TEOREMA DE BERNOULLI 2 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI "FLUIDOS IDEAIS" ( = 0)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA

TEOREMA DE BERNOULLI

1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS:

A equação de Bernoulli e a equação da continuidade são fundamentadas em leis físicas como o Princípio da conservação da massa, a 2ª Lei de Newton e o princípio da conservação da energia.

2 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI "FLUIDOS IDEAIS" (= 0)

 No escoamento permanente e unidimensional, consideremos um filamento de corrente BC (figura 1), de comprimento elementar dl.

dA – área da seção transversal em B e em C; P – pressão unitária em B;

P + dP – pressão unitária em C

dW – peso do filamento elementar entre B e C; dV – volume do mesmo filamento entre B e C;  - peso específico do fluido;

 - ângulo do eixo BC com um plano horizontal; Z – cota do ponto B;

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

No filamento atuam as seguintes forças, projetadas sobre o eixo BC (orientando de B para C).

1) Esforço de pressão: F1 = P.dA

2) Força de pressão: F2 = -(P + dP).dA

3) Peso: F3 = - dW.sen  W = m.g  W = Vg  W = V F3 = - .dV.sen F3 = - .dA.dl.sen Como: dL dZ α sen   dZ = dl.sen Logo: F3 = - .dA.dZ

4) Pela 2a Lei de Newton  dm a dF  dm = .dV  dV = dA.dL dt v d a    v f



x,y,z,t



0 0 0

x

v

x

v

a











 dL dv v a  dF = dV.a dF = .dA.dL.a dF = .dA.dL. dL dv

v  dF = .dA.vdv (Força de inércia)

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

 forças i

F , logo:

dF = F1 + F2 + F3

.dA.vdv = P.dA – (P + dP)dA - .dA.dZ .vdv = - dP - .dZ () dz dP vdv       _{( = g)} dz g dP g vdv    _   dz g dP g vdv    _ 0    dz g dP g vdv  (integrando) 0      dz g dP g vdv  0 1 1      vdv dP dz g 



z z



0 P P 2g v v 1 2 2 1 2 1 2 2  _  _ _ _   2 2 2 2 1 1 2 1 P _z 2g v z P 2g v       

3 - VALIDADE PARA O TEOREMA DE BERNOULLI:

 Fluido ideal;

 Regime permanente;

 Sujeito somente ao campo gravitacional;  Fluido incompressível;

 Variações isotérmicas.

4 - INTERPRETAÇÃO FÍSICA DE CADA TERMO:

4.1 - Para "z":

"z" representa a energia potencial por unidade de peso da partícula, também chamado de cota geométrica.

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4.2 - Para "P/":

"P/" representa a energia de pressão por unidade de peso da partícula, também chamado de cota piezométrica.

P.V E P.A.L E ento F.deslocam E₂   ₂   ₂  w E P w P. E w V   ₂    2     P/ = [L] 4.3 - Para v2/2g:

"v2/2g" representa a energia cinética por unidade de peso da partícula, também chamada de cota cinética.

2g v w. E g w m m.g w 2 mv E 2 3 2 3        w E 2g v2 ₃   v2/2g = [L] # Então: C w E w E w E₁ ₂ ₃    4.4 - Conclusão:

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5 - MEDIDORES DE VAZÃO:

Os medidores de vazão podem ser de leitura direta (Rotâmetro) ou leitura indireta (Tubo de Pitot, Medidor Venturi e Placa de Orifício). Os medidores de vazão de leitura indireta geralmente são associados a um balanço hidrostático em um tubo "U".

5.1 - Pressões:

A pressão pode ser medida em relação a qualquer referência arbitrária, adota-se usualmente para tal o zero absoluto ou vácuo absoluto.

a) Pressão Absoluta: É medida com referência ao zero absoluto.

atm ef

abs P P

P  

b) Pressão Efetiva ou Manométrica: É medida em relação à pressão atmosférica local. O instrumento utilizado para medir pressões efetivas é o manômetro. Dentre os vários tipos de manômetro, tem-se:

 Piezômetro - o mais simples dos manômetros;

 Manômetro diferencial - mede diferenças de pressões entre dois pontos;

 Vacuômetro - mede pressões efetivas negativas, nulas e positivas. Obs: A pressão hidrostática é um tipo de pressão manométrica devida a uma coluna de fluido.

h . P 

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5.2 - Balanço Hidrostático:

Dois pontos de mesmo nível unidos por uma coluna contínua e estática de mesmo fluido estão na mesma pressão.

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5.3 - Tubo de Pitot:

Os Tubos de Pitot medem a velocidade local ou num ponto pela determinação da diferença entre a pressão de impacto e a pressão absoluta.

Pressão absoluta Pressão de impacto

. .

1 2

h

P2 > P1  Z1 = Z2  v1 > v2 = 0

# Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2": 0                  1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 P _z _v _2g P P 2g v z P 2g v

# Aplicando o balanço hidrostático:









f f fm 2 1 f fm 1 2 P h v 2gh P                    2gh 1 v f fm 1   ou _       2gh 1 v f fm 1  

# Caso o fluido que circule na tubulação seja água, então:



d 1



2gh

v₁  _fm 

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5.4 - Medidor Venturi:

O Medidor Venturi consiste em um pequeno trecho de tubo retilíneo, ligado à tubulação por meio de seções cônicas.

. .

1 2

h

P1 > P2  Z1 = Z2  v2 > v1  A2 > A1

# Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2":

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5.5 - Placa de Orifício:

. .

1 2

h

P1 > P2  Z1 = Z2  v2 > v1

# Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2":

2 v v P P z g P 2g v z g P 2g v 2₂ ₁2 f 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 _ _ _ _ _ _  _    

# Pela equação da continuidade, temos:

1 2 2 1 2 2 1 1 A A v v A v A v   







₁ ₂



f 2 1 2 2 2 2 2 1 f 2 1 2 2 2 2 2 2 P P 2 A A 1 v P P 2 A A v v _              





                 2 1 2 2 1 2 A A 1 P P 2 v f  (I)

# Pelo balanço hidrostático temos que:



_fm _f



2

1 P h

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# Substituindo o balanço hidrostático na equação (I), temos: 2 1 2 f fm 2 A A 1 1 2gh v                 

Obs: O Medidor Orifício opera segundo o mesmo princípio que o Medidor Venturi, porém com pequenas diferenças importantes:

 A Placa pode ser facilmente mudada para acomodar vazões bastante diferentes, enquanto que o diâmetro do estrangulamento de um Venturi é fixo.