Módulo 17 Geometria espacial métrica Pirâmides

(1)

PV2N-10-52

Módulo 17· Geometria espacial métrica – Pirâmides

Defi nição

1. Consideremos um plano α, uma região poligonal conve- xa S e um ponto V fora de α.

Pirâmide é a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra na região poligonal S.

V

S A

Elementos

V (vértice)

S aresta

lateral

lateralface base aresta da base

h (altura)

A

B C

E

D

A região poligonal S é chamada

• base da pirâmide.

O

• vértice da pirâmide é V.

A

• altura da pirâmide é a distância de V ao plano da base.

As

• arestas da base são os lados do polígono da base.

As

• arestas laterais são os segmentos com extremida- des em V e nos vértices do polígono da base.

As

• faces laterais são os triângulos determinados pelo vértice V e cada uma das arestas da base.

Nomenclatura 2.

Uma pirâmide é nomeada de acordo com a quantidade de arestas na base.

Pirâmide triangular: a base é um triâgulo.

•

Pirâmide triângular (tetraedro)

Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.

•

Pirâmide quadrangular

Pirâmide hexagonal: a base é um hexágono.

•

Pirâmide hexagonal

Classifi cação 3.

Dizemos que a pirâmide é oblíqua se a projeção ortogo- nal do vértice V não for sobre o centro da base.

E A V

D C V

B

Pirâmide hexagonal oblíqua

Pirâmide reta é a que possui a projeção ortogonal do vértice V sobre o centro da base.

E

A D

B C

V

Pirâmide hexagonal reta

No caso em que uma pirâmide é reta, suas arestas late-

rais são todas congruentes.

(2)

Pirâmide regular

Uma pirâmide reta que possui um polígono regular na base é chamada de pirâmide regular.

d

d d

Pirâmide triangular regular

Em uma pirâmide regular, suas faces laterais são triân- gulos isósceles congruentes.

Apótema de uma pirâmide regular

Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral.

m

m: apótema da pirâmide

Apótema da base de uma pirâmide regular

Chama-se apótema da base de uma pirâmide regular o apótema do polígono regular da base, o qual é a distância do centro do polígono a cada um dos lados.

a

a: apótema da base Área lateral e área total

A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.

A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral com a área da base.

A

_t

= A

_d

+ A

_b Volume

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produ- to da área da base pela altura.

V

= ⋅

1 A h

_b⋅

3 Exercícios Resolvidos

(PUC-MG) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, tem 1.

aproximadamente 90 2 metros de altura, possui uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos equiláteros.

Nessas condições, pode-se afirmar que cada uma de suas arestas mede, em metros:

a) 90 b) 120 c) 160 d) 180

Resposta: D

Sendo 2a a medida de cada uma das arestas da pirâmide , temos:

a 2a

m 0

Em que m a

= 2 3 ⇒ m a =

2 3.

Então: m a

a a

2 2 2

2 2

2

90 2

3 90 2

3 2 90

2 2 90

= + ( ) ^⇒

⇒ ( ) ⁼ ⁺ ^{⋅ ⇒}

⇒ = + ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = 990 90 2 90 180

2

⇒ =

\

⋅ =

a

Cada uma de suas arestas mede

m

(3)

Resposta:

a)

_V

x

x x h

C D

A B

x 2

6 3 2 2 2

3 2 2 2 2

3 + = + ⇒

⇒ ( + ) ⁼ ( ⁺ ) ^⇒

⇒ =

x x x

x

• Altura da pirâmide:

V

h D

3

3 2 B 2

3 3 2

2 3

2 2 2

3 2 2

2

= 

2





 +

= = ⇒ =

h

h h

Área total da pirâmide:

b)

A A A A x x

A A

t b t

t t

= + ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = +

 2 2

2 2

4 3

2 3 2 3 3

9 18 3

• Volume da pirâmide ABCDV:

V = ⋅ 1 ⋅ ⇒ = V 3 3 3 2

2 9 2

2

PV2N-10-52

( UFPE ) Os segmentos VA, VB e VC são dois a dois per- 2.

pendiculares no espaço, como ilustrado a seguir. Se VA = 5, VB = 6, VC = 7, qual será o volume da pirâmide triangular ABCV?

V A

C B

Resposta:

Sendo ∆VBC a base e VA a altura, temos:

V A h V

V

= ⋅

b

⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =



 



1 3

1 3 2

6 5 7

35 Exercícios de Aplicação

( UFPR ) Na fi gura abaixo, está representada uma pirâmi- 1.

de de base quadrada que tem todas as arestas com mesmo comprimento.

V

C D

A B

Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a a)

6 3 2

+

, qual é a altura da pirâmide?

Quais são o volume e a área total da pirâmide?

b)

(4)

Resposta: C V

_cubo

= V V = A

_b

· h

V A

h V A h

V V

pir b

= ⋅ 1 ⇒ = ⋅ ⇒

pir

=

3 2 · 6 6

Resposta:

V = ⋅ 1 A h

_b

⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = V V cm 3

1 3 4 5 80

3

2 3

(Ibmec-RJ) A partir de um cubo ABCDEFGH, constrói-se 2.

uma pirâmide oblíqua AFGH, conforme ilustra a figura.

Se o volume do cubo vale V, então o volume dessa pi- râmide vale:

A

B C

F G

H E

D

a) V 12 b) V

8 c) V 6 d) V 4

e) V 3

Na figura abaixo, temos representada uma pirâmide de 3.

base quadrada e altura AE.

A

D

C B

E

Sabendo que a aresta da base mede 4 cm e a altura mede 5 cm, determine o volume dessa pirâmide.

Exercícios Propostos

(Unifor-CE) Uma pirâmide regular de altura 12 cm tem 4.

como base um quadrado de lado 10 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é:

(quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

(Unifor-CE) A altura de uma face de um tetraedro re- 8.

gular é 5 cm. A área total desse tetraedro, em centímetros quadrados, é:

a) 360

b) 260 c) 180

d) 100 e) 65

(UEG-GO) Considere uma pirâmide de base quadrada e 5.

faces laterais triângulos equiláteros. O volume da pirâmide pode ser calculado pela terça parte do produto da área da base pela altura da pirâmide.

Desenhe a pirâmide.

a)

Calcule o volume da pirâmide, considerando a medida b)

do lado do quadrado da base igual a 10 cm.

(Unimontes-MG) Seja V uma pirâmide cujo vértice é o 6.

centro de uma face de um cubo de aresta a e cuja base é a face oposta desse cubo. Calcule a área lateral dessa pirâmi- de (em função de a).

(Fuvest-SP) Um telhado tem a forma da superfície la- 7.

teral de uma pirâmide regular de base quadrada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide, 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m

²

. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas

a) 10 3 3 b) 25 3

3 c) 100

3 3

d) 40 3

e) 45 3

9. (UFJ F-MG) A professora de Paulo solicitou que ele cons-

truísse uma pirâmide quadrangular regular, cujo volume

fosse maior do que ou igual a 42 cm

³

. A fim de fazer tal

construção, Paulo cortou o molde a seguir, tendo 20 cm,

como perímetro da base, e triângulos equiláteros congruen-

tes, como faces laterais.

(5)

PV2N-10-52

Faça um esboço da pirâmide, após ser montada com o a)

molde.

Determine as medidas dos lados dos triângulos, repre- b)

sentados no molde anterior.

Determine a área da base da pirâmide a ser montada c)

com o molde.

Determine a altura da pirâmide a ser montada com o d)

molde.

Sabendo-se que o volume V de uma pirâmide é dado por e)

V

=

SH

3 , em que S é a área de sua base e H a sua altura, de- termine o volume da pirâmide a ser montada com o molde.

A pirâmide montada por Paulo atende às especificações f)

solicitadas por sua professora? Justifique sua resposta.

Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma 10.

pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 4 cm e a aresta da base mede 2 cm.

(Cefet-PR) P é um ponto do plano cartesiano tal que os 11.

valores de sua abscissa e de sua ordenada são, respectiva- mente, os valores da área total e do volume da pirâmide he- xagonal regular, cuja aresta da base mede 6 cm e a altura, 9 cm. Sendo assim, as coordenadas do ponto P são:

a) ( 162 3 486 3 , )

b) ( 162 3 162 3 , )

c) ( 486 3 162 , )

d) ( 486 3 108 3 , )

(108, 162) e)

Uma construção tem a forma de uma pirâmide de base 12.

quadrada de lado 6 m e o ângulo formado pela aresta lateral com o plano de base igual a 60º. Qual é a medida de cada uma das arestas laterais dessa construção?

a) 6 m

b) 3 2 m

c) 6 2 m

d) 3 m

(6)

Módulo 18· Geometria espacial métrica – Cones

Defi nição 1.

Considere C um círculo de centro O e raio r contido em um plano α. Seja V um ponto não pertencente a esse plano.

A

C V

O r

Chamamos cone circular ou apenas cone ao sólido ge- ométrico formado pela reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade no ponto V e a outra em um ponto do círculo C.

Elementos

2. Base é o círculo C de centro O e raio r.

Vértice é o ponto V.

Eixo é a reta que passa pelo vértice V e pelo centro C da base.

Geratriz é todo segmento que possui uma extremidade em V e a outra em algum ponto da circunferência da base.

Altura é a distância do vértice V ao plano da base.

V eixo

altura (h)

O geratriz (g)

base

r

Cone circular reto 3.

Cone circular reto é aquele que apresenta o eixo perpen- dicular ao plano de base. Ele também é chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de uma superfície triangular determinada por um triângulo retângulo em tor- no de uma reta que contém um de seus catetos.

r Eixo V

g g

O

Cone reto ou cone de revolução

Em um cone reto, a projeção ortogonal do vértice V no plano da base é o centro da base.

Secção meridiana 4.

A secção meridiana de um cone é a intersecção do cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base.

r r

V

g g

O A

No cone reto, todas as geratrizes são congruentes, en- tão a secção mediana é um triângulo isósceles.

Área lateral e área total 5.

A partir da planifi cação do cone, temos:

r h g

r 2Pr

Q g

g

A área da base é dada pela área de um círculo de raio r:

A

_b

= pr

²

(7)

PV2N-10-52

A área lateral é calculada de forma semelhante à área do setor:

A r g

=

2

⋅ ⇒ = ⋅

2

p p

A área total é dada pela soma da área da base com a área lateral.

A

_t

= A

_b

+ A

_d

Volume 6.

O volume de um cone é igual a um terço do produto da área da base do cone pela sua altura.

V A h

V r h

= ⋅ b⋅

= ⋅ ⋅

( )

^⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

1 3 1 3 1 3

2 2

p p

Exercícios Resolvidos

Num cone reto de raio de base 6 cm e geratriz 10 cm, 1.

calcular.

a altura (h);

a)

a área lateral (A

b)

_d

);

a área total (A

c)

_t

)

o volume (V);

d)

o ângulo

e)

q em radianos, da superfície lateral planificada.

Resposta:

h g = 10 cm

6 cm

a) h

²

+ r

²

= g

²

h

²

+ 6

²

= 10

²

h

²

= 64 \ h = 8 cm b) A

_d

= prg = p · 6 · 10 A

_d

= 60 p cm

²

c) A

_d

= pr

²

+ prg

A

_d

= p · 6

²

+ p · 6 · 10 A

_d

= 96p cm

²

V r h

V cm

= ⋅ = ⋅ ⋅

=

p p

p

2 2

3

3 6 8 3 96

d)

Q g

g 2 g — 2

2 r —

2 r 2 2 r

2 g g

P P

P Q

P P P

P

e)

q = 2 p = 2 6 p ⋅ = p 10 1 2 r

g , rad

A superfície lateral de um cone de revolução é a quarta 2.

parte de um círculo de raio 4 cm. Calcule o volume desse cone.

Resposta:

h g 4 cm

r

g cm e rad

r g

r r cm

g h r h

h

= =

= ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒

⇒ = ⇒

4 2

2 2

2 4 1

4 1

15

2 2 2 2 2 2

2

q p

q p p p

hh cm

V r h

V

V cm

=

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

15 3

1 15 3 15

3

2 2

3

p p

p

(8)

Resposta: E

A

_d

= 2 · A

_b

g

²

= h

²

+ r

²

prg = 2pr

²

g

²

= h

²

+ 3

²

g = 2r 36 – 9 = h

²

g = 2 · 3 = 6 cm h = 3 3 cm

Resposta: E V

a a

a a e b

g b a g

cone

=

  

 ⋅ =

= ⇒ = =

= +  

 ⇒ = + p

p 2 p

3 2 3

8 2 3

2 3

2

3

2 2 2

2 2

11

²

⇒ g

²

= 10 ⇒ = g 10

Resposta: A

15 2

V A h

V

V cm

= ⋅

b

⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= 1 3 1

3 2 15

20

2 3

p p

3

2 h 2

V A h

h h

h cm

=

b

⋅

= ⋅ ⋅

=

= 20 3 2

2 3 20

20 3 p

p p

Exercícios de Aplicação

(Urca-RS) Considere um cone circular reto cujo raio da 1.

base mede 3 cm. Sabendo-se que a área lateral é igual ao dobro da área da base, calcule a altura desse cone.

a) 2 3 cm b) 2 2 cm

c) 3 2 cm d) 3 5 cm

e) 3 3 cm

(Fuvest-SP) Um cone circular reto está inscrito em um 2.

paralelepípedo reto-retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b

a entre as dimensões do paralele- pípedo é 3

2 , e o volume do cone é p.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é:

g

b

a a

a) 5 b) 7

c) 11 d) 6

e) 10

(Cefet-SP) Um cientista, ao pesquisar novas fontes de 3.

energia, em um de seus experimentos encheu por completo, com uma substância líquida, um tudo de ensaio cônico que tinha 15 cm de altura e 2 cm de raio.

Em seguida, toda essa substância foi transferida para um recipiente em forma de um prisma reto, de maneira a cobrir apenas metade do volume deste.

Se esse prisma tem uma base retangular de 2 cm por 3 cm, então sua altura é de:

a) 20 3

p

cm

b) 10 3

p

cm

c) 5 3

p

cm

d)

p

3 cm e)

p

2 cm

(9)

PV2N-10-52

Exercícios Propostos

(UFAM) Um tanque cônico tem 4 m de profundidade e 4.

seu topo circular tem 6 m de diâmetro. Então, o volume má- ximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é:

(use p = 3,14)

(UFMG) Um cone é construído de forma que:

9. • sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; e

• seu vértice coincide com um dos vértices do cubo loca- lizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base.

Dessa maneira, o volume do cone é de:

24.000 a)

12.000 b) c) 37.860

14.000 d) e) 37.680

(Unimar-SP) Um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 5.

gira em torno do seu menor cateto, gerando um cone de revolução. O volume desse cone é:

a) 10

p

b) 12

p

c) 15

p

d) 16

p

e) 18

p

(Unifor-CE)

6. O telhado da torre mostrada na figura a se- guir tem a forma de um cone circular reto.

8 m

6 m

A área da superfície externa desse telhado é, em metros quadrados, igual a:

a) 16

p

b) 24

p

c) 8 13p

d) 28

p

e) 32 13p

(UFPA) Qual é o volume de um cone circular reto de 7.

diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm?

a) 12

p cm³

b) 24

p cm³

c) 36

p cm³

d) 48

p cm³

e) 96

p cm³

(UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede

8. 2 3 cm.

Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm

²

, mul- tiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta.

a)

pa³

6 b)

pa³

12 c)

pa³

9 d)

pa³

3 (Mackenzie-SP) No sólido da figura, ABCD é um quadra- 10.

do de lado 2 e AE

=

BE

=

10 . O volume desse sólido é:

C D

B A

E

a) 5

2

p

4 3 b)

p

c) 4

p

d) 5

p

e) 3

p

(Unimon

11. tes-MG) A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4 cm e 15 cm, respectivamente. Au- menta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, x > 0, para se obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Determine o valor de x em centímetros.

(Vunesp) Um paciente recebe por via intravenosa um 12.

medicamento à taxa constante de 1,5 mL/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

9 cm

3 cm 4 cm

(figura fora de escala)

Após 4 horas de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm

³

= 1 mL, e usando a apro- ximação p = 3, o volume, em mL, do medicamento restante no frasco, após a interrupção da medicação, é, aproxima- damente:

a) 120

b) 150

c) 160

d) 240

e) 360

(10)

Módulo 19· Geometria espacial métrica - Esferas

Definição 1.

Considere um ponto O e a medida do raio, R > O. Chama- mos esfera ao conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância de O menor ou igual a R.

R O

A esfera é um sólido de revolução gerado pela rota- ção de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

R

R O

R

R O Eixo

Superfície esférica 2.

Chamamos de superfície esférica de centro O e raio R o conjunto de todos os pontos P do espaço, cuja distância OP é igual a R.

A superfície esférica também é a superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de seu diâ- metro.

R

R O

Eixo Eixo

P

Secção da esfera 3.

A intersecção de uma esfera com um plano secante a ela é uma secção plana da esfera. Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Quando o plano secante passa pelo centro O da esfera, dizemos que a secção plana é um círculo máximo.

Toda secção plana de uma esfera feita de uma distância d do centro produz um círculo de raio r.

r R d

O O’ P

R

²

= d

²

+ r

²

Área da superfície esférica 4.

A área da superfície de uma esfera de raio R é:

A

_s

= 4 · p · R

²

Volume 5.

O volume de uma esfera de raio R é:

V

= ⋅ ⋅

4 R

3

p ³

(11)

PV2N-10-52

Exercícios Resolvidos

Determine o volume de uma esfera, sabendo que a área 1. de sua superfície vale 100p cm

²

.

Resposta:

A

_s

= 4 · p · R

²

100p = 4 · p · R

²

R

²

= 25

R = 5 cm Assim:

V R

V V cm

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ = 4

3 4

3 5 500

3

3 3

p

p p

Uma esfera de raio 10 cm é cortada por um plano dis- 3.

tante 8 cm do centro da esfera, determinado, assim, um cír- culo, como mostra a figura. Determine o raio desse círculo.

r 10 cm 8 cm

O’ P

O

Resposta:

10

²

= 8

²

+ r

²

⇒

⇒ 100 – 64 = r

²

⇒

⇒ r

²

= 36 ⇒

⇒ r = 6 cm

(Unicamp-SP) O volume V de uma bola de raio r é dado 4.

pela fórmula V = 4 3

pr³

.

Calcule o volume de uma bola de raio r =

a) 3

4 cm. Para facilitar os cálculos, você deve substituir p pelo número 22

7 . Se uma bola de raio r =

b) 3

4 cm é feita com um material cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volu- me) é de 5,6 g/cm

³

, qual será a sua massa?

Resposta:

a) V r

V V

V cm

=

= ⋅ ⋅  

 ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = 4 3 4 3

22

7

3 4

4 3

22

7

27

64 99

56

3 3

3

p

b) D m

V e D g cm

V m D V m

m g

= =

=

= ⋅

= ⋅ =

=

5 6 99

56 5 6 99 56

99 10 9 9

, /

3

, , Em um cilindro equilátero com superfície lateral de

2. 324p cm

²

foi inscrita uma esfera. Determine o volume da esfera.

Resposta:

A = 2pr · h ⇒ A = 2pr · 2r (cilindro equilátero h = 2r) ⇒

⇒ A = 4pr

²

⇒ A = 324p ⇒ 324p = 4pr

²

⇒

⇒ r

²

= 81 ⇒ r = 9

V R

V V

V cm

=

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = 4 3 4

3 9 4

3

729

972

3

3 3

p

p p

p

(12)

B

Resposta:

V R

R R cm

= ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ ⇒ = 4

3 500

3 4

3 5

3

p

p p

4 cm 5 cm

r

5

²

= 4

²

+ r

²

⇒ r = 3 cm

Área do círculo = p · 3

²

= 9p cm

²

Resposta: E

x

6

V

água deslocada

= V

_esfera

p ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ p

⇒ = ⇒ =

6 4

3 3

36 36 1

2

x

3

x x cm

D Resposta:

3 R

7 6

p ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ p = ⋅ p ⇒

⇒ + = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

6 7

4 3 3 4

3 252 36 4

3 288 4

3 216

6

2 3 3

3

3 3

R R

R cm

Exercícios de Aplicação

(Unifra-RS ) Uma superfície esférica de raio R é cortada 1.

por um plano que está a uma altura h = 1 cm dessa superfí- cie, conforme a fi gura. O volume dessa esfera mede 500

3

p

cm .

³

A área do círculo obtida pelo corte desse plano mede, em cm

²

:

R

h

(FFFCMPA-RS ) Uma esfera metálica de raio 3 cm é co- 2.

locada dentro de um recipiente cilíndrico que contém água, cujo raio da base é de 6 cm. Supondo que não haja transbordamento de água, pode-se afi rmar que o nível da água sobe:

3 a)

p

b) 9

p

27 c)

p

81 d)

p

243 e)

p

3 cm a)

2,5 cm

b) c) 2 cm

1,5 cm

d) e) 1 cm

(UFJF-MG ) Duas velas são derretidas para formar uma 3.

outra em formato de esfera. Dentre as velas derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm e a outra tem formato de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esférica, em centímetros, será:

menor que 4 a)

4,5

b) c) 5

6 d) e) 6,5

(13)

PV2N-10-52

Exercícios Propostos

(Unifei-MG) Uma lata tem a forma de um cilindro reto 4.

cuja base é um círculo de raio 3 dm. A lata contém água até um certo nível e observa-se que, ao mergulhar total- mente uma esfera de chumbo na água, o nível dessa sobe 0,5 dm na lata. Então o raio da esfera, medido em decíme- tros, vale:

(Unifor-CE) As esferas E

8.

₁

e E

₂

são tais que o diâmetro de E

₁

é igual ao raio de E

₂

. A razão entre os volumes de E

₁

e E

₂

, nessa ordem, é:

a) 1

2 b) 1 c) 3

2 d) 2

(UEA-AM) Uma esfera de raio 2 cm é seccionada por um 5.

plano. A secção é um círculo de raio 1 cm. Qual é a distân- cia entre os centros do círculo e da esfera?

a) 1 cm b) 2 cm

c) 3 cm d) 2 cm

e) 3 cm

a) 1 2 b) 1 3

c) 1 4 d) 1 6

e) 1 8

9. (UFRR) O cilindro da figura está circunscrito em uma esfera de raio 3 cm. O volume do cilindro, em cm

³

, é igual a:

a) 9

p

b) 27

p

c) 36

p

d) 54

p

e) 60

p

(Fameca-SP) Júlia estava numa sorveteria e pediu uma 10.

casquinha com uma única bola de sorvete. Como ela estava entretida na conversa com Alice, não percebeu que o sorve- te escorreu para dentro da casquinha, preenchendo-a com- pletamente. Suponha que a bola de sorvete seja uma esfera perfeita, com raio 2 cm e que a casquinha seja um cone oco com raio da base igual a 2 cm. A altura dessa casquinha de sorvete é:

a) 4 cm

b) 6 cm c) 8 cm

10 cm

d) e) 12 cm

(Unifor-CE) Duas esferas de raios R cm e 3 R cm são 11.

concêntricas. Um plano tangente à superfície da menor de- termina na maior uma secção plana cuja área é 144p cm

²

. Então, R é igual a:

a) 4 2 b) 3

3

c) 3 2 d) 2

3

e) 2 2 (Vunesp) Um troféu para um campeonato de futebol

6. tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).

5 3 cm

20 cm R = 10 cm

r cm

O volume do cilindro, em cm

³

, é:

a) 100

p

b) 200

p

c) 250

p

d) 500

p

e) 750

p

(UCMG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um 7.

corte por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da sec- ção feita mede, em cm:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

(UFRGS-RS) Considere uma esfera inscrita num cubo.

12. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:

a) 2 5 b) 1 2

c) 3 5 d) 2 3

e) 3

4

(14)

Módulo 20· Geometria analítica

Introdução 1.

Consideremos em um plano dois eixos, x e y, perpendi- culares entre si e com origem O comum. Assim, dizemos que x e y formam um sistema cartesiano ortogonal, e o plano dotado com tal sistema será chamado de plano cartesiano.

x y

O

Para localizar um ponto P num plano dotado de um sistema cartesiano ortogonal, traçamos por P duas retas paralelas aos eixos x e y que encontram os mesmos em P’ e P”, respectivamente.

Com as abscissas desses pontos determinamos a posição de P no plano.

O x y

P

P'

P”

P abscissa de P abscissa de P

’

"

= −

= +





3 2

Indicamos a abscissa de P’ por x

_p

e a abscissa de P’’ por y

_p

, e o ponto P é localizado no plano pelo par ordenado (x

_p

, y

_p

).

Para facilidade de linguagem, usamos as seguintes de- nominações:

1

^o

) A abscissa de P’, a primeira abscissa de P, será sim- plesmente a abscissa de P.

2

^o

) A abscissa de P”, a segunda abscissa de P, será a abscissa ordenada de P, ou simplesmente ordenada de P.

3

^o

) O par ordenado (x

_p

, y

_p

) será denominado coorde- nadas de P.

4

^o

) Os eixos x e y serão, respectivamente, o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas.

Exemplo

Indicamos a seguir as coordenadas dos pontos represen- tados no plano cartesiano.

x O

y

E A

F D

H B C

G

A(4, 0) D(–4, 3) G(0, –3) B(4, 3) E(–4, 0) H(4, –3) C(0, 3) F(–4, –3) O(0, 0)

Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões que chamamos quadrantes (Q), que são numerados conforme a figura abaixo:

y

Abscissa negativa

Ordenada positiva Abscissa positiva Ordenada positiva

Abscissa negativa

Ordenada negativa Abscissa positiva Ordenada negativa

x

Propriedades dos pontos do plano cartesiano 2. P

₁

) Se um ponto tem abscissa positiva, ele pertence ao 1

^o

ou ao 4

^o

quadrante do plano cartesiano ou ao eixo x.

P₁ (1, 1)

P₂ (2, –2) O

y

x

(15)

PV2N-10-52

P

₂

) Se um ponto tem abscissa negativa, ele pertence ao 2

^o

ou ao 3

^o

quadrante do plano cartesiano ou ao eixo x.

P₁ (–3, 2)

P₂ (–1, –1)

O x

y

P

₃

) Se um ponto tem ordenada positiva, ele pertence ao 1

^o

ou ao 2

^o

quadrante do plano cartesiano ou ao eixo y.

P₁ (3, 4)

P₂ (–1, 1)

O y

x

P

₄

) Se um ponto tem ordenada negativa, ele pertence ao 3

^o

ou ao 4

^o

quadrante do plano cartesiano ou ao eixo y.

P₁ (3, – 3) P₂ (–1, –1)

y

O x

P

5

) Se um ponto tem abscissa nula, ele pertence ao eixo y.

A (0, 2) O

B (0, 5)

C (0, – 4) x y

P

₆

) Se um ponto tem ordenada nula, ele pertence ao eixo x.

A(2, 0) O

B(6, 0) C(– 4, 0)

y

x

P

₇

) Se um ponto tem abscissa a, ele pertence à reta paralela ao eixo y, traçada pela abscissa a.

O

P(a, 2) Q(a, 5)

R(a, – 3) a y

x

P

₈

) Se um ponto tem ordenada a, ele pertence à reta paralela ao eixo x, traçada pela ordenada a.

O

P(3, a) Q(6, a) R(– 4, a)

x y

a

P

₉

) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

A(2, 2) B(5, 5)

C(– 3, – 3)

O y

x

(16)

P

₁₀

) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele perten- ce à bissetriz dos quadrantes pares.

A(– 2, 2) B(– 5, 5)

C(3, – 3) O

y

x

P

₁₁

) Dois pontos simétricos em relação ao eixo x têm a mesma abscissa e ordenadas opostas.

y

B(– 4, 2)

A'(5, – 3) O

B'(– 4, – 2)

A(5, 3)

x

P

₁₂

) Dois pontos simétricos em relação ao eixo y têm a mesma ordenada e abscissas opostas.

y

A'(– 4, 3)

O

B'(– 2, – 3)

A(4, 3)

B(2, – 3) x

P

₁₃

) Dois pontos simétricos em relação à origem têm abscissas opostas e ordenadas opostas.

x y

A'(– 4, – 2) O B(– 3, 4)

A(4, 2)

B'(3, – 4)

Exercícios Resolvidos

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C e D da 1.

figura abaixo.

x y

C

A D

B

Resposta:

A (0, –3), B(–5, 0), C(5, 2) e D(–3, 3)

Determine a qual quadrante pertencem os pontos abaixo:

2. A(–3, –5), B(–2, 4) C(3, –5) e D(13, 11) Resposta:

x

y A Q x

y

B Q

x

y C Q x

y

A A

B B C

C

D D

<

 

 ⇒ ∈ <

>

 

 ⇒ ∈

>

 

 ⇒ ∈ >

>

0 0 3 0

0 2

0 0 4 0

º º

º

00  1

  ⇒ ∈ D

º

Q

O ponto A(4, p + 5) pertence à bissetriz dos quadrantes 3.

ímpares. A qual quadrante pertence o ponto B(p, p + 4)?

Resposta:

A ∈ bissetriz dos quadrantes ímpares

⇒ x

_a

= y

_a

⇒ p + 5 = 4 ⇒ p = –1. Assim, B(–1, 3)

B B

x 0

B 2ºQ

y 0

º» ¼

(17)

Resposta:

x y

A(2,2) B(–3,0)

C(0,–4)

D(5,0) A₁

A₂

A A

1 1

2 2

1 2

8 2

2 8

8 4

2 16

=

A = + A = 24 u.a.

⋅ ⇒ =

= ⋅ ⇒ =

\

Resposta:

x y

–9

33

–12 3 5

(2^o quad.) B

6 A (1^o quad.)

C (3^o quad.)

5

41

Resposta:

A ∈ bissetriz dos quadrantes ímpares x

_A

= y

_A

m + 5 = 2 m – 3 ⇒

⇒ m – 2 m = – 3 – 5 ⇒

⇒ m = 8

PV2N-10-52

Dado o ponto A(p – 2, q + 3) determine:

4. q, para que o ponto A pertença ao eixo x.

a)

p, para que o ponto A pertença ao eixo y.

b)

Resposta:

a) A ∈ eixo x ⇒ y

_A

= 0 ⇒ q + 3 = 0 ⇒ q = –3 b) A ∈ eixo y ⇒ x

_A

= 0 ⇒ p – 2 = 0 ⇒ p = 2

Exercícios de Aplicação

No plano cartesiano abaixo, marque os pontos A (2, 2), 1.

B (–3, 0), C (0, – 4) e D (5, 0) e calcule a área do quadrilá- tero ABCD.

x y

Determine a qual quadrante pertencem os pontos A (3, 6), 2.

B

−

 

5 1



, 4 , C (– 12, – 33) e D (5, – 9).

Obter m para que o ponto A(m + 5, 2 m – 3) pertença à 3.

bissetriz dos quadrantes ímpares.

(18)

Exercícios Propostos

Determine as coordenadas dos pontos da figura.

4.

A B C

D E

F

G

H

Determine a qual quadrante pertencem os pontos a se- 5.

guir relacionados:

A (

−

² ^{, ,}

^p

) B

^_

⁷ ^, ¹¹ ₃

^_

^, C ⁽ ⁶ ^,

⁻

⁷¹⁵ ⁾ ^, D (

⁻

³ ^,

⁻

¹³ )

Nas duas figuras, ABCD é um quadrado com lados de 6.

4 unidades, M é o ponto médio do lado AB e N é o ponto médio do lado AD. Obtenha as coordenadas dos pontos A, B, C, D, M e N.

C N

A y

M

D = O

B

x

a)

b)

C N

y M B

x D

O A

(Fuvest-SP) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam 7.

o mesmo ponto do plano cartesiano, então m

ⁿ

é igual a:

a) –2 b) 0

c) 2 d) 1

e) 1 2

(Fuvest

8. -SP) No plano cartesiano, os pontos (1, 0) e (– 1, 0) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado?

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Determine as coordenadas dos pontos simétricos do 9.

ponto A (–2, 3) em relação:

ao eixo das abscissas;

a)

ao eixo das ordenadas;

b)

à origem.

c)

(Fuvest-SP) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos 10.

do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti- -horário, em torno do ponto A.

As coordenadas do ponto C são:

(2, 2 +

a) 3)

(1 + b) 3, 52)

(2, 1 +

c) 3 )

(2, 2 –

d) 3)

(1 +

e) 3, 2 + 3)

A qual qua

11. drante pertence o ponto A (–a, b) se B (a, – b) pertence ao 2

^o

quadrante?

(UFPB) Na figura abaixo, está representado o quadrado 12.

OMNP que se encontra subdividido em 16 quadradinhos, todos de lado 1,5 cm.

P y

O

F

E

M N

Uma formiguinha sai do ponto E

=  



3 4

3 , 4 , andando paralelamente aos eixos e passando pelo centro de cada quadradinho, até o seu formigueiro localizado em F

=  



Módulo 17 Geometria espacial métrica Pirâmides