POTENCIAL ELÉTRICO
Introdução
Sabemos que é possível introduzir o conceito de energia potencial gravitacional porque a força gravitacional é conservativa.
A Lei de Gravitação Universal de Newton e a Lei de Coulomb são muito parecidas.
q1
q2 FE
-
FEr ^
m
1^
r
F
G-
F
Gm
2F r
r m Gm
G 2 ˆ
2 1
− =
r
r r
q kq
FE ˆ
2 2 1
=
r
Figura 32- Lei da gravitação Universal de Newton e Lei de Coulomb.
Mostraremos que a força elétrica também é conservativa. Por isso, é possível definir o conceito de energia potencial elétrica e de potencial elétrico.
dr
1F
C
1A
B
C
2dr
2F
F
C
A
B
F
dr
dr
Figura 33- Trabalho de uma força conservativa.
Uma força é dita conservativa quando o trabalho realizado por ela independe da trajetória.
∫
∫
• = •2 1
2 1
C C
r d F r d
Fr r r r .
Uma manipulação simples da expressão anterior permite definir uma força conservativa como aquela cujo trabalho em uma trajetória fechada é nulo.
r r
∫
∫
∫
∫
• = • ⇒ • − •2 1
2 1
2 1
2 1
C C
C C
r d F r d F r
d F r d
. 0
0
3
1 1 3
= • ⇒ = • + • ⇒
∫
∫
∫
C C C r d F r d F r d F r r r r r r r r ronde dr3 =dr =−dr2 são deslocamentos sobre a trajetória C3 que tem a
forma da trajetória C2, mas os deslocamentos ocorrem em sentido oposto.
Demonstraremos geometricamente que a força elétrica é conservativa.
A
B
q
r
Ar
Bq
odr
F
oFigura 34- Trabalho em trajetória radial
O trabalho realizado pela força eletrostática que atua em uma carga pontual qo quando ela se desloca radialmente é
). 1 1 ( 4 4 ) ( 2 A B o o B A o o o B A r r qq dr r qq F
W → =
∫
=− −πε πε r
A
B
q
r
Ar
Bq
odr
F
odr
F
oC
r
CFigura 35- Trabalho em uma trajetória do tipo degrau
A trajetória da Figura 35 é constituída por uma parte radial e outra com forma de arco de círculo.Denominaremos essa trajetória degrau. O trabalho realizado pela força elétrica em uma trajetória degrau é
Denominaremos escada a trajetória formada por vários degraus.
A Figura 43 mostra uma escada com dois degraus.
A
B
C
D
E
O
Figura 36- trajetória do tipo escada.
Provaremos por indução que o trabalho realizado pela força
elétrica em uma trajetória com N degraus é dado por
), 1 1 ( 4 ) ( f i o o o f i r r qq F
W→ = −
πε
r
onde e rri f são os raios do ponto inicial e do ponto final da
escada. Na Figura 36, ri e rf seriam os raios dos pontos A e do ponto
E.
Vamos supor que o trabalho realizado em uma escada com N-1
degraus é dada pela expressão anterior:
), 1 1 ( 4 ) ( 1 1 − − → = − N i o o o N i r r qq F W πε r
onde ri é o raio do ponto inicial da escada e rN-1 é o raio do
penúltimo degrau da escada. Na Figura 36 , ri seria o raio do ponto A e
rN-1 seria o raio do ponto C.
O trabalho da força elétrica na escada com N degraus é dado por
− = − + − = + = − − → − − → → f i o f N o N i o N N N i N i r r kqq r r kqq r r kqq W W
W 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
Portanto, acabamos de provar que o trabalho realizado pela força
elétrica em uma trajetória do tipo escada, não depende do número de
escadas e é dado pela seguinte expressão:
− = → f i o N i r r kqq
A
B
q
q
odr
F
oc
A
B
Figura 37- trabalho em uma trajetória qualquer.
O trabalho realizado pela força elétrica Fro na trajetória C é
∫
• =C o o
C F F dr
W (r ) r r.
A Figura 37 mostra uma trajetória do tipo escada cujo início
coincide com o ponto A e o final com o ponto B. O trabalho realizado
pela força Fro nessa trajetória é
− =
→
B A o B
A
r r kqq
W 1 1 .
O trabalho realizado pela força elétrica na trajetória escada e na
trajetória C são diferentes porque as trajetórias são diferentes.
O trabalho realizado pela força elétrica na trajetória escada e na
trajetória C tornam-se mais parecidos se utilizarmos escadas com um
número muito grande de escadas. Por isso, podemos calcular o trabalho
realizado pela força Fro na trajetória da seguinte forma: escada
N o
C F W
W (r )=lim →∞ .
Vimos que o trabalho realizado pela força Fro em uma escada só depende do ponto inicial e do ponto final da escada. Como esses pontos
não mudam no processo limite, trabalho na escada permanece constante e
− =
B A o escada
r r kqq
W 1 1 .
Conseqüentemente o trabalho realizado pela força Fro na trajetória C é dado por:
− =
B A o o
C
r r kqq F
W (r ) 1 1 .
A expressão anterior mostra que o trabalho devido à força elétrica
que o campo elétrico de uma carga pontual exerce outra carga pontual
não depende da forma da trajetória, só depende do seu ponto final e do
seu ponto inicial. Logo, a força elétrica é conservativa. Nesse caso,
podemos definir uma energia potencial elétrica associada à carga elétrica
qo da seguinte forma:
, 1 1
− =
• −
=
∫
o o F dr kqq r r
U
B o B
o B
r r
onde ponto o ponto o é escolhido arbitrariamente e é
denominado origem da energia potencial elétrica.
A expressão anterior mostra que a energia potencial do ponto o é
nula. Também é nítido que a energia potencial definida dessa forma
depende da coordenada do ponto que é escolhido como origem do
potencial.
Quando o ponto o estiver no infinito a energia potencial UB da
carga elétrica qo é .
B o B
r kqq
=
U
Quando o ponto o estiver a um metro da carga elétrica q a nova
expressão U´B da energia potencial da carga elétrica se reduz a
o B
o
B kqq
r kqq
U´ = − .
A observação das expressões UB e U´B nos permite tirar as
seguintes conclusões:
1. Escolhas diferentes da origem da energia potencial dão
C r kqq r
U( )= o + , onde o r kqqo − = C .
No caso em que a origem foi escolhida no infinito a constante é
nula e no caso em que a origem foi escolhida no infinito a constante é
kqqo.
A diferença da energia potencial entre dois pontos não depende
da escolha da energia potencial, uma vez que
A o B o o A o o B o A B r kqq r kqq r kqq r kqq r kqq r kqq U
U = −
− − − = − o o .
A força elétrica exercida por várias cargas elétricas
pontuais sobre uma carga elétrica qo também é conservativa uma vez que
∑
∑∫
∫
∫ ∑
∑∫
= = = − = • = • = = • Ni iA iA
o i N i B A oi C C N i N i C oi oi o r r q kq r d F r d F F r d F 1 1 1 1 1 r r r r r r r .
A generalização da expressão anterior para uma distribuição
contínua de carga é imediata. Portanto, a energia potencial elétrica de
uma carga elétrica q na presença de uma distribuição de carga elétrica
qualquer é dada por U
o
∫
∫
• =− • − = B o Bo Fo dr qoE dr
B r r r r .
A energia potencial elétrica por unidade de carga elétrica é
denominada potencial elétrico.
∫
• − == B
o E dr
q U V o B B r r .
A expressão anterior mostra que o potencial elétrico só depende
do ponto e do campo elétrico. Ele não depende da carga de prova. Por
isso, dizemos que o potencial elétrico é uma propriedade do campo
elétrico. O potencial elétrico também depende da escolha da origem e
potencial. Todavia a diferença de potencial independe da posição da
origem da energia potencial (origem do potencial).
O potencial elétrico associado ao campo elétrico de uma da carga
, 1 1
− =
=
o
r r kq q U V
B o
B B
No caso em que a origem do potencial elétrico é colocada no
infinito a expressão anterior se reduz a
r kq VB = .
A expressão anterior mostra que todos os pontos das superfícies esféricas
com o centro na carga elétrica q têm o mesmo valor do potencial elétrico.
Por isso, elas são denominadas superfícies equipotenciais.
q
V1
V2
q< 0 q
V1
V2
q> 0
Figura 38-Linhas de campo e eqüipotenciais de cargas pontuais positivas e negativas.
Na Figura 38 observamos que
1.
2.
3.
4.
as linhas de campo e o campo elétrico são perpendiculares
às superfícies eqüipotenciais;
o campo elétrico aponta para as regiões onde o potencial
elétrico está diminuindo;
a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma
carga de prova positiva qotem a direção e o sentido do campo
elétrico. Por isso, as cargas elétricas positivas se deslocam
espontaneamente para as regiões onde o potencial elétrico é
menor;
a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma
carga de prova negativa qotem a direção do campo elétrico e o
sentido contrário. Por isso, as cargas elétricas negativas se
deslocam espontaneamente para as regiões onde o potencial
O potencial elétrico associado a N cargas elétricas pontuais se
reduz a
∑
∑∫
= • = == N
i iB i N
i B
i B
r kq r
d E V
1 1 o
r r
.
Exemplo 1: A Figura mostra um dipolo elétrico localizado no eixo OX.
q -q
Y
X
2d M
d h
B
A
Figura 39- Potencial de um dipolo elétrico
A distância entre as cargas elétrica é 2d. Calcule o potencial
1.
2.
no ponto A que dista x da origem do eixo OX;
no ponto B sobre a reta paralela ao eixo OY que passa pelo
ponto médio da distância entre as cargas elétricas.A distância do
ponto B ao eixo OX é h.
Resolução:
O potencial elétrico no ponto A é
(
)
− −
=
− − =
− − =
) ( 1
1
d x x
d kq d
x x kq d x
kq x
kq
VA .
O potencial elétrico no ponto B é
0
= − =
−
+B B
A
r kq r
kq
V .
Observe na Figura que r+B e r−B são iguais.
Exemplo 2: Calcule o potencial de um ponto localizado no eixo
que é perpendicular ao plano do anel e passa pelo seu centro. A
carga elétrica total do anel q está uniformemente distribuída no
q
Y
X A
d
q Y
X A
d
R r
dq
Figura 40- Potencial no eixo de simetria do anel Resolução:
Para calcular o potencial criado pelo anel vamos dividir o anel em cargas
elétricas quase pontuais. O potencial elétrico do anel pode ser calculado
somando-se os potenciais das cargas quase pontuais do anel. Como a
distribuição de cargas elétrica é contínua, essa soma é uma integral.
2
2 R
d kq r
kq dq r k r kdq VA
+ =
= =
=
∫
∫
.Exemplo3: Calcule o potencial elétrico de um campo elétrico constante e
igual a , onde é o vetor unitários da direção do eixo OX.
Desenhe as superfícies eqüipotenciais associadas a esse campo elétrico.
i E
Er = oˆ iˆ
E
O X
Y
V1 V2 E
O X
Y
Figura 41- Eqüipolências e linhas de campo de um campo elétrico constante.
Resolução:
O potencial elétrico é dado por:
) (
ˆ
o B
o B
o B
o B
o E dr E i dr E dx E dx E x x
Se escolhermos a origem do potencial elétrico na origem vemos que o
potencial elétrico do campo elétrico constante se reduz a
x E x
V( )=− o .
A expressão anterior mostra que as superfícies eqüipotenciais são
planos perpendiculares ao eixo OX.
Na Figura 41 observamos os que as linhas de campo e o campo
elétrico são perpendiculares às superfícies eqüipotenciais;
1. o campo elétrico aponta para as regiões onde o potencial
elétrico está diminuindo.
2. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma carga
de prova positiva qotem a direção e o sentido do campo
elétrico. Por isso, as cargas elétricas positivas se deslocam
espontaneamente para as regiões onde o potencial elétrico é
menor;
3. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma carga
de prova negativa qotem a direção do campo elétrico e o
sentido contrário. Por isso, as cargas elétricas negativas se
deslocam espontaneamente para as regiões onde o potencial
elétrico é maior.
As propriedades 2 e 3 valem sempre e estão relacionadas a
definição do campo elétrico. As propriedades 1 é geral e pode ser
demonstrada da seguinte forma:
A variação de potencial pode é
∫
=−∫
• =− B
A
A A A
B V dV E dr
V r r.
A expressão anterior permite escrever a diferencial do
potencial elétrico: dV =−Er•drr.
variação de potencial elétrico é nula. Por isso, o campo elétrico é
perpendicular às superfícies eqüipotenciais.
A expressão da diferencial do potencial permite calcular o
campo elétrico a partir da expressão do potencial elétrico.
Quando o deslocamento ocorre na direção do eixo OX, o
vetor deslocamento é drr=dxiˆ. Nesse caso, a variação do
potencial é dV . Portanto a componente do campo
elétrico na direção o eixo OX é dx
Ex
− =
dx dV
Ex =− . Como a variação do
potencial elétrico foi realizada na direção do eixo OX, as
coordenadas y e z permaneceram constante. Por isso, a derivada
que aparece na expressão do campo elétrico é uma derivada
parcial.
x V Ex
∂ ∂ −
= .
Deslocamentos na direção do eixo OY e OZ fornecem
para as componentes do campo elétrico nessa direção as seguintes
expressões:
y V Ey
∂ ∂ −
= e
z V Ez
∂ ∂ −
= .
1. A diferença de potencial é = =−
∫
•B o E dr
q U
o B B
r r
V .
2. O potencial elétrico de uma carga elétrica pontual é C r kq B = +
V . A constante C é
determinada pela posição da origem o do potencial elétrico.
3. Vale o princípio da superposição para o potencial elétrico, isto é,
∑
= +
= N
i iB i
B C
r kq V
1
.
4. A relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico é
x V Ex
∂ ∂ − =
, y
V Ey
∂ ∂ − =
e z
V Ez
∂ ∂ − =
Questionário 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
. Qual energia potencial elétrica associada a uma carga
elétrica localizada em uma região do espaço onde existe um
campo elétrico constante?
A energia potencial elétrica associada a um campo
elétrico tem alguma arbitrariedade na sua definição? Qual?
Qual o valor da energia potencial elétrica no ponto que é
escolhido como a origem da energia potencial elétrica?
A energia potencial elétrica muda quando a sua origem é
deslocada para outro ponto? E a diferença de energia
potencial elétrica?
O que é potencial elétrico?
Qual a expressão do potencial elétrico criado por um
campo elétrico constante? Ele tem alguma arbitrariedade na
sua definição?
O que é origem do potencial?
O potencial elétrico muda quando a origem do potencial
elétrico é deslocada para outro ponto? E a diferença de
potencial?
Marque a alternativa correta:
( ) As cargas elétricas positivas e negativas se deslocam
espontaneamente para as regiões em que o potencial elétrico é
menor.
( ) As cargas elétricas positivas se deslocam
espontaneamente para as regiões em que o potencial elétrico é
menor, e as cargas elétricas negativas se deslocam
espontaneamente para regiões em que o potencial elétrico é
maior.
O que é uma superfície equipotencial?
Qual a direção do campo elétrico na superfície
equipotencial?
Exercício 1
Escreva a expressão do potencial elétrico associada ao um campo elétrico constante E=1000V/m representado na figura abaixo nos seguintes casos:
a) A origem do potencial elétrico está em y= 0 m.
b) A origem do potencial elétrico está em y=1 m.
Figura 42- Exercício 1
Exercício 3
Na fotografia abaixo, sementes de grama foram colocadas sobre óleo na presença de dois terminais carregados com cargas opostas. Um dos terminais é um disco com raio pequeno e o outro é uma coroa circular(não aparece na fotografia). O centro do disco coincide com o centro da coroa circular. Desenhe uma linha equipotencial. Justifique a sua resposta?
