INE 6006 – Exercícios resolvidos - Resolução em itálico, observações em azul.
1) A resistência interna à pressão (medida em psi) em garrafas de vidro usadas para bebidas gaseificadas é um aspecto importante de qualidade. Certa fábrica de garrafas tem 3 linhas de produção: A, B e C. Periodicamente, amostras de 25 garrafas de cada linha são retiradas por sorteio, e encaminhadas ao fabricante de bebidas para análise. Na última vez que este procedimento foi feito, os resultados abaixo foram encontrados:
Medidas Linha A Linha B Linha C Total
Média 178,9664 184,142 176,6884 179,9323 Mediana 180,72 184 177,3 179,81 Desvio padrão 8,2279 10,0553 8,5903 9,4095 CV% 4,60% 5,46% 4,86% 5,23% Qi 174,07 176,17 169,94 174,655 Qs 184,25 189,85 183,13 186,53 Qs – Md 3,53 5,85 5,83 6,72 Md – Qi 6,65 7,83 7,36 5,155 Qi – 1,5×(Qs-Qi) 158,8 155,65 150,155 156,8425 Qs + 1,5×(Qs-Qi) 199,52 210,37 202,915 204,3425 Mínimo 159,13 161,24 161,97 159,13 Máximo 193,64 207,13 192,07 207,13 Assimetria -0,2809 0,1300 -0,0750 0,1351 Curtose 0,2262 0,4853 -0,8526 0,2079
a) Com base apenas nas medidas de síntese do TOTAL de garrafas da tabela acima, caracterize a tendência central, dispersão, assimetria, curtose e existência de discrepantes da resistência à pressão. b) Com base apenas nas medidas de síntese é possível considerar que a resistência apresenta distribuição normal nas 3 linhas de produção?
c) Com base apenas nas medidas de síntese há evidência de diferença na resistência em função das linhas de produção?
RESOLUÇÃO a)
Tendência central
O valor típico de pressão oscila entre 179,81 (mediana – 50% dos clientes abaixo e 50% acima deste valor) e 179,9323 psi (média).
Dispersão
A variação total da pressão é de 159,13 (mínimo) a 207,13 psi (máximo), com um desvio padrão de 9,4095 psi, que representa 5,23% (CV%) da média (não há como saber se é uma dispersão grande ou não, pois não há padrão de comparação).
Assimetria
A assimetria vale 0,1351 (se igual a zero significa simetria), média e mediana são próximas (179,9323 e 179,81 psi), e a diferença entre quartil superior e mediana (6,72 psi) é semelhante à entre mediana e quartil inferior (5,155 psi). Tudo isso aponta para uma distribuição simétrica.
Curtose
A distribuição deve ser mesocúrtica, pois o valor de curtose (0,2079) está próximo de zero. Se fosse leptocúrtica o valor seria consideravelmente maior do que 0, e se platicúrtica, menor.
Existência de discrepantes
Valores menores do que 156,8425 psi seriam discrepantes inferiores. Como o valor mínimo é 159,13 psi, não há discrepantes inferiores. Valores maiores do que 204,3425 psi seriam discrepantes superiores. Como o valor máximo é 207,13 psi, portanto maior do que 204,3425 psi, pode-se afirmar
que há no mínimo um valor discrepante superior de pressão (o próprio valor de máximo). b)
Sim, pois das condições necessárias para uma distribuição de uma variável quantitativa poder ser considerada normal duas são satisfeitas por todas as 3 linhas de produção: a medida de assimetria precisa ser próxima de zero E a medida de curtose também. Isso ocorre nas três linhas: na linha A, assimetria -0,2809 e curtose 0,2262; na linha B, assimetria 0,1300 e curtose 0,4853; na linha C, assimetria -0,0750 e curtose -0,8526. Claro que, em uma situação real usaríamos outros meios para confirmar isso: gráfico de probabilidade normal, um teste de aderência, etc.
c)
Como as médias e medianas são semelhantes nas três linhas de produção podemos realizar a análise comparando medianas e quartis.
Os quartis e mediana da linha B são os maiores das três linhas (176,17, 189,95 e 184 psi, respectivamente), enquanto os da linha C são os menores (169,94, 183,13 e 177,3 psi), e os da linha A estão em um patamar intermediário (174,07, 184,25 e 180,72 psi). Este mesmo comportamento ocorre nas médias (184,142 psi na B, 176,6884 psi na C e 178,9664 psi na A). Conclui-se então que há evidência de diferenças entre as resistências, embora não seja muito grande, pois a maior não passa de 7 psi (entre as medianas das linha B e C) e a menor de 2 psi (entre as medianas das linhas A e C) . Novamente, em uma situação real precisaríamos de gráficos, e possivelmente realizar testes de hipóteses (para comparar as médias das resistências das linhas 2 a 2, ou uma análise de variância, para avaliar ser há diferenças significativas entre as médias das três linhas. Pelos valores envolvidos, os testes poderiam indicar que não há diferença significativa entre A e C, mas que talvez haja entre B e C, veja a questão 5.
2) O fabricante de bebidas da questão 1 deseja estimar a média de resistência das garrafas provenientes das linhas de produção A, B e C. Exige confiança de 99%. Sabe-se que as amostras foram retiradas de lotes de 250 garrafas, e informação recente parece indicar que as distribuições das pressões nas 3 linhas podem ser consideradas aproximadamente normais. Com base nas medidas de síntese da questão 1, obtenha os intervalos de confiança para as médias de resistência e interprete os resultados.
RESOLUÇÃO
Como as distribuições das resistências nas 3 linhas de produção podem ser consideradas aproximadamente normais, e as amostras apresentam apenas 25 elementos (menos de 30), e as variâncias populacionais das resistências são desconhecidas (não há nenhuma informação a respeito), devemos calcular os intervalos de confiança usando a distribuição t de Student:
n s t x %) 99 ; ( IC
Como as três amostras têm 25 elementos, e o intervalo tem que ter 99% de confiança, podemos encontrar o valor de t, tn-1,crítico, para a expressão acima, e usá-lo para determinar os três intervalos:
Procurando na tabela t de Student, para 24 graus de liberdade (gl = n – 1 = 25 – 1 = 24), para uma área na cauda superior igual a 0,005 (pois o intervalo de confiança é simétrico, o que obriga a dividir 1% em dois, resultando 0,5%, 0,005 em valores absolutos), obtém-se tn-1,crítico = 2,797
Basta agora substituir os valores na expressão, para cada linha de produção: Linha de produção A: 6027 , 4 9664 , 178 25 2279 , 8 797 , 2 9664 , 178 n s t x %) 99 ; ( IC A psi Linha de produção B: 6249 , 5 142 , 184 25 0553 , 10 797 , 2 142 , 184 n s t x %) 99 ; ( IC B psi Linha de produção C: 8054 , 4 6884 , 176 25 5903 , 8 797 , 2 6884 , 176 n s t x %) 99 ; ( IC C psi
Mas como os tamanhos das três populações são conhecidos (N = 250), e N é menor do que 20 × n, é preciso corrigir os valores dos erros dos ICs:
Linha de produção A: 3753 , 4 9664 , 178 1 250 25 250 6027 , 4 9664 , 178 1 N n N n s t x %) 99 ; ( IC A psi Linha de produção B: 3470 , 5 142 , 184 1 250 25 250 6249 , 5 142 , 184 1 N n N n s t x %) 99 ; ( IC B psi Linha de produção C: 5679 , 4 6884 , 176 1 250 25 250 8054 , 4 6884 , 176 1 N n N n s t x %) 99 ; ( IC C psi E as interpretações:
Na linha A, há 99% de probabilidade de que a média populacional da resistência esteja entre 174,5911 e 183,3417 psi.
Na linha B, há 99% de probabilidade de que a média populacional da resistência esteja entre 178,795 e 189,489 psi.
Na linha C, há 99% de probabilidade de que a média populacional da resistência esteja entre 172,1205 e 181,2563 psi.
Observe que o intervalo da linha B apresenta limites inferior e superior acima dos das outras linhas, e que a linha C apresenta os menores limites. Contudo, existe superposição entre todos eles.
3) O fabricante de bebidas da questão 1 necessita que as garrafas apresentem uma resistência média à pressão de no mínimo 175 psi. Sabe-se, pela questão 2, que as distribuições das resistências nas populações podem ser aproximadas pela normal.
a) Aplicando um teste estatístico apropriado, usando 1% de significância e as medidas da questão 1, responda se as 3 linhas de produção atendem ao requisito.
b) Se a média real fosse de 177 psi, qual seria a probabilidade do teste da letra a detectar isso, supondo que os desvios padrões amostrais sejam boas estimativas dos desvios padrões populacionais?
c) Se desejássemos que o teste da letra a detectasse que a média real vale 177 psi com 90% de probabilidade, para 1% de significância, supondo que os desvios padrões amostrais sejam boas estimativas dos desvios padrões populacionais, qual seria o tamanho mínimo de amostra necessário para cada linha de produção?
RESOLUÇÃO a)
Trata-se de uma situação que exige tomada de decisão, obrigando o uso de teste de hipóteses, além disso, está explicitamente pedido no enunciado para aplicar um teste de hipóteses.
Enunciando as hipóteses:
H0: μ = 175 psi H1: μ > 175 psi
Está explicitamente dito para testar a média (μ), e o valor de teste é de 175 psi. Se as garrafas resistirem a mais do que isso, serão aprovadas. Como rejeitar H0 é uma declaração “mais forte” do que aceitá-la, usamos o maior do que 175 em H1, pois para rejeitar a hipótese a amostra indica que existem provas estatísticas suficientes para isso (“guilty” no direito penal americano), enquanto que ao aceitar a hipótese não encontramos provas suficientes para rejeitá-la (“not guilty”).
Trata-se de um teste unilateral à direita, em cada linha as amostras tem 25 elementos (menos do que 30), as variâncias populacionais das resistências nas 3 linhas são desconhecidas (não há informações, novamente, a respeito), mas as distribuições das resistências podem ser aproximadas por uma normal: devemos usar a distribuição t de Student com 24 graus de liberdade (gl = n – 1 = 25 – 1 = 24):
n / s x t 0 24 Linha de produção A: 410 , 2 25 / 2279 , 8 175 9664 , 178 n / s x t 0 24 Linha de produção B: 546 , 4 25 / 0553 , 10 175 142 , 184 n / s x t 0 24 Linha de produção C: 983 , 0 25 / 5903 , 8 175 6884 , 176 n / s x t 0 24
Como os testes são unilaterais à direita é preciso calcular a probabilidade de que t24 seja maior do que os valores calculados, e comparar com 1% (0,01). Procurando na tabela da distribuição t de Student para 24 graus de liberdade.
Linha A
Área na cauda superior 0,025 ? 0,01
Valor de t24 2,064 2,410 2,492
Como t24 = 2,410, entre 2,064 e 2,492, significa que:
0,01 < P(t24> 2,410) < 0,025, e, portanto, MAIOR do que 0,01 (nível de significância), indicando que H0 deve ser ACEITA. Interpretação: não há prova estatística suficiente de que a resistência média das garrafas da linha A seja maior do que 175 psi.
Veja a figura abaixo para maior esclarecimento:
A probabilidade de que t24 seja maior do que 2,410 vale 0,012, portanto maior do que o nível de significância de 1% (0,01), levando à aceitação de H0. Note, porém, que é um caso de fronteira, pois o valor é apenas um pouco maior do que 0,01.
Linha B
Área na cauda superior 0,0005 ?
Valor de t24 3,745 4,546
Como t24 = 4,546, acima de 3,745, significa que:
P(t24 > 4,546) < 0,0005, e, portanto, MENOR do que 0,01 (nível de significância), indicando que H0 deve ser REJEITADA. Interpretação: há prova estatística suficiente de que a resistência média das garrafas da linha B seja maior do que 175 psi.
Veja a figura abaixo para maior esclarecimento:
A probabilidade de que t24 seja maior do que 4,546 vale 0,0001, portanto menor do que o nível de significância de 1% (0,01), levando à rejeição de H0. E rejeita-se com bastante folga, pois a probabilidade é mais de cem vezes menor do que 0,01.
Linha C
Área na cauda superior 0,25 ? 0,10
Valor de t24 0,685 0,983 1,318
Como t24 = 0,983, entre 0,685 e 1,318, significa que:
0,10 < P(t24> 0,983) < 0,25, e, portanto, MAIOR do que 0,01 (nível de significância), indicando que H0 deve ser ACEITA. Interpretação: não há prova estatística suficiente de que a resistência média das garrafas da linha C seja maior do que 175 psi.
Veja a figura abaixo para maior esclarecimento:
A probabilidade de que t24 seja maior do que 0,983 vale 0,1677, portanto muito maior do que o nível de significância de 1% (0,01), mais de dez vezes, levando à aceitação de H0.
b)
Na prática (LE-3) deveríamos usar a distribuição t de Student não central, mas uma aproximação razoável para calcular o poder do teste pode ser feita pela t de Student “comum” (central).
Para as três linhas de produção as hipóteses, níveis de significância e tamanhos de amostra são os mesmos, mudando apenas os desvios padrões. E as hipóteses foram:
H0: μ = 175 psi H1: μ > 175 psi
Trata-se de um teste unilateral à direita, com valor de teste μ0 = 175. Então os valores de tc (valor de t acima do qual rejeitaríamos H0, pois é um teste unilateral À DIREITA) serão os mesmos para as três linhas: procurando na tabela t de Student, para 24 graus de liberdade e área na cauda superior igual a 0,01, obtemos tc = 2,492. Considerando os desvios padrões amostrais como bons estimadores dos desvios padrões populacionais, podemos encontrar os valores críticos de médias amostrais, correspondentes a tc:
Linha de produção σ ≅ s Valor crítico de média amostral
A 8,2279 101 , 179 25 2279 , 8 492 , 2 175 n s t x A c 0 cA B 10,0553 012 , 180 25 0553 , 10 492 , 2 175 n s t x B c 0 cB C 8,5903 281 , 179 25 5903 , 8 492 , 2 175 n s t x C c 0 cC
Agora precisamos calcular o valor de t, ou seja, o valor correspondente à média amostral crítica na distribuição suposta real da resistência, que apresenta média igual 177 psi. O poder do teste será a probabilidade de que t seja MAIOR do que t, pois é um teste UNILATERAL à direita com região de rejeição da hipótese H0 à direita, portanto acima da média amostral crítica (correspondente a tc). Mas
que precisa ser calculado na distribuição que tem média “real” igual a 177 psi.
Linha de produção t A 277 , 1 25 / 2279 , 8 177 101 , 179 n / s x t A cA A B 498 , 1 25 / 0553 , 10 177 012 , 180 n / s x t B cB B C 328 , 1 25 / 5903 , 8 177 281 , 179 n / s x t C cC C
Como t tem 24 graus de liberdade, e o teste é unilateral à direita, o poder do teste será P(t24> t), procurando na tabela da t de Student para 24 graus de liberdade:
Linha A
Área na cauda superior 0,25 ? 0,10
Valor de t 0,685 1,277 1,318
Como t = 1,277, entre 0,685 e 1,318, significa que: 0,10 < Poder do teste = P(t24 > 1,277) < 0,25. Linha B
Área na cauda superior 0,10 ? 0,05
Valor de t 1,318 1,498 1,711
Como t = 1,498, entre 1,318 e 1,711, significa que: 0,05 < Poder do teste = P(t24 > 1,498) < 0,10. Linha C
Área na cauda superior 0,10 ? 0,05
Valor de t 1,318 1,328 1,711
Como t = 1,328, entre 1,318 e 1,711, significa que: 0,05 < Poder do teste = P(t24 > 1,328) < 0,10.
Note que são valores pequenos, indicando provavelmente que a amostra deveria ser maior para a diferença exigida (2 psi acima de μ0). Apenas para referência, os valores do poder do teste para as três
linhas de produção pela distribuição t não central foram 11,93%, 8,28% e 11%, respectivamente, e os obtidos pela aproximação foram 10,69%, 7,36% e 9,83%, respectivamente.
c)
Usando a expressão de cálculo de tamanho de amostra para testes de hipóteses unilaterais, para caso de variância populacional desconhecida:
2 ; 1 0 n ; 1 0 n 0 t t n e s 0
Todas as amostras piloto têm 25 elementos, então t terá 24 graus de liberdade (gl = n – 1 = 25 – 1 = 24). O nível de significância () vale 0,01(1%), e o poder do teste vale 0,9 (90%) para uma média real de 177 psi. Procurando na tabela da distribuição t de Student para 24 graus de liberdade, para área na cauda superior igual a 0,01 e 0,1 (1-0,9), encontramos:
tn0-1; = t24;0,01 = 2,492 e tn0-1; = t24;0,1 = 1,318
Independente do tipo de teste é IMPERATIVO que os dois valores tenham o mesmo sinal para que se somem na expressão de cálculo do tamanho de amostra.
Os valores de para as linhas de produção: 2431 , 0 2279 , 8 175 177 sA 0 A 0,1989 0553 , 10 175 177 sB 0 B 0,2328 5903 , 8 175 177 sC 0 C Linha A: 246 629 , 245 2431 , 0 318 , 1 492 , 2 t t n 2 2 ; 1 0 n ; 1 0 n 0 Linha B: 367 927 , 366 1989 , 0 318 , 1 492 , 2 t t n 2 2 ; 1 0 n ; 1 0 n 0 Linha C: 268 845 , 267 2328 , 0 318 , 1 492 , 2 t t n 2 2 ; 1 0 n ; 1 0 n 0
Como conhecemos os tamanhos das populações (250 nas três linhas), e dois tamanhos de amostra são maiores do que os das populações, é preciso fazer a correção:
Linha A: 124 992 , 123 246 250 246 250 n N n N n 0 0 Linha B: 149 703 , 148 367 250 367 250 n N n N n 0 0 Linha C: 130 344 , 129 268 250 268 250 n N n N n 0 0
Para 177 psi, que está próxima da média testada (175 psi), para uma significância de 1% e poder do teste de 90% (90% de probabilidade de detectar que a média real da resistência NÃO é 175, mas sim 177 psi), precisaríamos de amostras bem maiores do que as retiradas originalmente (no mínimo 4,96 vezes mais...).
4) Imagine que as garrafas da questão 1 são avaliadas qualitativamente como defeituosas ou não defeituosas. Uma amostra aleatória de 250 garrafas foi retirada de um lote de 4000. Foram encontradas 41 defeituosas na amostra.
a) Obtenha o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de garrafas defeituosas. b) Para uma confiança de 95% e precisão de 3% encontre o tamanho mínimo necessário de amostra, usando a proporção amostral encontrada e através da estimativa exagerada.
RESOLUÇÃO a)
Está declarado textualmente para obter intervalo de confiança de proporção. Mas o primeiro passo é avaliar se é possível aproximar a distribuição da proporção amostral de garrafas defeituosas por uma normal.
Considerando “sucesso” garrafa defeituosa, das quais há 41 na amostra de 250, resulta que “fracasso” será garrafa não defeituosa, das quais há 209 na amostra de 250. Então:
164 , 0 250 41 pˆ e 0,836 250 209 pˆ 1
Verificando as condições para aproximação pela normal:
209 836 , 0 250 ) pˆ 1 ( n 41 164 , 0 250 pˆ n 0 0
Como AMBOS são maiores ou iguais a 5 é possível aproximar a distribuição da proporção amostral por uma normal, e usar a expressão abaixo:
n ) pˆ 1 ( pˆ Z pˆ %) 95 ; p ( IC
Como a amostra tem 250 elementos, o intervalo tem que ter 95% de confiança, podemos encontrar o valor de Z, Z,crítico, para a expressão acima, e usá-lo para determinar o intervalo:
046 , 0 164 , 0 250 836 , 0 164 , 0 96 , 1 164 , 0 n ) pˆ 1 ( pˆ Z pˆ %) 95 ; p ( IC
Mas como o tamanho da população é conhecido (N = 4000), e N é menor do que 20 × n, é preciso corrigir o valor do erro do IC:
044 , 0 164 , 0 1 4000 250 4000 250 836 , 0 164 , 0 96 , 1 164 , 0 1 N n N n ) pˆ 1 ( pˆ Z pˆ %) 95 ; p ( IC Interpretação:
Há 95% de probabilidade de que a proporção populacional de garrafas defeituosas esteja entre 0,12 (12%) e 0,208 (20,8%).
Por ser um intervalo de confiança bilateral a significância, 5% (100% - 95% = 5%), 0,05 em valor absoluto, precisa ser dividida igualmente em duas partes: 0,025 na cauda superior e 0,025 na inferior. Procuramos então por Zcrítico, tal que P(Z>Zcrítico) = 0,025. Pela tabela da distribuição normal padrão encontramos Zcrítico = 1,96.
Substituindo todos os valores na expressão do intervalo de confiança:
b)
Exige-se uma confiança de 95%, portanto significância de 5%, com precisão (erro máximo) de 3% (0,03 em valor absoluto) para o intervalo de confiança da proporção de garrafas defeituosas. O valor de Z será o mesmo do item a, pelas mesmas razões.
Usando os dados da amostra piloto:
586 221 , 585 03 , 0 836 , 0 164 , 0 96 , 1 E ) pˆ 1 ( pˆ Z n 2 2 2 0 2 crítico 0
Como o tamanho da população é conhecido:
512 121 , 511 586 4000 586 4000 n N n N n
Usando a estimativa exagerada, em que a proporção amostral é igual a 0,5:
1068 111 , 1067 03 , 0 5 , 0 5 , 0 96 , 1 E ) pˆ 1 ( pˆ Z n 2 2 2 0 2 crítico 0
Como o tamanho da população é conhecido:
843 936 , 842 1068 4000 1068 4000 n N n N n
Usando os dados da amostra piloto no mínimo 512 elementos para 95% de confiança e precisão de 3% para estimar a proporção populacional. Usando a estimativa exagerada o tamanho mínimo de amostra sobe para 843.
5) Aplicando um teste estatístico apropriado, usando 1% de significância e as medidas da questão 1, há evidência de diferença entre as médias de resistência das garrafas das linhas B e C? E entre A e C? Trata-se de uma situação que exige tomada de decisão, obrigando o uso de teste de hipóteses, além disso, está explicitamente pedido no enunciado para aplicar um teste de hipóteses, no caso teste de diferença entre médias. Primeiro mostramos o procedimento para as linhas B e C
Enunciando as hipóteses para as linhas B e C :
H0: μB = μC H1: μB ≠ μC Está explicitamente dito para testar as médias (μ).
Trata-se de um teste bilateral, em cada linha as amostras tem 25 elementos (menos do que 30), as variâncias populacionais das resistências nas duas linhas são desconhecidas (não há informações, novamente, a respeito), mas as distribuições das resistências podem ser aproximadas por uma normal: devemos usar a distribuição t de Student com 48 graus de liberdade (gl = nB + nC – 2 = 25 + 25 – 2 = 48), e como as amostras têm o mesmo tamanho:
2 a C B 48 s 2 n x x t e 2 s s s 2 C 2 B 2 a Substituindo os valores nas expressões:4511 , 87 2 5903 , 8 0553 , 10 2 s s s 2 2 2 C 2 B 2 a
2,818 4511 , 87 2 25 ) 6884 , 176 142 , 184 ( s 2 n x x t 2 a C B 48 Como o teste é bilateral é preciso calcular a probabilidade de que t48 seja maior do que os valores calculados, multiplicar esta probabilidade por 2, e comparar com 1% (0,01). Procurando na
tabela da distribuição t de Student para 48 graus de liberdade (podemos aproximar por 50 graus de liberdade).
Área na cauda superior 0,005 ? 0,0025
Valor de t48 2,678 2,818 2,937
Como t48 = 2,818, entre 2,678 e 2,937, significa que:
0,0025×2 < P(t48> 2,818) < 0,005×2, ou seja, 0,005 < < P(t48> 2,818) < 0,01, e, portanto, MENOR do que 0,01 (nível de significância), Indicando que H0 deve ser REJEITADA. Interpretação: há prova estatística suficiente de que as resistências médias das garrafas das linhas B e C sejam diferentes.
Veja a figura abaixo para maior esclarecimento:
A probabilidade de que t48 seja maior do que 2,818 vale 0,0035, multiplicando-a por 2 resulta 0,007, portanto abaixo do nível de significância de 1% (0,01), levando à rejeição de H0.
Enunciando as hipóteses para as linhas A e C :
H0: μA = μC H1: μA ≠ μC Está explicitamente dito para testar as médias (μ).
Trata-se de um teste bilateral, em cada linha as amostras tem 25 elementos (menos do que 30), as variâncias populacionais das resistências nas duas linhas são desconhecidas (não há informações, novamente, a respeito), mas as distribuições das resistências podem ser aproximadas por uma normal: devemos usar a distribuição t de Student com 48 graus de liberdade (gl = nA + nC – 2 = 25 + 25 – 2 = 48), e como as amostras têm o mesmo tamanho:
2 a C A 48 s 2 n x x t e 2 s s s 2 C 2 A 2 a Substituindo os valores nas expressões:746 , 70 2 5903 , 8 2279 , 8 2 s s s 2 2 2 C 2 A 2 a
0,958 746 , 70 2 25 ) 6884 , 176 9664 , 178 ( s 2 n x x t 2 a C A 48 Como o teste é bilateral é preciso calcular a probabilidade de que t48 seja maior do que os valores calculados, multiplicar esta probabilidade por 2, e comparar com 1% (0,01). Procurando na tabela da distribuição t de Student para 48 graus de liberdade (podemos aproximar por 50 graus de liberdade).
Área na cauda superior 0,25 ? 0,10
Valor de t48 0,679 0,958 1,299
0,10×2 < P(t48> 0,958) < 0,25×2, ou seja, 0,2 < P(t48> 0,958) < 0,50, e, portanto, MAIOR do que 0,01 (nível de significância), indicando que H0 deve ser ACEITA. Interpretação: não há prova estatística suficiente de que as resistências médias das garrafas das linhas A e C sejam diferentes.
Veja a figura abaixo para maior esclarecimento:
A probabilidade de que t48 seja maior do que 0,958 vale 0,1714, multiplicando-a por 2 resulta 0,3428, portanto bem maior do que o nível de significância de 1% (0,01), levando à aceitação de H0.
