ANÁLISE DE ESTRUTURAS II ( ): TRABALHO 1 (EPT)

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 1 (EPT)

O provete representado na figura foi ensaiado experimentalmente e os resultados obtidos são frequentemente usados para aferir a qualidade das soluções obtidas com elementos finitos (estado plano de tensão). Este teste é usado para avaliar a validade das hipóteses em que se baseia a teoria das vigas finas, servindo também para mostrar o cuidado que se dever ter para obter soluções aceitáveis para o campo de tensões.

Os problemas que são postos na alínea b) devem ser resolvidos com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permita avaliar a evolução das soluções obtidas.

Dimensões: L240 mm h; 40 mm; 12 mm; 0,1 a) Teoria das vigas finas

Admitindo que a secção é rectangular e desprezando o efeito da fenda, determine (analiticamente): a1) A deformada da viga;

a2) Os diagramas de esforços;

a3) Os diagrama de tensões axiais e tangenciais nas secções 1 4

x L e 1 2 x L. b) Estado plano de tensão

Para cada uma das malhas utilizadas e para a fenda colocada na secção 1 4 x L:

b1) Trace a variação do deslocamento sob a carga com o número de graus de liberdade; b2) Obtenha as deformadas da viga;

b3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. c) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos com o método dos elementos finitos e compare esses resultados com os obtidos com a teoria das vigas finas.

h P 1 2L 1 2L L  L x fenda

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O provete representado na figura foi ensaiado experimentalmente e os resultados obtidos são frequentemente usados para aferir a qualidade das soluções obtidas com elementos finitos (estado plano de tensão). Este teste é usado para verificar as hipóteses em que se baseia a teoria das vigas finas, servindo também para mostrar o cuidado que se dever ter para obter soluções aceitáveis para o campo de tensões.

Os problemas que são postos na alínea b) devem ser resolvidos com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permita avaliar a evolução das soluções obtidas.

Dimensões: L310 mm h; 100 mm; 20 mm;0,15

Carregamento e material: 11 ; 1 ; 9 ;

1 10 2 10

P  P P  P E35×10 Pa  0,2 a) Teoria das vigas finas

Admitindo que a secção é rectangular e desprezando o efeito da fenda, determine (analiticamente): a1) A deformada da viga e o deslocamento sob a carga P₂, x(2)L;

a2) Os diagramas de esforços (momento flectores e esforço transverso);

a3) Os diagrama de tensões axiais e tangenciais na secções x (1 )L e 3 2 x L. b) Estado plano de tensão

Para cada uma das malhas utilizadas:

b3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. c) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos com o método dos elementos finitos e compare esses resultados com os obtidos com a teoria das vigas finas.

h L  x L L  L L fenda 2 P 1 P

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O provete representado na figura foi ensaiado experimentalmente e os resultados obtidos são frequentemente usados para aferir a qualidade das soluções obtidas com elementos finitos admitindo um estado plano de tensão. Este teste serve também para mostrar o cuidado que se dever ter para obter soluções aceitáveis para o campo de tensões.

Os problemas que são postos devem ser resolvidos com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permita avaliar a evolução das soluções obtidas. É opcional o recurso à simplificação de simetria.

Material: E35×10 Pa9 ; 0,2 Para cada uma das malhas utilizadas:

a) Trace a variação do deslocamento relativo entre os pontos A e A´ com o número de graus de liberdade;

b) Obtenha as deformadas da placa;

c) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. Analise criticamente os resultados obtidos.

30 85 85 30 30 70 80 80 p A A' 70mm

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STRUCTRAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 4 (Plane stress)

The short reinforced concrete (RC) cantilever shown in the figure below is used to illustrate the convergence of finite element solutions of plane stress problems. This test is also useful to illustrate the effect of cracks and reinforcement bars. The analyses concerning part a) should be implemented using a coarse mesh, a mesh as refined as necessary to ensure convergence and a set of intermediate meshes necessary to illustrate the evolution of the finite element estimates for the displacement and stress fields. It is likely that the most refined mesh will need additional (and localized) refinement to obtain the solutions mentioned in parts b) and c).

a) Homogeneous linear elastic model For each finite element mesh:

a1) Plot the variation of the vertical displacement at the tip of the cantilever with the number of degrees-of-freedom of the model;

a2) Plot the deflected shape of the short cantilever;

a3) Plot the direct and smoothed representations of the axial and shear stress fields (xx, yy, xy).

b) Cracked model

Adapt the finer finite element mesh to model the presence of a crack. Plot the deflected shape of the structure and the direct and smoothed representations of the axial and shear stress fields. c) Simplified model of RC cantilever

Using the results obtained in part a) with the finer mesh, design a simplified reinforcement system and modify the mesh and the model to simulate the reinforcement bars. Plot the deflected shape of the structure and the direct and smoothed representations of the axial and shear stress fields. d) Analysis

Critically assess the results obtained.

a a a a 2a 2a p ( 1 ) 10 fenda a  crack

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 5 (EPD)

Considere a análise do modelo de um açude de betão representado na figura (a2R2 m). Admita um estado plano de deformação e que existe continuidade de deslocamentos entre o açude e o meio de fundação. Os problemas que são postos na alínea b) devem ser resolvidos com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permita avaliar a evolução das soluções obtidas.

a) Modelo do meio de fundação

Defina um tipo de solo de fundação e escolha as dimensões h, L1 e L2 que tornam admissível a

hipótese de se considerar as condições de encastramento da fronteira da fundação indicadas na figura.

b) Impulso hidrostático

Considerando apenas o efeito do impulso hidrostático e para cada uma das malhas utilizadas: b1) Trace a variação de um deslocamento representativo com o número de graus de liberdade; b2) Obtenha as deformadas;

b3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. c) Peso próprio

Utilize a malha refinada para obter a deformada e as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão devidas apenas à acção do peso próprio.

d) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos.

h abertura R a a a a 2a 2a 1 L L₂

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 6 (EPD)

Considere a análise do modelo de um açude de betão representado na figura (a2R2 m). Admita um estado plano de deformação e que pode ocorrer deslizamento na interface do açude com o meio de fundação. Os problemas que são postos nas alíneas b) e c) devem ser resolvidos com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permita avaliar a evolução das soluções obtidas.

a) Modelo da interface

Escolha um modelo que permita representar adequadamente a ligação entre o açude e o meio de fundação.

b) Modelo do meio de fundação

Defina um tipo de solo de fundação e escolha as dimensões h, L1 e L2 que tornam admissível a

hipótese de se considerar as condições de encastramento da fronteira da fundação indicadas na figura.

c) Impulso hidrostático

Considerando apenas o efeito do impulso hidrostático e para cada uma das malhas utilizadas: c1) Trace a variação de um deslocamento representativo com o número de graus de liberdade; c2) Obtenha as deformadas;

c3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. d) Peso próprio

Utilize a malha refinada para obter a deformada e as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão devidas apenas à acção do peso próprio.

e) Análise

h abertura R a a a a 2a 2a 1 L L₂

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 7 (3D)

O sólido (elástico, homogéneo e isotrópico) representado na figura é usado para justificar os modelos simplificados de placa (𝑏 ≪ ℎ e 𝑏 ≪ 𝐿) e de viga fina (𝑏 ≪ 𝐿 e ℎ ≪ 𝐿). Para isso, pretende-se resolver o problema aplicando o método dos elementos finitos com elementos sólidos (modelo tridimensional) e com elementos planos (estado plano de tensão). As questões postas nas alíneas b) e c) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Para uma dada dimensão L (e 0,05), as restantes dimensões devem ser variadas de modo a recuperar as condições dos modelos de viga e de placa. Considere um módulo de elasticidade unitário e o coeficiente de Poisson  0,2.

a) Modelo de viga fina Determine (analiticamente):

a1) A deformada da viga e o deslocamento a meio-vão;

a2) Os diagramas de esforços (momento flectores e esforço transverso); a3) Os diagrama de tensões axiais e tangenciais nas secções 1

4

x L e 1 2 x L. b) Modelo de placa

b3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. c) Modelo tridimensional

c1) Trace a variação do deslocamento sob a carga com o número de graus de liberdade; c2) Obtenha as deformadas da viga;

c3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão. d) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos com o método dos elementos finitos e compare os resultados obtidos com os três tipos de modelo.

h 1 2L 1 2L L  L x y p b z

(8)

ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 8 (3D)

O objectivo deste trabalho consiste na utilização do Método dos Elementos Finitos para determinar o campo de tensões na pormenorização de uma ligação viga-pilar.

Escolha as dimensões características de uma ligação e determine o sistema de forças equivalentes a aplicar nas secções extremas (momentos flectores e torsor, esforços transversos e axiais). Considere um módulo de elasticidade unitário e o coeficiente de Poisson  0,2.

Analise o problema com uma malha grosseira, uma malha tão fina quanto seja necessário para assegurar a convergência dos resultados (ou tão fina quanto seja viável no computador que utilize) e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas:

a) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes do campo de tensão; b) Compare as tensões máximas com as obtidas pela teoria das peças lineares;

c) Analise criticamente os resultados obtidos. a a a a 2a 2a b

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STRUCTRAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 9 (3D elasticity)

The following figure shows the plan view of the axis of a cantilever steel beam clamped at cross-section A. Its cross cross-section is circular with radius equal to 5cm. A couple formed by forces acting on its the top surface is applied at cross-sections D and E.

Analyse the beam using a set of meshes formed by three dimensional linear and quadratic tetrahedral elements. Also obtain the solution using the Euler-Bernoulli beam theory.

Plot the vertical displacement of the center of the tip of the cantilever beam, cross-section E, against the number of degrees-of-freedom of the model for both linear and quadratic elements. Also represent the result obtained using the beam theory.

For the most refined linear and quadratic meshes, compare the direct and smoothed

representations of the relevant stresses obtained in sections B and D with the ones obtained using the beam theory.

Estimate the slope of the vertical displacement at the tip of the cantilever beam, cross-section E, and compare its value with the one obtained with the beam theory.

(10)

ANÁLISE DE ESTRUTURAS II (2018-2019): TRABALHO 10 (Lajes)

A laje representada na figura (imagem da direita) resulta de simplificações de simetria de uma laje rectangular com uma abertura central (imagem da esquerda). É usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que L=2

m e que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor 2

1 / p kN m . É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

Material: E35×10 Pa9 ; 0,2 a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina)

a.1) Trace a variação do deslocamento transversal no vértice da abertura com o número de graus de liberdade;

a.2) Obtenha as deformadas da laje;

a.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos;

b) Modelo de laje de Reissner-Mindlin (laje espessa) Para cada uma das malhas utilizadas:

b.1) Trace a variação do deslocamento transversal no vértice da abertura com o número de graus de liberdade;

b.2) Obtenha as deformadas da laje;

b.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos;

(11)

STRUCTRAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 11 (Plates)

The skew plate represented in the figure is used to illustrate the convergence of finite element solutions (Kirchhoff and Reissner-Mindlin plates). Two of the edges of the plate are simply supported and the remaining ones are free. The questions that are posed in questions a) and b) should be solved using a coarse mesh, a mesh as refined as necessary to ensure the quality of the solution and a set of intermediate meshes that illustrate the evolution of the finite element estimates of the solution. Consider that L = 6 m and that the plate is subjected to the action of a uniformly distributed load of value 2

1 /

p kN m . It is optional to evaluate the effect of errors in the definition of the support conditions.

Material: E35×10 Pa9 ; 0,2 a) Kirchhoff plate model (thin plate)

For each finite element mesh:

a1) Plot the variation of the transversal displacement at point C with the number of degrees-of-freedom of the model;

a2) Plot the deflected shape of the plate;

a3) Plot the direct and smoothed representations of the tensor moment components and shear vector components.

b) Reissner-Mindlin plate model (thick plate) For each finite element mesh:

a1) Plot the variation of the transversal displacement at point C with the number of degrees-of-freedom of the model;

a2) Plot the deflected shape of the plate;

a3) Plot the direct and smoothed representations of the tensor moment components and shear vector components.

c) Analysis

(12)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2 e que a abertura, com 1,5m de largura e 1m de altura está centrada. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

Material: E35×10 Pa9 ; 0,2

a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina) Para cada uma das malhas utilizadas:

a.1) Trace a variação do deslocamento transversal num dos vértices da abertura central com o número de graus de liberdade;

b.1) Trace a variação do deslocamento transversal num dos vértices da abertura central com o número de graus de liberdade;

c) Análise

4 4

4m

(13)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

a.1) Trace a variação do deslocamento transversal num ponto da laje à sua escolha com o número de graus de liberdade;

b.1) Trace a variação do deslocamento transversal num ponto da laje à sua escolha com o número de graus de liberdade;

c) Análise

3 3

3 3m

(14)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

a.1) Trace a variação do deslocamento transversal num ponto da laje à sua escolha com o número de graus de liberdade;

b.1) Trace a variação do deslocamento transversal num ponto da laje à sua escolha com o número de graus de liberdade;

c) Análise

3

4m

2

(15)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2 e que a abertura, com 1,5m de largura e 1m de altura está centrada. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

Material: E20×10 Pa9 ; 0,15

a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina) Para cada uma das malhas utilizadas:

c) Análise

5 5

4m

(16)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, como a indicada na figura, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2.

Material: E20×10 Pa9 ; 0,15 a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina)

c) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos. 1 2 4 3 3 2 2 2 m 3 2

(17)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2, para além da carga de bordo indicada. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

Material: E20×10 Pa9 ; 0,15 a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina)

c) Análise

Analise criticamente os resultados obtidos. q = 1 kNm1 3 3 3m         

(18)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2. A laje encontra-se apoiada em vigas ao longo dos seus bordos e pilares nos cantos. É opcional avaliar o efeito de erros na definição das condições de apoio.

Material: 20 9 ; 15

E ×10 Pa 0, _{; 𝑎 = 2𝑚} c) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina)

a.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos nos elementos de laje. Obtenha também os esforços nos elementos de barra;

d) Modelo de laje de Reissner-Mindlin (laje espessa) Para cada uma das malhas utilizadas:

b.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos nos elementos de laje. Obtenha também os esforços nos elementos de barra;

c) Análise

(19)

A laje representada na figura é usada para ilustrar a convergência das soluções obtidas com o método dos elementos finitos (lajes de Kirchhoff e lajes de Reissner-Mindlin). As questões que são postas nas alíneas a) e b) devem ser resolvidas com uma malha grosseira, uma malha suficientemente fina para assegurar a qualidade da solução e um conjunto de malhas intermédias que permitam avaliar a evolução das soluções obtidas. Considere que a laje está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída de valor p1kN m/ 2. A laje encontra-se encastrada ao longo do bordo AB, simplesmente apoiada ao longo do bordo AC, livre ao longo do bordo BD e apoiada numa viga de bordadura ao longo do bordo CD. No ponto D há um pilar. A viga tem secção rectangular de dimensão 0,2𝑚 × 0,3𝑚. A laje possui uma abertura delimitada pêlos pontos E, F, G e H.

Material: 20 9 ; 15

E ×10 Pa 0, _{; 𝑎 = 2𝑚} a) Modelo de laje de Kirchhoff (laje fina)

a.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos nos elementos de laje. Obtenha também os esforços nos elementos de barra;

b.3) Obtenha as representações (directas e suavizadas) das componentes dos campos de momentos e dos campos de esforços transversos nos elementos de laje. Obtenha também os esforços nos elementos de barra;

c) Análise

(20)

STRUCTURAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 20 (Plates)

The rectangular plate represented in the figure is used to illustrate the convergence of finite element solutions of a Reissner-Mindlin plate. Three of the edges of the plate are clamped and the remaining one is free. Consider that a = 5m and b = 3m and that the plate is subjected to the action of a linearly distributed load whose maximum value is 10 kN/m2. Also E=29 GPa, ν=1/6 and h=0,2m.

a) Analyse the plate with 4, 9 and 16 node elements using a coarse mesh, a mesh as refined as necessary to ensure the quality of the solution and a set of intermediate meshes that illustrate the evolution of the finite element estimates of the solution. Represent the variation of the following quantities with the number of degrees of freedom: (i) displacement at point E and (ii) bending moment m22 at point B.

b) For the 16 node element and using the coarsest and most refined meshes, (i) plot the deflected shape of the plate and (ii) all the internal forces. In this last case use the direct and smoothed representations of the tensor moment components and shear vector components. Critically assess the results obtained.

c) Compare the results previously obtained with the series solution for Kirchhoff plates presented in table 45, page 216, of reference [1].

d) For the most refined mesh, represent all the tensor moment components along line ABC. Critically assess the results obtained.

[1] S. P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, 1959, second edition.

(21)

STRUCTURAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 21 (Programming FEM applied to cross-section torsion)

Consider the problem of torsion of a cross section. Under certain assumptions, this can be reduced to the determination of a stress function, which is a scalar function defined over a 2D domain. A summary of the relevant equations and its application to the FEM is provided by J. N. Reddy (2006, page 485).

Develop a code to implement linear and quadratic isoparametric triangular or quadrilateral finite elements.

Using a sequence of regular meshes, verify the code by applying it to the analysis of a square cross-section whose analytical solution is stated in the above mentioned reference (see page 488). Take advantage of symmetry simplification. Plot the results obtained using all meshes for the stress function and the shear stresses along the horizontal line passing in the center of the (original) cross section. Also represent the exact solution in the plots.

Represent the contour plots of the stress function and the tangential stresses over the domain using the most refined meshes and the less refined meshes of both linear and quadratic elements. Repeat the test using a sequence of distorted meshes.

Compare the results of the distorted versus regular meshes.

For each of the considered meshes, evaluate the torsional constant (by integrating the stress function over the domain and multiply by two) and compare the obtained values with the theoretical one, see table on page 277 of S. P. Timoshenko and J. N. Goodier (1970).

Propose the analysis of a standard thin walled cross-section. Perform the analysis for a single mesh. Comment on the accuracy of the results.

J. N. Reddy (2006), An Introduction to the Finite Element Method, third edition, McGraw-Hill, 2006.

S. P. Timoshenko and J. N. Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw--Hill, third edition, 1970.

(22)

STRUCTURAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 22 (Programming FEM applied to 2D elasticity)

Consider the problem of plane stress and plane strain elasticity. Develop a code to implement linear and quadratic isoparametric triangular or quadrilateral finite elements.

Verify the code by applying it to the analysis of the cantilever beam in plane stress described by Timoshenko and J. N. Goodier (1970, page 35). For both linear and quadratic elements, use a sequence of regular meshes. Plot the following results obtained using the FEM:

(i) 𝑢_𝑦(𝑥, 0), 0 < 𝑥 < 𝑙 (ii) _𝑥𝑦(𝑥, 0), 0 < 𝑥 < 𝑙 (iii) 𝑥𝑥(𝑥, 𝑐), 0 < 𝑥 < 𝑙

(iv) _𝑦𝑦(𝑥, 𝑐), 0 < 𝑥 < 𝑙

Also represent the exact solution in each of these plots.

Represent the contour plots of the displacements and stresses over the domain using the most refined meshes and the less refined meshes of both linear and quadratic elements.

Repeat the test using a sequence of meshes with distorted elements. Compare the results of the distorted versus regular meshes.

Propose the analysis of perforated metal sheet under tension. The analytical solution for the stresses are given by S. P. Timoshenko and J. N. Goodier (1970, page 78).

Perform the analysis for a single mesh. Comment on the accuracy of the results.

S. P. Timoshenko and J. N. Goodier (1970),Theory of elasticity, McGraw--Hill, third edition, 1970.

(23)

STRUCTURAL ANALYSIS II (2018-2019): PROJECT 23 (Programming FEM applied to thick plates)

Consider the problem of Reissner-Mindlin plates. Develop a code to implement linear and quadratic isoparametric triangular or quadrilateral finite elements.

Verify the code by applying it to the analysis of the simply supported (hard type) rectangular plate (𝜈 = 0.3, ℎ = 𝑏

10) subjected to uniform loading represented in figure 1. Take advantage of

symmetry simplification. Use a sequence of regular meshes of elements.

Figure 1

Plot the following results obtained using all meshes: (i) 𝑤, 𝜃𝑥, 𝑚𝑥𝑥, 𝑣𝑥 along line CD;

(ii) 𝜃_𝑦, 𝑚_𝑥𝑦, 𝑚_𝑦𝑦, 𝑣_𝑦 along line AB.

Compare some of the obtained values with the exact ones given byR. Araújo (2013, Apêndice B). Represent the contour plots of the displacements and generalized stresses over the domain using the most refined meshes and the less refined meshes of both linear and quadratic elements. Repeat the test using a sequence of meshes with distorted elements.

Compare the results of the distorted versus regular meshes.

R. Araújo (2013), Elementos finitos convencionais versus MITC na análise estrutural de lajes moderadamente espessas, Dissertação de mestrado, IST, ULisboa, 2013.