Introdução ao estudo das funções: classificação e determinação de Domínio e Imagem

Introdução ao estudo das funções: classificação e determinação de Domínio e Imagem

Objetivo

Entender o conceito de função, os conceitos de domínio e imagem e como classificar funções como injetora, sobrejetora ou bijetora.

Se liga

Para essa aula, é importante conhecer os conceitos de conjuntos. Caso você não lembre e queira recordar, temos um artigo do Blog Descomplica que você pode conferir clicando aqui.

Curiosidade

Você sabia que o conceito de funções surgiu no século XVII? Sim, naquela época as funções eram aquelas definidas por expressões analíticas. Mas o conceito moderno de funções que iremos estudar neste material não é atribuído a nenhum matemático específico pois não há um consenso sobre a quem devemos dar o crédito.

Teoria

Definição

Função é uma lei que transforma elementos de um conjunto em elementos de outro conjunto, por exemplo, ao falarmos que os valores sempre dobram, isso é uma lei, que matematicamente escrevemos como

𝑓(𝑥) = 2𝑥

. Podemos representar uma função de forma genérica como:

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Ou seja, cada função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B e onde cada elemento

𝑥 ∈ 𝐴

corresponde um único

𝑦 ∈ 𝐵

.

Domínio, Contradomínio e Imagem

O conjunto A é denominado domínio da função, também chamado de conjunto de partida e o conjunto B é denominado contradomínio da função, ou é o conjunto de chegada. Outra forma de interpretar é que o domínio é o conjunto onde estão os valores possíveis para o x e o contradomínio é o conjunto que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

Já a imagem da função são todos os elementos de B que estão relacionados com os elementos de A, ou seja, cada elemento x do domínio se relaciona a um e somente um elemento y do contradomínio. Vale ressaltar que não necessariamente a imagem da função é igual ao contradomínio.

Exemplo:

Considere uma função de A em B onde A = {0,1,2,3} e B = {-1,0,1,2,3,4,5} com a lei de formação f(x) = x +.

• Determine o conjunto imagem.

Note que no exemplo acima se trata de uma função, já que cada elemento de A se relaciona a um elemento de B. Como vimos antes, no domínio (A) estão os elementos de x. Logo aplicando na lei de formação temos:

𝑓(0) = 0 + 1 = 1 𝑓(1) = 0 + 1 = 1 𝑓(2) = 2 + 1 = 3 𝑓(3) = 3 + 1 = 4

Logo, o conjunto imagem é dado por {1,2,3,4}.

Podemos destacar que o conjunto imagem é um subconjunto do conjunto contradomínio.

Classificação

Função sobrejetora: É aquela que tem o conjunto imagem igual ao contradomínio.

Função injetora: É aquela que, para cada elemento da imagem, existe apenas um elemento no domínio. Ou seja, em uma função injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio.

Função bijetora: Uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora.

Observação: É importante saber que existem funções que não são nem injetoras e nem sobrejetoras. Elas simplesmente não apresentam classificação sob esse critério.

Função par: Uma função é dita par, se e somente se 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). Ou seja, valores simétricos de x possuem a mesma imagem.

Dica: o gráfico de uma função par apresenta simetria em relação ao eixo y.

Função ímpar: Uma função é dita par, se e somente se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Ou seja, valores simétricos de x possuem imagens simétricas.

Dica: o gráfico de uma função ímpar apresenta simetria em relação à origem.

Observação: Existem funções que não podem ser classificadas quanto a paridade, ou seja, não são nem pares nem ímpares.

Restrição do domínio

Algumas funções reais apresentam problemas no cálculo de imagens para certos valores de x. A função

𝑓(𝑥) =

³

𝑥, apresenta problema para x = 0, já que não existe divisão por zero. Como o elemento x = 0 não possui imagem, dizemos que ele não está definido no domínio dessa função. Dessa maneira, temos que prestar atenção e calcular o domínio da função com que estamos trabalhando. Temos que observar duas condições necessárias:

a) O denominador de qualquer função é diferente de zero.

b) Radicando de raízes de índice par são sempre positivos.

Função constante:

É aquele que, qualquer que seja o valor da abscissa, terá sempre a mesma ordenada.

Ex: f(x) = 3.

No exemplo acima fica claro que a função independe da variável x, ou seja, qualquer que seja o valor de x, a função sempre valerá 3.

Clique aqui para fazer o download do PPT utilizado em aula. Fique tranquilo, disponibilizaremos o PPT atualizado com as obs que a prof fez durante a aula na segunda-feira (05/04)

Exercícios de fixação

1.

Analise o diagrama abaixo e determine: o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem.

2.

Dada a função f(x) = 2x – 3, o domínio {3, 4, 5} e o contradomínio composto pelos naturais entre 1 e 10, qual das opções abaixo representa o conjunto imagem dessa função?

a) {3, 5, 7}

b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

c) {4, 6, 8}

d) {1, 2, 3, 4, 5}

e) {1, 3, 8}

3.

Assinale a alternativa abaixo que apresenta o conjunto que não pertence ao domínio da função:

𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 16

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 20

4.

Marque a alternativa que representa a função abaixo:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2; Bijetora b) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2; Injetora c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥²; Sobrejetora d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥²; Bijetora e) 𝑓(𝑥) = 𝑥²; Injetora

5.

Dada a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥². Determinar 𝑓(0), 𝑓(−1), 𝑓 (−2), 𝑓(1), 𝑓(2) e o tipo de função.

Exercícios de vestibulares

1.

Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de gripe, representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de "x" por cento da população era de, aproximadamente, f (x) = ^150𝑥

200 − 𝑥 milhões de reais. O domínio da função f é:

a) todo número real x

b) todo número real x, exceto os positivos c) todo número real x, exceto os negativos d) todo número real x, exceto x = 200 e) todo número real x, exceto x 200

2.

O gráfico abaixo representa uma função 𝑓: ℝ → ℝ.

Afirma-se, corretamente, que o número de raízes reais distintas no intervalo de [0,  4] é igual a a) 0

b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3.

No plano cartesiano abaixo está representado o gráfico da função 𝑓: [−3,  8] → [−2,  7], no qual os pontos pretos destacados são os pontos em que o gráfico passa sobre os cruzamentos da malha.

Seja 𝑘 = 𝑓(−3) + 𝑓(−1) + 𝑓(3) − 𝑓(4) + 𝑓(5).

O valor de 𝑥 para o qual 𝑓(𝑥) = 𝑘 é a) 7

b) 6 c) 3 d) 2 e) 1

4.

Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y = f(x)?

5.

Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir:

Pode-se afirmar que:

a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.

b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva.

c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva.

d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva.

e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.

6.

Se a função real definida por:

f (x) = ^𝑥

√𝑥 − 2 + √6 − 𝑥

possui conjunto domínio D e conjunto imagem B, e se D-B=]a, b], então a + b vale:

a) 11 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5

7.

O domínio da função real f (x) = _{𝑥2 − 8𝑥 + 12}^{√2 − 𝑥} é:

a) ]2, ∞ [.

b) ]2, 6[.

c) ]– ∞, 6].

d) ]–2, 2].

e) ]– ∞, 2[.

8.

Observe a figura:

Ela representa o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), que está definida no intervalo [−4,  8]. A respeito dessa função, é correto afirmar que

a) 𝑓(3) > 𝑓(1) b) 𝑓(𝑓(2)) > 2 c) 𝐼𝑚( 𝑓) = [−2,  6]

d) 𝑓(𝑥) = 0, para 𝑥 = 8

e) O conjunto {−4 ≤ 𝑥 ≤ 8|𝑓(𝑥) = −1,2} tem exatamente 2 elementos

9.

Sistema de irrigação por Pivô Central

A divisão da área em piquetes tem sido realizada de formas diferentes. Algumas favorecem o manejo da pastagem e dos animais e outras favorecem o manejo da irrigação e da fertirrigação. É realmente difícil encontrar uma maneira que favoreça as duas situações. O que devemos fazer é analisarmos a situação e optarmos pela forma de dividir a área irrigada. A mais utilizada é a forma de pizza, como segue na ilustração ao lado, pois dentre outras coisas, favorece em muito o processo de fertirrigação.

A área de lazer pode ser feita no centro ou na periferia do Pivô.

(Adaptado de: DRUMOND, Luis C. D. Irrigação de pastagens – in: II Simpósio Internacional de Produção de Gado de Corte.

Disponível em: http://www.simcorte.com/index/Palestras/6_simcorte/simcorte12.pdf. Acesso: 08 out. 2013.)

Considerando que há 30 piquetes na ilustração da figura do texto, cada um deles é identificado com um número de 1 a 30 no sentido horário, o gado ocupa um único piquete por vez e é remanejado para o próximo piquete, em sentido horário a cada 2 meses, analise as seguintes afirmações feitas sobre a função que determina o número do piquete ocupado, em relação ao número de meses passados, após o início de funcionamento desse manejo.

I. O número do piquete ocupado é o domínio dessa função.

II. O número do mês é a imagem da função.

III. Essa é uma função periódica, sendo seu domínio igual a 60 meses.

É CORRETO afirmar que:

a) Apenas a afirmação III é verdadeira.

b) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

c) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

d) Apenas a afirmação I é verdadeira.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

10.

Sejam

I. 𝑓(𝑥) = ^𝑥−2

𝑥²+2

II. 𝑓(𝑥) = ¹

𝑥², 𝑥 ≠ 0 III. 𝑓(𝑥) =²

𝑥, 𝑥 ≠ 0

IV. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)

Classificando cada uma das funções reais acima em par, ímpar ou nem par nem ímpar, temos, respectivamente:

a) par, par, ímpar, ímpar

b) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar c) par, ímpar, par, ímpar

d) ímpar, par, ímpar, ímpar

e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar

Sua específica é exatas e quer continuar estudando esse assunto?

Clique aqui para fazer uma lista de exercícios extras.

Gabaritos

Exercícios de fixação 1. Pelo diagrama, temos

Domínio: 𝑫(𝒇) = {𝟎, 𝟏, 𝟐}

Contadominio: 𝑪𝑫(𝒇) = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓}

Imagem: 𝑰𝒎(𝒇) = {𝟏, 𝟑, 𝟓}

2. A

Para encontrar o conjunto imagem, temos que substituir os elementos do domínio na função:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

𝒇(𝟑) = 𝟐 ∗ 𝟑 − 𝟑 = 𝟔 − 𝟑 = 𝟑 𝒇(𝟒) = 𝟐 ∗ 𝟒 − 𝟑 = 𝟖 − 𝟑 = 𝟓 𝒇(𝟓) = 𝟐 ∗ 𝟓 − 𝟑 = 𝟏𝟎 − 𝟑 = 𝟕

Logo o conjunto imagem é dado por 𝑰𝒎 = {𝟑, 𝟓, 𝟕}

3. A

O conjunto que não pertence ao domínio é o conjunto dos valores negativos dentro da raiz, logo:

𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 < 𝟎 𝟒𝒙 < 𝟏𝟔 𝒙 < 𝟒

Qualquer valor menor que 4 não pertence ao domínio, logo a alternativa certa é a (a) pois 𝟐 < 𝟒 4. D

A função é definida por 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙²

Funções que como essa são tanto sobrejetoras quanto injetoras, são classificadas como funções bijetoras.

5. A função não possui classificação, pois não é injetora e nem sobrejetora 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐

𝒇(−𝟐) = (−𝟐)^𝟐= 𝟒 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)^𝟐= 𝟏 𝒇(𝟎) = 𝟎^𝟐 = 𝟎 𝒇(𝟏) = 𝟏^𝟐 = 𝟏 𝒇(𝟐) = 𝟐^𝟐 = 𝟒

Exercícios de vestibulares

1. D

Para analisar o domínio não podemos ter absurdo como 1

0 , logo analisamos para onde o denominador zera que é em 200 – x = 0, logo x não pode ser 200.

2. C

Considerando que raízes são as abscissas dos pontos onde a função intersecta o eixo 𝑥, concluímos que no intervalo [0,  4] a função considerada possui 2 raízes, uma dela é 𝑥 = 2 e a outra um número compreendido entre 3 e 4.

3. E

Calculando:

𝑓(−3) = −2 𝑓(−1) = 3 𝑓(3) = 7 𝑓(4) = 4 𝑓(5) = 2

𝑘 = 𝑓(−3) + 𝑓(−1) + 𝑓(3) − 𝑓(4) + 𝑓(5) = −2 + 3 + 7 − 4 + 2 ⇒ 𝑘 = 6 𝑃𝑎𝑟𝑎  𝑓(𝑥) = 6 ⇒ 𝑥 = 1

4. E

Traçando retas paralelas ao eixo x, observamos que pelo menos uma delas toca o gráfico em mais de um ponto nos itens a, b e d. Note que o gráfico da alternativa c não representa uma função.

5. A

Observe que f é injetiva e sobrejetiva (Im = Cd = [p, q]) e, portanto bijetiva. A função g é sobrejetiva, mas não é injetiva (tem um trecho constante). Já a função h não é injetiva (trecho constante) nem sobrejetiva, pois seu conjunto imagem não é o intervalo [p, q].

6. B

Pela condição de existência, temos que √𝑥 − 2 ≥ 0 e √6 − 𝑥 ≥ 0 , resolvendo isso temos: 𝑥 ≥ 2 ⅇ 𝑥 ≤ 6, logo o domínio será [2, 6]. Para x = 2, temos:

𝑓(2) = 2

√2 − 2 + √6 − 2= 2 0 + 2= 1 Para x = 6, temos:

𝑓(𝑥) = 6

√6 − 2 + √6 − 6=6 2= 3

D – B são todos os elementos de D que não estão em B. ]3, 6] = 3 + 6 = 9 7. E

Para o numerador:

√2 − 𝑥 ≥ 0 2 − 𝑥 ≥ 0

−𝑥 ≥ −2 𝑥 ≤ 2

Para o denominador:

𝑥²− 8𝑥 + 12 ≠ 0 𝛥 = 𝑏²− 4𝑎𝑐

𝛥 = 64 − 48

√𝛥 = 4

𝑥 ≠−𝑏 ± √𝛥 2𝑎 𝑥 ≠8 ± 4 𝑥 ≠ 6 𝑜𝑢 𝑥 ≠ 2 2 𝑆: ] − ∞, 2[

8. D

a) Falsa. Observando o gráfico notamos que 𝑓(3) < 𝑓(1).

b) Falsa. Observando o gráfico notamos que 3 < 𝑓(2) < 4, logo 𝑓(𝑓(2)) < 2.

c) Falsa. O limite máximo do conjunto imagem é maior que 6.

d) Verdadeira.

e) Falsa. O conjunto {−4 ≤ 𝑥 ≤ 8|𝑓(𝑥) = −1,2} tem exatamente 3 elementos.

9. A

I. Incorreto. O domínio é o tempo para que um gado saias de um piquete e volte para o mesmo.

II. Incorreto. A imagem da função é o mês em que o gado se encontra durante o confinamento.

III. Correto. É periódica pois se repete e o domínio é 60 meses pois é o tempo para que um gado saia de um piquete e volte para o mesmo.

10. B

I. 𝑓 não é par nem ímpar. De fato, como 𝑓(−𝑥) =_(−𝑥)^−𝑥−2₂₊₂= −^𝑥+2

𝑥²+2, segue-se que 𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) e 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥). Portanto, 𝑓 não é par nem ímpar.

II. 𝑓 é par. Com efeito, 𝑓(−𝑥) =_(−𝑥)¹₂= ¹

𝑥²= 𝑓(𝑥). Por conseguinte, 𝑓 é par.

III. 𝑓 é ímpar. De fato, 𝑓(−𝑥) = ²

−𝑥= −²

𝑥= −𝑓(𝑥). Portanto, 𝑓 é ímpar.

IV. 𝑓 é ímpar. De fato, 𝑓(−𝑥) = 2 ⋅ (−𝑥) = −2 𝑥 = − 𝑓(𝑥). Por conseguinte, 𝑓 é ímpar.