ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE

ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE

 Regime permanente: são escoamentos que não apresentam variação com o tempo  /t = 0

 Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um componente de velocidade que só varia em uma direção

 Escoamentos simples hidrodinamicamente

desenvolvidos: não apresentam variação na direção principal do escoamento

Escoamentos externos: película de filme com espessura constante

Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação

2

Adimensionalização

2 0

2     

 ^ _





x p y

u g sin

a Y  y

U



y x

g_y g_x h=2 a







 p g y sin

P 0

2

2  

 ^ _





x P y

u

Pressão reduzida, ou pressão modificada

u ref

U  u 0

2 2

2  











x P Y

ref U

a u

 

 

 a 2

u x

P

ref 1 0

2

2  



 Y

U

 

 

 

  ^ _

 a 2

u

x P

U

Fator de atrito

2

2 1

m x h P

u D f



 

 

 

 ^



Número de Reynolds



  u ^m D ^h Re

m

h x

P h

m m

x h P

u

D D

u u

D

f  

 

 



 





 

 

 

 ^





 2

2

2

2 Re 1

 

 

 

  ^ _

 a

u

x

U P

2 2

 

 



 

a D

f U ^h

m

Re

4

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (cte, =cte) 3. Regime permanente   / t = 0

4. 2-D (largura b >> h)   / z = 0

5. L >> h  esc. desenvolvido  / x = 0 6. Escoamento inclinado de  com a

horizontal, gravidade vertical 7. p  constante

8. laminar

g 

U



y x

g_y g_x h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido entre duas placas paralelas e infinita)

Continuidade:

 

cte z v

w y

v x

u   



 



 



 0

4 0 5

0 ( ) ( )

0 0

2















 





V t V

cte



 







) (

) (



 

 0 v

Condição de contorno: y=a=h/2 ; v=0

i y u

V  

)

 (

V p

t g D

V

D   

 2







  



Q. M. L - direção z

Q.M.L. (Navier-Stokes):

 ( , )

) (

) (

) (

) (

y x p z p

w p z

g p t

D w D

w zero z

w zero





 

 



 

 



 

0

4

0 2 0

4

0

 



 











Q. M. L - direção y

   







cos

) (

) cos (

) (

) (

y g v p

y g p

t D

v D

de continuida

v g zero

y

de continuida

v zero



 

 



 

 



 







 



 ₀

2

0

) ( )

(

cos y f x

g

p      _logo ^ _{ x} ^{p  f  ( x )}

então

Q. M. L - direção x

    

 

) (

) (

) ( )

( ) sin

( )

( )

( )

( 3 0 5 0 0 0 4 0 5 0 4

0

2 2 2

2 2

2

z u y

u x

u g

z x u v

y u x

u t

u

x g p

w v

u 













 

  

 

  



 

        

 

x p y

u g ^ _



  

  sin 

2 2

Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional

Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas

parcelas seja iguais a uma constante, logo

K

g x

p y

u   ^ _ 



  

 sin

2 2

x p

y g ^ _

     sin  

ou y

  u



 

pois

6

Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade entre as duas placas

 

 K

y

u 

2 2

Condições de contorno:

1) y=a; u =U U=(K/  ) a

²

/2 + C

₁

a + C

₂

2) y=-a ; u=0  0=(K/  ) a

²

/2 - C

₁

a + C

₂

 

  

 







 



 



 a

y U

a y a

u K 1

1 2

2 ²

2 2



2 1

2

1 K y 2 C y C

u C

K y

y

u      

 ^  



As constante C

₁

e C

₂

podem ser facilmente determinadas

(I)+(II) 2

2

2 2

2 a C

U  

 



2 2

2 2

a C U



 





(I) - (II)  U  2 C ₁ a

a C U

1  2



 Substituindo as constantes C

1

e C

2

na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

8

 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão cisalhante

 Vazão: ^{ } 

A

T

T T

m A u d A

u

Q   

 a

a

y d b u Q

b a a U

Q  





 



  

 

 ² 3

2

; A _T  2 a b _{; } ^





 



  

 a U

u _m

2 1 3

1 ²





 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que

y d

u

 d

 

a y U

 2



   onde

x sen p

g 

 



  ( ) 

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão cisalhante

 Vazão: ^{ } 

A

T

T T

m A u d A

u

Q   

 a

a

y d b u Q

b a a U

Q  





 



  

 

 ² 3

2

; A _T  2 a b _{; } ^





 



  

 a U

u _m

2 1 3

1 ²





 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que

y d

u

 d

 

a y U

 2



   onde

x sen p

g 

 



  ( ) 

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

Caso 1:  U  ≠    0 x p



  (1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)

 

 

  

 a

y u U 1

2 ^; a

U

 2

 

Caso 2:  U    0 x

p



 

(2º. exemplo):

 





 



 



 



 

  ² 1 ²

2 a

y a

u K

 ^

 





 



 



 2

2 2

2 1 a

y u a





   y

max

max

( / ) ;

u a u

x

u p

_m

3 2 2

2







 



 





 



 



 2

2 2

2 1 a

y a

u K

 y

 K



b a ab P

D A u

D dx f p

m h t

m

h

4

2 2 4 4

2

1

²





 

 ( )

; )

/ (

) / (





 













 



 a

y U

a y a

u K 1

1 2

2 ²

2 2



a

y U

K  2

  

U 2a

Caso 2:  =0 , U=0,  p / x

2a

 96

Re

f

10

Caso 3:  U    0 x p



  



 

 

  

 







 



 



 a

y U

a y

u a 1

1 2

2 ²

2 2





;

a y U

 2



   _

u

max

onde  0    0 y

d u d



y U

u

Caso 4: U

  0 x

p



 

;

2

2

0

a U x

p 



 _



_

y u U

Caso 5: U ₂

2 a U x

p









 



Neste caso, a tensão na parede inferior é nula u

y U

0 2 2

2        ² 



     

 então

a K U

a se Ka U

a y

a em

Ky U

12

Caso 6:  U 

2 a 2

U x

p 

 



  _

O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior escoa para a esquerda.

A tensão para parede inferior é negativa, 0

2

 

 

 a

x p a

U

s

 

u

y U

u

U

 Considerando agora   0, temos

Caso 7:   0U  

 

 0



 

g sen

x p



 

 g sen

x

p   



 g sen x

p ₍

x p



 pode ser positivo)

(sen  sen)

   ^

Caso 8:   0U      0



  g sen x

p



 

 g sen

x

p   



 g sen x

p

^

x p



 pode ser zero, K > 0  ^ u

U U

u  U

u



Já vimos que com as hipóteses acima

14

Exemplo: Determine o perfil de

velocidade para uma película de água escoando ao longo de uma parede inclinada, com espessura constante.

Qual a vazão para obter filme com espessura h?

Desprezando as perturbações na entrada e saída.

Hipóteses:

1. fluido Newtoniano, propriedades constantes (=cte, cte): div 

^

V 2. Largura grande: /z0, w=0

3. Regime permanente: /t=0 4. Espessura h=cte: /x0 5. Laminar

6. Pressão uniforme igual a pressão atmosférica: p/x0 i y u

V   )

 (



   g K Ky C

¹

Dt g

Du

y zero

z y

zero x zero

x x p

zero

xz xy

xx



xy

       





    

 _ ^{ } _ ^{ } _ ^{ } _ ^{ } _ ^ cos









y

x

 Eq. de quant. de movimento na direção x

 condição de contorno: y = h ; 

_H2O

=

_ar

 

_H2O

 0  C

₁

= -K h



condição de contorno:



y=0, u=0  C

₂

=0

2 2

2 h y C u y

h y

K ^K

y

u    





 ( )  ^ _{ } ( )





y

x

 





 



 

 ^

2 2

2 2

2

h y h

u ^K _ ^h y



 3

0 2 3 2

0 2

3 2

3

h K h

h h K

h y h

bdy y u

Q ^    ^





 



 

 



 



3

h 3

b

Q  g ^cos



y

x

h

u(y)

 (y)



vazão

16

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (cte, =cte) 3. Regime permanente   / t = 0

4. 2-D (largura w >> h=2b)   / z = 0

5. L >> h=2b  esc. desenvolvido  / x = 0 6. Escoamento inclinado de  com a

horizontal, gravidade vertical 7. p  constante

8. laminar

g 

ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCÍVEIS ENTRE DUAS PLACAS PLANAS (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido)

Continuidade:

 

cte z v

w y

v x

u   



 



 



 0

4 0 5

0 ( ) ( )

0 0

2















 





V t V

cte



 







) (

) (



 

Condição de contorno:

y=b; v

^I

=0 

y=-b; v

^II

=0 V u y i

i y u

V  

 

) (

) (

II II

I I





y 

_I

b

x 

_II

b

Para ambos os fluidos: Q. M. L - direção x

      ) (

) (

) ( )

) ( ( )

( )

( )

( 3 0 5 0 0 0 4 0 5 0 4

0

2 2 2

2 2

2

z u y

u x

u z

u v

y u x

u t

u

x w p

v

u 









 

  

 

  



         



x p y

u

 



  

2 2

Integrando para cada fase

L p p

L p x

p y

L o 









 ^ _ ^

  

ou y

  u



 

pois

1 2 2

1

1 ^I _{I I}

I I I

2

C C y

u y C

y y d

u C d

y L

p L

p L

p          



   

 ^{  }

3 4 2

3

3 ^II _{II II}

II II II

2

C C y

u y C

y y d

u C d

y L

p L

p L

p          



   

 ^{  }

Condições de contorno:

Subtraindo as equações: (3) - (4)

1 2 2

I

2 I

0 b C b C

L

p  





  



18

3 4 2

II

2 II

0 b C b C

L

p  





  



I  0

 b u

y ;

II  0



 b u

y ;

1) 2) 3)

4)

4 II 2

0 u I u C C

y  ;   

3

II 1

0 I C C

y  ;     

)

( ^{I II}

2 1

2  



 

 b

C L

p 1 2

2

II

2 II

0 b C b C

L

p  





  



Somando as equações 

^I

(3) + 

^II

(4)

 





 







 

II I

II I

1 2







 b 

C L

p II

I II

I

1

1 1

1

2    

 b C C

L

p    





 



  





Os perfis de tensão e

velocidade de cada fase são

 





 





 





 







 





I II

II I I

2 1







 ^ 

b b y

L p

 





 





 





 





 

 





 







 

 I II

I II

I

II I

2 I

I 2

2

2 2



















b y b

y u b

L p

 





 





 





 





 

 





 







 

 I II

II II

I

II I

2 II

II 2

2

2 2



















b y b

y u b

L p





y

x y

20

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (cte, =cte) 3. Regime permanente   / t = 0

4. 2-D (simetria angular) v^{ } /  = 0 5. L >> D  esc. desenvolvido  / x = 0 6. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

7. p constante 8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido em um duto circular)

Continuidade:

















 





0 0

2

V t V

cte



 







) (

) (



 

 0 v

Então r v = constante.

Condição de contorno: r=R ; v=0 V  u r i 

)

 (





e v e

v e

u

V  

_x



_r











 ; g_ g cos sen

g

g_r    

g_ g D=2 R

r x

r



g_r



0

4 5

 





) ) (

( zero zero

x u r

v r

r v

r 







 _







V p

t g D

V

D   

 2







  



Q. M. L - direção r

Q.M.L. (Navier-Stokes):

 





 



     



 











 







 



    













 



 

















 

 

 

 

 



v r

r v r

r v r r

r sen p

r g u v

v v

r v r

v x v r

v r

v t

v

2 2

2

2 1

2 2 2

2 2

A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v

_

=0, então a equação acima se reduz para

) ,

1

( x f

sen r

g p

sen r g

p     



 _{     }





 

 



 1 ₁

1 cos f

g r p

r   

logo (*)

Q. M. L - direção 

Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v

_

=0, então a equação acima se reduz para

comparando esta equação com a equação (*)

 

 



     



 











 

 

    













 





 













 



 







 





















v r

r v r

r v r r

r g p

r v u v

v v

x v r

v x v r

v r

v t

v

2 2

2 1

2 2 2

2 2

cos



 



 cos

1 p g

r  

concluímos que

) ( 1 0

1 1 1

x f

f f

r   





  p    g r sen   f ₁ ( x )

22





 

 



 1

₁

1 cos f

g r p

r   

Q. M. L - direção x

Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão

constante

Relembrando que a tensão cisalhante é 

  

     





 

 









 



 











 

 





 

 













) ) (

(

) ) (

) ( (

) (

4 5

4 5 0

3

2 2 2

2

1 2

zero x

u zero

r u

zero x u zero

r u v

zero r u zero

t u

r r u r r

x u p

v v











 



 

 

 









 



 















 







 

   



 





) ) (

(

₁^'

1

x r f

g

x p r

r u

r  r   

 



r

 u

 

  _

 

 _

r r r

) 1 (



 g r sen p

p  _ref 

A variaçao da pressão é só

hidrostática

Integrando esta equação, podemos determinar o campo de velocidade e tensão cisalhante

Relembrando que a

tensão cisalhante é r

 u

 

 

  

 _

r r r

) 1 (

r r C

r C

r ₁ ¹

2

2

2    

   



r C r

r u





 ₁

2 

 



1 2 2

4 C r C

u  r  ln 







24

2) r=R ; u =0 0=(K/  ) R

²

/4 + C

₂

 C

₂

=-(K/  ) R

²

/4

Condições de contorno:

1) r= 0 ; u e  finitos (simetria;  / r =0)  C

₁

=0

 





 



 



 



 

  ² 1 ²

4 R

r R

u K



 O perfil de velocidade é

 





 



 



 2

2 2

4 1 R

R r

u 



ou  





 



 

 

 







 

 2

2 2

4 1 R

r R

x u p



note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro

 ) 4

0 (

2 max

max

R x

u p r

u

u  

 







 









 





 



 



2

2

1

R u r

u

_max

R u

r

x

u

26

 Vazão: ^{ } 

AT

T T

m

A u d A

u

Q  ^{Q }

^R

 ^{u r d r}

0

2 

max 2 2

4 2

max 2 2 4 u 2 R

R R u R

Q     





 



 



R 2

A _T  

2 u max

u _m 

 8  32 

2

2 D

x p R

x

u _m p  

 







 

 



 







 





 O perfil de tensão cisalhante é :

2 r x p



 



Se  0



 x p

então  ^{< 0} 

n

u 

R

r

x

u

Na parede

) 2

( R

x R p

r 

 



 



tensão na parede

4 ) 2

( D

x R p

x R p

s

r 

 

 

 





 



O fator de atrito pode agora ser obtido

u D

D u

D u

u x D p f

m m m

m











64 2

1 32 2

1  

₂



_{2 2}



 







 



onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é D_h  4 A_T / P_m  D

Re

 64

f

;



 u_m D

 Re

Note que como

4 D x p

s



 

 

o fator de atrito também pode ser escrito como

2

2

1

4 1

m s

m

u

u x D p f





 ^

 

 







 



Na parede

) 2

( R

x R p

r 

 



 



tensão na parede

4 ) 2

( D

x R p

x R p

s

r 

 

 

 





 



O fator de atrito pode agora ser obtido

u D

D u

D u

u x D p f

m m m

m











64 2

1 32 2

1  

₂



_{2 2}



 







 



onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é D_h  4 A_T / P_m  D

Re

 64

f

;



 u_m D

 Re

Note que como

4 D x p

s



 

 

o fator de atrito também pode ser escrito como

2 2

2 1

4 2

1

m s

m

u

u x D p f





 ^

 

 







 



Na parede

) 2

( R

x R p

r 

 



 



tensão na parede

4 ) 2

( D

x R p

x R p

s

r 

 

 

 





 



O fator de atrito pode agora ser obtido

u D

D u

D u

u x D p f

m m m

m











64 2

1 32 2

1  

₂



_{2 2}



 







 



onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é D_h  4 A_T / P_m  D

Re

 64

f

;



 u_m D

 Re

Note que como

4 D x p

s



 

 

o fator de atrito também pode ser escrito como

2

2

1

4 1

s

u u

x D p f





 ^

 

 







 



28

O relação

4 D x

p

s 

 

  também poderia ter sido obtida através de um balanço de forças no seguinte volume de controle

 ^F

_x

^{ 0}     0



 







 

 dx A T s P m dx

x p p

A T

p 

4 D

h

x p P m

A T x p

s 

 

 

 

 

 Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e turbulento

p+ dx

x p

 R 

r

x

p 

_s

dx

Exemplo : Escoamento para cima em um duto anular vertical

Raio externo: R, raio interno; k R Comprimento: L

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (cte, =cte) 3. Regime permanente   / t = 0

4. 2-D (simetria angular)  v  /  = 0 5. L >> D  esc. desenvolvido  / x = 0

6. Escoamento vertical para cima, gravidade vertical 7. p  constante. Escoamento para cima, devido a

um diferencial de pressão imposto p = p_o- p_L 8. laminar



Já vimos que com as hipóteses acima V  u r e  _x )

 (



 Eq. de quant. de movimento na direção x

   

] [

] [

) ) (

) ( ) (

) ( ( )

(3 0 4 5 4 5

2 2 2

2

1

2

zero x

u zero

r u zero

x u zero

r u v

zero r u zero

t u

r r u r g r

x u p

v

v









 

 



 

 









 

 

     

 



 















      

g 

x

30 30

  g K

x p r

r

r  



 



  



 



 1 

A equação pode ser rescrita como onde

Podemos definir uma pressão modificada que incorpora a pressão hidrostática

K x g

p x

x P g p

P       







 

r u



 

 

A tensão e a velocidade podem ser obtidos integrando como no exemplo anterior

2

2 1 1

4

2 K r C r C

r u r C

K    

 ; ln



 

Condições de contorno:

1) r=R ; u =0 0=(K/  ) R

²

/4 + (C

₁

/  ) lnR + C

₂

 C

₂

=-(K/  ) R

²

/4 - (C

₁

/  ) lnR R

C r R

R r

u K ln





¹

2 2

4 1 

 





 



 



 



 

 

L P g P

L p p

K

^{o L o}



^L



 



 

2) r=k R ; u=0  0=(-K R

²

/4  ) [1- k

²

] + (C

₁

/  ) ln (k)  C

₁

/  =(K R

²

/4  ) [1- k

²

] /ln (k)

 





 



 

 



 



 

 

R r k

k R

r L

R P

u P ^{o L} ln

ln ) ) (

( ^{2 2} 1 ²

4  1