EAE6026 - Microeconomia II - 2021 Lista de Exercícios
Professor: David Turchick
1. Uma economia de trocas é formada pelos indivíduosAeB, com preferências dadas por uma função utilidade da formau(x1; x2) =x1x2, ondex1ex2representam unidades de consumo de dois bens.
Suas dotações são eA = (9;1) eeB = (1;9). Encontre o núcleo dessa economia, dada a seguinte hipótese:
(a) Os bens são perfeitamente divisíveis.
(b) (*) Os bens são indivisíveis.
2. (*) Na economia do item (a) do exercício anterior entra um novo participante, C, com mesmas preferências dos demais, e dotação igual à média dos demais, eC = (5;5). Qual o núcleo dessa economia?
Sugestão: você consegue descobrir um valor exato para o consumo de C (de cada um dos bens) no núcleo? Uma vez feita essa determinação, será que qualquer alocação do núcleo da economia anterior corresponde a uma alocação do núcleo desta economia? Por exemplo, que dizer da alocação
xA1; xA2 ; xB1; xB2 ; xC1; xC2 = ((3;3);(7;7);(5;5))?
3. (*) Considere a economia de trocasE = ((u;(2;0));(u;(2;0));(u;(0;2));(u;(0;2))), ondeu:R2+! R é dada por u(x1; x2) = x1x2. Argumente que x = x1;x2;x3;x4 = ((0:4;0:4);(0:4;0:4); (1:6;1:6);(1:6;1:6)) é factível, individualmente racional, Pareto-e…ciente, mas não está no núcleo deE.
4. Suponha que a própria dotação de uma economia de trocas seja uma alocação e…ciente. Mostre que ela necessariamente pertence ao núcleo da economia.
5. (Prova 2017) É dada uma economia de trocasE = u1;e1 ; : : : ; uI;eI , com cada função utili- dadeui:Rn+!Rfortemente crescente e contínua. Mostre quexé alocação Pareto-e…ciente se, e somente se, para algunsu2; :::; uI 2R,xresolve o problema
max
(x1;:::;xI)2RnI+
u1 x1 s.a. ui xi ui; i= 2; : : : ; I PI
i=1xi=PI
i=1ei : 6. Jehle e Reny: exercícios 5.3, 5.11, 5.21.
7. (Starr 2.a ed., exercício 3.5) Considere uma economia de trocas formada por dois indivíduos, Ae B, e dois bens,xey. Os indivíduos são caracterizados por: eA= (10;0),uA xA; yA =xA+ 4yA, eB = (0;10)euB xB; yB = 5xB+yB.
(a) Desenhe uma caixa de Edgeworth para essa economia, e represente nela a dotação da econo- mia, a curva de contrato, a(s) alocação(ões) de equilíbrio competitivo e o conjunto das alocações Pareto-e…cientes. Devido às preferências lineares, esse último conjunto não será representado por um locus de tangências; não perca tempo com derivadas. Mostre que
xA; yA ; xB; yB = ((0;10);(10;0))é uma alocação de equilíbrio competitivo.
(b) Alguns poderiam pensar que a curva de contrato dessa economia é o próprio conjunto das alocações de equilíbrio competitivo, isto é, que qualquer alocação Pareto-e…ciente e individual- mente racional pode ser obtida via mercados competitivos. Tais alocações incluiriam aquelas da forma xA; yA ; xB; yB = 0; yA ; 10; yB , com 2:5 < yA 10 e yB = 10 yA. Isso está errado. Explique por quê.
Dica: pense fora da caixa.
8. Considere uma economia composta por dois indivíduos e, na notação usual: u1(x; y) = minfx; yg, u2(x; y) = minf6x; yg,e1+e2= (10;30). Indique em uma caixa de Edgeworth o núcleo, o conjunto das alocações Pareto-ótimas e as alocações de equilíbrio da economia, dadas as seguintes dotações individuais:
(a) e1= (8;5),e2= (2;25).
(b) e1= (5:5;1),e2= (4:5;29).
9. (Prova 2016) Uma economia com mercados competitivos e sem produção tem dois indivíduos, Aníbal e Benedito, e dois bens homogêneos e perfeitamente divisíveis,x1ex2. Aníbal é dotado de2 unidades do primeiro bem e10do segundo, enquanto Benedito é dotado de10unidades do primeiro bem e14unidades do segundo. Suas preferências podem ser representadas, respectivamente, pelas funções utilidadeuA; uB :R2+!Rdadas poruA(x1; x2) =x1+x2euB(x1; x2) = minf3x1;3x2g. (a) Desenhe uma caixa de Edgeworth capaz de representar os elementos desta economia, e nela identi…que precisamente os conjuntos de pontos que representam: o núcleo, as alocações de equilíbrio Walrasiano, e as alocações Pareto-ótimas.
(b) Para cada possível vetor de preçosp= (p;1)comp >0, analise se se trata de um equilíbrio Walrasiano ou não.
Obs.: neste exercício, se seu argumento contiver a análise de problemas de otimização, você não precisa se preocupar em justi…car por que a solução é, de fato, aquela alegada.
10. Leia o exemplo 1.1 na seção 1.3 do livro de Hildenbrand e Kirman. Neste, Ada inicialmente possui 4 pãezinhos e 0 garrafas de vinho, e Bill, 0 pãezinhos e 3 garrafas de vinho. Convença-se, através de uma caixa de Edgeworth, que é possível o equilíbrio competitivo ser melhor para Ada se ela inicialmente der um pãozinho para Bill (sim, sem receber nada em troca). Dê uma explicação para esse aparente paradoxo.
Obs.: esse fenômeno foi descrito originalmente em [Aumann, R.J., e Peleg, B., 1974. A note on Gale’s example. Journal of Mathematical Economics 1, 209-211].
11. (Prova 2014) É dada uma economia com mercados competitivos sem produção ui;ei i
2I, onde, para cadai2 I,ei2Rn+ eui:Rn+!Ré uma função que satisfaz a propriedade de não-saciedade local. SejaW o conjunto das alocações de equilíbrio Walrasiano dessa economia, eCo seu núcleo.
Mostre que W C.
12. Considere uma economia competitiva composta por dois indivíduos e, na notação usual: u1(x; y) = xy,e1= (1;9),u2(x; y) = minfxy;16g,e2= (9;1).
(a) O vetor p = (0:5;0:5) é um vetor de preços de equilíbrio, com alocação correspondente (x1; y1) = (x2; y2) = (5;5)? Essa alocação é Pareto-e…ciente? Mostre o porquê.
(b) Esse é um contraexemplo para o Primeiro Teorema do Bem-Estar? Explique.
13. Uma economia competitiva é composta pelos indivíduos Um, vivo nos períodos 1 e 2, Dois, vivo nos períodos 2 e 3, Três, vivo nos períodos 3 e 4, etc. Cada um deles é dotado ao nascer de uma barra de chocolate, e sua utilidade pode ser calculada pela quantidade de chocolate comida ao longo da vida. Suponha que chocolate não estrague ao longo do tempo.
(a) Considere um preço da barra de chocolate constante ao longo do tempo, e mostre que este seria um equilíbrio. Calcule a alocação de equilíbrio associada a essa trajetória de preços.
(b) Mostre que o mesmo aconteceria sob qualquer trajetória de preços, contanto que crescente (não necessariamente estritamente).
(c) Note que seria factível cada indivíduo, a partir do Dois, dar, ao nascer, sua barra de chocolate ao indivíduo da geração anterior. Tal alocação de consumo de chocolate não representaria uma melhora de Pareto em relação à alocação do item (a)? Por que isso não contradiz o Primeiro Teorema do Bem-Estar?
Obs.: esse exemplo, adaptado de [Shell, K., 1971. Notes on the economics of in…nity. Journal of Political Economy 79, 1002-1011], é ilustrativo de um fenômeno comum em modelos de gerações superpostas e descrito originalmente em [Samuelson, P.A., 1958. An exact consumption-loan model of interest with or without the social contrivance of money. Journal of Political Economy 66, 467- 482].
14. Considere uma economia competitiva composta por dois indivíduos e, na notação usual: u1(x; y) = 10 logx+y, e1 = (0;5), u2(x; y) =x+ 5 logy, e2 = (10;0) (ondelog 0 = 1). Argumente pela existência ou não de equilíbrio competitivo.
Obs.: exceto quando outra base é explicitada, consideramos os logaritmos naturais, isto é, com base e.
15. Considere uma economia competitiva composta por dois indivíduos e, na notação usual:u1(x1; y1) = logx1+ logy1, e1 = (2;0),u2(x2; y2; x1) = logx2+ logy2 x1, e2= (0;2). Sejampeq os preços dos bens xey, respectivamente.
(a) Essa economia tem um equilíbrio Walrasiano. Encontre-o.
(b) Argumente se a alocação associada a esse equilíbrio é e…ciente ou não.
(c) (*) Suponha que o indivíduo 2 tenha como exigir do indivíduo 1 uma transferência de r unidades monetárias para cada unidade do bemxque este consome. Existem vetores(p; q; r)2 R3++ e x1; y1; x2; y2 2 R4+ para os quais os mercados dos bens x e y se equilibram e nenhum dos indivíduos pre…ra estritamente um desvio em quaisquer coordenadas do vetor
x1; y1; x2; y2 (não necessariamente só aquelas relativas a seu próprio consumo)?
Obs.: em existindo, (p; q; r)pode ser chamado de equilíbrio de Lindahl, e x1; y1; x2; y2 , de alocação de equilíbrio a ele associada. No livro de Mas-Colell, Whinston e Green, tal nome é usado exclusivamente quando a externalidade é gerada pela existência de um bem público (veja seção 16.G). Já no livro de Kreps, a de…nição é mais geral, mais simples e mais interessante (veja seção 15.5).
(d) (*) A alocação encontrada no item anterior é e…ciente?
Dica: você certamente já ouviu falar de um teorema para situações como essa em seus primeiros cursos de economia.
16. É dada uma economia composta por dois indivíduos e mercados competitivos para três bens.
As duas funções utilidade são da forma ui(x1; x2; x3) = x0:51 +x0:52 +x0:53 2, e as dotações são e1= (1;0:5;0)ee2= (0;0:5;1).
(a) Mostre que as funções demanda Marshalliana são dadas por xik(p) = p ei
p11+p21+p31pk2; parak= 1;2;3.
(b) Encontre as funções excesso de demanda agregada por cada bem (funçõesz1,z2ez3) e cheque continuidade, 0-homogeneidade e Lei de Walras.
(c) Tome pm = 1=m2;1=m;1 ;8m 2 N. Alguma(s) das três componentes da sequência (z(pm))m2Né ilimitada superiormente? Todas aquelas correspondentes aos bens cujos preços estão convergindo para zero?
17. Considere uma economia comI consumidores enbens. Cada consumidoritem dotação ei 0e preferências dadas de acordo com uma função utilidade ui:Rn+!Rde forma funcional
ui(x1; : : : ; xn) = Yn l=1
xlli;
onde li>0 para todosiel.
(a) Encontre a função excesso de demanda de cada consumidor.
(b) Encontre a função excesso de demanda agregadaz:Rn++!Rn. (c) Cheque quezé contínua.
(d) Cheque quezé homogênea de grau zero.
(e) Cheque quezsatisfaz a Lei de Walras.
(f) Seja (pm)m2N, com cadapm 2 Rn++, uma sequência qualquer de preços convergente a p2
@Rn++n f0g. Cheque que, neste caso, (zk(pm))m2N é ilimitada superiormente para todo (e, logo, para algum) ktal quepk= 0.
(g) Esta economia satisfaz às hipóteses do teorema 5.5 (de existência de equilíbrio competitivo) do livro de Jehle e Reny?
(h) Existe equilíbrio Walrasiano para esta economia?
18. (*) (Mas-Colell, Whinston e Green, seção 15.E, adaptado) Considere uma economia com um grande número de cidades, N. Cada cidade n 2 f1; : : : ; Ng possui uma única …rma, também chamada n, tomadora de preços e produtora de um bem de consumo homogêneo e perfeitamente divisível através da tecnologia yn 2p
ln, ondeyn denota a quantidade produzida por essa …rma, eln, sua demanda por trabalho. O bem de consumo é comercializado no mercado nacional, e o seu preço é normalizado em1. HáM indivíduos nessa economia, que ofertam inelasticamente uma unidade de trabalho. Para eles, os produtos de cada …rma são substitutos perfeitos, de maneira que suas preferências podem ser caracterizadas pela funçãou:RN+ !Rdada poru(x1; : : : ; xN) =PN
n=1xn. O trabalho é perfeitamente móvel, i.e., o trabalhador pode livremente se mudar para uma cidade n2 f1; : : : ; Ng com o maior saláriown, ou mesmo trabalhar em mais de uma …rma.
(a) Mostre que, em equilíbrio, os salários w1; : : : ; wN nas diversas regiões devem ser iguais a w :=p
N=M, e também os lucros 1; : : : ; N, iguais a :=p M=N.
(b) A cidade 1 está considerando estabelecer um imposto local de t > 0 sobre cada unidade de trabalho empregada pela …rma 1. Um jornalista interessado na questão da incidência desse imposto sobre os agentes dessa economia lhe telefona e conta o seguinte: "Acabei de conversar com um economista que me disse acreditar que os salários na economia como um todo deveriam se manter, e que apenas o lucro da …rma 1 cairia. Mas ele também me alertou que estava fazendo só uma tal ‘análise de equilíbrio parcial’, e que ainda precisaria pensar um pouco mais a respeito. Gostaria de saber se você concorda com a análise do seu colega". Qual sua resposta?
19. (Prova 2018) Em uma economia competitiva há um único indivíduo: Robinson Crusoe. Ele é dotado de1unidade delabor (medido, por exemplo, em dias disponíveis para trabalho) e1hectare de terra, apenas. Ele aufere utilidade através do consumo de açaí e de banana, de acordo com a função utilidade u:R2+ !Rdada poru(a; b) =a b , onde aeb são quantidades consumidas de açaí e banana, respectivamente. Todos os bens (inclusive a terra) são homogêneos e perfeitamente divisíveis. Há duas …rmas na economia: a …rma Assahy, produtora de açaí segundo a função de produção fA : R2+ ! R dada por fA(l; t) = Al t , e a …rma Banannah, produtora de banana segundo a função de produçãofB :R2+!Rdada porfB(l; t) =Bl t . Os parâmetros , ,A, , ,B, e são positivos.
(a) Apresente, caso seja possível, valores de parâmetros para os quais essa economia não tem equilíbrio competitivo. Justi…que precisamente sua resposta.
Para o restante desta questão, suponha + 1e + <1.
b. Forneça um sistema de equações, sem equações supér‡uas, capaz de gerar alocação e um único vetor de preços de equilíbrio para essa economia. Obs.: resolver o sistema ou explicar de onde ele vem não resultará em pontos extra neste item. E, a menos que se estabeleça notação diferente, símbolos como px serão entendidos como "preço da unidade do bemx".
c. Se, ao invés de adotar a estranha (dado que a economia tem apenas um indivíduo) hipótese de existência de mercados competitivos, Robinson tivesse computado diretamente, através de um único problema de otimização, quanto delabor e quanto de terra alocar para a produção de açaí e de banana, ele se sairia melhor? Explique.
20. (Prova 2015) Robinson Crusoe é dotado de24 horas (h) e 0 cocos (y). Suas preferências podem ser representadas pela função utilidade udada por u(h; y) = hy. Ele é dono de uma …rma com tecnologia Y =
n
( h; y)2R R:y p h
o
, e age como se estivesse em ambiente competitivo, apesar de ser o único indivíduo na economia. Normalize para 1 o preço dos cocos. Escreva os problemas de otimização envolvidos e obtenha um sistema de equações, sem equações supér‡uas,
capaz de gerar o salário-hora real de equilíbrio wdo trabalhador Robinson na …rma e a alocação de equilíbrio (hc; yc); hf; yf .
21. É dada a situação descrita na questão anterior. Após forte tempestade, outro náufrago chega à ilha de Robinson Crusoe: Roberval Cruz. As preferências e a dotação de Roberval são iguais às de Robinson, porém o último segue como único dono da …rma.
(a) Encontre (caso exista) o equilíbrio Walrasiano dessa economia, e responda: como a chegada de Roberval impacta a oferta de trabalho, o salário e a utilidade de Robinson?
(b) Se não houvesse apenas 1 Roberval, masn Robervais, como se alterariam suas respostas ao item anterior?
Obs.: o conjunto de consumo de cada indivíduo é [0;24] R+.
22. (Prova 2015) É dada uma economia com mercados competitivos com produção e propriedade pri- vada ui;ei; ij; Yj i
2I;j2J. De…na a função excesso de demanda agregadaz(e adicione hipóteses que julgar relevantes para essa função estar bem-de…nida) e mostre a validade da Lei de Walras, para o caso de funções utilidade localmente não-saciadas.
23. (Prova 2016) É dada uma economia formada por dois indivíduos, Asdrúbal (A) e Benvinda (B), e mercados competitivos para três bens homogêneos e perfeitamente divisíveis. O bem3 é usado apenas como insumo na produção dos bens 1 e2. A …rma 1, da qual Asdrúbal é o único dono, detém uma tecnologia capaz de transformar cada unidade do bem 3 em três unidades do bem1 (mas nenhuma do bem2). Já a …rma2, de Benvinda, consegue transformar cada unidade do bem 3em quatro unidades do bem2(mas nenhuma do bem1). As dotações de Asdrúbal e de Benvinda são de zero unidades dos bens1e2e cinco unidades do bem3. Suas utilidades têm forma funcional uA(x1; x2; x3) =x0:41 x0:62 euB(x1; x2; x3) =x0:51 x0:52 .
(a) Determine os preços e alocações de equilíbrio Walrasiano desta economia.
(b) Benvinda propõe a Asdrúbal trocarem entre si a posse de suas …rmas. Ela argumenta que, dessa maneira, ele passará a ter controle sobre a produção do seu bem favorito, e, assim, deve conseguir auferir um nível de utilidade maior. Asdrúbal nota que, se é Benvinda quem traz a proposta, supostamente ela também ganharia com esse rearranjo. Dado que Asdrúbal já fez um curso de Equilíbrio Geral, qual deverá ser sua resposta a Benvinda sobre a procedência do seu argumento?
24. (Prova 2017) É dada uma economia competitiva com dois bens, 1000 indivíduos do tipo A e 1000 indivíduos do tipo B. Suas preferências podem ser representadas pelas funções utilidade uA; uB:R2++ !Rdadas poruA(x1; x2) = logx1+ 1=2 logx2euB(x1; x2) = logx1+ 1=3 logx2. A dotação de indivíduos do tipoAé eA1; eA2 = (6;9), e a de indivíduos do tipoB, eB1; eB2 = (4;4).
Existe também uma …rma, para a qual está disponível uma tecnologia capaz de transformar cada unidade do bem 1 em unidades (ou qualquer número menor que ) do bem 2, onde é um parâmetro positivo. Referiremo-nos a uma dessas economias com = 2 como uma "economia subdesenvolvida", e a uma dessas economias com = 5como uma "economia desenvolvida".
(a) Diga em poucas palavras por que, na determinação dos preços e alocação(ões) de equilíbrio competitivo desta economia, não é importante saber a quem pertence a …rma.
(b) Argumente por que existirá equilíbrio nesta economia, qualquer que seja o valor do parâmetro de produtividade .
(c) Apresente um equilíbrio Walrasiano e uma alocação de equilíbrio a ele associada, tanto para uma economia subdesenvolvida como para uma desenvolvida.
(d) Em uma economia subdesenvolvida, alguma política de subsídio à produção do bem2custeada através de impostos cobrados dos seus 2000cidadãos pode deixá-los todos mais felizes? Uma tal política pode, ainda, deixá-los todos mais felizes do que se eles vivessem na economia de- senvolvida e soblaissez faire(sem nenhuma intervenção de um governo)? Procure argumentar de maneira rigorosa.
25. Suponha que, em uma economia competitiva com propriedade privada e notação comum, indivíduos pudessem negociar suas participações em cada …rma. Seja ij 2 [0;1] o share pretendido pelo indivíduo i sobre o lucro da …rma j, de maneira que seu problema ganha J variáveis de escolha novas ( i1; : : : ; iJ). SendoVj o valor de 100% dossharesda …rmaj, a ser determinado como um preço adicional de equilíbrio, a restrição orçamentária do indivíduo ivira
p xi+ XJ j=1
ij ij
Vj p ei+ XJ j=1
ij j(p):
Em equilíbrio, além das condições usuais demarket clearing, terá que valer, para cadaj,PI
i=1 ij= 1.
(a) Mostre que, em equilíbrio, é necessário valerVj= j(p);8j2 f1; : : : ; Jg.
(b) O valor de cada ij de equilíbrio é relevante para a determinação dosxij de equilíbrio?
(c) Os xij de equilíbrio são diferentes daqueles obtidos no modelo padrão, sem negociação das participações nas …rmas?
26. (*) Uma economia competitiva é composta pelos indivíduos A e B. Há dois bens (homogêneos e perfeitamente divisíveis): maçã (m) e suco (s). A é dono de uma …rma capaz de transformar mf maçãs em p
mf k litros de suco se mf k, onde k é um parâmetro positivo. Essa …rma também pode transformar 0 maçãs em 0 litros de suco. As preferências de A e B podem ser representadas pelas funções utilidade uA; uB : R2+ !Rdadas por uA(m; s) = 2 log (1 +m) + 3s e uB(m; s) = log (1 +m) + 3s. Cada indivíduo é dotado de 4 maçãs e nada de suco. Para cada uma das três economias parametrizadas pelos valores abaixo, apresente um equilíbrio competitivo e uma alocação de equilíbrio a ele associada, ou argumente por que este não existe.
(a) k= 2.
(b) k= 16.
(c) k= 64.
Dica: seja po preço do litro de suco em relação ao preço da maçã. Sepfor muito baixo, será que a …rma operará? Por outro lado, sepfor muito alto, será que os consumidores demandarão suco?
27. Jehle e Reny: exercícios 5.18, 5.40, 6.10.
28. Mas-Colell, Whinston e Green: exercícios 16.E.1(a,b), 16.E.2.
29. (Prova 2010) Considere uma economia com n bens, I consumidores e J …rmas. As preferências podem ser representadas por funções utilidade côncavas, duas vezes diferenciáveis e fortemente monótonas, com ui(0) = 0. Para toda …rma j, seu conjunto de possibilidades de produção é Yj = y2Rn:Fj(y) 0 , ondeFj:Rn!Ré convexa, duas vezes diferenciável, com todas as derivadas parciais positivas, e tal queFj(0) 0.
O Problema de Pareto é:
max
(x;y)2RnI+ RnJu1(x11; :::; x1n)s.a.
8<
:
ui(xi1; :::; xin) ui; i= 2; :::; I P
ixil=P
ieil+P
jylj; l= 1; :::; n Fj(yj1; :::; ynj) 0; j= 1; :::; J
:
(a) Encontre as condições de primeira ordem do Problema de Pareto. Elas são necessárias e su…- cientes para caracterizar o ótimo? O que pode ser dito sobre a taxa marginal de substituição e a taxa marginal de transformação?
(b) Considere o problema de maximização de uma função de bem-estar:
max
(x;y)2RnI+ RnJ
X
i
iui(xi1; :::; xin)s.a.
( P
ixil=P
ieil+P
jyjl; l= 1; :::; n Fj(yj1; :::; yjn) 0; j= 1; :::; J : Mostre que, para determinados pesos da função de bem-estar, obtemos a mesma solução do Problema de Pareto.
30. (Prova 2015) Há dois bens perfeitamente divisíveis e dois indivíduos com funções utilidade dadas poru1(x1; x2) =x1(x2)2 eu2(x1; x2) = (x1)2x2.
(a) Um planejador social deseja distribuir10unidades do primeiro bem e20unidades do segundo de maneira que, dado um nível mínimo de utilidade de8000=27(= (20=3)3) para o indivíduo 2, o indivíduo 1 …que com a maior utilidade possível. Qual alocação ele deve escolher?
(b) Suponha agora que o planejador queira justi…car a alocação escolhida no item anterior com base na maximização de uma função de bem-estar social da formau1+ u2, onde >0. É possível fazê-lo? Por quê? E da formalogu1+ logu2? Explique exatamente como encontrar o valor de que serve tal propósito.
(c) Dada uma economia perfeitamente competitiva formada por esses dois indivíduos e dotações e1= (2;10)ee2= (8;10), encontre todas suas alocações de equilíbrio Walrasiano.
(d) A(s) alocação(ões) do item anterior também emergiria(m) da resolução de um problema como o do item (a), com o número 8000=27 substituído por outro? Se possível, dê um argumento relacionado a algum teorema de bem-estar.
31. (Prova 2017) É dada uma economia competitiva com dois bens e dois indivíduos,AeB. Suas prefer- ências podem ser representadas pelas funções utilidade uA; uB :R2+!Rdadas poruA(x1; x2) = x1 100e x2=10 e uB(x1; x2) = x2 100e x1=10. A é dotado de 40 unidades do bem 1 apenas, enquantoB é dotado de 50unidades do bem2 apenas.
(a) Explique como obter as demandas dos dois indivíduos quando o vetor de preços é da forma (1; p), e as forneça. Estas podem ser colocadas na forma
xA1; xA2 (1; p) = ( ; ) sep <10
( ; ) sep 10 ;
xB1; xB2 (1; p) = ( ; ) sep 0:1
( ; ) sep >0:1 :
(b) Explique por que, em equilíbrio, tantoAquantoB consumirão quantidades positivas de cada bem.
(c) Encontre a(s) alocação(ões) de equilíbrio Walrasiano desta economia. Você pode reportar seu resultado de maneira aproximada.
(d) Um agente externo capaz de redistribuir a dotação agregada da economia entre Ae B quer maximizaruA+ uB. Explique se há valor(es) de para o(s) qual(is) ele escolheria justamente a(s) alocação(ões) apresentada(s) no item anterior e, em caso positivo, apresente-o(s) (também de maneira aproximada, se preferir).
Obs.: em sua argumentação para esta questão, você pode se valer de propriedades de algumas funções conforme sugerem os grá…cos a seguir. Também as seguintes aproximações lhe podem ser úteis: log 2:5 0:9,log 10 2:3, elog 40 3:6.
0 5 10 15 20
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p
Funçãop7!(10=p)e 4=p.
0 5 10 15 20
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p
Funçãop7!10pe 5p.
1 2 3 4
-2 0 2 4
p
Funçãop7! 10pln (10=p) + 10 ln (10p).
1 2 3 4
-2 0 2 4
p
Funçãop7!10 ln (10=p) (10=p) ln (10p).
32. (Prova 2018) Considere uma economia competitiva com dois bens de consumo,xey, e dois indi- víduos, o Sr. Um e o Sr. Dois, com dotações e1 = (2;0) ee2 = (0;2) e utilidades com a forma funcional u1(x1; y1) = logx1+ logy1 eu2(x2; y2; x1) = logx2+ logy2 x1, respectivamente (onde log 0 = 1). Sejampeqos preços dos bens xey, respectivamente.
(a) Argumente pela existência ou não de equilíbrio Walrasiano para essa economia, e, caso exista, pela e…ciência ou não da alocação a ele associada.
(b) Suponha que o Sr. Um e o Sr. Dois acordam entre si que Dois receberá de Um r unidades monetárias para cada unidade do bem xque Um consome. Encontre vetores(p; q; r)2R3++
e x1; y1; x2; y2 2R4+para os quais os mercados dos bensxey se equilibram e nenhum dos indivíduos pre…ra estritamente um desvio em quaisquer coordenadas do vetor x1; y1; x2; y2 (não necessariamente só aquelas relativas a seu próprio consumo).
(c) Argumente pela existência ou não de um vetor de preços(p; q)associada ao qual a alocação do item anterior é uma alocação de equilíbrio-com-transferências da economia descrita no enunciado.
(d) Suponha agora que, ao invés de qualquer mecanismo de mercado, há um planejador central que busca maximizar u1(x1; y1) + (1 )u2(x2; y2; x1), onde 2[0;1]. Tanto para a alocação do item (a) como para a do item (b), explique se existe algum para o qual o planejador escolheria tal alocação, e, em caso positivo, forneça o em questão.
33. Uma economia de Arrow-Debreu é formada por Adelaide e Baltazar. Ambos têm cajueiros que darão cajus para consumo daqui a seis meses. Não se sabe se haverá ou não um nível adequado de chuvas nesse período. Adelaide coloca em1=3a probabilidade de seca, e Baltazar, em2=3. Sabe-se que o cajueiro de Adelaide dá 10 cajus se houver chuva, mas apenas 2 se houver seca. Já o de Baltazar, localizado próximo a um riacho, dá10cajus se houver chuva, e8se houver seca. Ambos são maximizadores de utilidade esperada, sendo logarítmicas suas utilidades Bernoulli, ligadas ao consumo de caju somente. Qual o preço relativo do contrato de entrega de um caju se houver seca, comparado ao do contrato de entrega de um caju se houver chuva? Quantas unidades desses contratos serão negociadas entre eles?
34. (Prova 2016) Uma economia de Arrow-Debreu sem produção é formada por dois indivíduos,1e2, um único bem básico de consumo x, e um único período para consumo. Porém, há dois estados possíveis para esse período: crise (c) e bonança (b). Todos entendem que a probabilidade de uma crise é 2(0;1), e são maximizadores de utilidade esperada, com utilidades Bernoulli dadas por log(você pode considerarlog 0 = 1se quiser). Na crise, a dotação agregada do bem de consumo, e1c+e2c, é positiva mas menor que na bonança,e1b+e2b. Considere aindae1b =e2c= 0.
(a) Calcule o vetor de preços de equilíbrio (pc; pb) sob a normalizaçãopc+pb = 1. Que inter- pretação está associada a tal vetor, dentro do arcabouço de Arrow-Debreu de equilíbrio geral com risco?
(b) Mostre comopc se compara com , e interprete isso de maneira clara e objetiva.
(c) Um planejador social maximizador de uma média aritmética ponderada das utilidades dos indivíduos1e2dadas as restrições de recursos da economia para cada possível estado poderia escolher justamente a alocação de equilíbrio de Arrow-Debreu associada aos preços calculados no item (a)? Em caso positivo, obtenha os pesos 1e 2 que esse planejador teria em mente.
Você consegue explicar em palavras por que tais valores fazem sentido?
35. Mas-Colell, Whinston e Green: exercícios 19.C.2, 19.C.4.
36. (Prova 2017) Uma economia competitiva é composta porIindivíduos, um bem básico, um período para consumo e S possíveis estados da natureza. Todos concordam quanto às probabilidades de ocorrência, supostamente positivas, de cada um desses estados. Cada indivíduo i tem dotação ei1; : : : ; eiS = ei 2 RS+, e sua função utilidade pode ser colocada na forma de utilidade espe- rada: Ui(x1; : : : ; xS) = PS
s=1 sui(xs), onde ui : R+ ! R é côncava e estritamente crescente.
Não há risco agregado, de maneira que a dotação agregada da economia é a S-upla ordenada (!; : : : ; !) =!1, onde! >0e1:= (1; : : : ;1). Mostre que a alocação segundo a qual cada indivíduo i consome, em todos os estados, a mesma quantidade PS
s=1 seis (isto é, a média, ponderada pelas probabilidades de ocorrência de cada estado, de suas dotações), ou, em outras palavras, x= x1; : : : ;xI , com xi:= PS
s=1 seis 1, i= 1; : : : ; I, é uma alocação de equilíbrio de Arrow- Debreu.
Dica: qual o vetor de preços de equilíbrio (uma vez feita uma normalização apropriada) para o caso I=S = 2, feito em sala?
37. (Prova 2015) É dada uma economia perfeitamente competitiva formada por I > 1 indivíduos avessos ao risco, ao menos um dos quais é neutro ao risco. Há apenas um período para consumo e um bem básico, masS >1 possíveis estados da natureza. Não há risco agregado, de modo que em qualquer estado a oferta agregada (= dotação agregada) desse bem é a mesma, digamos 1. Para cada indivíduo i, sua utilidade pode ser escrita na forma de utilidade esperada Ui(x1; : : : ; xS) = PS
s=1 i
sui(xs), ondeui é duas vezes diferenciável e estritamente crescente. Assuma a existência de uma alocação de equilíbrio de Arrow-Debreu interior. Explique se verdadeiro ou falso:
(a) Necessariamente todos is>0.
(b) Todos os indivíduos neutros ao risco necessariamente concordam quanto às probabilidades de ocorrência de cada estado.
(c) O equilíbrio interior é tal que cada indivíduo estritamente avesso ao risco contrata um nível maior de consumo para o estado que considera mais provável.
(d) Se as probabilidades de ocorrência de cada estado são objetivas, então todos os indivíduos estritamente avessos ao risco fazem seguro parcial.
(e) SeI 1indivíduos são estritamente avessos ao risco, além da alocação de equilíbrio de Arrow- Debreu mencionada no enunciado não pode existir mais nenhuma outra associada ao mesmo vetor de preços.
38. (Prova 2014) É dada uma economia com mercados competitivos sem produção, sem risco, dois indivíduos, um bem básico, e dois períodos. A dotação agregada para cada período é 1. Sendo a função v : R+ ! R dada por v(x) = x1 1 =(1 ), onde > 0 e 6= 1, a utilidade do indivíduo i (= 1 ou = 2) é dada por ui(x1; x2) =v(x1) + 1 + i 1v(x2), onde os índices subscritos se referem ao período de consumo, e i>0 é a taxa de desconto intertemporal dei.
(a) Escreva o Problema de Pareto dessa economia.
(b) Encontre uma expressão relacionando os consumos apenas do primeiro indivíduo (x11 e x12) para descrever as alocações Pareto-ótimas desta economia, e, supondo 1 < 2, represente o locus dessas alocações em uma caixa de Edgeworth, onde consumo presente é mensurado na horizontal, e consumo futuro, na vertical.
(c) Supondo um planejador central que procura maximizar uma média aritmética ponderada entre u1 x11; x12 eu2 x12; x22 , indique pesos 1e 2 (em função dex11) que podem ser usados para implementar a alocação Pareto-ótima x11; x12 ; x21; x22 .
Para o restante do exercício, suponha e1= (1;0)ee2= (0;1).
(d) Normalizando para1o preço do bem emt= 1e denotando porpo preço do bem emt= 2, mostre como obter as restrições orçamentárias de cada indivíduo no formato x12 : : : e x22 : : :, e interprete essas desigualdades.
(e) Monte um sistema de equaçõessem equações supér‡uascapaz de gerar a taxa real de juros de equilíbriordessa economia. Uma das equações deve servir para de…nir rcomo função dep.
(f) Explique se as informações contidas no enunciado desta questão já garantem que o sistema do item anterior de fato terá alguma soluçãor >0, ou se são necessárias hipóteses adicionais.
(g) No caso particular em que todos os indivíduos descontam o futuro na mesma medida, mostre que o valor da taxa de juros de equilíbrio independe de como a dotação para cada período está distribuída entre os indivíduos.
39. (*) Uma economia perfeitamente competitiva tem dois indivíduos, Aurélia e Basílio, e um único período, com estado sol ou chuva, para consumo do bemx. Este pode ser produzido por três …rmas, todas de propriedade de Basílio, que devem contratar quantidades (não-negativas) do insumo z previamente à revelação do estado da natureza. Ambos os indivíduos têm dotação de 12unidades desse insumo e são maximizadores de utilidade esperada, com utilidades Bernoulli iguais à função identidade Id :R+ !R+. As probabilidades que Aurélia associa à ocorrência de sol e chuva são 1=4e3=4, respectivamente. Já Basílio,1=3e2=3. As tecnologias das …rmas são descritas a seguir:
Firma 1: consegue transformar cada z1unidades de insumo em2z1unidades do bem de consumo se ocorre sol e em0 unidades se ocorre chuva.
Firma 2: consegue transformar cadaz2 unidades de insumo em0 unidades do bem de consumo se ocorre sol e em3z2 unidades se ocorre chuva.
Firma 3: faça sol ou faça chuva, consegue transformarz3unidades de insumo emp
z3 1unidades do bem de consumo se z3>1, e em0 unidades sez3 1.
(a) Encontre os preços e alocação(ões) de equilíbrio competitivo.
(b) A(s) alocação(ões) do item anterior é (são) e…ciente(s)?
40. (Starr 2.a ed., exercício 20.13) Considere uma economia de trocas sob risco com três tipos de indivíduos, A, B e C, três estados da natureza, 1, 2 e 3, e um único bem de consumo. Os indivíduos recebem dotações perfeitamente correlacionadas desse bem, da seguinte forma:
TipoA: 100 unidades se o estado 1 ocorrer, 200 unidades se o estado 2 ocorrer, e 600 unidades se o estado 3 ocorrer.
Tipos B e C: 200 unidades se o estado 1 ocorrer, 400 unidades se o estado 2 ocorrer, e 1200 unidades se o estado 3 ocorrer.
Represente por(x1; x2; x3)uma cesta genérica de consumo contingente: "x1se o estado 1 ocorrer, x2se o estado 2 ocorrer,x3se o estado 3 ocorrer". As funções utilidade de cada tipo de indivíduo são dadas poruA(x1; x2; x3) =x1+x2+x3,uB(x1; x2; x3) =x3euC(x1; x2; x3) = minfx1; x2; x3g.
(a) Considere uma população formada por dois indivíduos do tipoA, um do tipoB e um do tipo C. Mostre que p = (1=3;1=3;1=3) é um vetor de preços de equilíbrio competitivo para os três bens contingentes.
Dica: provavelmente é perda de tempo tentar calcular taxas marginais de substituição.
(b) Agora suponha que há um grande número de agentes na economia: 200 do tipo A, 100 do tipoB e 100 do tipoC. Como os preços de equilíbrio se modi…cam? Explique.
41. (Prova 2014) Uma economia com mercados competitivos sem produção apresenta possibilidade de consumo apenas em um período (T = 1), três estados da natureza (s2 f1;2;3g) nesse período, um bem básico, e quatro indivíduos, sendo 2 do tipo A, 1 do tipoB e 1 do tipoC. As utilidades de cada tipo de indivíduo são da forma uA(x1; x2; x3) = x1+x2+x3, uB(x1; x2; x3) = x3 e uC(x1; x2; x3) = minfx1; x2; x3g, e suas dotações contingentes (correspondendo aos estados1,2e 3, respectivamente) sãoeA= (100;200;600) eeB=eC= (200;400;1200).
(a) Suponha que existem tanto mercados futuros emt= 0(de contratos que garantem a entrega de uma unidade do bem se e só se ocorrer determinado estado) quanto mercados spot em
t= 1, em cada estado s, cujos preços já são conhecidos emt= 0. Os vetores de preços são, respectivamente, q2R3++ ep2R++3 . Mostre que(p;q) = ((1;1;1);(1;1;1))é equilíbrio de Arrow-Radner desta economia. Inclua em sua discussão o cálculo da alocação correspondente
(x;z) = xA11 ; xA12 ; xA13 ; xA21 ; xA22 ; x3A2 ; xB1; xB2; xB3 ; xC1; xC2; xC3 ; zA11 ; zA12 ; z3A1 ; zA21 ; zA22 ; zA23 ; zB1; z2B; zB3 ; z1C; zC2; z3C ; ondezisé a quantidade do bem básico contratada previamente poripara entrega ems, exis, a quantidade …nalmente consumida pori no estados.
(b) É possível mostrar que a coalizãofA1; B; Cgou a coalizãofA2; B; Cg(isto é, pelo menos uma das duas) bloqueia a alocaçãoxpedida no item anterior? Explique.
42. (Prova 2018) Há três estados da natureza possíveis para o único período de consumo dosN bens básicos (um dos quais, trigo) de uma economia com I indivíduos. Previamente ao período de consumo, há possibilidade de negociação apenas de três ativos: o primeiro dá direito ao recebimento de 1 kg de trigo se e só se ocorrer o estado2 ou o3, o segundo dá direito ao recebimento de 1 kg de trigo se e só se ocorrer o estado1ou o3, e o terceiro dá direito ao recebimento de 1 kg de trigo se e só se ocorrer o estado1 ou o2. Uma vez chegado o período de consumo e descoberto o estado vigente, abrem-se mercados para cada bem básico – a preços que já eram previstos com perfeição por todos quando da negociação dos ativos. Para cadai2 f1; : : : ; Ig, sejaxi= xi1;xi2;xi3 2R3N+
o vetor que coleta as cestas de consumo escolhidas previamente pelo indivíduo ipara cada um dos três estados da natureza possíveis, de modo a respeitar seu orçamento em cada estado e maximizar sua utilidade. Argumente, sob hipóteses que …cam a seu cargo explicitar, por que é certo que x= x1; : : : ;xI está dentre as alocações factíveis dessa economia, prévias à realização do estado da natureza, que nenhuma coalizão bloquearia.
43. (Hildenbrand e Kirman, seção 5.2, exemplo 5.1) Uma economia de trocas puras é composta pelos indivíduos 1, 2 e 3. Suas preferências sobre as cestas de bens (x1; x2) podem ser representadas pela mesma função utilidade de forma funcional u(x1; x2) = x1x2. Suas dotações iniciais são, respectivamente, e1= (1;14),e2= (1;14)ee3= (27;1).
(a) (*) Veri…que que a alocação x= x1;x2;x3 , ondex1 = (6;6), x2 = (7;7) ex3 = (16;16), pertence ao núcleo dessa economia.
(b) Uma vez que os indivíduos 1 e 2 são idênticos, o resultado do item anterior não fere o Teorema do Tratamento Igualitário no Núcleo (teorema 5.16 do livro de Jehle e Reny)?
44. (Prova 2016) É dada uma economia de trocasE= ui;ei i
2I, comP
i2Iei2Rn++e cadaui:Rn+! R monótona, estritamente quasecôncava e contínua. Veri…ca-se que o próprio vetor de dotações e= e1; : : : ;eI é uma alocação Pareto-e…ciente. Dador2N, seja Er a economia de réplica que contém r indivíduos do tipo 1 (isto é, com mesmas preferências e dotações que o indivíduo1), r do tipo2, ..., erdo tipoI. Sejare:= (e1; : : : ;e1
| {z }
rvezes
;e2; : : : ;e2
| {z }
rvezes
; : : : ;eI; : : : ;eI
| {z }
rvezes
)(isto é,reé a dotação da economia Er). Alguma coalizão deEr bloqueiare?
45. Procure refazer o exercício 3 usando o truque de identi…cação de uma coalizão bloqueante em economias de réplica contido na prova do Teorema de Edgeworth-Debreu-Scarf.
46. (Prova 2015) Fixado um r natural,Er é uma economia de trocas com r indivíduos do tipo1 e r indivíduos do tipo2. Todos têm utilidadeu:R2+ !Rdada poru(x1; x2) =x1x2, onde ambos os bens são perfeitamente divisíveis. Indivíduos do tipo 1têm dotação(19;1)e indivíduos do tipo2 têm dotação(1;19). Seja
Cr=f x1;x2 2R4: (x1; : : : ;x1
| {z }
rvezes
;x2; : : : ;x2
| {z }
rvezes
)é uma alocação do núcleo deErg:
(a) Ilustre a economiaE1, seu núcleo e seu(s) equilíbrio(s) Walrasiano(s) em uma caixa de Edge- worth.
(b) Mostre que, se x11; x12 ; x21; x22 2C1, então x12=x11 ex22=x21. (c) Argumente por que((10;10);(10;10))2Cr;8r2N.
(d) ((7;7);(13;13))2C2? Por quê?
(e) ((7;7);(13;13))2C3? Por quê?
