KAZUO NAKASHIMA UNIFEI/IESTI
Filtros são circuitos elétricos que permitem pas-sagem de corrente ou tensão em uma faixa de freqüências e inibem a passagem em outras fre-qüências.
Filtros ativos com AmpOp’s utilizam apenas circuitos RC (resistores e capacitores) no elo de realimentação negativa e/ou positiva e são clas-sificados em função da banda passante e em função da “ordem” do filtro:
• Passa Baixa (Low Pass - LP) • Passa Alta (High Pass - HP) • Passa Faixa (Band Pass - BP) • Corta Faixa (Band Reject ou Notch) • Defasador (All Pass)
• Variável de Estado (LP, HP e BP)
O AmpOp poderia ser utilizado apenas como buffer para isolar a carga do circuito do filtro. Desta forma a carga não alteraria o comporta-mento do filtro. Porém, com acréscimo de alguns resistores e capacitores conseguiremos imple-mentar filtros ativos mais poderosos e à baixo custo adicional.
O estudo sobre filtros é tão vasto que existem vários livros especializados disponíveis. Para es-tudo mais aprimorado com análise de sensitivi-dade (desempenho do filtro em função da varia-ção da resistência e da capacitância) recomen-damos o livro :
• J.G.Graeme, G.E.Tobey and L.P Huelsman, Operational Amplifiers Design and Applica-tions; Burr-Brown / McGraw Hill, 1971.
Duas estrutura de filtros largamente estuda-dos são:
• MFB- Multiple Feed Back
• VCVS- Voltage Controlled Voltage Source
1 3 5 1 2 3 4 3 4 ( ) ( ) ( ) Y Y Eo s Ei s Y Y Y Y Y Y Y − = + + + + 1 3 5 1 2 3 4 1 2 3 ( ) ( ) ( ) [ (1 ) ] K Y Y Eo s Ei s =Y Y +Y +Y +Y + Y +Y −K +Y
1-FILTRO PASSA FAIXA 2 1 4 5 3 4 5 3 4 1 2 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 o i s E s R C E s s s R C C R C C R R − = + + + + I-Formulário 5 3 1 3 4 5 3 4 1 2 5 5 1 2 3 4 4 3 1 1 1 o o R C H R C C R C C R R R R R R Q C C C C
ω
= + = + + = +Fazendo C3=C4=C obtemos o maior valor de
Q além de facilitar a especificação dos compo-nentes 5 1 5 5 5 1 2 5 5 1 2 5 5 1
2
1
1
2
2
2
o o o o o o oR
H
R
R
R
R C
R
R
R
R
Q
R
R
Q
Q
R
C
f C
R
Q
R
H
C
H
ω
ϖ
π
ϖ
=
=
+
=
+
=
=
=
=
(
) (
)
2 2 5 2 5 5 1 (2 ) 2 / o o o Q R Q H C R f R C R Rϖ
π
= − = −1.1- Roteiro para projeto:
Projetar um filtro passa faixa especificando exatamente os três parâmetros é muito trabalho-so. Geralmente especificamos exatamente a fre-qüência central fo e o ganho nesta freqüência Ho.
O fator de qualidade Q é especificado com certa folga. Por exemplo:
fo=60Hz Ho=1 Q 5 ≥ • Escolher C C=100nF • Especificar R5 5 5
5
265, 258
.60.100
oQ
R
f C
R
k
n
π
π
=
=
=
Ω
Poderíamos escolher R5=270kΩ, porém como
Q pode ser maior ou igual a 5, escolhemos R5=300kΩΩΩΩ que facilitará a especificação de R1.
Se R5 fosse maior que 1MΩ deveríamos
au-mentar a capacitância C para diminuir o valor deR5. • Especificar R1 5 1 1
2
300
150
2 . 1
oR
R
H
k
R
k
=
=
=
Ω
Escolher valor comercial maior mais próximo. A precisão do resistor comprometerá a precisão de Ho.
Se estivéssemos escolhido R5 = 270kΩ, de-veríamos ter R1 = 135,0kΩ. O valor comercial mais próximo é 133kΩ ou 137kΩ da série E96. Neste caso particular seria mais prático instalar dois resistores de 270kΩ em paralelo no lugar de R1. • Especificar R2
(
)
(
)
5 2 2 5 5 1 2 o / R R f R C R Rπ
= −Para que exista solução é necessário que a equação acima seja positiva. Portanto
2 (2Q −Ho)>0
(
)
2 2 300 2. .60.300 .100 (300 /150 ) 2, 382 k R k n k k kπ
= − = ΩEste resistor é o responsável por fo. Se
qui-sermos fazer um pequeno ajuste em fo, ou seja,
fazer a sintonia fina deste filtro passa faixa, de-vemos instalar um potenciômetro em série com um resistor no lugar de R2. 2 ( ) 2( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) OLD NEW OLD NEW OLD NEW OLD NEW
f
R
R
f
R
f
f
R
=
=
Para compensar a tolerância dos demais componentes, principalmente dos capacitores, especificaremos R2 de tal forma que permita um
ajuste de fo em ±10%, ou seja, fNEW=(0,9 a 1,1)
fOLD. 2 2 2 2 2 2 2
1
1
2, 382
...
0, 9
1,1
1, 968 ....2, 941
NEW o NEW MINIMOp NEW MAXIMO o ESCOLHIDO
R
k
k
k
R
R
R
R
R
− − −
=
=
≤
≥
−
R20=1,8k e R2p=1,5k seria a solução conforme
a regra acima. Podemos arriscar R2o=2,0kΩΩΩΩ e R2p=1,0kΩΩΩΩ
Uma solução mais rápida seria escolher um
R2p= (0.1 a 0,2)2,382kΩ = 238,2 a 476,4Ω⇒ 330
ou 470Ω.
R2p=470ΩΩΩΩ
R2o= R2-R2p/2=2.382k-470/2=2,147kΩ
podemos escolher 2,0kΩ ou 2,2kΩ da série E24 ou 2,15kΩ da série E96
R2o=2,0kΩΩΩΩ
Rb=R5=300kΩΩΩΩ
RL=2kΩΩΩΩ
1.2 - Roteiro para Ajuste
O sinal Vi deveria ser fornecido por um trans-formador que apresente tensão no secundário menor que 7Vrms, para não ultrapassar 10Vde pico na saída do AmpOp. Na falta deste trans-formador utilizaremos um gerador de funções que produza senoidal de até 10V de pico (20 V pico a pico).
• Ligar a alimentação do AmpOp (±15V) • Ajustar o osciloscópio em
CH1=2V/DIV-DC, POS. CENTRAL
CH2=2V/DIV-DC, POS. CENTRAL
TIME BASE=2ms/DIV
TRIGGER=CH1; AUTO, SLOPE+
Obs: Use o acoplamento DC sempre que possí-vel. O acoplamento AC pode alterar a defasagem em baixas freqüências.
• Ajustar o gerador de funções em exatamente 60Hz, 4V de pico.
Etapa 1- Ajuste de fo
• Ajuste o potenciômetro até obter a máxima amplitude na saída. O sinal de saída deve estar defasada exatamente em 180º em rela-ção ao sinal de entrada.
• Mude o comando do osciloscópio para o mo-do X-Y. Ajustar o potenciômetro até observar uma reta. X=Vi Y=Vo
60.06Hz Trig -2.8 V CH1
2V 2V 2ms
Etapa 2- BW, Q, Ho
• Utilize um gerador de funções para executar esta etapa. Medir a amplitude do sinal de sa-ída e calcular o ganho (Ho deve ter valor muito próximo de 1 conforme projetado)
Ho =
• Aumentar a amplitude do sinal de entrada até obter 14Vpp na saída (7 divisões verticais pi-co a pipi-co). Ajuste a posição vertical dos dois canais conforme o oscilograma abaixo.
• Aumentar a freqüência até o sinal de saída atingir 10Vpp (5 divisões verticais pico a pi-co). Medir a freqüência e a defasagem entre o sinal de entrada e de saída.
fH= Hz
Fase= graus • Diminuir a freqüência até o sinal de saída cair
para 10V novamente. Medir a freqüência e a fase. fL= Hz Fase= graus H L
BW
=
f
−
f
= Hz/
oQ
=
f
BW
=O valor do fator de qualidade Q deve ser mai-or que 5 confmai-orme projetado.
Etapa 3 - Fourrier
Aplicando uma onda quadrada neste filtro, a saída será uma senoidal segundo Fourrier. Apli-que uma onda quadrada de 60Hz e depois 30Hz e 15Hz, (1/1, 1/2 e 1/4) de fo respectivamente. A amplitude da senoidal deve ser igual à harmôni-ca correspondente.
Etapa 4- Curva de resposta em freqüência Para aprender mais um pouco sobre este filtro mudaremos a freqüência central para 1kHz.
Para mudar a freqüência central de 60Hz para 1kHz poderíamos trocar os capacitores para 6nF, um valor não comercial. Como nosso estoque de capacitores é pequeno, substituiremos os capa-citores para 10nF.
A substituição dos capacitores alterará a fre-qüência na mesma proporção, ou seja, fc=600Hz
Para sintonizar em 1kHz alteraremos R2
(
)
(
)
2 2( ) 2( ) 2 / 2, 382 600 /1000 0,857 9, 38NEW OLD OLD NEW
R R f f k k novo Q = = = Ω =
Para utilizar o mesmo trimpot de 1kΩ da eta-pa anterior, utilizaremos um resistor de 360Ω em série (Ro=0,857k- 1k/2=0,357kΩ).
• Vi=10Vp, 1kHz. • Sintonizar o filtro.
• Ajustar a freqüência conforme a tabela abai-xo, medir a tensão de saída e calcular o ga-nho.
• Transfira os resultados para um gráfico mo-nolog para desenhar a curva de resposta em
f/fc f Vo Av Av dB 1/10 1/5 1/2 1 2 5 10
Tabela 1-Freqüência normalizada
fo= Hz Ho= Hz fL= Hz fH= Hz BW= Hz Q= Hz
Os valores encontrados são menos precisos porque este tipo de circuito está operando no “limite técnico” , Q<10. Para Q<100 existem cir-cuitos com dois AmpOp’s.
O ajuste fino para sintonizar o filtro foi feito com relativa facilidade utilizando um simples po-tenciômetro ¾ de volta porque foi especificado na medida exata da necessidade. Se a resistên-cia R2 fosse substituída por um potenciômetro de maior resistência o processo de ajuste seria muito mais difícil.
Mesmo bem sintonizado este circuito sofre grande influência da temperatura devido à varia-ção da resistência e principalmente da capaci-tância com a temperatura. Portanto a utilização de componentes precisos e termicamente está-veis é imprescindível.
Observe que BW é constante porém o filtro é mais seletivo para fo maior. BW=f2 – f1 para 0,707 Ho (ou -3dB). fLow=f1 fHigh=f2
R2
fo
Ho
f1(-3dB) f2(-3dB)
BW
Q
3kΩ
53,5 Hz
1
48,4 Hz
59,2 Hz
10,8 Hz
4,95
2kΩ
65,4 Hz
1
60,2 Hz
71,0 Hz
10,8 Hz
6,05
02-FILTRO PASSA BAIXA
O filtro passa baixa de primeira ordem, -20dB/decada (ou -6dB/oitava), com entrada di-ferencial, é apresentado na figura seguinte.
Formulário:
(
)
1 1 2 2 2 1 1(2
)
0º
90º
1
2
1 ( /
)
1 (2
)
/
1
( )
tan
c c o o c f i o if
tg
tg
f R C
f
f
R C
A
A
A
f
f
f R C
R
R
A
tg
R
A
R
tg
tn
arc tg
arco
gente
φ
π
φ
π
π
φ
− − − −
=
=
≤ ≤
=
=
=
+
+
=
+
=
=
=
=
Projeto: Sinal de entrada... 18Vrms Sinal de saída... 10Vpico freqüência ... 60Hz defasagem... 60º Escolher C C=100nF ( ) 2 (60º ) 2. .60.100 45, 944 tg R f C tg R n kφ
π
π
= = = Ω R=47kΩΩΩΩ ip i 2 op i 2V
R
R =
.
V
1+tg ( )
18 2
47k
R =
=59,821kΩ
10
1+tg (60)
φ
Observe que estamos utilizando o mesmo va-lor de capacitância do circuito anterior proposi-talmente. O estoque de 100nF servirá para os dois circuitos (e outros futuros).
Ri=56kΩΩΩ ou 62kΩΩ ΩΩΩ (série E24)
-1
f = tg (2. .60.47k.100n.(0,95...1,05))
= 59,28º ....61,74º
π
03 –DEFASADOR (ALL PASS FILTER)
-+ Vo Ri R C Vi Rf = Ri I- Formulário 1 1 2. (2 ) ( / 2) 2 2 o i i f V V tg f R C tg R f C R R R
φ
π
φ
π
− = = − = = ≅ II- Projeto:60
120
of
Hz
φ
=
=
• Escolher C C=100nF • Calcular R(120º / 2)
45, 944
2. .60.100
tg
R
k
n
π
=
=
Ω
Se a capacitância tiver tolerância de ±10%, a resistência R deverá variar na faixa de
45, 944 (0, 9...1,1) 41, 76 ....51, 04 k R k k Ω = = Ω Ω
Para um ajuste fino podemos utilizar um po-tenciômetro em série com um resistor
39 51, 04 39 12, 04 o MINIMO p MAXIMO o o R R R R R R k Rp k k k Rp 15k Podemos arriscar 10k ≤ ≥ − = Ω = Ω − Ω = Ω = Ω
Uma vez que este ajuste é utilizado apenas para compensar a tolerância no valor da capaci-tância, e como uma regra de projeto é utilizar o menor número de potenciômetro possível, utiliza-remos outro método que consiste em instalar um resistor prefixado RFIX e depois instalar outro RX
em paralelo
FIX MAXIMO
R
≥
R
RFIX=51kΩΩΩ ΩPara determinar o valor de Rx devemos insta-lar um potenciômetro de 470kΩ a 1MΩ em para-lelo com RFIX através de garras jacaré. Ajustar o
potenciômetro até obter a defasagem desejada. Retirar o potenciômetro e medir a resistência. Instalar um resistor Rx definitivo. O valor estima-tivo de RX é ( / 2) 1 ( / 2) FIX X MEDIDO DESEJADO R R tg tg
φ
φ
= − Ri=Rf=2R=2.45,944kΩ=91,888kΩO valor escolhido deveria ser 91kΩ, porém como este valor não é crítico, escolheremos 100kΩ que é um valor mais fácil de ser encon-trado. A única exigência é que estes dois resisto-res devem ter o mesmo valor.
Ri=Rf=100kΩ; 1%
III- Ajustes
Aplicando um sinal senoidal de 10V de pico e 60Hz, o sinal de saída será uma senoidal de mesma amplitude porem defasado em um ângu-lo ligeiramente maior que 120º.
Sistema trifásico
Se utilizarmos um filtro passa baixa em cas-cata com dois defasadores de 120º conseguire-mos produzir um sistema trifásico a partir de um sistema monofásico.
Obs.: Este sistema não serve para produzir on-das trifásicas de freqüência variável.
-+ Ri Rfix C Rf = Ri Rx -+ Ri Ri R C C R -+ Ri Rfix C Rf = Ri Rx TX1 Itajubá, MG, julho de 2018 2002, 1997
