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Ao ministrar aulas de matemática ao Ensino Médio em instituições
públicas de ensino no Estado de São Paulo desde 1990, pude perceber lacunas
na aprendizagem deste grupo discente de conceitos comuns ao Ensino
Fundamental, destacando#se conceitos relacionados a números racionais e
irracionais. Neste processo de reflexão docente, observa#se nestes estudantes
dificuldade latente em realizar cálculos com números racionais e irracionais,
estimulando e justificando o estudo aqui apresentado.
A representação gráfica de pontos em um plano cartesiano não é tarefa
simples a um grande número de estudantes do Ensino Médio, principalmente
quando a atividade proposta pauta suas informações em linguagem matemática,
a exemplo:
A = { x ∈ Z | #2 < x < #2}. Com a utilização desta linguagem, dificilmente os
alunos iniciam a resolução da atividade sem uma intervenção docente, onde a
linguagem matemática é desvelada, a saber, mostrando que os valores que o
pode assumir são #1, 0 e 1.
Observa#se que atividades onde as coordenadas são dadas por números
inteiros, a possibilidade de leitura e compreensão destas amplia#se de maneira
significativa frente aos estudantes do Ensino Médio, tornando possível a
construção da representação gráfica de um produto cartesiano. Ao que se
exemplifica na comanda: Considerando os conjuntos C ={1, 3, 5} e D = {2, 4},
determine a forma gráfica do produto cartesiano C X D.
Há, no entanto, outra dificuldade a ser abordada frente ao ensino#
aprendizagem de números reais que está além da linguagem matemática, pois
representar graficamente um produto cartesiano aos moldes de: [2, 5] X {1, 2};
parece ser algo distante do entendimento dos estudantes.
No livro didático destinado do primeiro ano do Ensino Médio, da coleção
Filho e Claudio Xavier da Silva, adotado pela instituição pública onde leciono, na
página 48, está proposta a seguinte atividade:
Exercício que ao ser solicitado a uma classe com nível comum ao
destinado pelo livro didático, revelou que alunos de primeiro ano não tinham
conhecimento da densidade do conjunto dos números reais.
Como resposta ao item (a) foram obtidos gráficos com alguns pontos
alinhados na horizontal entre 2 e 5 no eixo , e na altura do 1, no eixo A
ausência de resoluções que apresentassem a densidade dos números reais,
impossibilitou a obtenção de um gráfico com um segmento de reta adequado, ou
seja, nenhuma representação gráfica assemelhou#se ao correto demonstrado a
seguir:
Diante das incongruências entre o conteúdo matemático específico aos
alunos de Ensino Médio e sua aprendizagem real, interessou#me pesquisar
sobre essas dificuldades latentes aos alunos. Pesquisa esta cabível ao grupo de
pesquisa sobre inovações curriculares no Ensino Médio, coordenado pela
Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires e pelo Professor Doutor Armando
Traldi Junior, cujo objetivo é olhar para as inovações e implementações
curriculares na área de Matemática, considerando alguns princípios
Este grupo de pesquisa faz parte do Programa de Estudos Pós#
Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, qual seja, “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de
Professores”.
O enfoque do projeto de pesquisa deste grupo é construir, para diferentes
expectativas de aprendizagem do Ensino Médio, trajetórias hipotéticas de
aprendizagem (THA), que consistem de objetivos para a aprendizagem dos
estudantes, de tarefas matemáticas que serão usadas para promover a
aprendizagem dos estudantes e do levantamento de hipóteses sobre o processo
de aprendizagem dos estudantes, segundo SIMON (1995).
Desta forma, inserido ao objetivo de pesquisa comum ao grupo de estudo
descrito, à sua pertinência e a avaliação de trabalhos já finalizados, é que se
pretende descrever e analisar neste estudo, a relação dos conhecimentos e
dificuldades de estudantes do Ensino Médio com os números reais. Para tanto,
será por meio de uma avaliação diagnóstica que serão realizadas análises dos
acertos e dos erros resultantes da mesma, apoiado às linhas teóricas e trabalhos
que abordam este tema, contribuindo para o processo de ensino#aprendizagem
Essa pesquisa que tem como objetivo,
está inserida na linha de pesquisa do Programa de Estudos
Pós#Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo, qual seja, “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de
Professores”, sobre inovações curriculares no Ensino Médio.
A estrutura desta pesquisa divide#se em três capítulos e as considerações
finais, sendo o primeiro uma abordagem da orientação dos Documentos Oficiais
(PCN) sobre números no ensino fundamental; as dificuldades descritas em
trabalhos afins com referências ao ensino#aprendizagem dos números racionais
e irracionais; avaliação diagnóstica; reiterando o objetivo e as questões desta
pesquisa.
Há no segundo capítulo uma revisão bibliográfica sobre números; a
metodologia de pesquisa e os procedimentos metodológicos utilizados para
realizar a investigação proposta; cenário da pesquisa com a caracterização da
escola e dos alunos colaboradores; o papel da avaliação diagnóstica e sua
elaboração para esta pesquisa.
É no terceiro capitulo que tanto a aplicação do questionário quanto a
análise das respostas apresentadas pelos alunos colaboradores desta pesquisa
são descritas. Sequencialmente estão dispostas as considerações finas com
!
"
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para
o Ensino Fundamental (p. 95), é constatado com frequência, que grande parte
dos alunos conclui este ciclo com um conhecimento insuficiente dos números, de
como eles são utilizados e sem ter desenvolvido uma ampla compreensão dos
diferentes significados das operações.
Corroboram para tais considerações as resoluções apresentadas às
questões como: “Quantos ônibus de 33 lugares são necessários, no mínimo,
para transportar 543 passageiros, se nenhum ônibus pode transportar mais que
33 pessoas?”. Onde são obtidas respostas como 16,454545... ou 16, e não 17
que no caso, é a correta. Outra constatação docente ao longo do Ensino
Fundamental, disposta nos PCN de Matemática, é a dificuldade de estudantes
das mais diversas origens economico#sociais em relacionar a situação#problema
com a operação que permite obter a resposta.
Motivos pelos quais, a orientação para o terceiro e quarto ciclos, relativa
ao trabalho com os conteúdos relacionados aos números e as operações, é de
privilegiar atividades que possibilitem ampliar o sentido numérico e a
compreensão do significado das operações, ou seja, atividades que permitam
estabelecer e reconhecer relações entre os diferentes tipos de números e entre
as diferentes operações.
No quarto ciclo, além da consolidação dos números e das operações já
conhecidas pelos alunos, ampliam#se os significados dos números pela
identificação da existência de números não#racionais, através de situações nas
quais os números racionais são insuficientes para resolvê#las, tornando#se
necessária a consideração de outros números: os irracionais.
Recomenda#se que a abordagem dos irracionais não siga uma linha
se enfatize os cálculos com radicais, como ocorre tradicionalmente, tal qual está
nos PCN (1998, p. 83).
Estudos brasileiros realizados por IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001),
PENTEADO (2004), DIAS (2002), SOARES, FERREIRA, e MOREIRA, (1999),
sobre ensino#aprendizagem de números, constatam que não apenas alunos
brasileiros como também de outras nacionalidades, apresentam defasagem de
conhecimento numérico, principalmente na classificação dos racionais e
irracionais, bem como a propriedade da densidade dos reais.
Outros estudos recentes constatam que professores da rede pública
inseridos em cursos de formação continuada, apresentam defasagens
semelhantes às apresentadas por estudantes, a exemplo a representação
decimal dos números racionais e irracionais.
A análise dos estudos mencionados anteriormente, permeia a necessária
clareza de um conceito de número real, sendo fundamental para o ensino de
matemática. Diante desta observação, a aplicação de uma avaliação diagnóstica
possibilitaria verificar a atual situação do ensino e aprendizagem de números.
A concepção de avaliação diagnóstica concerne a este trabalho um
caráter investigativo, onde objetiva#se identificar indicadores observáveis quanto
ao conhecimento de conceitos e aplicabilidades dos números reais. Haja vista
que a avaliação diagnóstica aqui possui um caráter de avaliação inicial, pois está
articulada a um projeto de estudo, dando#lhe subsídio a propostas de
reorientação da aprendizagem de números reais. A pertinência de uma avaliação
inicial ou diagnóstica na análise da qualidade de ensino oferecida e até mesmo
dos elementos humanos inerentes ao processo, a saber, professores, diretores e
coordenadores, compõem a concepção aqui adotada, muito embora não seja o
ZABALA,
(2006, p.153).
As práticas de avaliação baseadas no estudo de apenas “no momento”,
por exemplo, os controles ou provas seletivas são consequentemente, pouco
confiáveis e deveriam ser substituídas, dentro do possível, por outras, que levem
em consideração o caráter dinâmico do processo de construção de significados
e considerem sua dimensão temporal. Ou seja, evitar a classificação de um bom
ou mau desempenho, e sim ampliar, através de analises das respostas e com a
participação do aluno, através do diálogo entender e juntos descobrir as
dificuldades da aprendizagem, obtendo assim, uma avaliação diagnóstica.
O processo de construção de significados que, em maior ou menor
medida, é realizado por alunos e alunas sobre os conteúdos do ensino, é
inseparável do processo mediante o qual atribuem este ou aquele sentido a
esses conteúdos, ocorrendo simultaneamente.
A aprendizagem significativa não é uma questão de tudo ou nada, mas de
grau. Consequentemente, não cabe desenhar uma atividade de avaliação com o
propósito de discernir se aprendizagem realizada pelos alunos é ou não
significativa; o que procede é detectar o grau de significância da aprendizagem
realizada.
Contudo aprendizagem significativa depende não apenas da amplitude e
complexidade das relações que se estabelecem, mas sim dos significados
construídos e os significados já existentes na estrutura cognitiva.
Há diferentes tipos de avaliação que desempenham funções distintas,
com base em diversos contextos. Portanto, rever permanentemente o processo
de ensino, adaptando e atualizando as técnicas avaliativas tanto do ensino como
da aprendizagem, dentro de uma estrutura dinâmica, é necessário para elaborar
#!
$
Embasado na perspectiva de reorientar o ensino de números reais, visto
sua relevância no estudo da matemática e não apenas na matemática escolar,
intervindo positivamente no ensino#aprendizagem de números, estabeleceu#se o
seguinte objetivo de pesquisa: %
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$
'
$
As questões que norteiam e direcionam os objetivos deste estudo estão
dispostas a seguir. Responder a cada uma de maneira satisfatória à luz de um
embasamento teórico a ser descrito é o foco desta pesquisa:
Quais são os conhecimentos dos estudantes do Ensino Médio em relação
aos números reais?
Quais são as dificuldades dos estudantes do Ensino Médio em relação
(
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Este capítulo propõe uma revisão bibliográfica realizada a partir de
dissertações e artigos que abordam dificuldades dos alunos no estudo e
exercício com números reais, a densidade dos racionais e irracionais nos reais.
Compõem este foco de análise também os estudos que pontuam a importância e
a presença dos números reais na maioria dos conteúdos de matemática.
As dissertações desenvolvidas no programa de estudos de Pós#
Graduação da PUC#SP, vinculadas ao grupo de pesquisa sobre: a Matemática
na Estrutura Curricular e Formação de Professores; História, Epistemologia e
Didática da Matemática; estão presentes nesta revisão bibliográfica como fonte
de pesquisa.
O primeiro estudo analisado foi realizado por PENTEADO (2004), cujo
foco objetivava investigar a concepção e a postura didático#metodológica dos
professores do Ensino Médio frente aos diferentes registros de representações
de números quando analisada a propriedade do conjunto dos números racionais
e irracionais, nos reais. Penteado justifica sua pesquisa embasando#se no fato
de estudos nacionais e internacionais evidenciarem que grande parte das
dificuldades dos alunos na aprendizagem de limite e continuidade de função são
decorrentes da falta de compreensão do conjunto dos números reais. Embora,
os Parâmetros Curriculares Nacionais sugiram a introdução do estudo de
números irracionais a partir do 4º ciclo. As questões de pesquisas foram duas:
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" #$ %
& % &
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'PENTEADO (2004)
Na expectativa de responder suas questões, Penteado fundamentou#se
na teoria de Registros de Representação Semiótica de DUVAL, RAYMOND
(2003). Duval enfatiza a necessidade de se trabalhar com, no mínimo, dois
registros de representação diferentes e de se realizar a articulação entre eles,
tornando mais propícia à aquisição do conhecimento.
Sendo a Matemática uma ciência exata, fundamentada em
representações para ser compreendida e desenvolvida, as diferentes
representações, propostas por Duval, possibilitam conhecer vários pontos de
vista sobre o mesmo objeto.
Penteado fundamentou#se metodologicamente nos princípios da
Engenharia Didática de ARTIGUE, MICHÈLE(1988), para realizar uma
intervenção por meio da aplicação e análise de uma seqüência de ensino
composta por dez atividades, embasadas na teoria de Duval, já citada.
Esta sequência de ensino aborda a densidade dos reais por dois tipos de
procedimentos distintos: localização do ponto na reta real e sua representação
decimal, fazendo uso de média aritmética e um procedimento inspirado no
processo de diagonal de Cantor. Dessa forma espera#se que estas atividades
proporcionem uma reflexão a respeito da propriedade da densidade da reta, pois
foram sugeridas questões que propiciam noções e particularidades da reta que,
em geral, não são enfatizadas no Ensino Médio.
Os principais resultados apresentados foram: a conclusão que um sujeito
forma e expressa conceito imagem e conceito definição de um conceito
científico; neste referencial, os estudantes resolvem problemas matemáticos por
meio de seu conceito imagem quando muitas vezes, é esperado por professores
que utilizem o conceito definição. A pesquisa procura mostrar conceitos imagem
a serem levados em consideração ao abordar o conceito de número real, em
Penteado considera que a ausência de conceito definição relacionado
com o nome densidade, para a maioria dos sujeitos, não impediu a revelação do
conceito imagem, parte de imagens aqui reveladas, pareceu advinda de um
conhecimento vago dos irracionais, proporcionado por uma generalização
abusiva dos racionais para os reais, constituindo um conceito imagem de “reta
racional”; procurou#se tornar fatores de conflito potencial em fator de conflito
cognitivo para, ao menos iniciar, uma reformulação dos conceitos imagem e
definição.
A hipótese desta pesquisa, de que concepções encontradas em
estudantes do Ensino Fundamental e Médio # também são as dos professores
deste mesmo segmento de ensino – sendo validada por meio das indicações de
semelhança dos conceitos imagem revelados pelos professores, com as
concepções de estudantes.
Destaca#se ainda, que além dessa comprovação, muitos termos
expressos pelos professores eram idênticos aos que os estudantes
apresentavam nas pesquisas, tomadas como referência.
A análise dos estudos de DIAS (2002) tem por objetivo apreender suas
contribuições com o ensino de números reais. Este estudo é embasado na
fundamental conceituação de número real frente ao ensino da matemática,
sendo assim Dias culmina em resultados que permitem avaliar dificuldades
apresentadas por estudantes. Soma#se a este estudo o levantamento de
concepções sobre esse conceito frente a um grupo de professores de
Matemática do Ensino Fundamental e Médio, com formação em faculdades
distintas.
Foram referências as noções de conceito imagem e conceito definição
desenvolvidas por TALL e VINNER (1981) e investigando a ausência de
diferença significativa entre concepções apresentadas por estudantes do Ensino
Fundamental e Médio, relativo à reta real, e às dos professores, sujeitos dessa
Para desenvolver essa hipótese, Dias compara conceito imagem e
conceito definição, expressos pelos sujeitos, com concepções de estudantes
sobre número real. As observações realizadas proporcionaram estimar a
existência ou não de coerência entre o conceito imagem e definição revelado
pelos sujeitos e o conceito formal. Tendo como sujeitos dessa pesquisa 45
professores de matemática do Ensino Fundamental e Médio, em exercício e
formação continuada.
Na expectativa de responder sua questão, Dias fundamentou#se nas
noções de conceito imagem e conceito definição, proposições teóricas de
VINNER (1991, pág.69):
Considerando como conceito imagem o construído pelo
indivíduo, a concepção que ele tem de um conceito construído na comunidade,
podendo ser científica ou não.
Dias observa que os termos conceito e definição formal, utilizado neste
estudo, referem#se ao científico. O conceito imagem pode ou não, ser coerente
com o conceito. Ele é constituído na estrutura cognitiva do indivíduo, associado a
um certo conceito. Essa associação contém representações mentais como:
imagens de representações visuais, impressões, experiências e propriedades, as
quais podem ser elaboradas pelo indivíduo por intermédio de processos de
pensamento sobre as representações mentais.
O conceito imagem pode revelar#se por palavras ou símbolos
matemáticos e pode não ser o mesmo para toda situação. Pode, contudo, não
existir se, por exemplo, um conceito for introduzido por meio de uma definição,
neste caso, o indivíduo poderá deixar de formar um conceito imagem desse
conceito (VINNER, 1991).
O conceito definição é também formado na estrutura cognitiva do sujeito,
é a especificação do conceito que o indivíduo expressa em forma de palavras e
pode ser apreendido inserido ou não em um ambiente formal de ensino. O
conceito definição pode ser uma reconstrução pessoal de uma definição formal,
coincidentes, ou ainda, o conceito definição pode ser uma descrição do conceito
imagem.
A formação do conceito definição pode ocorrer no ato em que o indivíduo
é impelido a explicar um conceito, pois é neste momento que podem ocorrer
conflitos entre as partes do conceito imagem, ou ainda, entre as partes do
conceito imagem e conceito definição, possibilitando assim, a construção de um
novo conceito definição.
O conceito definição, também pode existir e ser inativo, como a
memorização de uma definição. Tanto o conceito imagem como o conceito
definição podem ser formados independentemente, além disso, esses conceitos
podem ou não interagir.
O conceito imagem é considerado inexistente quando $
(VINNER, 1991, p. 70).
As noções de conceito imagem e conceito definição foram desenvolvidas,
não só relativamente à formação de um conceito, mas também como são
expressas pelo indivíduo em resolução de problemas. Nesta pesquisa, Dias
focou a última situação, por meio de questões que possuam o potencial para
expor o conceito imagem do sujeito, aplicando questionário com questões
abertas e fechadas, respondidas por escrito pelos sujeitos#participantes dividida
em duas fases.
A primeira parte constou de situações envolvendo o conceito de
densidade, isto é, por meio delas procurou#se avaliar se os sujeitos possuíam a
concepção de que frente a dois reais distintos quaisquer, há entre eles infinitos
racionais, irracionais e reais.
A segunda parte, com três questões abertas, visa compor as informações
das dificuldades encontradas nas questões iniciais propostas, experiências
possíveis de compor conceito imagem e reflexões sobre a primeira parte. A
terceira parte constitui#se num questionário de identificação com o objetivo de
Após esta fase exploratória, tem início a fase sistemática. Esta fase
constitui#se da aplicação de um questionário respondido por 19 sujeitos e,
entrevista com quatro desses sujeitos. Os participantes desta fase de pesquisa
não foram os mesmos da fase exploratória, mas apresentaram o mesmo perfil,
constituíam#se de professores do Ensino Fundamental e Médio em formação
continuada, e tem o intuito de refinar os resultados da fase exploratória.
Por meio destes procedimentos revela#se o objetivo de ampliar a
confiabilidade dos dados, possibilitando uma melhor averiguação da hipótese da
pesquisa. Em cada fase foram apresentados os resultados e análises dos
questionários. Os principais resultados apresentados foram, segundo o
referencial teórico dessa pesquisa: um sujeito forma e expressa conceito
imagem e conceito definição de um conceito científico.
Neste referencial, os estudantes resolvem problemas matemáticos por
meio de seus conceitos imagem quando muitas vezes, é esperado por
professores que utilizem à definição formal. A pesquisa procura mostrar
conceitos imagem que necessitam ser levados em consideração, quando se
pretende abordar conceito de número real, sem distinção quanto ao nível de
ensino.
Dentre os poucos sujeitos que manifestaram conceito definição,
encontramos o conceito de densidade permeado pela existência da bijeção entre
o conjunto dos reais e a reta, procurou#se tornar fatores de conflito potencial em
fator de conflito cognitivo para, ao menos, iniciar, uma reformulação dos
conceitos imagem e definição próximo ao formal.
A hipótese desta pesquisa, de que concepções encontradas em
estudantes, do ensino Fundamental e Médio, também são as dos professores
deste mesmo segmento de ensino, foi validada por meio das indicações de
semelhança dos conceitos imagem # revelados pelos sujeitos com as
Destaca#se ainda, que além dessa comprovação, observamos que os
termos expressos pelos professores eram idênticos aos que os estudantes
apresentavam nas pesquisas tomadas como referência. Deste modo, Dias
entende que é possível sugerir que o conceito imagem do professor reflita em
sua prática docente, repercutindo em seus alunos. Com base nos resultados
acima expostos, a pesquisadora salienta e comprova a importância dos
conceitos imagem e definição de densidade, para o processo de ensino#
aprendizagem dos números reais.
Nesta pesquisa foi elencado o estudo realizado por CATTO (2000), onde
o objetivo era observar como os diversos registros dos números racionais são
dispostos em livros didáticos, como são introduzidos quer em sua representação
fracionária ou decimal, e especificamente uma investigação sobre com o são
trabalhadas conversões ou articulações que ocorrem entre os diferentes
registros.
Catto questionou em que medida os diversos registros do número racional
eram apresentados e como e se eram trabalhados os “tratamentos”
(transformações no interior de um mesmo registro) e as diferentes possibilidades
de conversão (transformações de um registro ao outro). Seu trabalho teve
fundamentação teórica nos registros de representação de Raymond Duval que
trata de aspectos do funcionamento cognitivo relacionado à aquisição dos
conhecimentos matemáticos.
Segundo Duval, o desenvolvimento das representações mentais depende
de uma interiorização das representações semióticas, mas também precisam de
certas funções cognitivas essenciais que podem ser preenchidas unicamente
pelas representações semióticas e não pelas representações mentais.
A metodologia utilizada neste estudo foi baseada em uma pré#análise
comparativa dos conteúdos abordados nos volumes pesquisados. Foi a fase de
organização propriamente dita, tendo por objetivo operacionalizar e sistematizar
os procedimentos metodológicos, o que aconteceu em três momentos: a) a
hipóteses e c) seleção dos objetivos e as constatações que fundamentaram as
considerações finais e as conclusões.
A escolha dos livros didáticos recaiu em duas coleções que abrangiam
todo o Ensino Fundamental e que também apresentam características distintas
na abordagem dos conteúdos. Uma coleção apresenta estrutura
compartimentalizada e a outra, estrutura em espiral.
No resultado de sua pesquisa, Catto entende que o conteúdo número
racional é abordado ao longo de todo o Ensino Fundamental. Sendo o enfoque
inicial dado a “fração” como representado e seu representante a/b, com a e b
naturais e b ≠ 0, sua denominação em língua natural evolui em sua significação
até atingir status de número para o qual o complemento de a/b da figura não é
mais necessário e, portanto, é possível ser localizado na reta numérica. Assim,
os decimais deixam de ser “números com vírgula” para serem admitidos como
números na forma decimal. Para maior clareza, essa exposição é realizada em
dois momentos distintos, sendo inicialmente uma abordagem para o registro
fracionário e, posteriormente, o registro decimal.
Catto observou que a noção de fração é introduzida por meio de
repartição de figuras, seja de grandezas contínuas ou discretas. As grandezas
contínuas são representadas por figuras geométricas cujas repartições, em
geral, não fazem parte das tarefas do aluno, cabe a ele identificar a fração
correspondente àquela situação já pronta. Nos casos da repartição de
segmentos, a questão da comensurabilidade não é abordada, pois os segmentos
apresentados estão sempre adaptados a uma subunidade dada no enunciado.
Nas atividades de comparação e de equivalência, a pesquisadora
observou que a coleção que apresenta estrutura compartimentalizada trabalha
com articulações entre os registros fracionários e o figural tomando inicialmente
como parâmetro a unidade “o todo” como abordagem na 3ª série. Estas
comparações envolvem o emprego dos símbolos <, > ou =. Posteriormente, as
Na coleção que apresenta estrutura em espiral, as comparações e
equivalência no registro fracionário da 3ª a 5ª série são feitas tomando como
parâmetro o registro figural. Com o enfoque de “revendo frações” na 7ª série, o
registro fracionário é articulado ao registro decimal.
Ao longo das coleções são observadas poucas atividades de ordenação
de número no registro fracionário na reta numérica. Algumas representações
figurais utilizadas pelos autores podem constituir dificuldades para a
conceituação do número racional.
O emprego do registro na língua natural também apresenta enfoques
diferenciados pelas coleções. A denominação de “número com vírgula” adotada
para o número racional no registro decimal, parece ser um artifício usado pelos
autores nos livros didáticos, de modo a aproveitarem os conhecimentos trazidos
da vida cotidiana pelos alunos.
O registro decimal é introduzido com base na representação figural numa
articulação com a noção de fração decimal e a língua natural, com ênfase nos
décimos.
As coleções articulam de maneiras distintas a noção de medidas. Os
autores apresentam em alguns momentos atividades que propiciam tanto a
conversão de registros como a conceitualização de números, de ordenação e de
localização de número na reta.
Na abordagem do Sistema Decimal, verificou#se que a compreensão da
base 10 é essencial ao domínio do conceito de equivalência entre as diferentes
unidades, tais como o entendimento da relação entre a unidade e o décimo, o
décimo e o centésimo, o centésimo e o milésimo, etc.
Outro aspecto importante que vem ao encontro da fundamentação teórica,
está relacionado aos momentos em que as conversões são realizadas. Assim, é
matemático e, sobretudo, saber realizar as conversões entre elas e o sentido em
que estas ocorrem.
É comum serem propiciadas atividades de conversão num único sentido,
por exemplo, a articulação dos registros figural para o decimal, e não no sentido
contrário, assim como do registro decimal para a língua natural e vice#versa. A
articulação entre os registros fracionário e o decimal é essencial para a formação
do conceito de número racional.
O trabalho de NAKAMURA (2008), parte desta análise, tem por objetivo
investigar as dificuldades históricas para o desenvolvimento do conteúdo
matemático referente aos números irracionais e abordagens presentes em livros
didáticos. A hipótese de Nakamura sobre o processo de ensino implementado
para os números irracionais, é que os obstáculos podem ser encontrados na
própria evolução histórica, principalmente na passagem do conjunto dos
números Racionais para os Reais.
Na busca de resposta para a sua questão, Nakamura utilizou a noção de
Organização Praxeológica proposta por CHEVALLARD (2001) presente em sua
Teoria Antropológica do Didático, para analisar atividades desenvolvidas com
números irracionais.
Na análise histórico#epistemológica dos números irracionais, o
pesquisador constatou que a sua evolução trilhou um longo caminho, desde
Pitágoras (586 a.C. # 212 a.C.) até Dedekind (1831 – 1916) e com muita
dificuldade, sendo que a verificação da irracionalidade de um dado número só é
possível, naturalmente, no âmbito da própria matemática. Nenhuma verificação
empírica, nenhuma medição de grandezas, por mais precisa que seja, provará
que uma medida tem valor irracional.
Para realizar a análise dos livros didáticos, Nakamura observou as
orientações dos documentos oficiais das reformas curriculares. Os livros
analisados foram os mais indicados pelos professores da região do Vale do
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.21), os
documentos oficiais mais recentes não são conhecidos pelos professores, que
por vezes não sabem de sua importância ou se quer o motivo de sua
elaboração. Observa#se que as idéias ricas e inovadoras, veiculadas nos
documentos oficiais não chegam aos professores ou são incorporadas
superficialmente com diversas falhas de interpretação, não provocando as
mudanças objetivadas.
Na análise dos livros didáticos, o pesquisador teve uma agradável
surpresa, já que a prova da irracionalidade de ocorre em todas as coleções
com abordagem moderna assim e também pela equação polinomial, dando
sentido ao conhecimento matemático e ao saber escolar, conforme
recomendado nos documentos oficiais.
Quatro das seis coleções analisadas utilizam a situação da construção da
técnica para provar a irracionalidade de outros números e todas as coleções
apresentam outras caracterizações de números irracionais.
Na conclusão dos seus estudos, Nakamura verifica que a descoberta dos
incomensuráveis, na antiguidade, representou um momento de crise no
desenvolvimento da Matemática. Depois de mais de dois milênios, Dedekind
construiu uma teoria rigorosa dos números reais e vários estudiosos em
matemática colaboraram nesta conquista, desde as Antigas Civilizações, o
Renascimento da Ciência, a Idade Moderna e o século dezenove.
Nakamura observa que nos documentos curriculares oficiais, os números
irracionais são tratados em uma organização linear, por meio de acumulação nos
conjuntos numéricos, ou seja, primeiro os naturais, depois os inteiros, depois os
racionais e por último os irracionais. O tipo de abordagem dada ao seu ensino
continua sendo o axiomático euclidiano, enquanto outros tipos de abordagens
poderiam ser mais aproveitados pelos alunos e professores na sala de aula.
A maioria desses documentos propõe acompanhar a evolução dos
números irracionais através do fio condutor que a história propicia, trocando uma
O pesquisador concluiu em seu trabalho que, nas coleções mais recentes,
nas atividades com números irracionais, os autores estão construindo conexões
entre os temas, evitando a idéia de conhecimento pronto e propõem a evolução
dos números irracionais através do fio condutor que a história propicia dentro da
sala de aula. O estudo do tema irracional é retomado várias vezes ao longo dos
volumes, buscando acompanhar a evolução do aluno e das experiências
matemáticas desenvolvidas.
Nakamura observou em seu estudo que os números naturais, inteiros e
racionais são bastante trabalhados nos livros didáticos, mas os irracionais são
tratados de forma mais superficial.
A fim de completar a presente revisão bibliográfica, há que se destacar o
artigo intitulado: Concepções de professores do Ensino Médio do Brasil a
respeito da densidade do conjunto dos números reais, assinado por Silva e
Penteado. Neste artigo afirma#se que a noção de número real está presente na
maioria dos conteúdos de Matemática, a exemplo tem#se o estudo de limite,
continuidade, derivada e integral de funções reais de variável real.
Pesquisas brasileiras e de outros países evidenciam que dificuldades dos
alunos na aprendizagem de limites e continuidade de funções vêm da confusão
na classificação de números racionais e irracionais, bem como do
desconhecimento da propriedade da densidade do conjunto dos números reais,
isto é, a existência de infinitos números racionais e infinitos irracionais entre dois
números reais distintos.
Algumas pesquisas também validam a confusão existente quanto às
mesmas noções, entre os professores. Por exemplo, os resultados das
pesquisas de ROBINET, J. (1993); FISCHBEIN, E., JEHIAM, R. e COHEN, D.
(1995); e TIROSH, D. (1995) apontam certas dificuldades dos alunos em alguns
conteúdos devido à falta de conhecimento a respeito dos números reais e suas
propriedades como, por exemplo, a noção da distinção entre números racionais
Duas pesquisas brasileiras foram inspiradas nestas, a primeira de
IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001) realizada com alunos iniciantes do curso
de Ciências da Computação e com finalistas do curso de licenciatura em
Matemática.
Este estudo concluiu que para os alunos investigados, a reta real não
considera a propriedade da densidade. Evidenciou#se a confusão para classificar
como sendo racional ou irracional, um número real dado na sua representação
decimal. Constatou#se ainda que os alunos insistem em estender a noção de
sucessor de um número inteiro para os números reais.
Ainda revelou que alguns alunos não percebem a existência de infinitos
números reais entre dois dados. Certos alunos definiram número irracional como
sendo aquele que contém infinitos dígitos após a vírgula. Definiram número
racional como sendo exato ou inteiro. Número irracional foi considerado
sinônimo de número negativo em algumas respostas. A grande maioria dos
entrevistados não identificou a igualdade entre as representações 1,999... e 2.
Uma segunda pesquisa brasileira realizada por SOARES, E. F. E. ,
FERREIRA, M. C. C. e MOREIRA, P. C. (1999) com 84 alunos dos cursos de
Matemática de duas Universidades Brasileiras identificou que o significado da
incomensurabilidade de dois segmentos, o sentido e a necessidade dos
irracionais não são dispostos na maioria das respostas. Esse parece ser o ponto
central das dificuldades na compreensão de uma série de conceitos ligados à
estrutura dos reais.
Esta pesquisa identificou as seguintes concepções dos alunos: um
número irracional é aquele que não é exato ou que possui infinitas casas
decimais, isto é, associam os irracionais com o que não é familiar ou bem
compreendido, ou ainda, associam número irracional à imprecisão e não a
exatidão.
As pesquisas aqui apresentadas corroboram para a pertinência do
quanto à escolha do tema: a densidade do conjunto dos números reais. Propõe#
se então, realizar uma intervenção por meio de uma seqüência de ensino junto a
Professores do Ensino Médio. A escolha do público#alvo se deu pelo fato de o
professor ser o agente do processo ensino#aprendizagem, tendo influência sobre
um grande número de alunos.
Para tanto foi realizada uma intervenção por meio da elaboração e
aplicação de uma seqüência de ensino e a análise dos resultados, composta de
dez atividades, embasada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica
do psicólogo francês Raymond Duval, utilizando os registros da língua natural,
decimal, fracionário e gráfico e a coordenação entre eles.
A coordenação entre ao menos dois registros de representação, segundo
Duval, pode possibilitar a apreensão do objeto matemático, a conceitualização,
pois ela estabelece as relações entre os registros evidenciando vários pontos de
vista diferentes de um mesmo objeto matemático.
A sequência didática foi elaborada à luz dos princípios da Engenharia
Didática, que é baseada nas análises de estudo de caso cuja validação é
essencialmente interna decorrente da comparação entre a análise e
análise das tarefas.
As questões foram elaboradas para que os participantes, depois de
procedimentos operacionais, obtivessem: a) números racionais entre dois
racionais distintos; b) números irracionais entre dois irracionais distintos; c)
números racionais entre dois irracionais distintos; d) números irracionais entre
dois racionais distintos; e) números racionais entre um racional e outro irracional
e f) números irracionais entre um racional e outro irracional.
Dentre as atividades, procurou#se enfocar dois procedimentos: o primeiro
deles objetivava a obtenção de números racionais entre dois racionais distintos
por meio da média aritmética e o segundo, a obtenção de números irracionais
entre dois irracionais distintos, sugerindo a troca de ao menos um algarismo na
Durante todo o experimento, em muitas situações, foi possível constatar
que os participantes associam a irracionalidade do número com a infinitude de
sua representação, ocasiões proveitosas para discutir a questão da
representação decimal infinita dos números reais. Para alguns dos participantes
esta associação manifestou#se até o final do experimento, evidenciado em
comentários como: o racional é finito e o irracional é infinito..
O registro de representação decimal infinito leva alguns professores a
uma contradição. Alguns relacionaram este registro, quando periódico, como
sendo de um número racional e associaram o registro infinito a um número
irracional. Foi destacado também que um dos grupos questionou a existência da
biunivocidade entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto dos números
reais, argumentando que se um número tem representação decimal infinita, o
ponto a ele correspondente “pode variar” de acordo com o número de casas
decimais representadas.
Aqui está evidenciada a identificação do número com sua representação,
pois dependendo do número de casas decimais escritas, cada representação de
um mesmo número parece significar, para este grupo, números diferentes.
Observou#se que a maioria dos participantes ao responder questões,
recorria às suas respostas anteriores, podendo indicar com isto que,
possivelmente houve uma tentativa de reprodução do procedimento sugerido em
atividades anteriores.
Num panorama geral, foi observada receptividade dos participantes.
Sendo o desenvolvimento das atividades com entusiasmo e seriedade, havendo
um grande empenho na resolução e discussão das questões e como se
pretendia, inquietações e motivações para os estudos, observados em
comentários como:
• “Vou estudar isso e depois a gente conversa”, referindo#se à igualdade:
• “Percebi como tenho defasagem, a gente só estuda o que dá aula”,
mostrando que a intervenção proposta causou, como se pretendia,
inquietações e motivações para o estudo.
Uma possível continuação deste trabalho seria a elaboração de
atividades, juntamente com os professores do Ensino Médio, viabilizando a sua
aplicação aos seus alunos. Numa seguinte etapa, poder#se#ia investigar a
possibilidade do estudo da continuidade do conjunto dos números reais com
professores e com alunos do Ensino Médio.
Pode#se perceber que tanto o estudo de Penteado como o estudo de Dias
mostraram, através de questionários com questões abertas e fechadas, que a
lacuna docente está na falta de clareza do conceito de densidade do conjunto
dos números reais e sugerem a reflexão de que essa ausência conceitual
necessita estar inserida em sua prática docente e repercutir em seus alunos,
acordando com as reflexões no artigo assinado por Benedito Antonio da Silva e
Cristina Berndt Penteado. Destacam também que termos expressos pelos
professores são idênticos aos que os alunos apresentam em pesquisas sobre
esta temática.
O artigo que compõe esta análise, de Silva e Penteado, pontua os
conteúdos matemáticos, nos quais a noção de número real é fundamental e
destaca dificuldades docentes frente à representação decimal de número real.
Em seu estudo, Catto entendeu que os autores dos livros analisados
usam artifícios como “números com vírgula” para aproveitar o conhecimento
trazido da vida cotidiana pelos alunos e conduzem a evolução de sua
significação até atingir status de número na forma decimal. Observa também,
com base em sua fundamentação teórica que, a articulação entre os registros
fracionários e o decimal é essencial para a formação do conceito de número
racional.
Nakamura, em sua pesquisa sobre as dificuldades no desenvolvimento do
conteúdo matemático de números irracionais, observa que os livros por ele
dedekindiana para a construção do significado do número irracional como
orientam os documentos oficiais, mas destaca que são tratados de forma mais
superficial, se comparado ao trabalho dedicado aos naturais, inteiros e racionais.
/ - +
Avaliar de maneira diagnóstica significa dizer que serão levantados pontos
positivos e negativos dos estudantes na área na qual serão desenvolvidas
propostas de ensino#aprendizagem. Desta forma, diagnosticar possibilita
identificar se os conhecimentos prévios do grupo a ser ensinado são suficientes
para desenvolver os conteúdos propostos, ou se uma revisão, tanto do conteúdo
quanto da metodologia, são necessários.
Esta concepção de avaliação é de elevada importância como instrumento
auxiliar de aprendizagem, tendo como foco o crescimento intelectual do
educando de maneira que este seja direcionado a uma auto#compreensão e
participação mediante seu desempenho. É sob este mesmo enfoque de reflexão
que a avaliação inicial pode ser um instrumento válido não somente aos alunos,
mas aos professores e ao próprio sistema de ensino ao qual se inserem;
possibilitando a descoberta de desvios e a busca de avanços.
Em outras palavras é possível afirmar que uma avaliação diagnóstica
pautada nos preceitos descritos permite que o aluno perceba seu nível de
aprendizagem, adquirindo consciência de seus limites e suas necessidades de
avanço. Os docentes por sua vez além de comprometerem#se com o
acompanhamento do processo de aprendizagem de seus alunos, ainda podem
verificar a eficiência e eficácia de suas aulas e desfazer eventuais incoerências
ou desvios.
Para LUCKESI (2005) a avaliação diagnóstica é de imprescindível valor
didático, permitindo a correção dos rumos de qualquer sistema de ensino
principais do processo: alunos e professores. Destaca#se que este processo de
compreensão não será completo sem diálogos entre educadores e alunos, pois a
relação de identificação de desvios, conscientização dos mesmos e possível
avanço, só ocorrem por meio da participação dos envolvidos, havendo respeito e
reflexão acerca das considerações diagnosticadas.
Por avaliação diagnóstica é possível compreender e investigar as razões
e identificar as falhas nas mais distintas práticas educativas, podendo ser
realizada a qualquer tempo do processo de ensino. Realizá#la é subsidiar o
alcance dos resultados almejados, por meio de uma atribuição qualitativa quanto
ao desempenho apresentado nas avaliações e através deste arquitetar medidas
de intervenção e redirecionamento de ações envolvidas ao processo de
aquisição de conhecimento.
Neste estudo optou#se por uma análise da fase inicial do processo
avaliativo, ou seja, a avaliação diagnóstica ou avaliação inicial. A concepção de
avaliação está atrelada a aferição do aproveitamento escolar de discentes do
Ensino Médio frente aos números reais, objetivando subsidiar um
redirecionamento frente ao processo de ensino#aprendizagem deste conteúdo
matemático.
Luckesi salienta que a avaliação compõe um processo dinâmico e não
pode ter como objetivo final apenas a verificação e a sanção positiva ou
negativa, a saber, a aprovação ou reprovação. O dinamismo de uma avaliação
inicial consiste em estabelecer uma atribuição de qualidade aos resultados da
aprendizagem discente, sendo neste caso uma atribuição de qualidade aos
conhecimentos adquiridos ao longo do Ensino Fundamental frente a um
conteúdo delimitado, tendo por base seus aspectos essenciais – direcionando as
afirmações e considerações frente ao real aprendizado e consequente
desenvolvimento do processo de ensino.
Na elaboração de uma avaliação diagnóstica é necessário que seja
dispostas numa avaliação inicial objetivam traçar um perfil dos educandos em
relação ao aprendizado de números reais, tendo como padrão, conteúdos
admitidos como básicos por especialistas de área e demais docentes habilitados
no ensino matemático.
Atrelada à análise realizada a partir do desempenho dos estudantes está a
necessidade de reconduzir o ensino de números reais, pois a qualidade
insatisfatória do nível de aprendizagem reflete uma necessária reorientação do
ensino, um redirecionamento aos estudantes e ao grupo docente.
O foco avaliativo neste estudo não é fixar médias frente ao aproveitamento
dos estudantes, mas pontuar as lacunas existentes na aquisição de conteúdos
pertinentes à formação básica de um estudante de matemática no ensino de
números reais. Consequência de um ensino pautado no desenvolvimento de
habilidades e convicções seria um desempenho pleno numa avaliação inicial,
porém o revés deste desenvolvimento é o reflexo da necessidade eminente de
uma revisão pedagógica da abordagem do conteúdo aferido e a alteração de
encaminhamentos disponíveis ao avanço da qualidade de ensino.
Avaliação diagnóstica caracteriza#se aqui, como o mecanismo que
subsidia a detecção dos níveis de aprendizagem discentes, pois diante de
questões que exigem o padrão mínimo de apreensão do conteúdo em análise,
garante#se a equalização entre os estudantes – tornando os resultados deste
instrumento de pesquisa mais fieis à realidade dos estudantes do Ensino Público
-
$
+-Sendo de natureza qualitativa, esta pesquisa objetiva compreender quais
são os conhecimentos e dificuldades dos estudantes frente a um determinado
conteúdo, porém é imprescindível destacar alguns elementos quantitativos ao
apresentar quantidades de acertos por questão, dos estudantes envolvidos na
pesquisa.
Segundo BOGDAN e BIKLEN (1994) a metodologia de pesquisa do tipo
qualitativa apresenta cinco características:
(1) $
Os dados são obtidos na
escola por meio de questionário, instrumento chave de análise.
(2) $ . Os dados serão analisados
com riqueza de detalhes.
(3) $
Vamos procurar investigar as razões pelas quis
determinadas coisas acontecem.
(4) *
Não procuraremos buscar evidências para comprovar
hipóteses previamente construídas.
(5) $ +
significado que as pessoas dão às coisas e a sua
vida são focos de atenção especial pelo pesquisador.
Esses mesmos autores destacam que não é necessário que todas as
características estejam presentes no estudo qualitativo.
Os instrumentos de coleta de dados mais utilizados na metodologia
qualitativa são: a observação, a entrevista, o questionário e a pesquisa
considera as características de uma avaliação diagnóstica sendo composto por
doze questões de múltipla escolha e três questões dissertativas, abertas.
Um questionário com perguntas abertas e fechadas dá ao sujeito
pesquisado maior liberdade nas respostas e ao pesquisador parâmetros iniciais
de análise. Desta forma, podem ser obtidos mais dados sobre o assunto
pesquisado sem prejuízo à tabulação. Acrescendo que a utilização de
questionário é particularmente útil quando se propõe entender o que as pessoas
sabem, o que gostam ou não gostam e o que pensam (TUCKMAN, 1994).
!
- +
A elaboração da avaliação inicial deste estudo está descrita abaixo, sendo
possível verificar o objetivo de cada um das questões. A disposição da mesma
está dividida em três distintas partes:
0
Composta de 12 questões objetivas com quatro alternativas, onde apenas
uma está correta (anexo I).
Questão 1:
Objetivo do diagnóstico é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação à representação em forma de fração ordinária de uma dízima
• Em relação a representação na forma decimal de uma dízima periódica;
• Em relação ao fato de que frações cujo denominador é uma potência de
base dez, não geram uma dízima periódica;
• Em relação ao conceito imagem de uma dízima periódica;
• Em relação à conversão de uma fração ordinária em um número decimal.
Questão 2 :
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a reconhecer diferentes representações de números racionais
e irracionais;
• Em relação ao conceito imagem do número irracionalπ;
• Em relação ao conceito imagem da irracionalidade de .
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a pertinência de um número a um determinado conjunto;
• Em relação a diferentes representações para números inteiros e naturais;
• Em relação ao conceito imagem de número racional e irracional.
Questão 4:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação às relações entre conjuntos numéricos;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números naturais;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números racionais
positivos;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números reais positivos;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números inteiros
positivos;
Questão 5:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação ao conceito imagem de par ordenado;
• Em relação a localização de pontos no plano cartesiano;
• Em relação a localizar número irracional dentro de um intervalo real.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação ao conceito definição e conceito imagem de função;
• Em relação a localizar na reta real, a partir da representação de um
gráfico de uma função, um intervalo para a imagem de um número do
domínio;
• Em relação a fazer leitura e interpretação de um gráfico de função.
Questão 7:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a reconhecer diferentes representações de um mesmo
número;
• Em relação a fazer conversão (transformações de um registro ao outro);
• Em relação a representação de uma dízima periódica como uma soma
infinita de frações;
Questão 8:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a identificação do número irracional na forma
• Em relação as propriedades dos radicais que lhe permita fazer
conversões;
• Em relação ao conceito imagem da irracionalidade de .
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação ao conceito definição e conceito imagem de função;
• Em relação a localizar número irracional em um intervalo numérico;
• Em relação a fazer leitura e interpretação de gráfico de função
quadrática,
Questão 10:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação ao conceito imagem da diagonal do cubo;
• Em relação a realização de cálculo exato com número irracional através
do teorema de Pitágoras;
Questão 11:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a localização de número na reta por meio de uma soma de
segmentos;
• Em relação ao conceito de comensurabilidade de um segmento;
• Em relação a correspondência do número racional com medida;
• Em relação ao conceito de número racional.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do
aluno:
• Em relação a comparar números reais em diferentes representações;
• Em relação ao valor aproximado doπ;
Composta de 3 questões abertas.
Objetivo do diagnóstico das questões 13, 14 e 15 da parte II, por serem
questões abertas do tipo “O que são...?” é que o aluno revele o seu conceito
definição sobre os números racionais, irracionais e reais. O referencial teórico, a
saber DIAS (2002), diz que o conceito definição pode ocorrer no ato em que o
indivíduo é questionado para explicar um determinado conceito.
O esperado como conceito definição correto é:
• Resposta à questão 13: Racionais – números que se pode escrever na
forma onde a e b são inteiros e b≠0.
• Resposta à questão 14: Irracionais – números que não se pode expressar
como quociente de dois inteiros.
• Resposta à questão 15: Reais – designação dada a união dos conjuntos
dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, ou seja,
A pesquisa de IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001), realizada com
alunos iniciantes do curso de Ciências da Computação e com finalistas do curso
de licenciatura em Matemática evidenciou a confusão, por parte dos alunos
investigados classificar números como sendo racionais ou irracionais.
0
Composta por um questionário que possibilita traçar um perfil dosalunos participantes (anexo II).
"
$
A aplicação do questionário foi realizada numa Instituição de Ensino Estadual
que divide seu período letivo em três, a saber, com Ensino Fundamental e
Ensino Médio no período da manhã (8ª, 1º, 2º e 3º), Ensino Fundamental no
período da tarde (5ª, 6ª e 7ª) e Ensino Médio no período da noite (1º, 2º e 3º).
Esta escola está localizada na cidade de Itanhaém na baixada santista e tem
atualmente 781 alunos matriculados, sendo 454 no Ensino Fundamental e 327
no Ensino Médio.
Ao todo, 54 alunos participaram desta pesquisa, sendo 18 alunos do primeiro
ano, 18 alunos do segundo ano e 18 alunos do terceiro ano. Em todas as séries
contamos com a participação de estudantes do período da manhã e da noite
numa distribuição equilibrada.
Dos 18 alunos de primeiro ano, 14 são do sexo feminino e 4 do sexo
masculino, com idades variando entre 14 e 16 anos, sendo predominante
estudantes de 15 anos. Entre os participantes de primeiro ano, 83,3%
descrevem#se como alunos que gostam de matemática, porém 66,7% afirmam
que não resolvem problemas de matemática com facilidade. Mais de 90% destes
Dos 18 alunos de segundo ano, 7 são do sexo feminino e 11 do sexo
masculino, com idades variando entre 15 e 20 anos, com predominância das
idades de 15 ou 16 anos. Entre os participantes de segundo ano, 72,2% dizem
gostar de matemática, porém 61,1% afirmam que não resolvem problemas de
matemática com facilidade. Neste grupo, 84,3% dos participantes, sempre
estudou em escola pública e 94,5% do grupo fez o ensino regular.
Dos 18 alunos de terceiro ano, 13 são do sexo feminino e 5 do sexo
masculino, com idades variando entre 16 e 18 anos, sendo a maioria com
17anos. Neste grupo, 77,8% relatam gostar de matemática e 72,2% afirmam que
resolvem problemas de matemática com facilidade. Mais de 94% destes
Capítulo 3
$
"
A aplicação do questionário ocorreu de forma equilibrada, dividindo#se em
dois períodos: matutino e noturno, contando com a colaboração de dezoito
alunos de primeiro ano, dezoito alunos de segundo ano e dezoito alunos de
terceiro ano.
Os cinquenta e quatro alunos aceitaram o convite para participar de uma
avaliação diagnóstica sobre números que deveriam ou foram abordados no
Ensino Fundamental, com o compromisso de estar fazendo parte de um estudo
de pesquisa para mestrado.
Os alunos colaboradores foram reunidos em salas de aula, alguns no dia
14 de junho, no período da noite, e no dia 15 de junho, no período da manhã,
para responder ao questionário composto de doze questões de múltipla escolha
e três questões abertas, com tempo cronometrado de 100 minutos.
Durante a aplicação do questionário, como aplicador estive presente na
sala de aula a fim de observar o processo de realização da avaliação diagnóstica
em questão. Quanto às respostas foi solicitado aos alunos que deixassem seus
cálculos e comentários na folha para justificar as mesmas.
Ao ter início a correção dos questionários, logo observou#se que a grande
maioria dos alunos colaboradores não apresentou uma justificativa matemática
para as suas respostas. Porém, colocaram diversos comentários. Alguns desses
comentários justificam satisfatoriamente a resposta certa, como por exemplo: “o
resultado da divisão desse número deu exato” justificando que 48/24 não é
irracional.
Contudo, a maioria dos comentários não serve de justificativa como é
me lembro de algumas contas”, “não sei, chutei!”, “achômetro”, “foi um raciocínio
que para mim era correto”, “são ambos irracionais porque são resultados de
números que não tem fim” justificando que π e são números irracionais,
“nenhuma explicação específica para esta questão” e “através do calculo
mental”.
"
Os percentuais de acerto da questão 1 mostrados pelo gráfico, apontam
defasagem no conhecimento dos alunos do Ensino Médio, principalmente os de
primeiro ano, em relação às diferentes representações de números racionais.
Observou#se por meio de tabulação das respostas, que metade dos
alunos de cada uma das turmas (1º ano, 2º ano e 3º ano) marcaram a alternativa
(c), o que pode significar que um grande número de estudantes do Ensino Médio
apresentam dificuldade no reconhecimento da representação decimal de uma
dízima periódica.
Possibilitando conjecturar que, ao longo do quarto ciclo do Ensino
Fundamental é dado pouca ênfase às diferentes representações dos números
racionais. A articulação entre os registros fracionário e decimal é essencial para
a formação do conceito de número racional. CATTO, (2000).
Os percentuais de acerto mostrados pelo gráfico nesta questão revelam
que a maioria dos alunos do Ensino Médio, principalmente os de segundo ano,
apresentam conhecimento satisfatório em relação a diferentes representações
de números irracionais.
Provavelmente esse percentual satisfatório de acertos deva#se ao fato de
o conceito imagem do número irracional π , ser comumente evocado pela sua
grande importância no estudo de matemática, assim como o conceito imagem da
irracionalidade de , quando se trata de raiz quadrada e o radicando não é um
número quadrado perfeito.
Com a tabulação, observamos que quase 40% dos alunos do segundo
ano erraram, marcando a alternativa (c). Esse percentual significativo de erros
pode ter ocorrido pelo fato do númeroπ, ser apresentado como resultado de uma
razão. O número π, apresentado desta maneira, diminui a probabilidade de um
Questão 3
Os percentuais de acerto apresentados neste gráfico para a questão 3,
mostram que a maioria dos alunos do Ensino Médio, principalmente os de
primeiro e terceiro ano, apresentam dificuldade para determinar uma relação de
pertinência entre um número e um conjunto numérico.
Observamos pela tabulação dos dados que metade dos alunos
colaboradores de primeiro ano, marcaram a alternatica (c). É provável que esse
tipo de erro ocorra por falta de uma ênfase maior às diferentes representações
de números naturais, inteiros e racionais nas aulas de matemática no Ensino
A Teórica dos Registros de Representações Semiótica de Duval, que foi
utilizada no estudo de CATTO, (2000) e PENTEADO, (2004) destaca que o
tratamento (transformação no interior de um mesmo registro) de um mesmo
objeto matemático pode ter duas representações diferentes e pode auxiliar no
procedimento de justificação ou prova; e a realização de conversões
(transformação de um registro em outro) pode possibilitar a compreensão de
vários aspectos de um mesmo objeto, pois cada representação explicita apenas
alguns aspectos componentes do objeto.
Como apenas dois alunos de cada turma, marcou a alternativa (b)
acreditamos que isso seja indício de que, em geral, os alunos do Ensino Médio
têm na forma fracionária, o conceito imagem de número racional.
