ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO NORMAL À FRONTEIRA PARA OTIMIZAÇÃO DE RESPOSTAS MULTICORRELACIONADAS

ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO

MÉTODO DA INTERSEÇÃO NORMAL À

FRONTEIRA PARA OTIMIZAÇÃO DE

RESPOSTAS

MULTICORRELACIONADAS

O método da Interseção Normal à Fronteira (NBI) permite a construção de fronteiras contínuas e uniformemente distribuídas, garantindo a obtenção de soluções viáveis, mesmo nas regiões não-convexas da fronteira. Entretanto, se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, a otimização pelo método NBI pode conduzir os resultados ótimos para pontos inadequados, pois o mesmo não considera a correlação entre as respostas. Afim de verificar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como características de qualidade mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção de Material. O método NBI foi aplicado na otimização das duas respostas em duas situações, com e sem o efeito da correlação. Neste último caso, o processo de otimização por NBI foi aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído (SR) de Taguchi e a Análise de Componentes Principais (ACP). Finalmente, os resultados mostraram que, apesar de ambos os métodos apresentarem soluções viáveis, o método NBI (desconsiderando a correlação entre as respostas) não conseguiu apresentar as soluções ótimas de pareto convexa e uniformemente distribuídas ao longo da fronteira de Pareto. Além disso, os valores ótimos encontrados para MRR, quando otimizados sob o efeito da correlação, se distanciaram de seus alvos em muitos pontos da fronteira. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando significamente os pontos ótimos da fronteira.

2

1. Introdução

Kazemzadeh et al. (2008) afirma que a oferta de produtos de qualidade não é uma tarefa fácil, uma vez que exige que os processos são preparados para otimizar simultaneamente mais de uma característica de qualidade.

O método de Interseção Normal à Fronteira (NBI, do inglês Normal Boundary Intersection), proposto por Das e Denis (1998) é um dos inúmeros métodos utilizados na solução de problemas multiobjetivos. Este método permite a construção de fronteiras contínuas e uniformemente distribuídas, independentemente dos pesos atribuídos pelas funções objetivo, o que faz com que este método seja muito útil na otimização de inúmeros processos industriais. Entretanto, se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, a otimização pelo método NBI pode conduzir os resultados ótimos para pontos inadequados, pois o mesmo não considera a correlação entre as respostas (OLIVEIRA, 2013).

Na realidade, em muitos processos de fabricação, com várias respostas, as características de qualidade de um produto/processo medidos quase sempre apresentam-se correlacionadas e com sentidos de otimização diferentes (PAIVA et al., 2007 e GOVINDALURI e CHO, 2007 apud OLIVEIRA, 2013).

O grande problema é que a presença da correlação nas múltiplas respostas causa instabilidade no modelo e erros nos coeficientes de regressão, que pode modificar substancialmente os resultados de otimização (YUAN et al., 2008; WU, 2005; BRATCHELL, 1989; KHURI e CONLON, 1981; BOX et al., 1973). A presença de tais correlações, de acordo com Box et al. (1973), pode influenciar na otimização dos resultados, além de desestabilizar os modelos matemáticos e produzir erros nos coeficientes de regressão. Se a correlação são ignoradas, as equações de regressões não podem representar as funções objetivo e de restrição adequadamente (CHIAO e HAMADA, 2001; KHURI e CONLON, 1981).

Embora um número de autores realizaram estudos para otimização de processos, as estruturas de correlação e as interações entre as variáveis de respostas foram negligenciadas (PAIVA et al. 2009; GOVINDALURI e CHO, 2007).

3 e Sahu (2014), Soni, Mondal e Singh (2014), Kaladhar et al. (2014), Janardhani e Krishna (2012), Kumar et al. (2011), Moshat et al. (2010) e Kopac e Krajnik (2007). Em todos estes trabalhos, o problema de otimização teve como processo de manufatura o torneamento e nenhum deles apresentaram a análise de correlação entre as respostas, ou citaram os possíveis efeitos que elas poderiam causar sobre os resultados obtidos. Em todos, as respostas analisadas - em sua maioria, Rugosidade Média (Ra) e Taxa de Remoção de Material (MRR) - apresentaram-se correlacionados. Essa análise de correlação foi realizada por nós, utilizando o coeficiente de Pearson.

Assim, afim de verificar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas, sem nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como características de qualidade mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção de Material. O método NBI foi aplicado para otimização das duas respostas, em duas situações, com e sem a presença de correlação entre as respostas. Para este último caso, o processo de otimização por NBI foi aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído de Taguchi (RSR) e a Análise de Componentes Principais (ACP).

Finalmente, neste trabalho, pretende-se mostrar que os pontos ótimos determinados através da otimização pelo NBI, desconsiderando o efeito da correlação, podem ser desviados significativamente.

2. Referencial Teórico

2.1. Otimização multiobjetivo pelo método da Interseção Normal à Fronteira

4 Figura 1 - Comparação entre o método NBI e o método de Somas Ponderadas

Fonte: Gomes, 2013

O primeiro passo a ser executado no método NBI é a definição da matriz Payoff (Φ), através do cálculo dos mínimos individuais de cada função objetivo. O vetor de solução que minimiza individualmente a i-ésima função objetivo f_i(x)é representado por *

i

x , de sorte que o valor

mínimo de f_i(x) neste ponto seja *( *)

i i x

f . Quando se substitui o ponto de ótimo individual

* i

x obtido na otimização de função objetivo nas demais funções tem-se f_i (x*_i ) que é, portanto, um valor não-ótimo dessa função (GOMES, 2013). Repetindo-se este procedimento para todas as funções, pode-se representar a matriz Payoff como:

(3)

Cada linha da Payoff é composta por valores mínimos e máximos de f_i(x). O conjunto de ótimos individuais fU 





) (

i

y

5

 

 

O método NBI pode ser escrito como um problema de programação não-linear restrita, como:

D Max t x ), ( (5)

 

O problema de otimização representado pelo sistema de Eqs. (5 e 6) pode ser resolvido iterativamente para diferentes valores de w , o que cria, por conseguinte, uma Fronteira de

Pareto igualmente espaçada. Uma escolha comum proposta por Jia e Ierapetritou (2007) é fazer w_n 1_i1w_i.

3. Método experimental

Para analisar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas, sem nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido em duas fases. Na primeira fase, as respostas Rugosidade Média e Taxa de Material de Remoção foram otimizadas pelo método NBI, considerando a correlação entre elas, ou seja, nenhum tratamento foi aplicado à essas respostas para eliminar o efeito da correlação. Na segunda fase, a estrutura de correlação entre as respostas foi analisada. Se confirmado a presença de correlação entre as respostas, uma combinação entre as técnica Relação Sinal-ruído (RSR) de Taguchi e ACP (ACP), ou RSR-ACP, foi aplicada a fim de delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI com respostas não correlacionadas. A seção seguinte detalha a abordagem usada nesta segunda fase.

6

3.1. Abordagem NBI-RSR-ACP

Se confirmado a presença de correlação entre as respostas Ra e MRR mensuradas sobre o processo de Torneamento do aço 12L14, a abordagem RSR-ACP será aplicada a fim de delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI com respostas não correlacionadas.

Antes de efetuar a ACP, é necessário analisar o objetivo de otimização das respostas. Se existir respostas com o sentido de otimização diferentes (alguns maximizados e outros minimizados), a maximização ou minimização dos componentes principais favorecerá algumas variáveis e outras não. Para resolver este problema, a Relação Sinal-ruído (SNR) de

Taguchi pode ser aplicado a fim de normalizar o sentido de otimização das respostas

individuais. Os valores de resposta são transformados por uma equação logarítmica (SNR) de acordo com o seu objetivo de otimização (maximização ou minimização), ou seja, se o tipo de problema em estudo, for classificado como “smaller-the-better” (minimizar o desempenho), adota-se a Equação (7). Por outro lado, se o objetivo for do tipo “bigger-the-better” (maximizar o desempenho) então a Equação (8) deverá ser adotada (PONTES et al., 2012).

         





Dessa forma, como as relações Sinal-ruído (RSR) de Taguchi devem ser sempre maximizadas, é possível padronizar a direção de otimização das respostas individuais e de sintonizá-las de acordo com a representação por componentes principais (PAIVA, 2006).

Feito isso, a ACP pode ser aplicada sobre as respostas originais transformadas em respostas Sinal-Ruído (NR/Ra e NR/MRR).

7 pode ser substituído por combinações lineares na forma de “escores” do componente principal. Estes componentes são uma combinação linear das variáveis originais, que não estão correlacionados. Os métodos mais utilizados para estimarem-se o número de componentes principais significantes são aqueles baseados nos critérios de Kaiser (JOHNSON e WICHERN, 2002), em que, o autovalor do CP deve ser maior que um e a variância acumulada explicada deve ser superior a 90%.

Para finalizar, após a determinação dos Componentes Principais significativos e, armazenamento de seus escores, a otimização pelo método NBI baseada na abordagem RSR-ACP pode ser aplicada. De forma resumida, a abordagem utilizada nesta segunda fase da pesquisa foi desenvolvida de acordo com as etapas descritas na Figura 2.

8

Fonte: os autores

3.2. Procedimento experimental

9 Todos as análises foram realizadas usando o Software Minitab® 16.0 e Office Excel®.

Quadro 1 - Parâmetros de corte e respectivos níveis

Parâmetros

Símbolo

Unid,

Níveis (Decodificados e Codificados)

-1,682

-1

0

+1

+1,682

Velocidade de Corte

Vc

m/min

180

220 280 340

380

Taxa de Alimentação

f

mm/rev

0,07

0,08 0,10 0,12

0,13

Profundidade de Corte

d

mm

0,53

0,70 0,95 1,20

1,37

Fonte: os autores

Quadro 2 - Matriz do arranjo experimental

Parâmetros de Corte Respostas Originais Respostas RSR Resposta ACP

Min. Max. Max. Max. Max. Max

Test v [m/min] f [mm/rev] d [mm] Ra [μm] [cm3/min] MRR NR/Ra NR/MRR PC1 PC2 1 220 0,08 0,70 1,36 12,32 0,34 2,18 -1,79 -0,88 2 340 0,08 0,70 1,65 19,04 0,40 2,56 - - 3 220 0,12 0,70 1,78 18,48 0,86 2,53 0,06 -1,20 4 340 0,12 0,70 1,84 28,56 0,91 2,91 1,00 -0,49 5 220 0,08 1,20 2,22 21,12 -0,05 2,65 - 0,98 6 340 0,08 1,20 2,21 32,64 0,17 3,03 -0,32 1,34 7 220 0,12 1,20 1,82 31,68 1,25 3,00 1,91 -1,01 8 340 0,12 1,20 2,24 48,96 0,52 3,38 1,20 1,35 9 180 0,10 0,95 1,90 17,10 0,45 2,47 -0,95 -0,48 10 380 0,10 0,95 2,09 36,10 0,35 3,12 0,25 1,15 11 280 0,07 0,95 1,85 18,62 0,61 2,54 - - 12 280 0,13 0,95 1,85 34,58 1,03 3,08 1,61 -0,37 13 280 0,10 0,53 1,68 14,84 0,92 2,34 -0,23 -1,74 14 280 0,10 1,37 2,31 38,36 0,61 3,17 0,92 0,71 15 280 0,10 0,95 2,32 26,60 0,37 2,85 -0,29 0,53 16 280 0,10 0,95 2,24 26,60 0,39 2,85 -0,24 0,48 17 280 0,10 0,95 2,38 26,60 0,40 2,85 -0,21 0,45 Fonte: os autores

4. Resultados para o estudo de caso aplicado ao processo de torneamento do aço 12L14

Com base no CCD descrito no Quadro 2, o algoritmo OLS (do inglês, Ordinary Least Squares)

foi aplicado para todas as respostas e os resultados para os modelos quadráticos completos descritos no Quadro 3. Todos os modelos apresentaram R2 (ajustado) acima de 85%, indicando uma ótima adequação dos mesmos.

10 Coeficientes Ra MRR NR/Ra NR/MRR PC1 PC2 Constante 2.316 26.600 0.385 2.849 -0,2515 0,4918 V 0.079 5.679 0.000 0.189 0,3435 0,4789 f 0.017 5.082 0.261 0.177 0,8382 -0,0723 d 0.212 6.997 -0.124 0.240 0,3288 0,7216 V*V -0.121 0.000 0.009 -0.020 -0,0173 -0,0678 f*f -0.172 0.000 0.080 -0.022 0,1931 -0,2851 d*d -0.121 0.000 0.137 -0.032 0,2274 -0,3667 V*f 0.023 1.140 -0.188 0.002 -0,2754 0,2913 V*d 0.008 1.500 -0.147 0.002 -0,3991 0,4037 f*d -0.122 1.400 0.148 -0.002 0,1921 -0,2079 Adj-R2 (%) 86.20 99.72 93.60 99.89 99,05 99,55 Fonte: os autores

4.2 Resultados da otimização pelo método NBI para respostas multicorrelacionadas

Com os modelos quadráticos completos encontrados para Ra e MRR (Quadro 3), a otimização pelo método NBI pode ser promovida para as superfícies de Resposta. Com base na Equação (3) a Matriz Payoff foi determinada levando em consideração os pontos de Utopia (RIa(x)1,45 _e MMRMax(x)47,77). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi realizada. Em seguida, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (5 e 6) resultou no conjunto de resultados ótimos de Pareto, conforme demonstrado no Quadro 4. Incrementos de aproximadamente 5% foram adotados para a construção da fronteira de Pareto (Figura 3) e a restrição não linear xTx2,829 foi considerada.

11 )

( Respostas Parâmetros Codificados Parâmetros Decodificados

Ra MRR Vc f d V f d 0 2,26 43,54 0,41 0,61 1,33 304,82 0,11 1,28 0,05 2,10 47,42 0,81 1,08 1,00 328,75 0,12 1,20 0,1 2,05 46,57 0,67 1,24 0,92 320,11 0,12 1,18 0,15 2,00 45,40 0,52 1,36 0,84 310,96 0,13 1,16 0,2 1,96 43,95 0,36 1,45 0,77 301,50 0,13 1,14 0,25 1,92 42,28 0,20 1,52 0,69 291,79 0,13 1,12 0,3 1,89 40,40 0,03 1,57 0,60 281,92 0,13 1,10 0,35 1,86 38,30 -0,14 1,60 0,51 271,86 0,13 1,08 0,4 1,84 36,00 -0,31 1,60 0,40 261,68 0,13 1,05 0,45 1,93 28,41 1,54 -0,12 -0,67 372,32 0,10 0,78 0,5 1,89 26,87 1,50 -0,31 -0,69 369,96 0,09 0,78 0,55 1,85 25,42 1,44 -0,47 -0,73 366,43 0,09 0,77 0,6 1,81 24,03 1,37 -0,60 -0,77 362,04 0,09 0,76 0,65 1,76 22,69 1,28 -0,72 -0,82 356,86 0,09 0,75 0,7 1,72 21,41 1,18 -0,82 -0,87 350,90 0,08 0,73 0,75 1,67 20,16 1,07 -0,92 -0,92 344,04 0,08 0,72 0,8 1,63 18,94 0,94 -1,00 -0,97 336,10 0,08 0,71 0,85 1,58 17,74 0,78 -1,08 -1,03 326,77 0,08 0,69 0,9 1,53 16,54 0,59 -1,13 -1,09 315,34 0,08 0,68 0,95 1,49 15,29 0,34 -1,16 -1,17 300,19 0,08 0,66 1 1,45 13,55 -0,27 -1,10 -1,24 263,96 0,08 0,64

Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global Fonte: os autores

12 A otimização pelo método NBI considerando a correlação entre as funções objetivas não conseguiu construir uma fronteira de Pareto convexa, contínua e uniformemente distribuída. Na verdade, o método tende a falhar na transição dos pesos w₂ 0,05 para w₃ 0,10 e

40 , 0

w₉  para w₁₀ 0,45. Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do Erro Percentual Global (EPG), descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor encontrado para o Ra foi 2,00m e o maior valor encontrado para MRR foi 45,40cm3/min. Neste caso, os parâmetros de processo que atenderam estas condições foram uma velocidade de corte de 310,96 m/min, um avanço de 0,13mm/rev e uma profundidade de corte de 1,16mm (valores em negrito no Quadro 4). Embora tenha apresentado uma alta taxa de alimentação, os níveis foram obtidos dentro dos limites de especificação.

4.2 Resultados da otimização pela abordagem NBI-RSR-ACP

A abordagem NBI-RSR-ACP descrita na seção 3.1 serão aqui discutidas de acordo com todas as etapas apresentadas na Figura 1. Nesta segunda fase da pesquisa, a matriz de correlação foi analisada (Etapa 1) e uma moderada correlação entre as Respostas Ra e MRR foi observada

) 012 , 0 , 596 , 0

( Pvalue . Levando em consideração que Ra deve ser minimizada, enquanto

MRR deve ser maximizada, a Relação Sinal-Ruído de Taguchi foi aplicada à Ra e MRR (Etapa 2). Os resultados podem ser vistos no Quadro 2. A transformação faz com que essas novas respostam tenham o mesmo sentido de otimização, ou seja, deverão ser maximizadas. O algoritmo OLS foi aplicado para SNR/Ra e SNR/MRR, obtendo-se um bom ajuste (Quadro 3). Em seguida, a Análise de Componentes Principais foi realizada para as respostas pré-processadas (Etapa 3). Usando a matriz de correlação, os escores dos CPs foram extraídos (Quadro 2) e os respectivos autovalores e autovetores armazenados (Quadro 4).

Quadro 4 - Análise de Componentes Principais

13

Fonte: os autores

Como o primeiro componente principal explica apenas 55,0% da variância-covariância acumulada, o segundo componente também foi considerado na análise. Assim, o método NBI-RSR-PCA foi implantado utilizando os dois componentes (PC1 e PC2). Na Etapa 4, o

algoritmo OLS foi aplicado e os modelos quadráticos completo foram obtidos (Quadro 3), definindo as seguintes equações:

fd

d

V

f

V

dd

ff

V

d

f

V

PC

1921

,

0

3991

,

0

2754

,

0

2274

,

0

1931

,

0

0173

,

0

88

32

,

0

8382

,

0

3435

,

0

2515

,

0

























fd

d

V

f

V

dd

ff

V

V

d

f

V

PC

2079

,

0

4037

2913

,

0

3667

.

0

851

2

.

0

8

067

.

0

7216

.

0

0723

,

0

4789

.

0

4918

,

0























Após a modelagem das funções objetivas PC1 e PC2, a otimização pelo método NBI pode ser

promovida para as superfícies de resposta. Os pontos de Utopia ( )

i

y

 de PC1 e PC2 foram

determinados levando em conta a maximização individual restrita



 



x i

yi Max_ yˆ

 para

ambos. Em seguida, conforme estabelecido pela Equação (3), a Matriz Payoff foi determinada levando em consideração os pontos de Utopia encontrados: PC a(x)2,38

Max q _e 835 , 1 ) ( 2 x 

PCMax (Etapa 5). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi realizada (Etapa 6). Finalmente, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (11 e 12) obteve-se os resultados apresentados no Quadro 5. A restrição não linear xTx2,829 foi considerada (Etapa 7). Usando incrementos de 5% na distribuição dos pesos, foi possível construir a fronteira de Pareto para a otimização das funções objetivas PC1 e PC2 (Figura 4a) e para os dados decodificados das variáveis Ra e MRR a partir da abordagem NBI-RSR-ACP (Figura 4b) (Etapa 8).

14 Quadro 5 - Resultados da otimização pelo método NBI (sem considerar o efeito da

correlação) ) ( Respostas Parâmetros Codificados Parâmetros Decodificados Respostas Decodificadas PC1 PC2 Vc f d Vc f d Ra MRR 0 0,27 1,92 1,36 0,11 0,99 361,50 0,10 1,20 2,2929 44,0783 0,05 0,43 1,89 1,32 0,32 1,00 359,01 0,11 1,20 2,2717 45,5431 0,1 0,57 1,84 1,26 0,46 1,01 355,63 0,11 1,20 2,2518 46,4340 0,15 0,70 1,76 1,20 0,58 1,03 351,95 0,11 1,21 2,2322 47,0190 0,2 0,82 1,67 1,13 0,68 1,04 348,06 0,11 1,21 2,2131 47,4031 0,25 0,93 1,58 1,07 0,76 1,05 344,02 0,12 1,21 2,1945 47,6390 0,3 1,04 1,48 1,00 0,84 1,06 339,89 0,12 1,22 2,1761 47,7563 0,35 1,14 1,38 0,93 0,90 1,07 335,71 0,12 1,22 2,1577 47,7732 0,4 1,24 1,27 0,86 0,96 1,08 331,38 0,12 1,22 2,1398 47,7026 0,45 1,34 1,15 0,78 1,02 1,09 326,98 0,12 1,22 2,1219 47,5509 0,5 1,43 1,04 0,71 1,06 1,09 322,46 0,12 1,22 2,1042 47,3227 0,55 1,52 0,92 0,63 1,11 1,10 317,83 0,12 1,22 2,0864 47,0192 0,6 1,61 0,79 0,55 1,15 1,10 313,02 0,12 1,22 2,0689 46,6404 0,65 1,70 0,66 0,47 1,19 1,10 308,06 0,12 1,22 2,0511 46,1823 0,7 1,78 0,53 0,38 1,22 1,09 302,88 0,12 1,22 2,0334 45,6392 0,75 1,86 0,39 0,29 1,25 1,09 297,43 0,12 1,22 2,0154 45,0010 0,8 1,93 0,25 0,19 1,28 1,08 291,62 0,13 1,22 1,9972 44,2516 0,85 2,00 0,10 0,09 1,30 1,06 285,38 0,13 1,22 1,9783 43,3646 0,9 2,06 -0,07 -0,03 1,32 1,04 278,44 0,13 1,21 1,9587 42,2945 0,95 2,10 -0,24 -0,16 1,34 1,01 270,48 0,13 1,20 1,9373 40,9486 1 2,13 -0,45 -0,33 1,35 0,95 260,41 0,13 1,19 1,9122 39,0777 Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global

Fonte: os autores

15 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 PC 2 PC1 37,0 39,0 41,0 43,0 45,0 47,0 49,0 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 M R R Ra Fonte: os autores

Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do Erro Percentual Global, descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor encontrado para o Ra foi 2,08m e o maior valor encontrado para MRR foi 47,02cm3/min. Neste caso, os parâmetros de processo que atenderam estas condições foram uma velocidade de corte de 317 m/min, um avanço de 0,12mm/rev e uma profundidade de corte de 1,22mm. Todos os níveis foram obtidos dentro dos limites de especificação.

Pelo Quadro 6 é possível comparar os pontos ótimos encontrados pelo minimização do EPG, tanto na otimização pelo método NBI, considerando o efeito da correlação entre Ra e MRR, quanto pelos resultados ótimos encontrados pelo método NBI, sem considerar o efeito da correlação entre as respostas (abordagem NBI-RSR-ACP).

Nota-se que, embora o método NBI (com correlação) tenha apresentado uma alta taxa de alimentação, ambos os métodos chegaram à resultados bem próximos dos seus alvos (ponto de utopia). Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira, permitiu que se chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54, enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem desconsiderar a minimização de Ra.

16 Ra MRR Vc f d Ponto de Utopia ( ) i y  _{1,45 47,77 280 0,10 0,95}

Pontos ótimos (NBI considerando o efeito da

correlação) 2,00 45,40 310 0,13 1,16

Pontos ótimos (NBI-RSR-ACP, sem considerando o efeito da correlação)

2,

08 47,02 317 0,12 1,22

Unidade m cm3 /min

Fonte: os autores

5. Considerações finais

Através dos resultados obtidos nota-se que, ao aplicar o método NBI para as funções Ra e MRR foi possível encontrar soluções viáveis para ambos os casos, com e sem o efeito da correlação. Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira (o que não aconteceu com o método NBI, considerando respostas correlacionadas), permitiu que se chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54, enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem desconsiderar a minimização de Ra. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando significamente os pontos ótimos da fronteira. Deixar de considerar este efeito pode conduzir a uma solução não compatível com a realidade.

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Agradecimentos