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Matem´
atica
Exerc´ıcios sobre M´
edias
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M´
edias
1. (ESSA 1993) Dados os n´umeros 0,09 e 0,25, foram calculadas suas m´edias aritm´etica e geom´etrica e somados os valores obtidos. A soma encontrada foi:
32 a) 3,2 b) 0,32 c) 0,0032 d) 0,032 e)
2. (CM Bras´ılia 2005) Os n´umeros a, b e c s˜ao inteiros positivos tais que a < b < c. Se b ´e a m´edia aritm´etica simples entre a, b e c, ent˜ao, necessariamente, a raz˜ao b − ac − a pode ser igual a:
a a a) a b b) c) ac b c d) e) − bb
3. (CM Bras´ılia 2005) A m´edia geom´etrica entre trˆes n´umeros positivos ´e igual `a sua m´edia aritm´etica. Se o produto entres eles ´e igual a 729, ent˜ao a sua soma ´e igual a:
15 a) 18 b) 27 c) 54 d) 81 e)
4. (CM Bras´ılia 2008) Um grupo de 120 pessoas tem a m´edia aritm´etica de suas idades a 20 anos. Se a m´edia aritm´etica das idades das mulheres ´e de 30 anos, qual a raz˜ao entre o n´umero de mulheres e de homens? 4 5 a) b) 15 c) 2 1 d) e) 3
5. (CM Rio 2009) Em um grande lan¸camento imobili´ario, os cinco vendedores de plant˜ao realizaram, numa semana, as seguintes vendas de unidades: Ademar vendeu 71, Bastos 76, Sobral 80, Calvet 82 e Euler 91. Val´eria ´e a diretora do departamento de vendas da empresa e precisa calcular a venda m´edia de unidades realizada por estes cinco profissionais. Curiosamente observou que, `a medida que os valores iam sendo digitados e a m´edia calculada, o programa de computador adotado gerava n´umeros inteiros. Assim, a ´ultima venda digitada por Val´eria foi a realizada por:
Calvet a) Bastos b) Ademar c) Sobral d) Euler e)
6. (UECE 2008) No conjunto dos n´umeros reais positivos, definem-se as opera¸c˜oes p ∗ q =√p · q e p#q =p + q2 . Se m e n s˜ao tais que (2m) ∗ n = m#(2n), ent˜ao, necessariamente, teremos:
m = n a) 2m = n b) m = 2n c) m = 4n d)
7. (ESPM 2010) O produto da m´edia aritm´etica pela m´edia harmˆonica entre dois n´umeros reais positivos ´e igual ao produto desses n´umeros. Dessa forma, podemos dizer que a m´edia harmˆonica entre as ra´ızes da equa¸c˜ao 2x2− 15x + 3 = 0 ´e igual a:
0,4 a) 1,3 b) 0,7 c) 1,5 d) 0,6 e)
8. (UFU 2010) Um time de voleibol possui um plantel formado por jovens atletas, contendo x pessoas cuja m´edia aritm´etica das idades ´e de 20 anos. O presidente do time resolveu contratar um t´ecnico e um preparador f´ısico experientes, coincidentemente, ambos com 50 anos. Sabendo que, com a entrada destas duas novas pessoas no plantel, a nova m´edia das idades passou para 24 anos, pode-se afirmar que:
10 < x ≤ 12 a) 12 < x ≤ 15 b) x > 16 c) x ≤ 9 d)
9. (FGV 2009) Um time de futebol tem 11 jogadores cuja m´edia das idades ´e de 24 anos. ´Alvaro tem 35 anos. Se ´Alvaro for exclu´ıdo do time, a m´edia das idades dos 10 jogadores restantes ser´a:
22,9 a) 22,8 b) 22,7 c) 22,6 d) 22,5 e)
10. (FGV 2009) Se a m´edia aritm´etica entre dois n´umeros ´e 15 e sua m´edia geom´etrica ´e 12, ent˜ao, uma equa¸c˜ao cujas duas ra´ızes reais sejam esses dois n´umeros ´e:
2x2− 60x + 37 = 0 a) x2− 30x + 120 = 0 b) x2− 30x + 144 = 0 c) x2+ 6x + 120 = 0 d) 2x2+ 12x − 15 = 0 e)
11. (UNESP 2009) Durante o ano letivo, um professor de matem´atica aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com m´edia ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:
Prova I II III IV V Nota 6,5 7,3 7,5 ? 6,2 Peso 1 2 3 2 2 9,0 a) 8,5 b) 8,3 c) 8,0 d) 7,5 e)
12. (Col´egio Naval 1978) A soma da m´edia aritm´etica com a m´edia geom´etrica das ra´ızes da equa¸c˜ao: ax2− 8x + a3= 0 d´a: 4 − a2 a a) b) −4 + aa 2 c) 8 + aa 2 4 + a2 a d) e) 5
13. (Col´egio Naval 1985) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as f´ormulas da coluna da direita, sendo a e b n´umeros inteiros positivos quaisquer, tˆem-se que:
I - M´edia harmˆonica dos n´umeros a e b a) √a · b
II - M´edia ponderada dos n´umeros a e b b) ab
III - M´edia proporcional entre os n´umeros a e b c) a · b2
IV - Produto do m´aximo divisor comum pelo m´ınimo m´ultiplo comum de a e b d) 2ab a + b
V - M´edia aritm´etica simples entre a e b e) a · b
(I, b); (II, c); (IV, e) a)
(II, c); (III, a); (IV, e) b)
(I, d); (II, c); (V, b) c)
(III, a); (IV, e); (V, b) d)
(I, d); (III, a); (IV, e) e)
14. (Col´egio Naval 1995) Sejam M =x + y , onde x e y s˜x · y ao reais positivos, logo M ´e: O quociente entre a m´edia geom´etrica e a m´edia aritm´etica de x e y. a)
A metade do quociente entre a m´edia geom´etrica e a m´edia aritm´etica de x e y. b)
A m´edia aritm´etica dos inversos de x e y c)
A m´edia harmˆonica de x e y d)
A metade da m´edia harmˆonica de x e y e)
15. (Col´egio Naval 1982) Se h, g e a s˜ao, respectivamente, as m´edias harmˆonica, geom´etrica e artim´etica entre dois n´umeros, ent˜ao:
ah = 2g a) ah = g. b) ah = 2g2 c) ah = g2 d) ah = 2 ·√g e)
16. (Col´egio Naval 2001) Um aluno calculou a m´edia aritm´etica entre os cem primeiros n´umeros inteiros positivos, encontrando 50 12. Retirando um desses n´umeros, encontrou como nova m´edia aritm´etica 50 2799. O n´umero retirado est´a entre:
30 e 40 a) 40 e 50 b) 50 e 60 c) 60 e 70 d) 70 e 80 e)
Dado: a m´edia aritm´etica de n n´umertos ´e igual `a soma desses n n´umeros dividida por n.
17. (Col´egio Naval 2002) A soma de dois n´umeros reais distintos ´e igual ao produto desses n´umeros. O menor valor natural desse produto ´e igual a:
8 a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e)
18. (Col´egio Naval 2007) Com a finalidade de se pesquisar a renda m´edia em reais M da sua popula¸c˜ao, uma determinada regi˜ao S foi dividida em quatro setores: X, Y , Z e W , com, respectivamente, 2.550, 3.500, 3.750 e 4.200 pessoas. Observou-se, ent˜ao, que a renda m´edia em reais de X ´e de 800,00, a de Y ´e de 650,00, a de Z ´e de 500,00 e a de W ´e de 450,00. Logo: 605,00 < M < 615,00 a) 595,00 < M < 605,00 b) 585,00 < M < 595,00 c) 575,00 < M < 585,00 d) 565,00 < M < 575,00 e)
19. (EPCAr 2004) A m´edia aritm´etica de notas no 1◦ bimestre em Matem´atica dos 100 alunos da EPCAr foi de 72,5. Retirando-se a nota de um desses alunos, encontrou-se a nova m´edia artim´etica de 72,3. Sabendo que as notas variam entre 1 e 100 e que as cem notas obtidas n˜ao s˜ao todas iguais, pode-se afirmar que a nota retirada est´a no intervalo:
[75, 80] a) [85, 90[ b) [90, 95[ c) [95, 100] d)
20. (Olimp´ıada de Campina Grande 2003) Numa classe de 8a s´erie do Ensino Fundamental, 80% dos alunos
passaram no exame final e a m´edia deles foi 0,8 ponto acima da nota de aprova¸c˜ao. A m´edia dos alunos reprovados foi 1,2 ponto abaixo da nota de aprova¸c˜ao. A m´edia global dos alunos foi 6,6. Qual foi a m´edia de aprova¸c˜ao?
21. (OBM 1998) A m´edia aritm´etica de seis n´umeros ´e 4. Quando acrescentamos um s´etimo n´umero, a nova m´edia ´e 5. O n´umero que foi acrescentado ´e:
5 a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e)
22. (OBM 2000) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribu´ıdos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na Turma A e os 30 seguintes na Turma B. As m´edias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o ´ultimo colocado da Turma A para a Turma B. Com isso:
A m´edia da Turma A melhorou, mas a da Turma B piorou. a)
A m´edia da Turma A piorou, mas a da Turma B melhorou. b)
As m´edias de ambas as turmas melhoraram. c)
As m´edias de ambas as turmas pioraram. d)
As m´edias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos. e)
23. (OBM 2003) Considere as seguintes defini¸c˜oes:
• A m´edia aritm´etica de dois n´umeros reais positivos ´e a metade da sua soma.
• A m´edia harmˆonica de dois n´umeros reais positivos ´e o inverso da m´edia aritm´etica dos inversos desses n´umeros.
A diferen¸ca entre a m´edia aritm´etica e m´edia harmˆonica dos n´umers 4 e 6 ´e: 0,1 a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e)
24. (OBM 2004) Numa prova para uma sala com 30 alunos, a m´edia aritm´etica das 10 piores notas ´e 3 e a m´edia aritm´erica das 10 melhores notas ´e 9. O menor valor poss´ıvel e o maior valor poss´ıvel para a m´edia da sala s˜ao, respectivamente:
6 e 7 a) 5 e 7 b) 4 e 6 c) 3 e 9 d) 4 e 8 e)
25. (OBM 2003) A m´edia de cinco inteiros positivos diferentes ´e 11. Determine o maior valor poss´ıvel para o maior dos cinco inteiros.
26. (OBM 2000) Listamos os inteiros de 1 a n. Desta lista apagamos o inteiro m. A m´edia dos n − 1 n´umeros restantes ´e 13411. Determine n e m.
