, de forma a registrar os instantes em que o veículo passa e, em caso de excesso de velocidade, fotografar o veículo quando ele passar sobre uma marca no solo, após o segundo sensor.

Considere que o dispositivo representado na figura esteja instalado em uma via com velocidade máxima permitida de 60km/h.

No caso de um automóvel que trafega na velocidade máxima permitida, o tempo, em milissegundos, medido pelo dispositivo, é

a) 8,3.

b) 12,5.

c) 30,0.

d) 45,0.

e) 75,0.

2.

(Enem, PPL, 2018) Ao soltar um martelo e uma pena na Lua em 1973, o astronauta David Scott confirmou que ambos atingiram juntos a superfície. O cientista italiano Galilei Galilei (1564-1642), um dos maiores pensadores de todos os tempos, previu que, se minimizarmos a resistência do ar, os corpos chegariam juntos à superfície.

OLIVEIRA, A. A influência do olhar Disponível em: www.cienciahoje.org.br. Acesso em: 15 ago. 2016 (adaptado).

Na demonstração, o astronauta deixou cair em um mesmo instante e de uma mesma altura um martelo de 1,32 𝑘𝑔 e uma pena de 30 𝑔. Durante a queda no vácuo, esses objetos apresentam iguais

a) inércias.

b) impulsos.

c) trabalhos.

d) acelerações.

e) energias potenciais.

3.

(Enem, PPL, 2020) Nas estradas brasileiras existem vários aparelhos com a finalidade de medir a velocidade dos veículos. Em uma rodovia, cuja velocidade máxima permitida é de 80 𝑘𝑚. ℎ⁻¹. um carro percorre a distância de 50 cm entre os dois sensores no tempo de 20 ms. De acordo com a Resolução n. 396, do Conselho Nacional de Trânsito, para vias com velocidade de até 100 𝑘𝑚. ℎ⁻¹, a velocidade medida pelo aparelho tem a tolerância de +7 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ além da velocidade máxima permitida na via.

Considere que a velocidade final registrada do carro é o valor medido descontado o valor da tolerância do aparelho.

Nesse caso, qual foi a velocidade final registrada pelo aparelho?

a) 38 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ b) 65 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ c) 83 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ d) 90 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ e) 97 𝑘𝑚. ℎ⁻¹

4.

(Enem digital 2020) No Autódromo de Interlagos, um carro de Fórmula 1 realiza a curva S do Senna numa trajetória curvilínea. Enquanto percorre esse trecho, o velocímetro do carro indica velocidade constante.

Quais são a direção e o sentido da aceleração do carro?

a) Radial, apontada para fora da curva.

b) Radial, apontada para dentro da curva.

c) Aceleração nula, portanto, sem direção nem sentido.

d) Tangencial, apontada no sentido da velocidade do carro.

e) Tangencial, apontada no sentido contrário à velocidade do carro.

5.

(Enem, PPL, 2020) Em 20 de julho de 1969, Neil Armstrong tornou-se o primeiro homem a pisar na superfície da Lua. Ele foi seguido por Edwin Aldrin, ambos da missão Apollo 11. Eles, e os astronautas que os seguiram, experimentaram a ausência de atmosfera e estavam sujeitos às diferenças gravitacionais. A aceleração da gravidade na Lua tem ¹₆ do valor na Terra.

Em relação às condições na Terra, um salto oblíquo na superfície da Lua teria alcance a) menor, pois a força normal com o solo é menor.

b) menor, pois a altura do salto seria maior.

c) igual, pois o impulso aplicado pelo astronauta é o mesmo.

d) maior, pois a aceleração da gravidade é seis vezes menor.

e) maior, pois na ausência de atmosfera não há resistência do ar.

6.

(Enem, PPL, 2020) Os acidentes de trânsito são causados geralmente por excesso de velocidade. Em zonas urbanas no Brasil, o limite de velocidade normalmente adotado é de 60 𝑘𝑚. ℎ⁻¹. Uma alternativa para diminuir o número de acidentes seria reduzir esse limite de velocidade. Considere uma pista seca em bom estado, onde um carro é capaz de frear com uma desaceleração constante de 5 𝑚. 𝑠⁻² e que o limite de velocidade reduza de 60 𝑘𝑚. ℎ⁻¹ para 50 𝑘𝑚. ℎ⁻¹.

Nessas condições, a distância necessária para a frenagem desde a velocidade limite até a parada completa do veículo será reduzida em um valor mais próximo de

a) 1 m.

b) 9 m.

c) 15 m.

d) 19 m.

e) 38 m.

7.

(Enem, PPL, 2019) Um foguete viaja pelo espaço sideral com os propulsores desligados. A velocidade inicial 𝑣⃗ tem módulo constante e direção perpendicular à ação dos propulsores, conforme indicado na figura. O piloto aciona os propulsores para alterar a direção do movimento quando o foguete passa pelo ponto 𝐴 e os desliga quando o módulo de sua velocidade final é superior a √2 |𝑣⃗|, o que ocorre antes de passar pelo ponto 𝐵. Considere as interações desprezíveis.

A representação gráfica da trajetória seguida pelo foguete, antes e depois de passar pelo ponto 𝐵, é:

a) c) e)

b) d)

8.

(Enem, 2020) Nos desenhos animados, com frequência se vê um personagem correndo na direção de um abismo, mas, ao invés de cair, ele continua andando no vazio e só quando percebe que não há nada sob seus pés é que ele para de andar e cai verticalmente. No entanto, para observar uma trajetória de queda num experimento real, pode-se lançar uma bolinha, com velocidade constante (𝑉₀) sobre a superfície de uma mesa e verificar o seu movimento de queda até o chão.

Qual figura melhor representa a trajetória de queda da bolinha?

a) c) e)

b) d)

9.

(Enem, 2020) Você foi contratado para sincronizar os quatro semáforos de uma avenida, indicados pelas letras 𝑂, 𝐴,  𝐵 e 𝐶, conforme a figura.

Os semáforos estão separados por uma distância de 500 𝑚. Segundo os dados estatísticos da companhia controladora de trânsito, um veículo, que está inicialmente parado no semáforo 𝑂, tipicamente parte com aceleração constante de 1 𝑚 𝑠⁻² até atingir a velocidade de 72 𝑘𝑚 ℎ⁻¹ e, a partir daí, prossegue com velocidade constante. Você deve ajustar os semáforos A, B e C de modo que eles mudem para a cor verde quando o veículo estiver a 100 𝑚 de cruzá-los, para que ele não tenha que reduzir a velocidade em nenhum momento.

Considerando essas condições, aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo 𝑂 os semáforos 𝐴,  𝐵 e 𝐶 devem abrir, respectivamente?

a) 20 𝑠,  45 𝑠 e 70 𝑠.

b) 25 𝑠,  50 𝑠 e 75 𝑠.

c) 28 𝑠,  42 𝑠 e 53 𝑠.

d) 30 𝑠,  55 𝑠 e 80 𝑠.

e) 35 𝑠,  60 𝑠 e 85 𝑠.

10.

(Enem 2019) A agricultura de precisão reúne técnicas agrícolas que consideram particularidades locais do solo ou lavoura a fim de otimizar o uso de recursos. Uma das formas de adquirir informações sobre essas particularidades é a fotografia aérea de baixa altitude realizada por um veículo aéreo não tripulado (vant). Na fase de aquisição é importante determinar o nível de sobreposição entre as fotografias. A figura ilustra como uma sequência de imagens é coletada por um vant e como são formadas as sobreposições frontais.

O operador do vant recebe uma encomenda na qual as imagens devem ter uma sobreposição frontal de 20% em um terreno plano. Para realizar a aquisição das imagens, seleciona uma altitude H fixa de voo de 1.000 m a uma velocidade constante de 50 𝑚. 𝑠⁻¹. A abertura da câmera fotográfica do vant é de 90°. Considere 𝑡𝑔 (45°) = 1.

Natural Resources Canada. Concepts of Aerial Photography. Disponível em: www.nrcan.gc.ca. Acesso em: 26 abr. 2019 (adaptado).

Com que intervalo de tempo o operador deve adquirir duas imagens consecutivas?

a) 40 segundos b) 32 segundos c) 28 segundos d) 16 segundos e) 8 segundos

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Gabaritos

Exercícios de fixação

1. D

A forma mais fácil de identificar a resposta certa é comparando a equação e os valores dados.

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣 . 𝑡 𝑥 = 2,0 − 4,0. 𝑡 2. B

1º - Vamos calcular a velocidade, não esquecendo que a velocidade média será igual a instantânea.

𝑉 = 𝛥𝑠 ÷ 𝛥𝑡

𝑉 = (5 − 25) ÷ (5 − 0) 𝑉 = −20 ÷ 5

𝑉 = −4 𝑚/𝑠

2º - Agora vamos substituir os valores na equação.

𝑆 = 25 − 4. 𝑡 3. B

𝑥 = −100 + 25 .8 𝑥 = −100 + 200 𝑥 = 100𝑚

Temos que calcular o tempo quando o espaço final for 0 𝑥 = −100 + 25. 𝑡

0 = −100 + 25. 𝑡 100 = 25𝑡 100 ÷ 25 = 𝑡 4 = 𝑡

𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑡 = 4𝑠

4. a) O movimento proposto é o M.U.V., pois seus espaços variam com o tempo, de acordo com uma função de 2º grau em 𝑡.

b) Comparando 𝑆 = 𝑆𝑜+ 𝑣_𝑜𝑡 +^𝑎𝑡²

2 com 𝑆 = 10 − 2𝑡 +^𝑡²₂ e identificando cada termo, obtemos:

𝑆_𝑜= 10 𝑚, 𝑣𝑜= −2 𝑚/𝑠 e 𝑎 = 1 𝑚/𝑠²

5. Comparando a função dada (𝑆 = 9 + 3𝑡 − 2𝑡²) com 𝑆 = 𝑆𝑜+ 𝑣𝑜𝑡 +^𝑎𝑡²

2 , obtemos 𝑆𝑜 = 9 𝑚, 𝑣𝑜 = 3 𝑚/𝑠 e 𝑎 = −4 𝑚/𝑠².

Exercícios de vestibulares

1. C

O tempo medido pelo dispositivo é o que o veículo gasta para ir de um sensor ao outro, no caso, para percorrer 0,5 m.

Dados:

𝛥𝑆 = 0,5 𝑚; 𝑣 = 60 𝑘𝑚 ℎ = 60

3,6 𝑚

𝑠 =50 3

𝑚 𝑠 𝑣 =𝛥𝑆

𝛥𝑡 ⇒ 𝛥𝑡 =𝛥𝑆 𝑣 =0,5

50 3

=1,5

50= 0,03 𝑠 ⇒ 𝛥𝑡 = 30 𝑚𝑠

2. D

Corpos em queda livre caem com a mesma aceleração, igual à aceleração da gravidade local.

3. C

Dados: 𝛥𝑆 = 50 𝑐𝑚 = 5 ∙ 10⁻¹ 𝑚; 𝛥𝑡 = 20 𝑚𝑠 = 2 ∙ 10⁻² 𝑠 𝑣 =𝛥𝑆

𝛥𝑡 =5 ∙ 10⁻¹

2 ∙ 10⁻²= 25𝑚

𝑠 ⇒ 𝑣 = 90 𝑘𝑚/ℎ Descontando o valor da tolerância:

𝑣_𝑓= 90 − 7 ⇒ 𝑣_𝑓= 83 𝑘𝑚/ℎ 4. B

Como a velocidade do carro se mantém constante, não há aceleração tangencial. Sendo assim, ele possui apenas a aceleração centrípeta, que é radial e está apontada para dentro da curva.

5. D

A expressão para o cálculo do alcance horizontal de um lançamento oblíquo com saída e chegada no mesmo plano horizontal é:

𝐴 =𝑣₀²

𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜃

Essa expressão mostra que o alcance horizontal é inversamente proporcional a aceleração da gravidade.

Portanto, em relação à Terra, um salto oblíquo na Lua teria alcance horizontal seis vezes maior.

6. B

Dados: 𝑣01= 60 ^𝑘𝑚

ℎ ≅ 17 ^𝑚

𝑠; 𝑣₀₂= 50 ^𝑘𝑚

ℎ ≅ 14 ^𝑚

𝑠; 𝑎 = −5 ^𝑚

𝑠²; 𝑣 = 0.

𝑣²= 𝑣₀²− 2𝑎𝛥𝑆 ⇒ 0 = 𝑣₀²+ 2𝑎𝛥𝑆 ⇒ 𝛥𝑆 =𝑣𝑜2

2𝑎 𝛥𝑆₁= 17²

−10⇒ 𝛥𝑆₁≅ 28,9 𝑚 𝛥𝑆₂= 14²

−10⇒ 𝛥𝑆₁≅ 19,6 𝑚

𝛥𝑆₁− 𝛥𝑆₂= 28,9 − 19,6 ⇒ 𝛥𝑆₁− 𝛥𝑆₂= 9,3 𝑚 7. C

Na horizontal, têm-se um MU (velocidade constante). Na vertical, têm-se um MUV (neste caso, um movimento acelerado a partir do repouso) de A até B. E após a passagem por B, a componente vertical também se torna constante. Ou seja, levando em consideração essas informações e sobrepondo os movimentos, a alternativa que melhor descreve o movimento do foguete é a [C], já que mostra um arco de parábola entre A e B, e uma reta inclinada após passar por B.

8. D

Para a altura considerada, a resistência do ar é desprezível. A trajetória da bolinha é, então, um arco de parábola, resultante da composição do movimento uniforme na direção horizontal do movimento uniformemente variado na direção vertical.

9. E

𝑣 = 72 𝑘𝑚

ℎ = 20𝑚

𝑠 ; 𝑎 = 1𝑚 𝑠²

Distância percorrida nesse tempo:

𝑑₁=𝑎 2𝑡₁²=1

2(20)²⇒ 𝑑₁= 200 𝑚

𝑑₂= 400 − 𝑑₁= 400 − 200 ⇒ 𝑑₂= 200 𝑚 𝑡₂=𝑑₂

𝑣 =200

20 ⇒ 𝑡₂= 10 𝑠

Assim, o tempo de abertura para o sinal A é:

𝑡_𝐴= 𝑡₁+ 𝑡₂= 20 + 10 ⇒ 𝑡_𝐴= 30 𝑠

Para abertura dos outros dois semáforos o veículo deve percorrer 500𝑚 e 1000𝑚com velocidade constante de 20 𝑚/𝑠.

𝑡𝐵= 𝑡𝐴+ 𝑡3⇒ 𝑡𝐵= 30 +500

20 ⇒ 𝑡𝐵= 55 𝑠 𝑡_𝐶= 𝑡_𝐵+ 𝑡₄⇒ 𝑡_𝐶= 55 +500

20 ⇒ 𝑡_𝐶 = 80 𝑠 10. B

Analisando dois triângulos sobrepostos, temos:

𝑡𝑔 45° = 1000 𝐿 2

⇒ 𝐿 = 2000 𝑚

Distância percorrida pelo avião entre duas fotos:

𝑑 = 0,8 ∙ 2000 𝑚 = 1600 𝑚

Portanto, o intervalo de tempo procurado é de:

𝛥𝑡 =𝑑

𝑣=1600 𝑚 50 m/s 𝛥𝑡 = 32 𝑠