UMA FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA O PROBLEMA DE CRIAÇÃO DE ÁREAS DE PONDERAÇÃO AGREGADAS

UMA FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA

O PROBLEMA DE CRIAÇÃO DE ÁREAS DE PONDERAÇÃO AGREGADAS

José André de M. Brito

IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística email: britom@ibge.gov.br Av. Chile, 500, 10º andar, Rio de Janeiro, RJ

Flávio Marcelo Tavares Montenegro

IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística email: fmontenegro@ibge.gov.br Luciana Roque Brito

COPPE-SISTEMAS, Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ email: britom@nitnet.com.br Ilha do Fundão, RJ, C.P. 68511, 21945-970

Marcos Mendonça Passini

COPPE-SISTEMAS, Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ email: passini@acd.ufrj.br

RESUMO

Neste trabalho, propomos uma solução para o problema de criação de áreas de ponderação agregadas (APAs) (SILVA[1]). O problema de criação de APAs consiste em formar k partições compostas por áreas de ponderação do censo demográfico, satisfazendo os critérios de contiguidade, total populacional mínimo (SILVA[1]) e homogeneidade (SANTOS[2]). Ao longo desse trabalho, temos a apresentação de uma formulação de programação inteira baseada no particionamento de uma árvore geradora mínima (AHUJA[4]) e a apresentação dos resultados computacionais.

Palavras-chave: Particionamento, Árvore Geradora e Programação Inteira.

ABSTRACT

We propose an integer programming formulation for the creation of aggregated weighting areas (AWAs) problem (SILVA[1]). This problem consists in to form k partitions composed by weighting areas of the demographic census satisfying contiguity, minimum total population (SILVA[1]) and homogeneity criteria (SANTOS[2]). The formulation we present in this work is based on partitioning a minimum spanning tree (AHUJA[4]). We have developed a computational implementation of this proposal whose main results we also present.

Keywords: Partitioning, Spanning-Tree and Integer Programming.

0 - INTRODUÇÃO

Nesse trabalho é apresentada uma formulação de programação inteira para auxiliar na resolução do problema de criação de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) (SILVA[1]). As APAs são criadas a partir da agregação de um conjunto de Áreas de Ponderação (APONDs) definidas no Censo Demográfico 2000 (Censo[5]). Devemos observar que cada uma das APAs deve ser composta por um conjunto de APONDs que sejam contíguas, que tenham um total populacional mínimo (SILVA[1]) e que satisfaçam a um critério de homogeneidade (SANTOS[2]) .

O problema de criação de APAs pode ser classificado como um problema de agrupamento com restrição de contigüidade (MURTAGH[11], GORDON[12]). Por sua alta complexidade computacional, tais problemas são comumente tratados utilizando-se heurísticas, em geral, dissociadas de um procedimento que permita verificar a otimalidade de suas soluções (BATAGELJ & FERLIGOJ [13], ASSUNÇÃO et al. [14]).

Para a resolução de tal problema, propomos uma formulação de programação inteira composta por restrições clássicas de problemas de particionamento (WOLSEY[7]) e baseada no particionamento de uma árvore geradora mínima obtida a partir do algoritmo de Kruskal (AHUJA[4]). Esta árvore geradora está associada ao grafo G, que é utilizado para representar a relação de contiguidade entre as áreas de ponderação. Um tratamento diferente, também baseado em uma árvore geradora mínima, mas sem a introdução de uma formulação de programação matemática, é apresentado em (ASSUNÇÃO et al. [14]).

O desenvolvimento de nosso trabalho está dividido em 3 seções. Na primeira seção, descrevemos em detalhes o problema de criação de APAs. Na segunda, apresentamos a formulação de programação inteira e, na última seção, os resultados da aplicação desta formulação a um conjunto de problemas teste, bem como alguns comentários finais.

1 - O Problema de Criação de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs).

1.1 Definição de Áreas de Ponderação (APONDs)

Define-se Área de Ponderação (APOND) como sendo uma unidade geográfica formada por um agrupamento mutuamente exclusivo de setores censitários. APONDs são utilizadas para se estimar informações para a população. O tamanho destas áreas, em termos de número de domicílios e de população, não pode ser muito reduzido, sob a pena de perda de precisão de suas estimativas. As APONDs são definidas considerando esta condição. São, também, os níveis geográficos mais detalhados da base operacional, desenvolvidos como forma de atender às demandas por informações em níveis geográficos menores que os municípios (SILVA[1], CENSO[5]).

Para a formação das APONDs, são considerados ainda os critérios de contiguidade, de forma que estas áreas sejam constituídas por conjuntos de setores geograficamente limítrofes, e de homogeneidade, segundo um conjunto de quatorze variáveis associadas às características populacionais e de infra-estrutura conhecidas. Estas variáveis, que representaremos por

14 ,..., 1 , s =

X

, são chamadas indicadores de áreas de ponderação. Estão definidas de acordo com SANTOS[2][3], assumindo valores entre –3 e 3 através de um procedimento de normalização.

Considerando esses quatorze indicadores, são calculadas todas as distâncias D

entre APONDs m e n vizinhas, segundo a expressão

^D

⁼ ( X

⁻ X

)

⁺ ( X

⁻ X

)

⁺ ... ⁺ ( X

⁻ X

)

As distâncias D

representam o grau de homogeneidade, isto é, a correlação entre as variáveis associadas a todas as APONDs vizinhas a serem agregadas (ver SANTOS[2][3]).

1.2 Definição de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) e critérios para sua formação.

As Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) são formadas a partir de agrupamentos mutuamente exclusivos de APONDs. Para criação dessas áreas, dois critérios de viabilidade devem ser obrigatoriamente respeitados:

(1) Contigüidade: As APONDs agregadas em cada uma das APAs devem ser vizinhas ou deve ser

possível sair de uma APOND A e chegar em uma APOND B, ambas em uma mesma APA, passando apenas por outras APONDs que também estejam nesta mesma APA (SILVA[1]).

(2) Total Populacional: O número de habitantes em cada uma das k APAs deve ser maior ou igual a um total populacional (pré-estabelecido). Representaremos este total por TOTPOP .

Ou seja : ∑

=

≥

=

j j

al

Populacion

P TOTPOP

T

1

, sendo P

a população em cada uma das q áreas de ponderação que compõem uma APA.

Do ponto de vista da modelagem que propomos neste trabalho, estes critérios estarão associados à viabilidade do problema.

Além disso, de forma a definir APAs mais homogêneas entre si, pode-se utilizar um dos seguintes critérios de otimalidade:

(3) Menor Média Geral: A média geral X dos valores D

associados às APONDs que compõem as k APAs deve ser a menor possível.

Sendo : X

X k

h h

/

∑

=

= e

h n m

mn

h

n

D

X ∑

∈

=

k = N

de APAs

n

= N

de APONDs na h-ésima APA

A

= Conjunto de APONDs da h-ésima APA

X

= Média das Distâncias D

das APONDs associadas à h-ésima APA.

(4) Soma Mínima : Definir as APAs de forma que

1 ,

∑ ∑

h mn A mn

h

D seja mínima.

Obs: O número máximo de APAs pode ser definido a priori através do cálculo da razão entre o valor do total populacional, considerando todas as áreas de ponderação, e o valor máximo (TOTPOP) da população em cada APA, ou seja:

k P TOTPOP

Q

j j

/

∑

=

≤ ( Q = Total de áreas de ponderação)

Na figura 1, a seguir, apresentamos um exemplo para ilustrar o problema de criação de áreas de ponderação agregadas.

Figura 1 – Exemplo do Problema de Criação de APAs

Na figura acima, temos um conjunto de quatro áreas de ponderação (APONDs) e, a partir deste conjunto, deve-se criar duas APAs, levando-se em conta os critérios de contiguidade e de total populacional (tabelas 1 e 2). No caso deste exemplo, definimos o total populacional máximo em cada APA como TOTPOP = 90.000.

Tabela 1 – População em cada área de ponderação

APOND 1 APOND 2 APOND3 APOND4 População (P

) 60.000 45.000 50.000 40.000

Tabela 2 – Distâncias D

entre as áreas de ponderação vizinhas

APONDS 1 e 2 1 e 3 1 e 4 2 e 4 3 e 4

Distância D

3,4234 5,4512 3,1289 2,3412 1,2390 Na tabela 3 , temos as possíveis configurações, ou seja, os conjuntos de APAs que podem ser

formados a partir da agregação das áreas de ponderação, considerando os critérios (1) e (2)

Tabela 3 – Configurações possíveis para as APAs

APONDS Total

Populacional Xh

Configuração (I)

APA1 1 e 2 105.000 3,4234

APA2 3 e 4 90.000 1,2390

APONDS Total

Configuração (II) Populacional Xh

APA1 1 e 3 110.000 5,4512

APA2 2 e 4 85.000 2,3412

1

2

3

4

Em seguida, dentre todas as configurações de APAs geradas (tabela 3), deve-se escolher a configuração associada à menor média geral (tabela 3) ou à soma mínima (tabela 2).

Observando a tabela 3 e considerando o critério da média geral, temos que a média geral calculada para a combinação (I) é 2.3312 e para a combinação (II) é 3.8962. Desta forma, a configuração (I) deve ser a escolhida.

Pelo exemplo apresentado, observamos que dependendo do número de APONDs que serão analisadas e do número de APAs que serão criadas, o número de configurações possíveis para o problema de criação de APAs pode ser razoavelmente grande. Ou seja, a determinação da melhor configuração de APAs de uma forma ad-hoc pode ser muito difícil.

Em face desta dificuldade, apresentamos na seção 2 uma formulação de programação inteira para auxiliar a resolução desse problema.

2. Formulação para Criação das Áreas de Ponderação Agregadas.

2.1 Introdução:

Nesta seção, apresentamos o desenvolvimento da formulação de programação inteira proposta para a resolução do problema de criação de APAs . Esta formulação contém restrições clássicas de problemas de particionamento. Utiliza, como dado de entrada, uma árvore geradora mínima obtida a partir da aplicação do algoritmo de Kruskal (AHUJA[4]) em um grafo G, que agrega as informações de contiguidade, de total populacional e das distâncias D

associadas às APONDs. A partir desta árvore geradora, a formulação de programação inteira retorna o melhor conjunto de subárvores (APAs) satisfazendo os critérios (1) , (2) e (4).

Nessa formulação, a função objetivo utilizada considera o critério de soma mínima apresentado na seção 1. Observamos, ainda, que essa formulação foi implementada utilizando o pacote de otimização XPRESS[6].

2.2 Formulação:

Um primeiro passo para o desenvolvimento da formulação consiste em associar as informações relativas à contiguidade das áreas de ponderação, bem como as informações de totais populacionais e as distâncias D

, a um grafo G = ( V , E ) . Ou seja, podemos fazer a associação de cada uma das APONDs com os nós V de G e também expressar suas relações de contigüidade por um conjunto E de arestas. Para exemplificar, considere a figura 1 e o seu grafo G associado (figura 2).

Figura 2 - Representação das APONDs e das suas relações de contigüidade

1 2

3 4

Ainda utilizando o grafo G (figura 2), associamos às arestas A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)} os valores das distâncias D

(onde m e n são nós adjacentes) definidas na seção 1.1. Em seguida, aplicamos algoritmo de Kruskal (AHUJA[4]), que determina a árvore geradora mínima

) ,

( V E

E

T = ⊂ associada considerando os valores D

.

Em uma árvore geradora T , temos a vantagem de saber o número exato de arestas que devemos retirar para formar as k partições. Fornecida a árvore T e um número k de partições, ou seja, de APAs que devemos formar, temos que o número de arestas a serem retiradas de T é ( k − 1 ) . Quando retiramos as ( k − 1 ) arestas, definimos um conjunto de k subárvores T

, j=1..k, que também são conexas. Cada uma destas subárvores estará associada a uma APA.

A propriedade de conexidade, observada para cada uma das subárvores, possibilita o cumprimento imediato da restrição de contigüidade em cada uma das APAs. Desta forma, a utilização da árvore geradora mínima sugere uma boa alternativa para a resolução do problema de criação das áreas de ponderação agregadas. Ou seja, para o particionamento de T em k subárvores T

( j = 1 ,..., k ), devemos encontrar a melhor configuração de k partições, isto é, de subárvores associadas às APAs, que satisfaçam a restrição de total populacional e que retorne o menor valor possível, considerando um dos critérios de otimalidade definidos na seção (1.2).

Ao invés de utilizarmos algum algoritmo de particionamento e enumeração das subárvores, desenvolvemos uma formulação de programação inteira que encapsula as restrições associadas à viabilidade do problema real e o critério de otimalidade da soma mínima, apresentado na seção 1.2.

Esta modelagem utiliza como dado de entrada a árvore geradora mínima, em relação ao parâmetro D

, obtida a partir do grafo G.

Minimizar ∑ ∑

= ∀ ∈

NPA

i mn E

mn i mn

D e

1 ( , ) ^*

.

(1)

X NPO

i i

=

∑

(2)

Y X

i NPA

j ij

, 1 ,...,

1

=

∑ =

=

(3)

Y j NPO

i ij

1 , 1 ,...,

1

=

∑ =

=

(4)

Y P

TOTPOP i NPA

j

ij

. , 1 ,...,

1

=

∑ ≥

=

(5)

1

) , ( ,

1 m n E

e

NPA i

i

mn

≤ ∀ ∈

∑

(6) e X

i ,...,NPA

E n m

i

mn

1 , 1

) *

, (

=

−

∑ =

∈

∀

(7) t

≤ Y

i = 1 ,..., NPA , ∀ ( m , n ) ∈ E

(8) t

≤ Y

i = 1 ,..., NPA , ∀ ( m , n ) ∈ E

(9) Y

+ Y

− 1 ≤ t

i = 1 ,..., NPA , ∀ ( m , n ) ∈ E

(10) e

≤ t

i = 1 ,..., NPA , ∀ ( m , n ) ∈ E

) 1 , 0 ( ), 1 , 0 (

, ∈

∈

∈ Z

Y t X

Onde:

NPO = Número de Áreas de Ponderação NPA = Número de APAs

Pj = População em cada Área de Ponderação E

= Arestas da Árvore Geradora Mínima

X

= Variável Inteira que determina o número de APONDs que estão na i-ésima APA.

Y

= Variável Binária que assume valor 1 se a j-ésima APOND está associada com a i-ésima APA e zero caso contrário.

i

e

= Variável Binária que assume valor 1 se a aresta ( m , n ) ∈ E

está ativa na i-ésima APA.

i

t

= Variável Binária que assume valor 1 se a aresta ( m , n ) ∈ E

está ativa na i-ésima APA.

D

= Medida que representa o grau de homogeneidade entre duas áreas de ponderação vizinhas.

Função Objetivo: Está associada ao critério de soma mínima. Ou seja, o valor desta função representa a soma do melhor subconjunto de arestas ativas associadas aos valores D

.

Restrições 1 e 2: O número de APONDs associadas a cada uma das APAs deve ser igual ao total de APONDs na região.

Restrição 3: Garante que uma APOND estará associada a exatamente uma APA.

Restrição 4: A soma das populações associadas às APONDs agregadas em cada uma das APAs deve ser maior ou igual ao total populacional pré-estabelecido.

Restrição 5: Garante que cada uma das arestas associadas à árvore geradora que contém todas as APONDs só poderá estar em no máximo uma APA. Ou seja, se duas APONDs são vizinhas e estão em uma mesma APA então e

= 1.

Restrição 6: O número de arestas associadas a cada uma das APAs deve ser igual ao número de

APONDs em cada uma das APAs menos um.

Restrições 7-10: Estas restrições garantem que se uma aresta do conjunto E* estiver ativa, ou seja, pertencer a uma subárvore associada a uma APA, então os nós m e n (áreas de ponderação) desta aresta também farão parte da APA.

3 - Resultados Computacionais e Considerações Finais 3.1 Introdução:

Nesta seção, apresentamos tres tabelas que contém informações sobre um conjunto de dez problemas teste utilizados na modelagem de programação inteira proposta para o problema de criação de APAs.

Estes problemas teste foram obtidos a partir da implementação de um programa em Pascal que teve como parâmetros de entrada: o número de áreas de ponderação; a população máxima em cada área de ponderação e; um intervalo de variação para o grau de homogeneidade (SANTOS[2][3]) .

A partir destas informações, o programa constrói um grafo G=(V,E), conexo, tal que cada nó deste grafo esteja associado a uma área de ponderação e cada uma de suas arestas exprima a relação de vizinhança entre duas APONDs. Ainda considerando o grafo G, para cada nó deste grafo, temos a informação da população associada a cada área de ponderação e, para cada uma de suas arestas, temos valores D

que representam o grau de homogeneidade entre duas APONDs vizinhas.

Em seguida, considerado o grafo G e os valores D

, é aplicado o algoritmo de Kruskal (AHUJA[4]) para a obtenção de uma árvore geradora mínima em relação aos valores D

. Esta árvore geradora é utilizada como dado de entrada para o modelo de programação inteira, implementado utilizando o software XPRESS[6].

3.2 Resultados Computacionais e Considerações Finais:

A seguir, temos a apresentação de três tabelas que contemplam os resultados obtidos para um conjunto de dez problemas, utilizados para testar a eficiência da modelagem de programação inteira.

Tabela 4 – Número do Problema Teste, Número de APAs e Número de Áreas de Ponderação

Problema Número DE APAS Número de APONDS

1 3 10

2 4 15

3 5 15

4 3 20

5 5 20

6 8 25

7 10 25

8 5 30

9 6 30

10 7 35

Tabela 5 – Número do Problema Teste e Número de Restrições e Variáveis deste Problema

Problema Número Número

de Restrições de Variáveis

1 141 229

2 271 357

3 331 419

4 281 361

5 441 527

6 851 947

7 1051 1155

8 661 743

9 781 868

10 1051 1143

Tabela 6 –Informações Gerais sobre a formulação considerando cada um dos Problemas Teste

Considerando a complexidade do problema real e analisando as tabelas 4,5 e 6, podemos observar resultados satisfatórios para problemas de dimensões razoáveis, considerando o número de variáveis e restrições.

Dentre esses, podemos destacar: Problema (7) - Com 10 APAs , 25 APONDS definidas e 1155 variáveis inteiras e Problema (10) - Com 7 APAs , 35 APONDS e 1143 variáveis inteiras.

Analisando, também, a qualidade da solução, ou seja, o valor da função objetivo (tabela 6), podemos observar que a diferença (GAP) entre os valores da solução relaxada e da solução inteira não é muito grande. Dentre os dez problemas teste, oito têm (GAP) inferior a 11%.

Dessa forma, observamos que a formulação de programação inteira proposta neste trabalho pode se constituir em uma abordagem promissora para problemas de porte pequeno e médio e, também, como um ponto de partida para outras modelagens subseqüentes.

Todavia, ainda considerando a tabela 6, podemos observar que à medida em que aumentamos o número de APAs e APONDs do problema, o número de nós da árvore de B&B associada ao modelo cresce razoavelmente, o que torna difícil a solução de problemas de porte maior.

Esta dificuldade é decorrente da característica de simetria encapsulada nas variáveis binárias Y

, que determinam se a j-ésima APOND está associada à i-ésima APA.

Com a finalidade de contornar esta dificuldade e conseqüentemente possibilitar a solução de problemas de porte maior, já iniciamos, em paralelo a este trabalho, o desenvolvimento de uma nova

Problema Função Objetivo (a) Função Objetivo (b) Total de Nós Tempo GAP Solução Inteira Solução Relaxação Linear Árvore B&B CPU (seg) (a-b)/b

1 3,6697 3,5958 123 1 2,05%

2 1,8951 1,6878 1518 6 12,28%

3 1,6812 1,4753 2001 8 13,96%

4 2,5853 2,5684 99 1 0,66%

5 2,0819 1,9410 35703 275 7,26%

6 4,4644 4,4373 32 1 0,61%

7 3,7618 3,5704 15243 459 5,36%

8 5,2071 4,7086 56933 568 10,59%

9 3,9033 3,8383 4684 51 1,69%

10 7,1371 6,6449 240764 8580 7,41%

Esta modelagem será baseada em uma adaptação do trabalho de MACULAN[10]. Nesse trabalho, é proposta uma formulação para o problema de criação de agrupamentos utilizando o método de geração de colunas.

Um outro ponto importante a ser destacado é que a obtenção de uma solução cujas arestas pertencem todas à árvore geradora mínima pode ser boa em muitos casos, entretanto, soluções melhores, ou mesmo as únicas viáveis para um dado problema, talvez pudessem estar vinculadas a arestas não pertencentes a essa árvore inicial. Sendo assim, tal solução jamais poderia ser alcançada pelo método proposto. Uma possível solução para esta limitação é tratar do problema considerando, de alguma forma, todo o grafo inicial e não apenas o subgrafo que representa a árvore geradora mínima. Este é um ponto também a ser tratado em um trabalho futuro.

Uma outra estratégia que pretendemos implementar é a aplicação de algoritmos heurísticos para

resolver o problema de criação de APAs, adequados para problemas de porte diversificado. Esses

algoritmos serão baseados no estudo das metaheurísticas GRASP e Busca Tabu (VIANA[8]) e

deverão fornecer soluções viáveis para o problema de criação de APAs. Estas soluções também

poderão ser utilizadas como um limite superior tanto para a formulação que apresentamos neste

trabalho quanto para a formulação baseada em geração de colunas que mencionamos.

4 – Bibliografia

[1] SILVA, A

NASCIMENTO, C

, B

FREITAS

M

, L

A

, Processamento das Áreas de Expansão e Disseminação da Amostra no Censo Demográfico 2000, Textos para Discussão, número 17 , 2004, IBGE/DPE / COMEQ.

[2] REIS, A

S., Escolha de variáveis a serem utilizadas na definição das áreas de expansão e de disseminação do Censo Demográfico 2000, Maio de 2002, IBGE/DPE/ COMEQ.

[3] REIS, A

S., Padronização das variáveis a serem usadas na formação das áreas de expansão e de disseminação do Censo Demográfico 2000 , Junho de 2002, IBGE / DPE / COMEQ.

[4] A

, R

K., Network Flows , Theory, Algorithms, and Applications , By 1993 , Prentice Hall.

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2000 , Primeiros Resultados da Amostra , Parte I , 2001, IBGE/CDDI.

[6] X

-MP, Dash Optimisation Software ,v11.

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[8] VIANA, VALDíSIO , Meta-heurísticas e Programação Paralela em Otimização Combinatória, UFC edições, 1988.

[9] BAZARRA, S. M. , Sherali, Haniff D., Shetty, C.M, Linear Programming, seand Network Flows, Second Edition, 1990 , John Wiley & Sons.

[10] MACULAN, N. F., BELOTTI P., PLATEAU, GERARD, LOISEAU, IRENE, Clustering Problem: A Formulation using Column Generation, Politecnico di Milano, Technical Report, January, 2004.

[11] MURTAGH, F., A Survey of Algorithms for Contiguity-Constrained Clustering and Related Problems. The Computer Journal vol. 28 (1985), 82-88.

[12] GORDON, A. D., A Survey of Constrained Classification, Computational Statistics and Data Analysis vol. 21 (1996), 17-29.

[13] BATAGELJ, V, FERLIGOJ, A., Clustering Relational Data, Data Analysis (ed.: W. Gaul, O.

Opitz, M. Schader), Springer, Berlin (2000), 3-15.

[14] ASSUNÇÃO, R. M., LAGE, J. P., REIS, E. A., Análise de Conglomerados Espaciais Via Árvore Geradora Mínima, Revista Brasileira de Estatística, vol. 63, n. 220 (2002), 7-24.