CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA – Lista de exercícios sobre histerese magnética
Figura 1 - Fabricação de agulhas imantadas para uso em bússolas. A China produz aços de ótima qualidade desde o século V d.C.
Questão
[adaptação, problema 2.34 Slemon]
Um bloco retangular de ímã permanente deve ser magnetizado usando-se a montagem mostrada na figura abaixo.
O bloco tem um comprimento de 5,0 cm e uma área de seção transversal de 10,0 cm2. O material magnético doce tem permeabilidade infinita. A bobina tem 100 espiras. A figura abaixo mostra a característica B-H publicada pelo fabricante do ímã.
(a) Suponha que o ímã tem uma densidade inicial de fluxo igual a zero. Determine o valor máximo da corrente i da bobina necessária para fazer o ímã operar na sua densidade de fluxo residual Br=1,35 T. (b) Determine a energia necessária para levar o ponto de operação do ímã de (0 ; 0) até (1,35 ; 0).
(c) Um método simples de magnetização de um ímã consiste em conectar um capacitor carregado à bobina mostrada na montagem acima. Considere a montagem com um capacitor de 100 µF. Para que tensão o capacitor estaria carregado para fornecer a corrente de magnetização necessária?
Wc=1/2CV2
(d) O método de magnetização discutido no item (c) produz uma corrente oscilatória, típica de um circuito LC. Essa corrente pode desmagnetizar o ímã. Mostre como a utilização de um simples retificador pode evitar essa desmagnetização.
Discussão
a) Para produzir o Hmax, 80.000 A/m, a corrente necessária é obtida pela Lei Circuital de Ampère. Como se assume que o material doce tem permeabilidade infinita, o ímã está em curto-circuito.
.
0
.
40
max max maxl
Ni
i
A
H
m=
⇒
=
b) A área acima da curva de primeira imantação, no 1º. quadrante, multiplicada pelo volume do ímã fornece a energia. A área hachureada fornece a densidade volumétrica de energia, wv. Seu valor é de aproximadamente 84 kJ/m3.
A energia é, pois,
W=w(Am)(lm)
W=84x103(Am)(lm)=4.2 Joule
c) Se a resistência é desprezível, toda energia armazenada no capacitor é transferida para o sistema magnético, ou seja, para o ímã que requer uma energia de 4.2 joules.
Conversão Eletromecânica de Energia – lista de exercícios sobre ímãs permanentes
Volts.
290
)
(
2
1
2
.
4
2 max max⇒
=
=
C
v
v
d) Pode ocorrer desmagnetização se a corrente reversa (negativa), resultante do lugar geométrico B-H, continuar além do joelho da curva, no 2º. quadrante. A frequência da oscilação pode ser prevista, aproximadamente, estimando-se a permeabilidade saturada incremental a partir da parte mais alta da característica (quase horizontal). Use esse valor para:
•
Verificar que a indutância saturada incremental é de 0.5 mH.•
Calcular a frequência de oscilação.Figura – Ímãs para aplicações industriais Questão
[adaptação, problema 2.35, Slemon]
No sistema magnético mostrado na Fig. 1(a) o material do ímã permanente tem a característica B-H mostrada na Fig. 1(b). Pode-se admitir que o material doce tem permeabilidade infinita.
Figura 1(a) – Sistema magnético com ímã permanente.
Figura 1(b) – Característica B-H do ímã permanente.
Inicialmente, uma armadura de material magnético doce é inserida no entreferro de 0,5 cm de comprimento. Em seguida, o ímã é magnetizado através de uma bobina e passa a operar com sua densidade de fluxo residual.
(a) Determine a densidade de fluxo no entreferro quando a armadura é removida.
(b) O material do ímã permanente tem uma permeabilidade de recuo de aproximadamente 2µ0. Suponha que a armadura é reinserida no entreferro. Calcule o novo valor da densidade de fluxo na região ocupada pelo ímã.
Discussão
Ao invés de trabalhar com o campo H, o problema pode ser resolvido de forma a determinar o fluxo gerado pelo ímã φm (ou sua densidade Bm).
A reta de carga relaciona os valores de Bi e Hi
do ímã como parte daquele circuito magnético, em particular. No caso, tem-se
.
i g i i g iH
l
l
A
A
B
=
−
µ
0 (1)A inclinação dessa reta depende somente da geometria do circuito. Nesse problema, em particular, das áreas e comprimentosdo ímã e do entreferro.
A curva de desmagnetização publicada pelo fabricante é completamente genérica. Relaciona B e H do ímã como parte de
qualquer circuito magnético. Às vezes inclui até a curva de 1ª. imantação.
Com os valores numéricos, a reta de carga é
.
,
)
,
)(
(
0 018
0
5
0
6
24
36
µ
µ
=
−
−
=
i iH
B
(2)A partir da curva do fabricante é possível obter a expressão de uma reta usando-se dois pontos dessa curva. Por exemplo, (1,35 ; 0,00) e (1,40 ; +20x103).
(
)
(
)
(
)
,
.
)
(
,
,
35
1
0
10
20
35
1
40
1
3−
+
−
=
i iH
x
B
(3)Igualando-se os 2os membros das equações (2) e (3) chega-se a
.
,
;
/
,
kA
m
B
T
H
i=
−
53
8
=
1
215
(4)Conversão Eletromecânica de Energia – lista de exercícios sobre ímãs permanentes
Pela continuidade do fluxo chega-se ao valor desejado de Bg. Tem-se
.
,
,
,
.
T
B
B
A
B
A
B
i g g g i i gap ímã81
0
0
6
0
4
=
=
=
=
φ
φ
Slemon Nossa Bi = 1,120 T Bi =1,215 Ta) Com a armadura reinserida, não se tem mais entreferro, ou seja, o ímã está curto-circuitado e o fluxo tende a aumentar. O ponto de operação caminha pela reta de recuo a partir do ponto
)
800
.
53
;
215
,
1
(
b
=
h
=
−
Ou seja, Bm passa de 1.215 T para um valor maior Bfinal dado pela equação abaixo:
)
53800
(
2
215
,
1
+
µ
0=
mB
QuestãoRefaça os cálculos do problema anterior considerando agora que o ímã utilizado é de Samário-Cobalto cujas principais características são: Br=0,95 T e Hc=-720,00 kA/m.
Questão
[adaptação, problema 2.36, Slemon]
Nos problema anteriores, admitiu-se que todo o fluxo gerado pelo ímã cruzava o entreferro. Em uma análise mais elaborada, é possível incluir o efeito do espalhamento que ocorre em torno das arestas do entreferro. Mais ainda, deve-se considerar que de fato existe fluxo magnético entre as traves horizontais superior e inferior de material doce.
Suponha que inicialmente o ímã está operando com sua densidade de fluxo residual de 1,35 T e que a armadura está colocada no entreferro. Em seguida, a armadura é removida.
(a) Deseja-se calcular o novo valor das densidades de fluxo no ímã e no entreferro. Considere que o fluxo de
entreferro se espalha por uma distância igual a g/2 de cada uma das arestas do entreferro. Considere também em seus cálculos um canal de fluxo que cruza a “janela” que separa as traves superior e inferior.
4 2 0 2
10
5
6
10
5
0
− −=
ℜ
x
x
g)
,
(
,
µ
)
(
,
4 0 210
60
10
0
6
− −=
ℜ
x
x
canalµ
Figura – Ímãs para aplicações industriais Questão
[adaptação, problema 2.40, Slemon
A figura 1(a) mostra a montagem de um retentor de porta que utiliza um ímã permanente. A armadura móvel deve ser fixada à porta, enquanto o restante da montagem deve ser fixado à sua moldura. O ímã usado é de cerâmica ferrite. A característica B-H, idealizada, do ímã permanente é mostrada na figura 1(b). Pode-se admitir o ferro doce como tendo uma permeabilidade infinita.
Figura 1(a) – Sistema magnético com ímã permanente.
Conversão Eletromecânica de Energia – lista de exercícios sobre ímãs permanentes
(a) A permeabilidade de recuo do material do ímã é 1,15µ0. Mostre que a parte inclinada da característica de desmagnetização pode ser usada como característica de recuo para esse material.
(b.1) Derive um circuito magnético linearizado para a montagem acima. Despreze o fluxo que atravessa a janela entre as traves horizontais superior e inferior bem como o espalhamento no entreferro.
(b.2) Determine o valor máximo do comprimento x do entreferro para o qual esse circuito magnético é válido. xmax=1,81 mm. (c) Em uma de suas formas possíveis, o circuito magnético equivalente consiste de uma força magnetomotriz constante em série com três relutores, dois dos quais representam os entreferros. Derive uma expressão para a força que age sobre a armadura móvel em função da distância x do entreferro. Qual o valor dessa força quando x=1,0 mm ?
Resposta: fx=55,0 N. (d) O modelo equivalente do item (b) prevê que o ímã será desmagnetizado se o entreferro exceder um certo comprimento. De fato, tal desmagnetização não ocorre por causa do fluxo de dispersão que atravessa o “canal” que une as traves de ferro doce superior e inferior. Calcule a relutância desse canal e compare com a relutância – supostamente máxima – que você calculou no item (b). a. Inclinação da característica de desmagnetização
151
1
1
0,
=
=
µ
∆
∆
µ
H
B
rb. Circuito magnético: o ímã é representada como fonte de fluxo, em paralelo com uma relutância R0.
mm
x
x
x
x
E
E
xA
T
B
x
E
A
x
x
E
A
l
E
x
A
B
máximo g máximo g g ímã m g g m r m81
.
1
10
44
,
1
)
(
10
95
,
7
7
44
,
1
Wb
2
Wb
4
6
,
0
15
,
0
.
15
,
0
até
válido
é
circuito
O
)
9
95
,
7
(
)
(
H/m
7
73
,
1
Wb.
4
6
,
1
)
10
0
,
4
)(
4
,
0
(
7 9 0 0 0 min min 0 0 0 4 0 0=
=
=
ℜ
∴
=
ℜ
ℜ
+
ℜ
ℜ
=
−
=
=
=
=
=
ℜ
=
=
ℜ
−
=
=
=
−φ
φ
φ
µ
µ
µ
φ
c. Circuito magnético: o ímã é representado por uma força magnetomotriz em série com uma relutância R0.
1,0mm
x
para
55
f
N;
)
919
1
(
202
f
)
2
(
)
2
(
2
1
f
2
1
f
Ampères.
2760
x 2 x 0 2 0 2 0 x 2 x 0 0 0=
−
=
+
−
=
ℜ
+
ℜ
ℜ
+
ℜ
−
=
ℜ
−
=
=
ℜ
=
x
dx
d
F
dx
d
F
g gφ
φ
d. Relutância do espaço de ar, entre as traves superior e inferior
.
/
,
)
,
(
,
m
H
x
x
x
canal 7 4 0 210
99
1
10
0
4
10
0
1
=
=
ℜ
−−µ
Conversão Eletromecânica de Energia – lista de exercícios sobre ímãs permanentes
m
H
x
x
x
x
/
,
)
,
,
(
,
max 7 4 0 310
525
4
10
5
0
0
2
10
81
1
=
=
ℜ
− −µ
Figura – Ímãs para aplicações industriais QUESTÃO
Um pequeno motor de corrente contínua, 2 polos, tem seu campo criado por ímãs permanentes, com a configuração mostrada na figura abaixo. Os detalhes do enrolamento da armadura não estão incluídos na figura. O comprimento axial do motor é 60 mm. A densidade de fluxo requerida no entreferro é 0,3 tesla.
Figura - Vista transversal do motor cc
Na primeira análise foi usado um ímã cerâmico, o “ceramic 5”, cuja característica B-H de 1º quadrante é mostrada na Fig. 2.
Figura 2 – Curva B-H do ímã ceramic 5
Na ilustração da Fig. 3 aparece o traçado das linhas equipotenciais superpostas ao mapeamento colorido da densidade de fluxo B.
Figura 3 - Equipotenciais
• O ângulo αααα mostrado na Fig. 1 é 120º. Calcule a relação entre o arco polar e o passo polar; indique a extensão da zona neutra;
• Apresente um circuito magnético equivalente, incluindo o efeito da dispersão; apresente um breve comentário sobre esse circuito;
• Observe o traçado das equipotenciais e identifique o fluxo útil e os fluxos dispersos.
• Mostre graficamente a interseção da característica de desmagnetização do ímã escolhido com a reta de carga do entreferro.
• Para inspecionar a distribuição do campo B no entreferro, foi utilizado o contorno retilíneo mostrado na Fig. 4. Os resultados mostram o valor médio de B é aproximadamente 118 mT, bem abaixo da especificação de projeto.
Figura 4 – Contorno no entreferro
• Pode-se utilizar outro tipo de ímã para contornar o problema do fluxo muito baixo obtido na 1ª análise. Escolha um outro ímã e calcule uma estimativa para a densidade de fluxo B no entreferro. O quadro I mostra as principais propriedades dos ímãs disponíveis em nosso laboratório.
Conversão Eletromecânica de Energia – lista de exercícios sobre ímãs permanentes
Quadro I – Ímãs permanentes; dados comparativos Liga Br (T) Hc (kA.m-1) (BH)max (kJ.m-3)
Fe89Nd7B4Na (Nano) 1,30 252 146 Ferrite 0,40 312 30 Alnico 0,90 112 42 SmCo5 0,89 1.360 151 SmCo17 1,14 800 239 Nd2Fe14B 1,31 999 319
