LISTA 01 v. 1.0 – ALGUMAS RESPOSTAS v. 1.0 Obs.

UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA 01 v. 1.0 – ALGUMAS RESPOSTAS v. 1.0

Obs. Aqui, s´o apresentamos respostas. Num exame, devem ser apresen- tadas resolu¸c˜oes completas.

1.b. Declividade m da reta n˜ao-vertical r: m¹ =m² =−2/3; m³ = 3/2;

m4 =m19 = 0; m5 =m15 =m16 =−1; m7 = m8 =m21=−1/3; m9 = 3;

m¹¹=m¹² =−4; m¹³ =m¹⁴ = 1/4; m¹⁷ =−2; m¹⁸ = 2; m²² = 1; r⁶, r¹⁰ e r²⁰ s˜ao verticais;

1.e. Para obter outra equa¸c˜ao cartesiana, basta multiplicar ambos os lados da equa¸c˜ao dada por um n´umero real r tal que 06=r 6= 1 (digamos, r = 2).

Escolhendo-se outro destesr (digamos,r=−5), temos uma terceira equa¸c˜ao cartesiana: r¹ : 2x+ 3y−6 = 0; r² : 2x+ 3y−19 = 0; r³ : 3x−2y+ 4 = 0;

r⁴ : y −2 = 0; r⁵ = r¹⁵ = r¹⁶ : x +y −4 = 0; r⁶ : x −2 = 0;

r⁷ : x+ 3y−8 = 0; r⁸ : x+ 3y−2 = 0; r⁹ : 3x−y+ 4 = 0; r¹⁰: x+ 1 = 0;

r¹¹ : 4x+y−13 = 0; r¹² : 4x+y −1 = 0; r¹³ : x−4y−13 = 0;

r¹⁴ : x −4y−33 = 0; r¹⁷ : 2x+y + 1 = 0; r¹⁸ : 2x− y− 5 = 0;

r¹⁹ : y−1 = 0; r²⁰ : x−1 = 0; r²¹: x+ 3y= 0; r²²: x−y= 0;

1.i. Coincidentes: r⁵ e r¹⁵; r¹⁵ e r¹⁶;

Paralelas: r⁴ er¹⁹;r⁶ e r²⁰; r⁷ e r²¹; r⁸ er²¹; r¹⁰ e r²⁰;

(Concorrentes) Perpendiculares: r⁴ er⁶; r⁶ e r¹⁹;r¹⁹ e r²⁰; r⁹ e r²¹; r¹⁵ er²²; Concorrentes mas n˜ao perpendiculares: os demais pares, ou seja, r¹ er⁴;r² e r⁵;r³er⁵;r⁵ er⁶;r⁵ er¹⁰;r⁸er¹³;r⁸ er²²;r⁹er¹⁷;r⁹ er²²;r¹⁸er²²;r¹⁹er²¹; 1.l. O feixe de todas as retas no plano que passam pelo ponto C consiste de: todas as retas n˜ao-verticais que passam por C, cujas equa¸c˜oes ponto- declividade s˜ao da forma y−5 = m(x−2), onde m ∈ ^R; e a reta vertical por C,x= 2;

1.m. Comor¹ admite equa¸c˜ao cartesiana r¹ : 2x+ 3y−6 = 0, sua dire¸c˜ao

´e descrita por 2x+ 3y+c= 0, ondec∈^R. Analogamente, a dire¸c˜ao de r³

´e 3x−2y+c = 0, onde c ∈ ^R (dire¸c˜ao perpendicular `a de r1); a de r4 ´e y+c= 0, ondec∈^R(dire¸c˜ao horizontal); e a der⁶´e x+c= 0, ondec∈^R (dire¸c˜ao vertical);

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2.c. H´a infinitas solu¸c˜oes distintas (as retas s˜ao coincidentes) se, e somente se, m= 2 e n= 24;

N˜ao h´a solu¸c˜ao (as retas s˜ao paralelas) se, e somente se, m= 2 e n 6= 24;

Sen˜ao, a solu¸c˜ao ´e ´unica (as retas s˜ao concorrentes). Em outras palavras, a solu¸c˜ao ´e ´unica se, e somente se, m 6= 2;

2.f. H´a infinitas solu¸c˜oes distintas (as retas s˜ao coincidentes) se, e somente se, m= 9 e n=−1;

Sen˜ao, a solu¸c˜ao ´e ´unica (as retas s˜ao concorrentes). Em outras palavras, a solu¸c˜ao ´e ´unica se, e somente se, m 6= 9 ou n 6=−1;

3.a. Par de retas coincidentes de equa¸c˜ao reduzida y=−x;

3.b. Par de retas coincidentes de equa¸c˜ao reduzida y=x;

3.c. Par de retas perpendiculares na origem e de equa¸c˜oes reduzidas y=x e y=−x;

3.d. Par de retas perpendiculares em (0,−1) e de equa¸c˜oes reduzidas y =x−1 e y=−x−1;

3.e. Par de retas perpendiculares em (−1,0) e de equa¸c˜oes reduzidas y =x+ 1 e y=−x−1;

3.f. Par de retas perpendiculares em (2,−3) e de equa¸c˜oes reduzidas y =x−5 e y=−x−1;

3.g. Par de retas paralelas de equa¸c˜oes reduzidas y=x+ 1 e y=x−1;

3.h. Par de retas perpendiculares em (3,−4) e de equa¸c˜oes reduzidas x= 3 (vertical) e y=−4 (horizontal);

3.i. Par de retas paralelas de equa¸c˜oes reduzidas y =x e y =x+ 1;

3.j. Par de retas paralelas de equa¸c˜oes reduzidas y=−1 2x− 1

2 e y =−1

2x− 3 2;

3.k. 0 = 2x² + 3xy − 2y² + 3x+ 6y = (x+ 2y)(2x− y+ 3) ∴ par de retas perpendiculares em (−6/5, 3/5) e de equa¸c˜oes reduzidas y =−x/2 e y = 2x+ 3.

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