(RESUMO) EXEMPLOS DE EDO S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO: Equação de Bessel de ordem p: x 2 y 00 + xy 0 + (x 2 p 2 )y = 0 ; p > 0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / 2o. Fund / 2007

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RESOLUÇÃO DE EDO’S POR SÉRIES

(RESUMO)

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EXEMPLOS DE EDO’S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO: Equação de Bessel de ordem p:

x2y00+ xy0+ (x2 p2)y = 0 ; p > 0 Equação de Legendre de grau p:

(1 x2)y00 2xy0 + p(p + 1)y = 0 Equação de Hermite de ordem p:

y00 2xy0+ 2py = 0 Equação de Chebyshev: (1 x2)y00 xy0 + m2y = 0 ; m = 1; 2; : : : Equação de Airy: y00 xy = 0 Equação de Euler: x2y00+ xy0+ y = 0 ; ; constantes reais Equação Hipergeométrica (ou de Gauss):

x(1 x)y00+ [ (1 + + )x] y0+ y = 0 ; ; ; constantes reais Equação de Laguerre:

xy00+ (1 x)y0 + my = 0 Equação de Jacobi:

x(1 x)y00+ [a (1 + b)x] y0+ m(b + m)y = 0

Lembramos dos cursos de cálculo que dizemos que uma função f é analítica em um ponto xo se existir um raio de convergência > 0 tal que vale a convergência

f (x) = 1 X n=0 an(x xo)n = 1 X n=0 f(n)_(x o) n! (x xo) n _; jx xoj <

De…nição 1. Um ponto xo é ponto ordinário da equação

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0

se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo. Caso contrário, dizemos que xo é um

ponto singular.

Além disto, xo é chamado de ponto singular regular se xo não é um ponto ordinário

e as funções dadas por (x xo)p(x) e (x xo)2q(x) são analíticas em xo. Se xo

não é um ponto ordinário e pelo menos uma destas funções não for analítica em xo,

diremos que ele é um ponto singular irregular.

No caso da equação com coe…cientes polinomiais, esta de…nição pode ser reformulada de maneira mais especí…ca como:

De…nição 2. Considere

P (x)y00(x) + Q(x)y0(x) + R(x)y(x) = 0 onde P (:); Q(:) e R(:) são polinômios.

(i) xo é um ponto singular da equação acima se P (xo) = 0:

(ii) Um ponto singular xo é dito regular se existem os limites

lim x!xo (x xo) Q(x) P (x) e x!xlimo (x xo)2 R(x) P (x)

(iii) Se um ponto singular não é regular, dizemos que ele é um ponto singular irre-gular.

§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO Se os coe…cientes são analíticos, procurar solução analítica em torno de um ponto ordinário xo, ou seja: Supor solução formalmente representada por uma série de

potências y(x) = 1 X n=0 an(x xo)n

e tentar identi…car os coe…cientes an’s e validar o resultado.

Exemplo

Resolver a equação de Airy

y00 xy = 0 ; x_{2 R}

Temos: y(x) = 1 X n=0 an(x 1)n y0(x) = 1 X n=1 nan(x 1)n 1 = 1 X n=0 (n + 1)an+1(x 1)n y00(x) = 1 X n=2 n(n 1)an(x 1)n 2 = 1 X n=0 (n + 2)(n + 1)an+2(x 1)n Substituindo na equação, 1 X n=0 (n + 2)(n + 1)an+2(x 1)n x 1 X n=0 an(x 1)n = 0

Fazendo x = 1 + (x 1), que é a série de Taylor de f (x) = x em torno de xo = 1, 1 X n=0 (n + 2)(n + 1)an+2(x 1)n [1 + (x 1)] 1 X n=0 an(x 1)n = 0 1 X n=0 (n + 2)(n + 1)an+2(x 1)n 1 X n=0 an(x 1)n+ 1 X n=0 an(x 1)n+1 ! = 0 1 X n=0 (n + 2)(n + 1)an+2(x 1)n 1 X n=0 an(x 1)n+ 1 X n=1 an 1(x 1)n ! = 0

Igualando os coe…cientes de mesma potência de (x 1), obtemos 2a2 = ao (3 2)a3 = a1+ ao (4 3)a4 = a2+ a1 (5 4)a5 = a3+ a2 .. .

o que fornece a seguinte fórmula de recorrência (equação indicial): (n + 2)(n + 1)an+2 = an+ an 1 ; n 1

Resolvendo para os primeiros an em termos de ao e a1, resulta

y(x) = aoy1(x) + a1y2(x) onde y1(x) = 1 + (x 1)2 2 + (x 1)3 6 + (x 1)4 24 + (x 1)5 30 + y2(x) = (x 1) + (x 1)3 6 + (x 1)4 12 + (x 1)5 120 +

Único senão: estamos em di…culdade para estabelecer — através do critério da razão, por exemplo — a convergência das séries, pois não temos uma fórmula geral para os an’s. Isto, porém, …ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.

. CB Teorema 1 (Teorema de existência, de Fuchs)

Se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo, então a solução geral de

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0 é dada por y = 1 X n=0 an(x xo)n= aoy1(x) + a1y2(x) ;

onde ao e a1 são constantes arbitrárias e y1 = y1(x) e y2 = y2(x) são duas soluções

em séries linearmente independentes que são analíticas em xo:

Além disto, o raio de convergência para cada uma das soluções em séries y1 e y2 é

no mínimo igual ao menor dos raios de convergência das séries de p(.) e q(.). Prova. (v. ref.).

Exercício 1 Analisar, sob o ponto de vista do teorema 2.1, a equação y00+ (sen x)y0+ (1 + x2)y = 0

Este teorema nos motiva a proceder à seguinte generalização da de…nição de pontos ordinários e singulares:

Exercício 2 Analisar a equação

x2y00 2y = 0

§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULAR

REGULAR:

Conforme desenvolvida no curso MAT-31, a resolução de equação de Cauchy-Euler pode ser assim resumida:

Para a resolução equação de Cauchy-Euler

x2y00+ xy0+ xy = 0

em qualquer intervalo que não contenha a origem, procuramos solução na forma y = xr_{, para r conveniente. A…nal, não seria este o tipo de função que se poderia}

esperar de maneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polinômios, desse zero? Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solução geral da EDO é determinada pelas raízes r1 e r2 da equação algébrica

r(r 1) + r + = 0

Se as raízes são reais e distintas, então a solução geral é dada por y = c1jxjr1+ c2jxjr2

Se as raízes são reais iguais, então

y = (c1+ c2lnjxj) jxjr1

Se as raízes são complexas, r1; r2 = i , então

y =_{jxj [c}1cos( lnjxj) + c2sen ( ln jxj)]

Aqui, nada mais vamos fazer do que uma generalização deste procedimento. Assim, vamos supor que xo é um ponto de singularidade regular de

P (x)y00+ Q(x)y0+ R(x)y = 0 que pode ser escrita na forma normal

y00+ p(x)y0+ q(x)y = 0 (1) fazendo p(x) = Q(x) P (x) e q(x) = R(x) P (x)

Como xoé ponto singular regular da equação, temos que pelo menos uma das funções

p(:) e/ou q(:) não é analítica em xo, mas as funções dadas por

(x xo)p(x) = (x xo) Q(x) P (x) e (x xo) 2_{q(x) = (x x} o)2 R(x) P (x)

são analíticas em xo:Sem perda de generalidade, vamos supor que xo = 0 (a…nal, se

este não for o caso, basta fazer uma mudança de variáveis conveniente para termos a singularidade na origem). Assim, temos que xp(x) e x2_{q(x)são representadas por}

suas séries de Taylor

xp(x) = P1_n=0pnxn

x2q(x) = P1_n=0qnxn

(2) Note que se multiplicarmos (1) por x2_{, …camos com}

x2y00+ x(xp(x))y0+ x2q(x)y = 0 (3) que, no caso particular de po; qo 6= 0 e pn = qn = 0 ; 8 n 1 ; recai na equação de

Cauchy-Euler

x2y00+ xpoy0+ qoy = 0

Esta particularização traz alguma luz sobre por que fazemos menção aos termos xp(x) e x2q(x) na classi…cação de um ponto singular regular.

Vamos, agora, desenvolver um algoritmo para resolver (3) numa vizinhança do ponto singular regular xo = 0, conhecido como método de Frobenius. O método consiste

em procurar solução na forma y = xr 1 X n=0 anxn= 1 X n=0 anxr+n ; ao 6= 0 (4)

Substituindo (4) e suas derivadas em (3), vem P1 n=0(r + n)(r + n 1)anx r+n₍P1 n=0pnx n_{) (}P1 n=0(r + n)anx r+n_{) +} + (P1_n=0qnxn) ( P₁ n=0anx r+n_{) = 0}

Multiplicando as séries e separando os termos, obtemos aoF (r)xr+ 1 X n=1 ( F (r + n)an+ n X k=0 ak[(r + k)pn k+ qn k] ) xr+n= 0 (5) onde F (r) = r(r 1) + por + qo

Como ao 6= 0, igualando a zero o coe…ciente de xr fornece a equação

r(r 1) + por + qo = 0 (6)

a qual chamaremos de equação indicial. (Note que ela é exatamente a mesma equação em r obtida no estudo da equação de Cauchy-Euler). As raízes de (6) são chamadas de expoentes da equação na singularidade. Elas fornecem uma condição necessária para a EDO possuir solução na forma (4), no sentido de que somente para estas raízes podemos esperar encontrar soluções do tipo (4).

1. Se a equação indicial possui raízes reais r1e r2, r1 r2, procedemos como segue.

Igualando a zero os coe…cientes de xr+n _{em (5) resulta na relação de recorrência}

F (r + n)an+ n 1

X

k=0

ak[(r + k)pn k + qn k] = 0 ; n 1 (7)

que fornece, em princípio, os valores de an em função do valor de r e de todos os

coe…cientes precedentes ao; a1; : : : ; an; : : : , desde que F (r + n) 6= 0 ; 8 n 1.

Como as únicas possibilidades do trinômio do 2o. grau se anular é F (r1) = F (r2) = 0

e como r1 r2 , então r1+ n nunca é igual a r1 ou r2, para n 1. Portanto,

F (r1 + n) 6= 0 ; 8 n 1 , e, consequentemente, sempre podemos

determinar uma solução de (1) na forma y = y1(x) = xr1 " 1 + 1 X n=1 an(r1)xn # ; x > 0

Usamos a notação an(r1) para indicar que os coe…cientes an’s são obtidos de (7)

com r = r1. Também, usamos 1 em vez de ao na expressão acima porque todos os

an’s terão ao como fator em sua determinação, de forma que podemos colocá-lo em

evidência e deixá-lo para a especi…cação da constante arbitrária na solução geral. Se r2 6= r1 e r1 r2 não é um inteiro positivo, então r2 + n 6= r1 ; 8 n 1 ; e

portanto F (r2 + n) 6= 0 ; 8 n 1 ; de forma que podemos também obter uma

segunada solução y = y2(x) = xr2 " 1 + 1 X n=1 an(r2)xn # ; x > 0

Pode-se mostrar que as duas séries de potências que aparecem nas expressões de y1(:)e y2(:)convergem, no mínimo no intervalo jxj < de convergência onde ambas

as séries de xp(x) e x2_{q(x) convergem, e de…nem funções analíticas em x}

o = 0.

Desta forma, qualquer eventual comportamento singular das soluções estará ligado aos fatores xr1 _{e x}r2_.

Para obter soluções reais para x < 0, basta fazer a substituição x = , com > 0; obtendo os mesmos coe…cientes an(r1) e an(r2).

2. Se a equação indicial possui raízes complexas (conjugadas), então r1 r2 nunca

é um inteiro positivo. Neste caso, sempre poderemos achar duas soluções do tipo (4), embora sejam funções complexas. Para obter soluções reais, basta tomar as partes real e imaginária das soluções complexas. (Um melhor desenvolvimento destas considerações …cam como sugestão para parte de um trabalhinho).

3. Se r1 = r2 = r 2 R, então um procedimento análogo ao que foi feito no estudo

da equação de Cauchy-Euler fornece a segunda solução como sendo y2(x) = y1(x) lnjxj + jxjr

1

X

n=1

bn(r)xn

Os coe…cientes bn’s são calculados substituindo-se a expressão acima na EDO,

sepa-rando os termos e igualando â zero os coe…cientes de cada potência de x. (Também vale como sugestão para parte de um trabalhinho desenvolver estas considerações). 4. Se r1 r2 = N , um inteiro positivo, o caso é estudado em livros avançados e

não veremos aqui. Mas podemos adiantar que a segunda solução vai ser da forma y2(x) = ay1(x) lnjxj + jxjr2 " 1 + 1 X n=1 cn(r2)xn # EXERCÍCIOS

1. Resolver a seguinte equação na vizinhança de xo = 0:

2x2y00 xy0+ (1 + x)y = 0 (Soluções linearmente independentes:

y1(x) = x " 1 + 1 X n=1 ( 1)n_xn [3 5 7 : : : (2n + 1)] n! # ; x > 0 y2(x) = x1=2 " 1 + 1 X n=1 ( 1)n_xn [1 3 5 : : : (2n 1)] n! # ; x > 0 )

2. Discuta a natureza das soluções da equação

2x(1 + x)y00+ (3 + x)y0 xy = 0 perto dos pontos singulares.

Friedrich Wilhelm Bessel (alemão, 1784-1846), matemático e astrônomo, introduziu em 1824 as agora chamadas funções de Bessel em seu trabalho sobre as perturbações observadas nos sistemas planetários. Estas funções, porém, aparecem numa ampla variedade de problemas físicos, tais como:

separação da equação de Helmholtz ou da onda em coordenadas cilíndricas circulares;

equação de Helmholtz em coordenadas polares.

Embora o estudo das funções de Bessel pode ser introduzido de maneira bastante instrutiva através do conceito de funções geradoras, vamos aqui priviligiar seu estudo como soluções da equação diferencial

x2y00+ xy0+ (x2 p2)y = 0 ; p 0 (8) chamada de equação de Bessel de ordem p, onde p é um número real não-negativo. Por simplicidade, vamos considerar apenas o intervalo x > 0.

Note que

xp(x) = 1 e x2q(x) = p2 + x2

de forma que xo = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel. Desta foma,

o método de Frobenius visto no capítulo III, que consiste em procurar soluções da forma y = xr 1 X n=0 anxn= 1 X n=0 anxr+n ; ao 6= 0 ;

fornece a equação indicial

r(r 1) + por + qo = 0

r(r 1) + r p2 = 0 r2 p2 = 0 com os expoentes (raízes características) reais

r1 = p 0 e r2 = p 0

Primeira solução da equação de Bessel. Função de Bessel de primeira espécie.

Substituindo r1 = p na fórmula de recorrência

F (r + n)an+ n 1 X k=0 ak[(r + k)pn k + qn k] = 0 ; n 1 obtemos, para n = 1; ((p + 1)2 p2)a1+ ao[(p + 1)p1+ q1] = 0 (2p + 1)a1+ ao[(p + 1) 0 + 0] = 0 a1(r1) = 0

Para n = 2; (p + 2)2 p2 a2+ ao[(p + 0)p2+ q2] + a1[(p + 1)p1+ q1] = 0 4(p + 1)a2+ ao[p 0 + 1] + a1[(p + 1) 0 + 0] = 0 a2(r1) = 1 2(2p + 2)ao Para n = 3; (p + 3)2 p2 a3+ ao[(p + 0)p3+ q3] + +a1[(p + 1)p2+ q2] + a2[(p + 2)p1+ q1] = 0 3(2p + 3)a3+ ao 0 + a1[0 + 1] + a2 0 = 0 a3(r1) = 1 3(2p + 3)a1 = 0

Assim, sucessivamente, podemos chegar a a1 = a3 = = a2n+1 = = 0 e, para

os termos pares an(r1) = 1 n(2p + n)an 2 ; n 1 o que fornece a2n(r1) = ( 1)n_a o 22n_{:n!(p + 1)(p + 2) (p + n)} ; n = 1; 2; : : :

Assim, a primeira solução da equação de Bessel …ca sendo y1(x) = aoxp 1 x2 22_{(p + 1)} + x4 24_{2!(p + 1)(p + 2)} x6 26_{3!(p + 1)(p + 2)(p + 3)} +

o que pode ser reescrito numa forma compacta como y1(x) = aoxp " 1 + 1 X n=1 ( 1)nx2n n!22n_{(p + 1)(p + 2) (p + n)} # (9) Vamos escolher ao como sendo

ao=

1

2p _{(p + 1)} (10)

onde (:)denota a função gama de…nida por (p) = Z ₁ 0 xp 1e xdx ; p > 0 e (p) = (p + n) p(p + 1)(p + 2) (p + n 1) ; n < p < 0 ; p6= 1; 2; : : : ; n + 1 Lembrar do curso de integrais impróprias que a função gama aparece ocasionalmente em problemas físicos tais como a normalização das funções de onda de Coulomb e o cômputo de probabilidades em mecânica estatística, embora sua importância, na verdade, é derivada de sua utilidade no desenvolvimento de outras funções que

apresentam aplicações físicas diretas, como a de Bessel. Além desta de…nição em termos de integral imprópria, devida a Euler, temos no mínimo outras duas de…nições equivalentes da função gama, uma através de um limite in…nito (também devida a Euler) e outra através de um produto in…nito (devida a Weierstrass) (ver, por exemplo, Arfken[4]). Muito da importância da função gama provem da seguinte fórmula facilmente demonstrável usando-se integração por partes,

(p) = (p 1) (p 1) Daí resulta que, quando p = n é um inteiro não-negativo,

(n + 1) = n! ;

de maneira que a função gama generaliza o fatorial de números inteiros positivos para valores reais. A …gura seguinte mostra o grá…co da função gama.

Figura . Grá…co da função gama.

Pode-se provar que, para qualquer N inteiro positivo, lim

p! N

1 (p) = 0 Assim, a função dada por

f (p) = 1 = (p) ; se p 6= N

0 ; se p = N

é de…nida e contínua, de forma que podemos adotar a seguinte fórmula: 1

( p) = 0 ; p = 0; 1; 2; : : : (11)

Voltemos à expressão da solução da equação de Bessel para a raiz característica r1 = p. Substituindo (10) em (9), temos …nalmente

y1(x) = Jp(x) = 1 X n=0 ( 1)n n! (n + p + 1) x 2 2n+p (12) que é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem p, denotada Jp(:): Aplicando o teste da razão, é fácil ver que esta série converge absolutamente

em toda a reta. Em particular, quando p é um inteiro positivo, a série representa uma função analítica na origem.

As funções de Bessel mais importantes são os casos particulares p = 0 e p = 1, que fornecem: J0(x) = 1 x2 22 + x4 24_(2!)2 x6 26_(3!)2 + J1(x) = x 2 x3 23_:2!+ x5 25_:2!:3!

Notem a semelhança com as expansões em séries de Taylor de cos x e sen x : cos x = 1 x 2 22 + x4 4! x6 6! + sen x = x x 3 3! + x5 5!

Assim, é de se esperar que estas funções de Bessel de 1a espécie compartilhem algumas das propriedades destas funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar (ou, no mínimo, observar plotando-se os grá…cos) as seguintes propriedades das funções de Bessel de 1a espécie de ordem p:

1. As funções Jp(:) possuem uma in…nidade de zeros. Além disso, cada zero de

Jp(:)situa-se entre dois zeros consecutivos de Jp+1(:):

2. J0(x) = 1 e Jp(x) = 0 ;8 p > 0 , de forma que toda Jp(:) é …nita na origem

para p 0.

3. Embora as funções Jp(:) não sejam periódicas, elas no entanto apresentam

comportamento oscilatório amortecido.

Figura .Grá…co das funções Jp(:) para p = 0 ; p = 1 e p = 2.

EXERCÍCIOS:

1. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se y1(x) e y2(x) são duas soluções

lin-earmente independentes de

então os zeros destas funções são distintos e ocorrem alternativamente, no sentido de y1(x) se anula exatamente uma vez entre dois zeros consecutivos de

y2(x) e reciprocamente.

(Sug.: Discuta o wronskiano W (y1; y2) = y1(x)y20(x) y2(x)y01(x)).

2. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que qualquer equação da forma padrão y00+ P (x)y0+ Q(x)y = 0

pode ser escrita na forma normal

u00+ q(x)u = 0

(Sug.: Fazer a mudança y(x) u(x)v(x) e substituir na equação na forma padrão para obter

vu00+ (2v0+ P v)u0+ (v00+ P v0+ Qv)u = 0 e igualar o coe…ciente de u0 para obter v = e 12

R P dx _).

3. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se q(x)<0 e u(x) é uma solução não-trivial de u”+q(x)u=0, então u(x) tem no máximo um zero.

4. (Sugestão para trabalhinho) Prove o seguinte resultado: Seja u(x) uma solução não-trivial de u”+q(x)u=0, com q(x)>0 para todo x>0. Se

Z 1 1

q(x)dx =₁

então u(x) tem um número in…nito de zeros no eixo x>0.

5. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que toda solução não-trivial da equação de Bessel de ordem p tem um número in…nito de zeros positivos.

6. (Sugestão para trabalhinho) Seja y(x) uam solução não-trivial de u”+q(x)u=0 num intervalo fechado [a,b]. Mostre que y(x) tem no máximo um número …nito de zeros neste intervalo.

7. (Sugestão para trabalhinho) Sejam y(x) e z(x) soluções não-triviais de y00+ q(x)y = 0

e

z00+ r(x)z = 0

onde q(x) e r(x) são funções positivas tais que q(x)>r(x). Mostre que y(x) se anula no mínimo uma vez entre quaisquer dois zeros sucessivos de z(x). 8. (Sugestão para trabalhinho) Seja yp(x) uma solução não-trivial da equação de

Bessel de ordem p em x>0. Mostre que

(i) Se 0 p 1=2, então todo intervalo de comprimento contém no mínimo um zero de yp(x):

(ii) Se p = 1=2 , então a distância entre zeros sucessivos de yp(x) é exatamente

:

(iii) Se p > 1=2 , então todo intervalo de comprimento contém no máximo um zero de yp(x).

9. (Sugestão para trabalhinho) Sejam x1 e x2 dois zeros consecutivos de uma

solução não-trivial yp(x) da equação de Bessel de ordem p. Mostre que

(i) Se 0 p < 1=2 , então x2 x1 é menor do que e tende a quando

x_{! 1.}

(ii) Se p > 1=2 , então x2 x1 é maior do que e tende a quando x ! 1.

Segunda solução linearmente independente da equação de Bessel. Funções de Bessel de segunda espécie.

Nossa preocupação agora é encontrar uma outra solução y = y2(x) da equação de

Bessel de ordem p, que vamos chamar de função de Bessel de segunda espécie de ordem_{p, tal que o conjunto de soluções fJ}p(:); y2(:)g seja linearmente independente,

de forma que a solução geral da equação de Bessel seja dada por y = c1Jp(x) + c2y2(x) ; c1; c2 constantes arbitrárias

A candidata natural é tomar y2(x) = J p(x) = 1 X n=0 ( 1)n n! (n p + 1) x 2 2n p ;

uma vez que a outra raiz característica da equação indicial é r2 = p. Em alguns

casos, este procedimento irá mesmo resultar na segunda solução linearmente inde-pendente, como é o caso da equação de ordem 1=2 proposta no exercício seguinte. Exercício Estude a equação de Bessel de ordem 1/2. Em particular, mostre que sua solução geral é dada por

y = c1J1=2(x) + c2J 1=2(x) ; x > 0 com J1=2(x) = 2 x 1=2 sen x ; x > 0 J 1=2(x) = 2 x 1=2 cos x ; x > 0

Porém, nem tudo é assim tão simples. Por exemplo, note que no caso de uma equação de Bessel de ordem N , com N sendo um inteiro positivo, temos que y2(x) = J N(x)

é solução, mas fJN(:); J N(:)g é linearmente dependente. De fato, de (11) vem que

1

(n N + 1) = 0 para n = 0; 1; : : : ; N 1 Daí, segue que

J N(x) = 1 X n=N ( 1)n n! (n N + 1) x 2 2n N = ( 1)N 1 X k=0 ( 1)k k! (k N + 1) x 2 2k+N

onde …zemos a mudança k = n N para obter a segunda igualdade. Conclusão: J N(x) = ( 1)NJN(x)

ou seja, JN(:)e J N(:)são soluções linearmente dependentes da equação de Bessel, de

forma que ainda estamos em falta de uma segunda solução linearmente independente para gerar o espaço de soluções.

No que segue, veremos que J p(:) poderá ser a procurada segunda solução

linear-mente independente nos casos em que r1 r2 = 2p for diferente de zero ou de

qualquer inteiro positivo e quando 2p for um inteiro ímpar, mas que teremos que procurar outra função para o papel de segunda solução l.i. no caso em que p for igual a zero ou um inteiro positivo. Analisemos, então, cada caso em detalhe. I. Caso r1 r2 = 2p =2 f0; 1; 2; 3; : : :g: A fórmula de recorrência F (r + n)an+ n 1 X k=0 ak[(r + k)pn k + qn k] = 0 ; n 1 fornece: para n = 1 : (1 2p)a1+ 0 = 0 ; de onde a1 = 0 para n = 2 : ( p + 2)2 p2 a2+ ao[( p + 0):0 + 1] + 0 = 0 ; de onde a2 = ao 2(2 2p) e, de maneira geral, temos a fórmula de recorrência

a1 = 0 e an=

an 2

n(n 2p) ; n = 2; 3; : : :

Note que para todos os índices ímpares temos a1 = a3 = a5 = = 0: Assim,

construimos a série J p(x) = 1 X n=0 ( 1)n n! (n p + 1) x 2 2n p

que é absolutamente convergente em toda a reta e também é solução da equação de Bessel de ordem p. Por outro lado, note que J p(x) possui termos na forma x p,

de maneira que jJ p(x)j ! 1 quando x ! 0+. Disto decorre que fJp(:); J p(:)g é

linearmente independente, pois se ; _{2 R são tais que} Jp(:) + J p(:) = 0 ;

então Jp(x) + J p(x) = 0 ; 8 x > 0 ; e limx!0+j J_p(x) + J _p(x)j = 0 se e

somente se = = 0:

Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem p no caso em que 2p 6= 0; 1; 2; : : :é dada por

com c1; c2 constantes arbitrárias. II. Caso r1 r2 = 2p = 2N + 1 ; N = 0; 1; 2; : : : : Temos, para n = 1 : " 2N + 1 2 + 1 2 2N + 1 2 2# a1+ 0 = 0 o que resulta N a1 = 0 Para n = 2 : " 2N + 1 2 + 2 2 2N + 1 2 2# a1+ ao+ a1:0 = 0 resultando a2 = ao 2(1 2N ) De maneira geral, …camos com

N a1 = 0 e an=

an 2

n(n 1 2N ) ; n = 2; 3; : : : ; n6= 2N + 1 (13) Assim, se N = 0, ou seja, p = 1

2, temos que a1 é arbitrário e podemos, então, tomar

a1 = 0. Isto acarretará a1 = a3 = a5 = = 0:

Se N = 1, temos que a1 = 0 necessariamente, e

n(n 1 2)an = an 2

n(n 3)an = an 2 ; n = 2; 3; : : :

2( 1)a2 = ao ; portanto, a2 = ao=2

3 0 a3 = 0 ; de forma que a3é arbitrário.

Tomemos a3 = 0. Com isto, todos os coe…cientes com índices ímpares são nulos e

obtemos novamente J p(:) como segunda solução l.i.

Se N = 2, teremos que a1 = a3 = 0 necessariamente, e a5 é arbitrário. Tomando

a5 = 0, todos os coe…cientes com índices ímpares são nulos. Assim, sucessivamente

temos a solução geral

y = c1Jp(x) + c2J p(x)

da equação de Bessel de ordem p, para qualquer p = 2N +1₂ ; N = 0; 1; 2; 3; : : : III. Caso r1 r2 = 2N ; ou seja, p = N ; N = 0; 1; 2; : : : :

Aqui temos um problema porque, como já vimos, fJN(:); J N(:)g forma um conjunto

linearmente dependente. Há no mínimo três maneiras de contornar este impasse. Vamos ver uma delas.Para isto, repare que a função dada por

Yp(x) :=

Jp(x) cos p J p(x)

conhecida como função de Weber, também é uma solução da equação de Bessel de ordem p quando p não é um número inteiro, pois neste caso ela está bem de…nida e é uma combinação linear de soluções de uma equação linear. É fácil ver que fJp(:); Yp(:)g é linearmente independente, de forma que a solução geral da equação

de Bessel nesta caso também pode ser dada por y = c1Jp(x) + c2Yp(x)

Quando p = N ; N = 0; 1; 2; : : : , de…nimos YN(x) := lim

p!N ; p =2ZYp(x)

Pode-se mostrar que este limite existe e de…ne uma solução da equação de Bessel de ordem N , linearmente independente a JN(:), de forma que a solução geral é dada

por

y = c1JN(x) + c2YN(x)

Esta demonstração é bastante trabalhosa. Para se ter uma idéia do procedimento, repare que no caso N = 0, usando a regra de L’Hospital, temos

YN(x) = lim p!N Jp(x) cos p J p(x) sen p = limp!N @Jp(x) @p cos p Jp(x)sen p @J p(x) @p cos p o que fornece YN(x) = @Jp(x) @p jp=N @J p(x) @p jp=N

A derivação de Jp e J p com respeito a p implica na derivação com respeito ao

parâmetro p da integral imprópria que de…ne a função gama. Assim, de…nimos a função digama (x) como sendo

(p) := d

dpln (p + 1) =

0_{(p + 1)}

(p + 1) de onde vem que

(p) =

0_(p)

(p) + 1 p

Assim, de maneira geral, efetuando as derivações com respeito ao parâmetro p da fórmula de YN(x) e uma série de algebrismos, chegamos a

YN(x) = 2( JN(x) + ln x 2 1 2 N_X1 n=0 (N n 1)! n! x 2 2n N 1 2 1 X n=0 ( 1)n_{[ (n) + (n + N )]} n!(n + N )! x 2 2n+N) onde = lim n!1 1 + 1 2 + + 1 n ln n = 0:5772156 : : : é a constante de Euler-Mascheroni e (n) = (n) + = 1 +1 2 + + 1 n

A …gura seguinte mostra os grá…cos de Yo(:)e Y1(:). Note que ambas tendem a 1

quando x ! 0+_.

Propriedades das funções de Bessel

Nesta seção, estaremos desenvolvendo algumas propriedades das funções de Bessel que são úteis em suas aplicações. Vamos começar com algumas identidades.

Derivando em relação a x a identidade xpJp(x) = 1 X n=0 ( 1)n 22n+p_{n! (n + p + 1)}x 2n+2p vem d dx[x p_J p(x)] = 1 X n=0 ( 1)n_{(2n + 2p)} 22n+p_{n! (n + p + 1)}x 2n+2p 1 ₌ = 1 X n=0 ( 1)n 22n+p 1_n!: (n + p) (n + p + 1)x 2n+2p 1 ₌ = 1 X n=0 ( 1)n 22n+p 1_{n! (n + p)}x 2n+2p 1₌ = xp 1 X n=0 ( 1)n n! (n + p) x 2 2n+p 1 = xpJp 1(x)

Assim, temos nossa primeira identidade: d

dx[x

p_J

p(x)] = xpJp 1(x) (14)

De modo análogo, obtemos d dx x

p_J

p(x) = x pJp+1(x) (15)

Expandindo as derivadas em (14) e (15), vem J_p0(x) = Jp 1(x) p xJp(x) (16) e J_p0(x) = p xJp(x) Jp+1(x) (17)

Subtraindo (16) - (17) resulta na seguinte fórmula de recorrência Jp+1(x) =

2p

xJp(x) Jp 1(x) (18)

Como ilustração, note que p = 0 em (14) fornece J_o0(x) = J 1(x)

o que pode ser expresso como Z

J 1(x)dx = Jo(x) + c

Analogamente, para p = 1 e p = 2, temos Z

xJo(x)dx = xJ1(x) + c

Z

x2J1(x)dx = x2J2(x) + c

Também, da fórmula de recorrênccia (18), podemos, por exemplo, expressar J3(x)

em função de Jo(x) e J1(x) : J3(x) = 4 xJ2(x) J1(x) = 4 x 2 xJ1(x) Jo(x) J1(x) resultando em J3(x) = 4 xJo(x) 1 8 x2 J1(x) Exercício. Obtenha R xJ2(x)dx

Solução: De (15), temos queR x 1_J

2(x)dx = x 1J1(x) + c: Assim, podemos usar

integração por partes: Z xJ2(x)dx = Z x2 x 1J2(x) dx = = xJ1(x) + 2 Z J1(x)dx Z xJ2(x)dx = xJ1(x) 2Jo(x) + c Exercício Obtenha _Z J2(x) x2 dx

Solução: Não temos diretamente nenhuma informação sobreR x 2_J

2(x)dx, mas de (14) temos que d dx x 2_J 2(x) = x2J1(x)

Assim, podemos explorar esta identidade fazendo Z J2(x) x2 dx = Z x2J2(x) 1 x4dx

e resolver por integração por partes para obter Z J2(x) x2 dx = 1 3xJ2(x) 1 3J1(x) + 1 3 Z Jo(x)dx

Exercício Prove que entre cada par de zeros positivos consecutivos de Jp(x) existe

uma raiz de Jp 1(x) e uma de Jp+1(x).

(Sug.: Aplicar o teorema de Rolle a f (x) = xp_J p(x)).

Função geradora das funções de Bessel

Temos que as seguintes expansões em séries de t (de Taylor e Laurent, respectiva-mente) convergem absolutamente:

exp x:t 2 = 1 X j=0 1 j!: xj 2jt j exp x 2: 1 t = 1 X k=0 ( 1)k k! : xk 2kt k

Daí, multiplicando formalmente as duas séries, exp x 2 t 1 t = 1 X j=0 1 j!: xj 2jt j ! ₁ X k=0 ( 1)k k! : xk 2kt k ! ;

o resultado é uma chamada série dupla, cujos termos são todos os produtos possíveis de um termo da primeira série por um termo da segunda série. A convergência abso-luta de cada uma das séries garante que esta série dupla converge independentemente da ordem de seus termos. Pode-se provar que este produto fornece

exp x 2 t 1 t = 1 X n=0 '_n(x) tn+ 1 X n=1 n(x) t n onde '_n(x) = 1 X k=0 1 (n + k)!: xn+k 2n+k: ( 1)k k! : xk 2k = Jn(x) n(x) = 1 X j=0 1 j!: xj 2j: ( 1)n+j (n + j)!: xn+j 2n+j = ( 1) n_J n(x)

Daí, temos …nalmente exp x 2 t 1 t = Jo(x) + 1 X n=1 Jn(x) tn+ ( 1)nt n = 1 X n= 1 Jn(x) tn (19)

A partir daí, podemos deduzir a fórmula integral de Bessel. Para isto, fazendo a mudança t = ei _{, o argumento de exp(.) em (19) …ca sendo}

xe

i _e i

2 = ixsen de maneira que (19) passa a ser

cos (xsen ) + i sen (x sen ) =

1 X n= 1 Jn(x) ein = 1 X n= 1 Jn(x) ((cos n ) + isen n )

Igualando as partes reais e imaginárias, …camos com cos (xsen ) = 1 X n= 1 Jn(x) cos n = Jo(x) + 2 1 X n=1 J2n(x) cos 2n (20) sen (x sen ) = 1 X n= 1 Jn(x)sen n = 2 1 X n=1 J2n 1(x)sen (2n 1) (21)

Multiplicando (20) por cos m e (21) por sen m e somando o resultado membro a membro, vem cos (m xsen ) = 1 X n= 1 Jn(x) cos (m n)

o que, integrando na variável de 0 a , resulta na seguinte importante representação integral da função de Bessel

Jn(x) =

1 Z

0

cos (n xsen ) d (22)

Foi na forma destas integrais que, em seus trabalhos de astronomia, Bessel encontrou as funções Jn(x)e a partir delas que ele estabeleceu muitas das suas propriedades.

CAPÍTULO VI

EQUAÇÃO DE LEGENDRE

Equação de Legendre de ordem p 0:

(1 x2)y00 2xy0 + p(p + 1)y = 0

Aparece na resolução da EDP do potencial (i.e., equação de Laplace) com simetria esférica, tais como temperaturas em estado permanente (steady-state) numa esfera

e o potencial eletrostático devido a duas cargas pontuais de mesma magnitude mas sinais opostos. Em geral, aparecem dissimuladas por meio de variáveis não ‘retan-gulares’.

Exercício 6.1 Mostre que a mudança de variáveis x = cos ; _{jxj < 1; transforma} a equação 1 sen d d sen dy d + n(n + 1)y = 0 na equação de Legendre de ordem n.

6.1 Resolução em séries da equação de Legendre

Como xo = 0é ponto ordinário da equação de Legendre, é natural procurarmos uma

solução na forma y = 1 X n=0 anxn

Fazendo as substituições e os agrupamentos cabíveis, chegamos a an+2=

(p n)(p + n + 1)

(n + 2)(n + 1) an ; n = 0; 1; 2; : : :

que resultam em duas soluções linearmente independentes (o wronskiano W (up; vp)

é igual a 1 quando x = 0), que convergem em jxj < 1: up(x) = 1 p(p + 1) 2! x 2₊ (p 2)p(p + 1)(p + 3) 4! x 4 vp(x) = x (p 1)(p + 2) 3! x 3₊(p 3)(p 1)(p + 2)(p + 4) 5! x 5

Desta forma, de acordo com a teoria desenvolvida para expansão em séries na vi-zinhança de pontos ordinários, a solução geral da equação de Legendre de ordem p é

y(x) = aoup(x) + a1vp(x)

Note que, quando p = n, um número inteiro não-negativo, uma e só uma das séries se reduz a um polinômio. Daí, temos a seguinte de…nição:

De…nição 6.1 Os polinômios de Legendre,denotados Pn(x), são de…nidos como

sendo Pn(x) = un(x) un(1) ; se n é par Pn(x) = vn(x) vn(1) ; se n é ímpar

A escolha destes denominadores é para que os polinômios de Legendre apresentem valor unitário quando x = 1. Os Pn(x)são polinômios de grua n que contêm apenas

potências ímpares ou pares de x, dependendo de n se par ou ímpar. Também, é bom reparar que cada Pn(x) , com n 0, é uma solução da equação de Legendre

de ordem n, de forma que a solução geral é

y = aoPn(x) + a1Qn(x)

Assim, podemos também chamar cada polinômio de Legendre de função de Legendre de primeira espécie. Com respeito à solução l.i. correspondente, Qn(x), que podemos

chamar de função de Legendre de segunda espécie, de…nimos como sendo Qn(x) =

vn(1)un(x) ; se né ímpar

un(1)vn(x) ; se né par

; _{jxj < 1}

A razão dos fatores vn(1) e un(1) é para que tanto y = Pn(x) quanto y = Qn(x)

satisfaçam as relações de recorrências

(n + 1)yn+1 = (2n + 1)xyn nyn 1

y_n+10 y0_{n 1} = (2n + 1)yn

válidas para n = 1; 2; : : :, e que serão provadas na seção 6.3.

Note que as funções de Legendre de segunda espécie são séries convergentes em jxj < 1.

6.2 Fórmula de Rodrigues

Existe ma maneira alternativa e mais prática de encontrar os polinômios de Legen-dre. Para isto, observe que o polinômio vn de…nido por

vn(x) := dn dxn(x 2 ₁₎n satisfaz (1 x2)d 2_v n dx2 2x dvn dx + n(n + 1)vn = 0

que é a equação de Legendre de ordem n: Consequentemente, devemos ter que vn(x)

e Pn(x) devem ser linearmente dependentes, ou seja,

Pn(x) = C dn dxn(x 2 ₁₎n_{= C} d n dxn[(x + 1) n_{(x 1)}n_]

Daí, segue que

Pn(x) = C(x + 1)n

dn

dxn(x 1) n

+ termos com o fator (x 1) Como Pn(1) = 1 e levando-se em conta que

dn

dxn(x 1) n

= n! ;

temos facilmente que 1 = C:2n_{:n!. Desta forma, temos que o polinômio de Legendre}

de grau n satisfaz Pn(x) = 1 2n_n! dn dxn(x 2 ₁₎n

que é chamada de Fórmula de Rodrigues em homenagem ao matemático Alexandre Rodrigues da ELE 04.

Exercício 6.2 Use a fórmula de Rodrigues para mostrar que (i) P2(x) = 1 2(3x 2 ₁₎ (ii) x2 = 2 3P2(x) + 1 3Po(x) (iii) Z 1 1 xmPn(x)dx = 0 ; se m < n 6.3 Função geradora

Propriedades importantes dos polinômios de Legendre podem ser estabelecidas us-ando a noção de função geradora. Para isto, considere uma carga elétrica q localizada no eixo z no ponto z = a: O potencial eletrostático desta carga num ponto P é

' = 1

4 "o

:q r1

onde r1 é a distância de z = a até P . Usando a lei dos cossenos, podemos expressar

o potencial eletrostático em termos das coordenadas polares esféricas r e (a outra coordenada pode ser deixada de lado por causa da simetria em torno do eixo z) como sendo ' = q 4 "o :_p 1 r2_{+ a}2 _{2ar cos} = q 4 "or :_q 1 1 + a_r 2 2 a_r cos com r > a ou, mais precisamente, r2 >_ja2 2ar cos _j.

Esta ligeira digressão serve para motivar considerarmos a função de x e y dada por

F (x; z) = _p 1 1 2xz + z2 = 1 p 1 (2xz z2₎ ; com j2xz z 2 j < 1 e sua expansão em série de série de Taylor na variável z, na vizinhança de z = 0:

F (x; z) =

1

X

n=0

An(x)zn (23)

Vamos mostrar que An(x) = Pn(x). Para isto, a…rmamos que:

1. An(x) é um polinômio de grau n:

Isto segue do teorema binomial generalizado (cf. MAT-26), (1 + v)p = 1 + pv +p(p 1) 2! v 2₊(p 1)(p 2) 3! v 3_{+ ;} jvj < 1

com v = z(2x z) p = 1 2 2. An(1) = 1 , para cada n. De fato, F (1; z) = 1 1 z = 1 + z + z 2_{+ + z}n_{+ ;} jzj < 1

3. An(x) satisfaz a equação de Legendre de ordem n.

Para mostrar isto, as derivadas @F

@z e @F @x fornecem as identidades (1 2xz + z2)@F @z = (x z)F (x; z) (24) z@F @z = (x z) @F @x (25)

Substituindo (23) em (24) e igualando os coe…cientes de mesma potência de z, resulta

A1(x) = xAo(x) (26)

nAn(x) (2n 1)xAn 1(x) + (n 1)An 2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (27)

Analogamente, substituindo (23) em (25) e igualando os coe…cientes de mesma potência de z, resulta

xA0_o(x) = 0 (28)

A0_{n 1}(x) = xA0_n(x) nAn(x) ; n = 1; 2; : : : (29)

ou, trocando n por n 1,

A0_{n 2}(x) = xA0_{n 1}(x) (n 1)An 1(x) ; n = 2; 3; : : : (30)

A0_{n 2}(x) = x(xA0_n(x) nAn(x)) (n 1)An 1(x) ; n = 2; 3; : : :

A0_{n 2}(x) = x2A0_n(x) nxAn(x) (n 1)An 1(x) ; n = 2; 3; : : : (31)

Por outro lado, derivando (27) em relação a x, temos

nA0_n(x) (2n 1)xA0_{n 1}(x) + (n 1)A0_{n 2}(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (32) Finalmente, substituindo as expressões de A0_{n 1}(x) de (29) e A0_{n 2}(x) de (31) em (32) e fazendo as devidas simpli…cações, segue que

A0_n(x) = x2A0_n(x) nxAn(x) + nAn 1(x) ; n = 2; 3; : : :

Derivando novamente esta expressão em relação a x e substituindo A0_{n 1}(x)de (29), chegamos …nalmente que

de forma que Ané uma solução polinomial da equação de Legendre para n = 2; 3; : : :

Por outro lado, (28) fornece que Ao(x) = constante e, como An(1) = 1, vem que

Ao(x) = 1

e, usando (26),

A1(x) = x

o que prova que An satisfaz a equação de Legendre de ordem n.

Desta forma, de acordo com o que foi mostrado nos ítens acima, segue que An Pn

e, portanto, temos a seguinte relação geradora dos polinômios de Legendre: 1 p 1 2xz + z2 = 1 X n=0 Pn(x)zn (33)

que é válida para jxj 1 _{e jzj < 1.}

Em particular, todas as fórmulas de recorrências obtidas acima para An também se

aplicam para Pn. Por exemplo, temos a seguinte fórmula de recorrência

Pn+1(x) =

2n + 1

n + 1 xPn(x) n

n + 1Pn 1(x) ; n = 1:2: : : : (34) que permite determinar todos os Pn a partir do conhecimento de Po e P1.

Exercício 6.2 Determine P2(x) e P3(x).

6.4 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre

Basicamente, nesta seção estaremos preocupados em calcular a integralR1₁Pm(x)Pn(x)dx.

De maneira geral, se f 2 Cn_{[ 1; 1], temos que}

I = Z 1 1 f (x)Pn(x)dx = Z 1 1 f (x) 1 2n_n! dn dxn(x 2 ₁₎n_dx

e, fazendo integrações por parte sucessivamente, chegamos a I = ( 1) n 2n_n! Z 1 1 f(n)(x)(x2 1)ndx

No caso em que f (x) = Pm(x) , com m < n, temos que f(n)(x) = 0. Assim, sem

perda de generalidade, segue que Z 1

1

Pm(x)Pn(x)dx = 0 ; se m6= n

Consideremos agora o caso m = n: In=

Z 1 1

Como Pn(x) = 2n 1 n xPn 1(x) n 1 n Pn 2(x) temos que In = Z 1 1 Pn(x) 2n 1 n xPn 1(x) n 1 n Pn 2(x) dx = 2n 1 n Z 1 1 xPn(x)Pn 1(x)dx + 0 Mas, como xPn(x) = 1 2n + 1[nPn 1(x) + (n + 1)Pn+1(x)] ; n 1 podemos facilmente mostrar por indução a seguinte recorrência:

In = 2n 1 2n + 1In 1 ; n 2 ou ainda In = 2n 1 2n + 1: 2n 3 2n 1: 2n 5 2n 3In 3 e In= 2n (2n 1) 2n + 1 Io ; n 0

Como Io = 2, segue que

In=

2

2n + 1 ; n 0

Daí, concluindo, temos que, para n = 0; 1; 2; : : : ; Z 1 1 Pm(x)Pn(x)dx = 8 < : 0 ; _{se m 6= n} 2 2n+1 ; se m = n

Muitos problemas da teoria do potencial dependem da possibilidade de se expandir um dada função numa série de polinômios de Legendre. É fácil ver que isto sempre pode ser feito quando a função dada é ela mesma um polinômio (cf. o capítulo VIII, sobre polinômios ortogonais). O problema que surge é saber para que classe de funções f (x) é válida (i.e., temos a convergência) a chamada expansão em série de Legendre: f (x) = 1 X n=0 anPn(x)

Embora não seja o objetivo deste curso apresentar uma demonstração, enunciamos abaixo o chamado teorema de expansão de Legendre, que apresenta uma condição su…ciente para que uma função f = f (x) admita uma expansão em série de Legendre. Teorema de expansão de Legendre.

Se f(x) e f ’(x) têm ambas no máximo um número …nito de descontinuidades do tipo salto no intervalo 1 x 1 , então os coe…cientes an’s existem e a série de

Legendre converge nos seguintes termos

1 X n=0 anPn(x) = 8 < : 1 2[f (x ) + f (x +_{)] ; se 1 < x < 1} f ( 1+_{) ; se x = 1} f (1 ) ; se x = 1

Em particular, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade.

6.5 Função associada de Legendre

Chamamos de equação associada de Legendre à equação (1 x2)v00 2xv0+ n(n + 1) m

2

1 x2 v = 0 ; m; n inteiros não-negativos

(35) Sua relação com a equação de Legendre é que, através de uma mudança de variáveis conveniente, ela pode ser transformada numa nova equação que é obtida da equação de Legendre por derivações sucessivas. Mais precisamente, a aplicação direta da regra da cadeia fornece que a mudança de variáveis

v = (1 x2)m=2u transforma (35) na equação

(1 x2)u00 2(m + 1)xu0+ (n m)(n + m + 1)u = 0 (36) Daí, temos o seguinte:

Proposição 6.1 A solução geral de (35) é

v = aP_nm(x) + bQm_n(x) onde P_nm(x) = (1 x2)m=2 d m dxmPn(x) Qm_n(x) = (1 x2)m=2 d m dxmQn(x)

(Estas funções são chamadas de função de Legendre associada de primeira e de segunda espécie, respectivamente).

Prova. Derivando m vezes a equação de Legendre (1 x2)y00 2xy0+ n(n + 1)y = 0 resulta (1 x2) d 2 dx2y (m) _{2(m + 1)x} d dxy (m)_{+ (n m)(n + m + 1)y}(m) _{= 0} onde y(m) = d m dxmy

Daí, u = y(m) _{é solução de (36), com y = aP}

n(x) + bQn(x). Portanto,

v = (1 x2)m=2u = (1 x2)m=2 d

m

dxm(aPn(x) + bQn(x))

Exercício 6.3 Sabendo que P2(x) = 1 2(3x 2 ₁₎ Q1(x) = x 2ln 1 + x 1 x + x 1 x2 mostre que P₂1(x) = 3xp1 x2 Q1₁(x) = (1 x2)1=2 1 2ln 1 + x 1 x + x 1 x2