Índice Índice

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Índice

...1

1. Modelo geométrico de Robots manipuladores

...2

1.1. Nota introdutória

...3

1.2. Espaço de trabalho

...3

1.3. Graus de liberdade (DOF)

...4

1.4. Problema do tipo directo

...6

1.4.0.0 Tipode juntas ou articulações...7

1.4.0.1 Configuração básica de robots manipuladores...12

1.4.1 Matrizes de Rotação...13

1.4.1.1. Matriz de rotação sobre o eixo OX...15

1.4.1.2. Matriz de rotação sobre o eixo OY...16

1.4.1.3. Matriz de rotação sobre o eixo OZ...17

1.4.1.4. Exercicios práticos

...18

1.4.1.4.1. Rotação de um ponto sobre OZ...18

1.4.1.4.2. Rotação de um ponto sobre OX...19

1.4.1.5. Obtenção da Matriz Q=R^T=R-1...20

1.4.1.6. Composição de Matrizes de Rotação...21

1.4.1.6.2. Ex. de rotação em torno dos eixos fixos OXYZ...22

1.4.1.6.3. Ex. da não comutatividade nas Matrizes de Rotação...23

1.4.1.7. Rotações em torno de eixos arbitrários...24

1.4.2.1. Composição de transformações...27

1.4.2.2. Exercícios sobre composição de transformações...28

1.4.2.3. Inversão da Matriz de transformação...33

1.4.3. O modelo de Denavit-Hartenberg...36

1.4.3.1. Exemplo 1 – Aplicação do modelo de DH...38

1.5. Problema do tipo inverso

...46

1.5.1.Técnicas para obtenção da solução inversa...47

1.5.2. Algoritmo para o modelo geométrico inverso...47

1.5.3. Condições de existência de soluções...48

1.5.5. Método da aproximação directa...51

1.5.5.1. Exemplo para o método da aproximação directa...51

1.5.6.Método da manipulação de matrizes...53

1.5.6.1. Exemplo para o método da manipulação de matrizes...54

2. Modelo cinemático de robots manipuladores

...55

(2)

2.1.1. Controlo baseado no modelo cinemático...57 2.1.2. Exemplo para a obtenção do modelo cinemático...57

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(3)

1. Modelo geométrico de Robots manipuladores

1.1. Nota introdutória

Um Robot manipulador pode ser considerado como uma cadeia de vários

“troços” encadeados e interligados por “juntas” de revolução ou prismáticas. O estudo do modelo geométrico, é abordado através da geometria do Robot em relação a um sistema de referência de coordenadas fixo (tipicamente a base do Robot), negligenciando forças (momentos) que originam o

movimento.

Como ferramentas principais neste capitulo serão utilizados calculo

vectorial e álgebra matricial.

Este capitulo será centrado em duas questões de interesse fundamental.

1- Problema do tipo directo - Sendo dado o vector com os ângulos das

“juntas prismáticas” (produzem rotações puras em torno de um eixo fixo), os

parâmetros geométricos dos troços e das “Juntas prismáticas”

(produzem

translações puras ao longo de uma direcção), calcula-se a posição do “Efector

terminal” (Troço colocado no final da cadeia de troços) 2- Problema do tipo inverso – Sendo dada a posição desejada para o

“Efector terminal” e os parâmetros geométricos dos “troços”

pretende-se

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calcular o vector com os ângulos das Juntas por forma a que o

“Efector

terminal possa ser posicionado como desejado"

1.2. Espaço de trabalho

Conjunto de pontos (x,y,z) para os quais existe pelo menos uma

orientação (,,) para o efector terminal tal que (x,y,z,,,) tem pelo

menos uma solução. Considera-se que cada junta de rotação pode rodar 360º

e cada junta prismática se pode deslocar L, e que cada segmento também

tem comprimento L.

Exemplos de espaços de trabalho para algumas configurações

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1.3. Graus de liberdade (DOF)

Graus de liberdade de um objecto é o número de movimentos independentes que o objecto pode fazer com respeito a um sistema de eixos

coordenados.

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(6)

Se o uso a dar a um robot não é conhecido à prior, o robot deve ter 6 DOF. Para determinadas tarefas, 6 DOF podem ser demais conforme esquematizado nos seguintes exemplos:

Na figura abaixo,

 O ponto A não tem qualquer DOF em relação à base fixa

 O ponto B tem 2 DOF

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 O ponto C tem 3 DOF

 Se o ponto D é especificado, a articulação C é

teoricamente supérflua, se bem que na prática possa não ser. A articulação C pode ser considerado como possuindo um grau de mobilidade.

Nem todos os graus de mobilidade constituem um DOF.

a) 2 graus de mobilidade e 2 DOF b) 2 graus de mobilidade e 1 DOF

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1.4. Problema do tipo directo

A solução do problema do tipo directo permite determinar a localização do

extremo de um membro se conhecidos os valores das coordenadas polares.

 Apesar de a cinemática ser a relação entre posições, velocidades e

acelerações de um manipulador, iremos dedicar este estudo apenas a

cálculos relacionados com a posição.

 Em termos geométricos poderemos considerar um Robot manipulador com uma sequência de troços unidos por juntas

1.4.0.0 Tipode juntas ou articulações

Os robots manipuladores são, esencialmente composto por braços articulados, de uma forma mais precisa um manipulador insdustrial convensional é uma cadeia cinemática aberta formada por um conjunto de troços ou elementos da cadeia interligados por articulações ou juntas. As articulações ou juntas permitem o movimento relativo entre troços sucessivos.

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Tipos de articulaçõs ou juntas

Tipos de Juntas mais utilizadas no estudo de Robots manipuladores.

o Juntas de revolução – Permitem rotações puras em torno de um

eixo

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o Juntas prismáticas – Permitem translações puras ao longo de

um eixo

Tipos de Troços mais utilizadas no estudo de Robots manipuladores

O troço é uma estrutura mecânica rígida destinada a manter fixas as

relações entre as juntas existentes nas suas extremidades.

O Troço do tipo 1 - É mais simples em que encontramos, que

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contêm 2 juntas de revolução nas suas extremidades e cujo seixos de rotação das juntas estão paralelos.

o Troço do tipo 2 – É semelhante ao tipo um, apenas que o eixo

de rotação de uma das Juntas de revolução está “rodado” de um ângulo a. Permite mais um grau de rotação do que o anterior.

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o

Troço do tipo 3 – As diferenças com o tipo 2 é que o angulo a

é fixado em 90º e no prolongamento dos os eixos de torção, estes interceptam-se.

12 Parâmetros geométricos – É então possível decompor um robot

numa sequência de troços unidos por juntas. Por exemplo:

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1.4.0.1 Configuração básica de robots manipuladores

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1.4.1 Matrizes de Rotação

Tendo o ponto p representado pelo vector de posição num espaço tridimensional OUVW. Supondo que OUVW coincide com o sistema de coordenadas de referência OXYZ conforme esquematizado na figura anexa.

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(17)

1.4.1.1. Matriz de rotação sobre o eixo OX

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(18)

1.4.1.2. Matriz de rotação sobre o eixo OY

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(19)

1.4.1.3. Matriz de rotação sobre o eixo OZ

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(20)

1.4.1.4. Exercicios práticos

1.4.1.4.1. Rotação de um ponto sobre OZ

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(21)

1.4.1.4.2. Rotação de um ponto sobre OX

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(22)

1.4.1.5. Obtenção da Matriz Q=R

^T

=R

^-1

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(23)

1.4.1.6. Composição de Matrizes de Rotação

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(24)

1.4.1.6.2. Ex. de rotação em torno dos eixos fixos OXYZ

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(25)

1.4.1.6.3. Ex. da não comutatividade nas Matrizes de Rotação

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(26)

1.4.1.7. Rotações em torno de eixos arbitrários

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(27)

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(28)

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(29)

1.4.2.1. Composição de transformações

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(30)

1.4.2.2. Exercícios sobre composição de transformações

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(31)

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(32)

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(33)

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(34)

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(35)

1.4.2.3. Inversão da Matriz de transformação

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(36)

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(37)

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(38)

1.4.3. O modelo de Denavit-Hartenberg

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(39)

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(40)

1.4.3.1. Exemplo 1 – Aplicação do modelo de DH

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1.4.3.2. Exemplo 2 – Aplicação do modelo de DH

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(42)

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1.4.3.3. Exemplo 3 – Aplicação do modelo de DH

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(44)

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1.4.3.4. Exemplo 4 – Aplicação do modelo de DH

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(47)

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(48)

1.5. Problema do tipo inverso

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1.5.1.Técnicas para obtenção da solução inversa

1.5.2. Algoritmo para o modelo geométrico inverso

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(50)

1.5.3. Condições de existência de soluções

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(51)

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(52)

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(53)

1.5.5. Método da aproximação directa

1.5.5.1. Exemplo para o método da aproximação directa

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(54)

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1.5.6.Método da manipulação de matrizes

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1.5.6.1. Exemplo para o método da manipulação de matrizes

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2. Modelo cinemático de robots manipuladores

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(58)

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(59)

2.1.1. Controlo baseado no modelo cinemático

2.1.2. Exemplo para a obtenção do modelo cinemático

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(60)

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