Considerações sobre os efeitos locais de 2ª ordem

Considerações sobre os efeitos locais de 2ª ordem

(1) Engenheiro Civil pela UFBA, Mestre em Engenharia pela PUC-Rio, Professor Titular da UNIFACS e Engenheiro da Telefonica Celular

email: tjms@ig.com.br

Rua das Acácias, n. 90, Pituba – Salvador – Bahia

Resumo

Apresentam-se os resultados de estudos paramétricos de colunas de concreto armado realizados com dois modelos computacionais em análise física e geometricamente não linear, utilizando as recomendações da NB-1/78 e da nova NB-1, respectivamente. Versões anteriores destes estudos foram enviadas à comissão revisora da NB-1 que considerou os resultados apresentados na elaboração da nova norma.

O primeiro aspecto abordado trata da fixação do índice de esbeltez limite, λ1, das colunas de concreto armado. Nos estudos relatados, foram analisadas 115 colunas, para 15 índices de esbeltez diferentes, 23 amplitudes de excentricidade, 4 taxas de armadura e 3 relações entre as excentricidades extremas. Como resultado, são sugeridas algumas expressões simples para o cálculo de λ1, em função das excentricidades nos extremos da coluna. É feita uma comparação com as recomendações de outras normas e as propostas de outros estudos, e em especial com a nova NB-1.

O segundo aspecto abordado trata do cálculo da excentricidade equivalente das colunas com excentricidades quaisquer nos extremos. Neste estudo, foram analisadas 90 colunas, para 3 índices de esbeltez diferentes, 3 amplitudes de excentricidade e duas taxas de armadura. Como resultado, conclui-se que a fórmula de cálculo do fator αb adotada pela nova NB-1, e por outras normas, é precisa, e que o limite inferior de 0,4 usado na nova NB-1 pode ser desconsiderado em várias situações de projeto.

1 Introdução

1.1 A dispensa da consideração dos efeitos de segunda ordem locais

Tradicionalmente, a avaliação da importância dos efeitos de segunda ordem locais nas colunas é feita com base no índice de esbeltez λ, relação entre o comprimento de flambagem e o raio de giração da seção de concreto da coluna. É normalmente estabelecido nas normas um valor limite para λ, aqui chamado de λ1, a partir do qual os efeitos de segunda ordem locais precisam ser considerados. As normas, em geral, estabelecem o valor de λ1 em função da redução da capacidade resistente da coluna no estado limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de primeira ordem. O valor dessa redução é definido arbitrariamente, não devendo ser superior a 5% no ACI/95 (1995) ou a 10% no CEB/90 (1990). Os principais fatores que influenciam essa redução da capacidade resistente são: o índice de esbeltez, a taxa de armadura e a magnitude e forma do diagrama de momentos fletores de primeira ordem ao longo da coluna.

A influência desses fatores sobre a resistência das colunas retangulares foi quantificada por Souza (1992), através de uma análise paramétrica de colunas isoladas, utilizando um programa computacional de pórticos planos de concreto armado (RCFRAME) desenvolvido por Krüger (1989). Os resultados obtidos permitiram a obtenção de equações para cálculo da redução da capacidade resistente das colunas sob flexo-compressão reta. O fator de redução da capacidade portante da coluna r foi obtido como a razão entre Pu2, força normal última da coluna considerando-se os efeitos de segunda ordem, e Pu1, força normal última da coluna desprezando-se os efeitos de segunda ordem. As equações encontradas (Souza, 1992; Souza et al, 1994) são função da excentricidade relativa de primeira ordem aplicada aos nós da coluna e1/h, da taxa mecânica de armadura ω e do índice de esbeltez λ. Estas equações foram deduzidas para o caso das colunas isoladas, com excentricidades iguais e de mesmo sentido nos extremos (curvatura única), de seção retangular, com armaduras iguais e distribuídas ao longo de dois lados opostos. Para este caso, com base na primeira equação deduzida para o fator de redução da capacidade resistente r, pôde-se então deduzir uma equação para a esbeltez limite das colunas de concreto armado, válida quando a excentricidade relativa de primeira ordem e1/h é menor que 0,6, admitindo uma perda máxima de 10% na capacidade resistente da coluna:

λ1 = 100. 0,06 (Equação 1.1)

(0,4 – 0,1.ω).(1 + 3.e1 / h)

onde ω é a taxa mecânica de armadura e e1/h é a excentricidade relativa de primeira ordem, de igual valor e sentido atuante nos extremos da coluna.

Anteriormente, Santos (1991) apresentou uma tabela com valores propostos para λ1, porém diferentes dos encontrados com a equação 1.1. Estas diferenças se devem ao fato de que o critério adotado por Santos para definir se uma coluna era esbelta ou não foi a máxima majoração dos momentos de primeira ordem ao longo da coluna, devido aos efeitos de segunda ordem, no caso limitada a 10%. O trabalho de Souza (1992) adotava o critério da redução da capacidade resistente sob flexo-compressão reta, ou seja, redução do momento e da força normal resistente, concomitantemente, para um dado e1/h.

A validade das equações deduzidas para as colunas com seção retangular e armaduras iguais e opostas foi feita para outros tipos de seção de forma indireta, pela comparação

dos resultados encontrados com as equações obtidas e as tabelas do CEB/78 (1978) (Souza et al, 1994). Estas comparações, para as seções retangulares com outras disposições de armaduras e para a seção circular, mostraram que as diferenças no valor de r são pequenas quando o índice de esbeltez da coluna esta próximo do índice de esbeltez limite.

França (1994) apresentou equações simples e que serviram como base para a formulação das equações constantes na nova NB-1 (NB-1, 2001).

Posteriormente, Souza et al (1995 e 1998) apresentou trabalhos acrescentando aos anteriores, já citados, um estudo de casos de colunas com curvatura reversa e de grandes excentricidades relativas. Na totalidade, foram simuladas e analisadas 115 colunas, para 15 índices de esbeltez diferentes, 23 amplitudes de excentricidade, 4 taxas de armadura e 3 relações entre as excentricidades extremas. Sintetizando os resultados dos dois últimos trabalhos, para o caso das colunas com excentricidades iguais e de mesmo sentido, é apresentada a tabela 1.1 mostrando os valores de λ para se obter uma redução de 10% na capacidade resistente das colunas de seção retangular, com armaduras iguais e distribuídas ao longo de dois lados opostos.

Colunas ρρρρ (%) λλλλ e1 _{/ h} e1 _{/ h} C12 C13 C14 C15 C16 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 25 27,5 30 32,5 34 - 0,45 0,35 0,25 0,20 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 C17 C18 C19 C20 C21 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 37,5 40 50 70 100 0,10 0,075 0,015 - - 1,30 1,50 2,00 2,50 6,00 Dados complementares: Concreto: C20 d`/h = 0,10 Aço: CA 50 B

γc = 1,4 γs = 1,15

Tabela 1.1 - Valores de λ e1/h correspondentes a r igual a 0,90.

Como resultado, e com base na tabela anterior, foram propostas as equações 1.2 a 1.5 que são simples e permitem a avaliação do valor de λ1 para vários casos práticos.

λ1 = α.(42 - 50.e1a/h) para e1a/h ≤0,34 (Equação 1.2) λ1 = α.25 para 0,34 < e1a/h < 0,75 (Equação 1.3) λ1 = α.(13 + 16.e1a/h) para e1a/h ≥0,75 (Equação 1.4)

λ1≤80 (Equação 1.5)

onde e1a é a maior das excentricidades de primeira ordem existentes nos extremos da coluna. O coeficiente α leva em conta a influência da forma do diagrama de momentos de primeira ordem ao longo da coluna no valor de λ1. O limite indicado na equação 1.5 é arbitrário e foi proposto procurando-se limitar o índice de esbeltez máximo absoluto para a dispensa dos efeitos locais de segunda ordem.

Para estudo do valor do coeficiente α foi utilizada uma metodologia de pesquisa semelhante à exposta anteriormente, ou seja, busca dos pontos de r igual a 0,90 (perda de 10% da capacidade resistente). A tabela 1.2 mostra os valores adotados para os

parâmetros e os correspondentes valores de r obtidos, além dos valores de λ1 encontrados por interpolação.

Colunas ρρρρ (%) λλλλ e1a / h e1b / e1a r = Pu2 / Pu1 λλλλ1 C10 C10 C10 C10 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,05 0,05 0,05 0,05 1 1 1 1 0,96 0,87 0,73 0,57 ≅ 42 C10 C10 C10 C10 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,05 0,05 0,05 0,05 0 0 0 0 1,00 0,94 0,80 0,60 ≅ 57 C10 C10 C10 C10 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,05 0,05 0,05 0,05 -1 -1 -1 -1 1,00 1,00 0,98 0,94 > 100 C11 C11 C11 C11 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,10 0,10 0,10 0,10 1 1 1 1 0,95 0,84 0,69 0,52 ≅ 36 C11 C11 C11 C11 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,10 0,10 0,10 0,10 0 0 0 0 1,00 0,95 0,81 0,63 ≅ 59 C11 C11 C11 C11 0,8 0,8 0,8 0,8 25 50 75 100 0,10 0,10 0,10 0,10 -1 -1 -1 -1 1,00 1,00 1,00 0,95 > 100

Dados complementares: Concreto: C20 d`/h = 0,10 Aço: CA 50 B

γc = 1,4 γs = 1,15

Tabela 1.2 - Descrição das colunas C10 e C11 − Combinação dos parâmetros e valores de r e λ1 encontrados.

O valor de λ1 para a razão e1b/e1a igual a -1 apresentou um problema de sensibilidade a imperfeições, já detectado por França (1994). Para uma redução de 10% da excentricidade e1b ocorreu uma redução de 25,1% e 20,5% na capacidade resistente da coluna, para e1a/h igual a 0,05 e 0,10, respectivamente. Como a correta avaliação dos momentos fletores nas estruturas aporticadas de concreto armado só é possível de ser feita com programas de análise fisicamente não linear, de pouco uso prático, o caso de e1b/e1a igual a -1 foi desconsiderado. Com os dois pontos que restaram, e1b/e1a igual a 1 e a 0, foi possível obter-se a equação linear do coeficiente α que estabelece a correlação entre a esbeltez limite λ1 para e1b/e1a qualquer e o limite padrão λ1 para e1b/e1a igual a 1, conforme mostrado nas equações 1.6 ou 1.7:

α = 1,35 - 0,35.e1b/e1a para e1a/h = 0,05 (Equação 1.6) e

α = 1,60 - 0,60.e1b/e1a para e1a/h = 0,10 (Equação 1.7) Para efeito prático, deve-se fixar a equação de α de acordo com a excentricidade mínima adotada no projeto das colunas. Na nova NB-1 (NB-1, 2001), caso seja respeitado o momento mínimo de 0,10.h.Nd teríamos e1a/h no mínimo igual a 01,0. Assim, pode-se adotar a equação 1.7.

A nova NB-1 na sua versão de 2001 indica as seguintes equações para a avaliação do valor de λ1: λ1 = 25 + 12,5.e1/h (Equação 1.8) αb sendo: 35/αb ≤ λ1 ≤ 90

onde αb é descrito no item 1.2 deste trabalho.

1.2 A consideração dos efeitos de segunda ordem locais

Nas colunas consideradas isoladamente, a excentricidade de segunda ordem varia ao longo da reta que liga os seus extremos, nestes se anulando. A figura 1.1 mostra a variação desta excentricidade para as colunas com curvatura única e reversa.

Figura 1.1 - Coluna com efeito de segunda ordem em curvatura única (e1b/e1a≥ 0) e reversa (e1b/e1a < 0).

A maioria dos procedimentos simplificados existentes para a consideração dos efeitos locais de segunda ordem nas colunas de concreto armado pertencentes aos pórticos são uma derivação dos procedimentos desenvolvidos para colunas ideais bi-rotuladas, consideradas isoladamente, submetidas a momentos iniciais iguais e de mesmo sentido, que induzam uma deformada da coluna segundo uma curvatura única e que possuam nós fixos.

Verifica-se pela figura 1.1 que para as colunas com curvatura única e excentricidades de primeira ordem iguais nos extremos, e1a = e1b, a excentricidade de primeira ordem, e1, e a excentricidade de segunda ordem, e2, são aditivas em todos os pontos ao longo da coluna. A determinação da seção crítica no dimensionamento é imediata e corresponde à seção do meio do vão, pois é onde se situa o ponto de máximo da soma de e1 com e2.

Quando as colunas estão submetidas a excentricidades ou momentos desiguais nas duas extremidades, a curvatura da peça é diferente e a determinação da seção crítica deixa de ser imediata. Neste caso as normas geralmente utilizam a equação 1.9 originária das normas americanas de estruturas de aço.

αb = 0,6 + 0,4 (e1b/e1a) ≥ 0,4 (Equação 1.9)

Em estudos anteriores (Souza, 1992 e Souza et al, 1993) propõe-se que o limite inferior de 0,4 para o valor de αb poderia ser desconsiderado. Nestes estudos as colunas foram discretizadas com 6 elementos (funções cúbicas para deslocamentos transversais) para as simulações com excentricidades que provocassem uma deformada da coluna em curvatura única, ou seja, razões e1b/e1a iguais a 1,0, 0,5 ou 0. Para as simulações com curvatura reversa, razões e1b/e1a iguais a -0,5 ou -1,0, foi utilizada uma discretização com 14 elementos. A tabela 1.3 mostra as situações estudadas.

Colunas ρρρρ (%) λλλλ e1a / h e1b / e1a C6 C6 C6 0,8 0,8 0,8 25 25 25 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 C6 C6 C6 0,8 0,8 0,8 50 50 50 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 C6 C6 C6 0,8 0,8 0,8 100 100 100 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 C7 C7 C7 3,0 3,0 3,0 25 25 25 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 C7 C7 C7 3,0 3,0 3,0 50 50 50 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 C7 C7 C7 3,0 3,0 3,0 100 100 100 0,10 0,30 0,50 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 1, 0,5, 0, -0,5 e –1 Dados complementares: Concreto: C20 d`/h = 0,10 Aço: CA 50 B

γc = 1,4 γs = 1,15

Tabela 1.3 - Descrição das colunas C6 e C7 - Combinação dos parâmetros.

O valor de αb foi calculado com o procedimento que se descreve a seguir:

Primeiramente, para cada coluna gerada pela combinação dos parâmetros ρ, e1a/h, e1b/e1a e λ, conforme descrito na tabela 1.3, foram obtidas, com o programa RCFRAME, o valor carga última e a posição da seção transversal que atingiu primeiro um estado limite último, levando-se em conta os efeitos de segunda ordem.

Em seguida, realizou-se, para a mesma coluna, uma série de análises de segunda ordem (simulações com o programa RCFRAME), procurando-se, de forma iterativa, o valor da excentricidade de primeira ordem, constante ao longo da coluna, que levasse à mesma carga última da coluna analisada primeiramente, dentro de um erro máximo de 0,6%. O valor de αb, para comparação com a equação 1.9, pôde então ser calculado como a razão entre a excentricidade de primeira ordem da segunda análise e a excentricidade inicial máxima usada na primeira análise.

Como a análise iterativa de segunda ordem requereu em média três tentativas, para se obter o resultado da análise primeiramente realizada, foram realizadas cerca de 4 simulações computacionais para cada uma das 90 colunas descritas na tabela 1.3.

Na dissertação de Souza (1992) são mostrados vários gráficos que apresentam todos os valores calculados de αb, para cada uma das combinações de parâmetros mostradas na tabela 1.3.

Quando a soma dos momentos de primeira e segunda ordem em cada seção intermediária é inferior ao maior momento no extremo da coluna, a seção crítica deixa de ser uma seção intermediária e passa a ser a seção extrema de maior momento inicial, não tendo sentido o cálculo de αb, já que as normas sempre recomendam verificar as colunas também para o máximo momento extremo. Para uma melhor visualização dos resultados obtidos no estudo paramétrico, apresenta-se na figura 1.2 apenas os valores de αb obtidos para seções críticas no vão das colunas analisadas, quando faz sentido o conceito de excentricidade equivalente de primeira ordem. Representa-se também a reta dada pela equação 1.9 sem o limite inferior de 0,4. A tabela 1.4 mostra que parâmetros foram considerados na construção das curvas que na figura 1.2 são representadas apenas pelos pontos onde a seção crítica foi uma seção intermediária.

Curva λλλλ1 e1a / h 1 2 3 25 25 25 0,50 0,30 0,10 4 5 6 50 50 50 0,50 0,30 0,10 7 8 9 100 100 100 0,50 0,30 0,10

Figura 1.2 - Resumo da comparação entre os valores calculados de αb e os valores dados pela equação 1.9.

Da análise da figura 1.2 pode-se concluir que não se justifica a adoção de um limite inferior para o coeficiente αb.

Cabe salientar que o CEB (1990) também desconsidera o limite inferior de 0,4, bem como estudos efetuados com a simulação de perfis de aço de seção I e retangular, supondo comportamento inelástico em análises plana e espacial (Chen e Zhou, 1987), concluíram que a equação 1.9 tem boa precisão, e que o limite inferior de 0,4 para o valor de αb pode ser desconsiderado. As normas americanas do AISC de estruturas de aço já abandonaram este limite inferior nas suas versões LRFD de 1993 e ASD de 1989. Salmon e Johnson (1996), citando vários estudos sobre colunas metálicas, concluem que a adoção de um limite inferior de 0,4 na equação de αb é “um procedimento muito conservador”.

O estudo aqui relatado para as colunas de concreto armado utilizou somente a análise plana. Pode-se, a princípio, admitir que nas simulações espaciais das colunas de concreto armado os resultados também sejam bons, já que estas possuem maior rigidez torsional que as colunas de aço. No trabalho apresentado por Souza (1992), a análise dos resultados também mostrou que a equação 1.9 tende a apresentar resultados crescentemente a favor da segurança à medida que se tornam mais importantes os efeitos de segunda ordem.

A nova NB-1 (NB-1,2001) adota também a equação 1.9 mantendo ainda o limite inferior de 0,4. 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 0,5 0 -0,5 -1 e1b / e1a

Curva 1 Curva 2 Curva 3 Curva 4

Curva 5 Curva 6 Curva 7 Curva 8

Curva 9 Equação 1.9

α αα αb

2 Descrição dos modelos computacionais utilizados

2.1 1º Modelo – RCFRAME

Foi utilizado nos trabalho anteriores o programa de elementos finitos RCFRAME (Krüger, 1989; Dumont e Krüger, 1989), com formulação em deslocamentos, que permite a análise física e geometricamente não linear de pórticos planos de concreto armado. Na análise fisicamente não linear, foram utilizadas as relações tensão-deformação do concreto e do aço constantes na NB-1/78, além de verificados os estados limites últimos desta norma. A tensão de pico do diagrama parábola-retângulo foi feita igual a 0,85.fcd tanto no cálculo das deformações como na verificação dos estados limites últimos.

Maiores detalhes sobre o programa podem ser obtidos em Krüger (1989). Posteriormente, Souza (1992) apresentou um estudo de validação do programa através da comparação do programa com o resultado de vários ensaios de laboratório de vigas e de colunas.

2.2 2º Modelo – ESBELT 2

Neste trabalho se utilizou o modelo computacional ESBELT2 (Santos, 2002), que é um programa comercial de dimensionamento e verificação de colunas de concreto armado que permite também a análise física e geometricamente não linear, através do método da analogia de Mohr. O programa inclui automaticamente os efeitos da imperfeição geométrica da coluna e os efeitos da fluência de acordo com a nova NB-1. Diferentemente do RCFRAME, o ESBELT2 utiliza no cálculo das deformações a tensão de pico de 1,3.0,85.fcd, corrigindo assim a rigidez do concreto fornecida pelo diagrama parábola-retângulo.

A fim de permitir o estudo isolado dos efeitos de segunda ordem com este modelo, como feito com o RCFRAME, foram retirados os efeitos da fluência e das imperfeições geométricas. O efeito da fluência foi retirado adotando-se o carregamento quase-permanente e o coeficiente de fluência iguais a zero. As imperfeições geométricas foram retiradas abatendo-se da excentricidade em estudo o valor da excentricidade acidental, ea, calculada da seguinte forma:

ea = L / (100. L0,5) (Equação 2.1)

ea ≥L / 300 (Equação 2.2)

ea ≤L / 200 (Equação 2.2)

onde L é o comprimento da coluna em balanço, em metros.

Este procedimento corresponde ao preconizado pela versão de 2001 da nova NB-1 e adotado internamente no programa.

Para condução deste estudo, foi utilizada a opção Pilar D do programa (pilar engastado e livre) com imperfeição geométrica no nó.

Maiores detalhes deste programa podem ser obtidos no site www.elms.com.br.

3 Comparação entre os modelos computacionais

A comparação entre os dois modelos computacionais anteriormente descritos permite se avaliar as diferenças nos valores da perda de capacidade resistente das colunas de

concreto armado com o índice de esbeltez igual a λ1, tendo em vista a alteração das hipóteses adotadas na versão atual da NB-1 no que se refere à rigidez do concreto comprimido para efeito de cálculo das deformações, quando comparada com a versão de 1978 da mesma norma.

Foram escolhidas as situações das colunas descritas na tabela 1.1 que serviram de base para a obtenção das equações 1.2 a 1.4. A figura 3.1 a seguir descreve as características das colunas analisadas neste estudo.

3

14 h = 20 Md

3 70

Dados de Projeto das Colunas

Resistência à compressão = 20 MPa Concreto Resistência à tração = 0 MPa

γc = 1,4

Aço Tensão de início de escoamento = 500 MPa Tipo: A; γs = 1,15; d` = 0,15

Figura 3.1 - Seção transversal e características das colunas estudadas.

Cabe salientar que nos estudos anteriores com o RCFRAME foi utilizada a curva tensão-deformação dos aços CA 50 tipo B, diferentemente deste estudo que utiliza a curva dos aços CA 50 tipo A.

A tabela 3.1 mostra os dados de entrada nas simulações e os resultados obtidos com o ESBELT2, mantendo-se a mesma nomenclatura já definida. Mostra-se também os valores de r obtidos com o RCFRAME para cada um dos casos.

Observação: Valores de Pu em KN.

Tabela 3.1 - Descrição das colunas estudadas na comparação dos modelos RCFRAME e ESBELT2.

A figura 3.2 abaixo mostra a variação da diferença no valor de r obtida com o uso dos dois modelos computacionais em função da excentricidade relativa de primeira ordem, e1/h.

Figura 3.2 – Diferença percentual ESBELT2 / RCFRAME em função da excentricidade relativa de primeira ordem e1/h.

Os resultados da comparação acima indicam que apesar das diferenças entre os dois modelos em termos de: método de obtenção da deformada de segunda ordem da peça, critérios de rigidez do concreto comprimido e do tipo do aço (A ou B), entre outras, as

λ L (eng-liv)_{(cm) P} u1 Pu2 r = Pu2 / Pu1 r = Pu2 / Pu1 25 72,17 27,5 79,39 0,450 0,090 0,089 806 740 0,918 0,904 30 86,60 0,350 0,070 0,069 968 875 0,904 0,907 32,5 93,82 0,250 0,050 0,049 1200 1077 0,898 0,897 34 98,15 0,200 0,040 0,039 1345 1210 0,900 0,900 37,5 108,25 0,100 0,020 0,019 1680 1540 0,917 0,903 40 115,47 0,075 0,015 0,014 1682 1590 0,945 0,899 50 144,34 0,015 0,003 0,002 1683 1530 0,909 0,902 70 202,07 100 288,68 25 72,17 0,800 0,160 0,159 390 351 0,900 0,906 27,5 79,39 0,900 0,180 0,179 327 294 0,899 0,904 30 86,60 1,000 0,200 0,199 281 252 0,897 0,895 32,5 93,82 1,100 0,220 0,219 245 220 0,898 0,903 34 98,15 1,200 0,240 0,239 218 195 0,894 0,905 37,5 108,25 1,300 0,260 0,259 196 175 0,893 0,904 40 115,47 1,500 0,300 0,299 163 146 0,896 0,902 50 144,34 2,000 0,400 0,399 114 102 0,895 0,904 70 202,07 2,500 0,500 0,499 87 76 0,874 0,916 100 288,68 6,000 1,200 1,199 33 30 0,909 0,909 ESBELT2 RCFRAME e1a/ h e1a(m) e (m) -6,0% -4,0% -2,0% 0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 0,015 0,075 0,100 0,200 0,250 0,350 0,450 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,50 2,00 2,50 6,00 R a zão Pu ( ESB EL T 2 ) / Pu ( R C F R A M E e1 / h

diferenças na perda da capacidade resistente r são muito pequenas, para os casos dos pequenos efeitos da esbeltez estudados (r igual a ~ 0,90).

Pode-se concluir que os resultados obtidos nos estudos anteriores que utilizaram o RCFRAME são comparáveis com aqueles que seriam obtidos com o ESBELT2 que utiliza as hipóteses da nova NB-1, validando-se assim as conclusões obtidas nos trabalhos anteriores para as hipóteses desta nova norma.

4 Comparação entre valores de

λλλλ

4.1 Para o caso de e

= e

A figura 4.1 a seguir mostra uma comparação dos valores de λ1 constantes na tabela 1.1 (pontos levantados em Souza, 1995), com os obtidos com as equações propostas por França (1994) e por Souza et al (1995 e 1998), além daqueles encontrados com equações da NB-1 (2001), para o caso das colunas com excentricidades iguais e de mesmo sentido. Foram desconsiderados neste gráfico os limites superiores e inferiores indicados nas fontes.

Figura 4.1 – Valores de λ1 em função da e1/h, desconsiderando-se os limites inferiores das equações. 0 20 40 60 80 100 120 0, 015 0, 075 0, 100 0, 200 0, 250 0, 350 0, 450 0, 800 0, 900 1, 000 1, 100 1, 200 1, 300 1, 500 2, 000 2, 500 6, 000

e1 / h

Equações propostas (Souza, 1995) França (1994) λλλλ1

A figura 4.2 a seguir mostra a mesma comparação anterior, porém levando-se em conta os limites fixados nas respectivas referências.

Figura 4.2 – Valores de λ1 em função da e1/h, considerando-se os limites inferiores das equações.

Pode-se observar que as maiores diferenças entre os valores das referências estudadas se encontra na região de e1/h igual 0,8. As simulações feitas com os programas RCFRAME e ESBELTE2, indicariam um valor de λ1 da ordem de 25 enquanto que a NB-1 (200NB-1) indica um valor igual a 35, correspondente ao mínimo valor indicado por esta norma para o índice de esbeltez limite λ1. Esta é a região de excentricidades relativas onde o método da NB-1 leva a resultados mais desfavoráveis em relação à segurança. Por outro lado, para excentricidades relativas menores que 0,14 o método da NB-1 leva a valores mais conservadores.

Souza (1992) efetuou um estudo da variação da redução da capacidade resistente de uma coluna com λ1 igual a 34, pois corresponderia a um ponto interessante de 85% do limite da antiga NB-1 de 1978 que adotava λ1 igual a 40. Esta coluna possuía as mesmas características descritas na figura 3.1, porém com a consideração do aço CA 50 B. Os resultados deste estudo são mostrados na figura 4.3 a seguir.

0 20 40 60 80 100 120 0, 015 0, 075 0, 100 0, 200 0, 250 0, 350 0, 450 0, 800 0, 900 1, 000 1, 100 1, 200 1, 300 1, 500 2, 000 2, 500 6, 000

e1 / h

Equações propostas (Souza, 1995) França (1994) λλλλ1

Figura 4.3 – Variação da perda de capacidade resistente r igual a Pu2/Pu1 em função da e1/h, para coluna com λ igual a 34.

O menor valor encontrado para r foi de 0,8433 para uma excentricidade relativa de primeira ordem, e1/h, de 0,6, correspondendo a uma redução de 15,7% da capacidade portante da coluna. Assim, admitindo-se, de forma simplificada, que o coeficiente de majoração das ações aplicado a esta coluna possa ser feito igual a 1,4 teríamos efetivamente um coeficiente de segurança em relação às ações de 1,18.

Esta redução da segurança das colunas das construções reais e suas implicações sobre a segurança da estrutura deve ser quantificada tendo em conta: a vinculação nodal da coluna com a estrutura, o critério usado na avaliação do comprimento teórico da coluna, a capacidade dos elementos horizontais em redistribuir o carregamento e as hipóteses adotadas sobre a inércia das peças que compõe a estrutura. Todas estas variáveis fogem do escopo deste trabalho, mas certamente podem ser consideradas no momento da adoção de um valor para o índice de esbeltez limite, mesmo que de forma qualitativa.

4.2 Para o caso de e

≠

e

A figura 4.4 a seguir mostra uma comparação dos valores do coeficiente α, que majora o valor de λ1 para e1b = e1a de modo a se obter o valor de λ1 para uma relação qualquer de e1b /e1a. São mostrados os pontos apresentados na tabela 1.2, os resultados encontrados com a equação 1.7 (Souza et al, 1995 e 1998), a equação proposta por França (1994), além dos valores encontrados com equações da NB-1 (2001), para o caso das colunas com relação entre as excentricidades de primeira ordem nos extremos variando de 1 a -1.

0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0, 025 0, 050 0, 100 0, 150 0, 200 0, 250 0, 300 0, 350 0, 400 0, 500 0, 600 0, 800 1, 000 e1 / h r = Pu 2 / Pu 1

Figura 4.4 – Valores de α para e1b/e1a qualquer, considerando-se e1a/h maior ou igual a 0,10.

Pode-se observar que a nova NB-1 considera um ganho maior de capacidade portante devido à curvatura reversa do que os dois estudos utilizados para comparação.

Na determinação das equações 1.6 e 1.7 propostas se levou em conta o ponto de e1b / e1a igual a –1, devido aos problemas de sensibilidade às imperfeições já relatados neste trabalho. A postura da NB-1 (2001) segue aproximadamente os resultados da tabela 1.2, sem a desconsideração do ponto de e1b/e1a igual a –1. Como o comportamento da coluna considerada isoladamente difere do comportamento da coluna integralizada ao pórtico, caberia um estudo mais completo das colunas considerando-as em conjunto com os pórticos. Este estudo poderá ajudar a definir se as redistribuições e restrições nodais são capazes de restabelecer a resistência da coluna, eliminando o problema da sensibilidade às imperfeições para a relação entre as excentricidades igual a -1.

4.3 Comparação dos valores propostos para

λ

com normas e estudos

A comparação dos valores propostos para λ1 com normas e estudos é feita, de forma simplificada, na tabela 4.1, considerando sempre que o comprimento de flambagem seja o mesmo. Isto leva a algumas discrepâncias, pois certas normas permitem reduzir o comprimento de flambagem das colunas pertencentes a pórticos de nós fixos, para até cerca de 75% do comprimento livre (BS-8110, 1985). Nas equações propostas foi adotado e1a/h igual a 0,05 e 0,10 (Souza et al, 1995 e 1998), porém sendo α calculado sempre pela equação 1.7 em função da relação e1b/e1a, tendo em vista o momento mínimo recomendado pela nova NB-1.

Os grifos na tabela 4.1 correspondem aos maiores valores encontrados para λ1 em cada situação estudada.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1,

00

0,

75

0,

50

0,

25

0,

00

-0

,2

5

-0

,5

0

-0

,7

5

-1

,0

0

e1b / e1a

e1b / e1a = 1,0 e1b / e1a = 0,5 e1b / e1a = 0 e1b / e1a = - 0,5 e1b / e1a = - 1,0 Método e1a / h = 0,05 e1a / h = 0,10 e1a / h = 0,05 e1a / h = 0,10 e1a / h = 0,05 e1a / h = 0,10 e1a / h = 0,05 e1a / h = 0,10 e1a / h = 0,05 e1a / h = 0,10 NB-1 (2001)1 NB-1/78 (1978) CEB/902 (1990) EuroCode 2 (1989) ACI-318 (1995) BS-81103 (1985) MacGregor4 (1993) Santos (1991) Souza5 (1992) França6 (1994) Souza et al (1995 e 1998) - 40 12 25 22 52 a) 13 b) 35 12,5 37,3 30 39,5 35 40 12 25 22 52 13 35 14,6 35,1 30 37 - 40 18 37,5 28 52 19 35 - 43,8 37,5 46,4 44 40 18 37,5 28 52 19 35 - 41,2 37,5 43,5 - 40 24 50 34 52 25 35 33,6 50,4 45 53,3 58 40 24 50 34 52 25 35 39,2 47,4 45 50 - 40 30 62,5 40 52 31 35 - 56,9 52,5 60,2 88 40 30 62,5 40 52 31 35 - 53,5 52,5 56,4 - 40 36 75 46 52 31 35 74 63,4 60 67,2 88 40 36 75 46 52 31 35 82 59,7 60 62,9 Observações: 1 - Recomenda excentricidade mínima de h / 10

2 - Equação para ν maior que 0,39

3 – Para o caso de colunas pertencentes a pórticos de nós fixos 4 - a) Pórticos indeslocáveis b) Pórticos deslocáveis 5 - Para α dado pela equação 1.7 e ω igual a 0,2436 6 - Recomenda excentricidade mínima de h / 10

Tabela 4.1 - Comparação entre diversas normas e propostas para valores de λ1. Os valores mostrados na tabela 4.1 indicam que para os valores da relação e1b / e1a maiores ou iguais a zero os valores de λ1 recomendados pela NB-1 são os maiores, entre as referências pesquisadas. Esta conclusão concorda com os comentários já feitos no item 4.2 deste trabalho, quando da comparação dos resultados obtidos com as expressões da NB-1 (2001) com os estudos tomados como referência.

5 Considerações

finais

Este trabalho analisou alguns aspectos da avaliação dos efeitos locais de segunda ordem no projeto das colunas usuais pelos métodos simplificados vigentes. As análises e conclusões que são feitas ao longo do texto mostram que a NB-1 (2001) apresenta, nos aspectos analisados, várias concordâncias com os resultados e análises efetuadas, porém, também apresenta algumas divergências.

Na fixação do índice de esbeltez limite λ1 os valores propostos pela nova NB-1 tendem para o lado contrário à segurança em relação aos estudos apresentados e a outras normas estrangeiras. Em relação aos estudos aqui sumarizados, isto ocorre quando os valores da excentricidade relativa de primeira ordem, e1/h, estão entre 0,2 a 1,2. Por outro lado, os valores de λ1 propostos pela nova NB-1 tendem a ser mais conservadores que os valores propostos para valores da excentricidade relativa inferiores a 0,14, freqüentes em edifícios residenciais.

A adoção de um limite inferior igual a 0,4 para o coeficiente αb feito pela NB-1 não se mostrou justificável para as colunas bi-rotuladas sem cargas horizontais ao longo do vão, quando se deseja efetuar uma avaliação da excentricidade equivalente das colunas com relações quaisquer entre as excentricidades nodais para as situações de projeto. A utilização do coeficiente αb também para avaliação da esbeltez limite, obriga à utilização do limite inferior de 0,4, visando limitar a consideração excessivamente otimista, em termos de capacidade resistente, das colunas com curvatura reversa.

As considerações feitas neste trabalho mostram que novos estudos precisam ser desenvolvidos buscando-se esclarecer as dúvidas e diferenças levantadas.

6 Agradecimentos

O autor agradece ao Professor Lauro Modesto dos Santos pelo apoio no entendimento da modelagem feita internamente pelo programa ESBELT2.

7 Referências

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