LIVRO_DE_..calculo 3

(1)

Aula 1: Integrais Duplas 11

1.1 Introdução . . . 12

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares. . . 12

1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14 1.4 Interpretação Geométrica . . . 15

1.5 Integrais Iteradas . . . 16

1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . 19

1.7 Alguns Exemplos . . . 20 1.8 Conclusão . . . 25 RESUMO . . . 25 PRÓXIMA AULA . . . 29 ATIVIDADES . . . 29 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 30

Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33 2.1 Introdução . . . 34

2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . 34

2.3 Alguns Exemplos . . . 39

2.4 Conclusão . . . 43

RESUMO . . . 43

(2)

LEITURA COMPLEMENTAR . . . 46

Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47 3.1 Introdução . . . 48

3.2 Preliminares . . . 48

3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . 52

3.4 Conclusão . . . 58

RESUMO . . . 58

PRÓXIMA AULA . . . 59

ATIVIDADES . . . 59

Aula 4: Integrais triplas 63 4.1 Introdução . . . 64

4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64

4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li-mitados . . . 66

4.4 Interpretação Geométrica . . . 67

4.5 Integrais Iteradas . . . 67

4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . 68

4.7 Exemplos . . . 69 4.8 Conclusão . . . 74 RESUMO . . . 75 PRÓXIMA AULA . . . 80 ATIVIDADES . . . 80 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 81

(3)

5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . 84 5.3 Alguns Exemplos . . . 87 5.4 Conclusão . . . 99 RESUMO . . . 99 PRÓXIMA AULA . . . 103 ATIVIDADES . . . 103 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 104

Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105 6.1 Introdução . . . 106

6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . 110

6.4 Conclusão . . . 117

RESUMO . . . 118

ATIVIDADES . . . 120

Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em RRR333 123 7.1 Introdução . . . 124

7.2 Curvas em_RRR333 . . . 124

7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em_RRR333 . . . 126

7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128

7.5 Independência do Caminho . . . 130

(4)

RESUMO . . . 139

Aula 8: Integrais de Superfícies 145 8.1 Introdução . . . 146

8.2 Superfícies em_RRR333 . . . 146

8.3 Área de Superfícies emRRR333 . . . 147

8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super-fícies de Casca Fina em_RRR333 . . . 151

8.5 Superfícies Parametrizadas . . . 155 8.6 Conclusão . . . 160 RESUMO . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . 164 ATIVIDADES . . . 164 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 165

Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167 9.1 Introdução . . . 168

9.3 Teorema de Green . . . 171

9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões175 9.5 Verificação do Teorema de Green . . . 178

9.6 Teorema de Stokes . . . 181

9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . 183

9.8 Conclusão . . . 185

(5)

Aula 10: Teorema de Divergência 189 10.1 Introdução . . . 190

10.3 Teorema da Divergência . . . 191

10.4 Estendendo o Teorema da Divergência. . . 194

10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196

10.6 Conclusão . . . 200

RESUMO . . . 200

(6)

(7)

1

Integrais Duplas

META:

Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em

R2.

Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do-mínio em R2_.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-mínio em R, da disciplina Cálculo I.

(8)

1.1 Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que de-nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas aulas.

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares

Começamos por considerar uma função f definida em um do-mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal-mente f : [a, b] × [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con-sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj, xj+1, . . . ,

xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde

como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <

· · · < x_m e y₀ < y1 < · · · < yk< yk+1 < · · · < yn.

Desta forma cada um dos I_j = [xj−1, xj] e Jk = [yk−1, yk]

pe-quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj− xj−1 e ∆yk =

yk− yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para

o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte-siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj] × [yk−1, yk], 1 ≤

(9)

1

Figura 1.1: Partição de R = [a, b] × [c, d]

j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada por ∆A_jk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são

dife-rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di-ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max

1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os

pequeno retângulo.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj, ζk) ∈

BIOGRAFIA Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia

[xj−1, xj] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a

se-guinte soma de Riemann:

Smn = m X j=1 n X k=1 f (ξj, ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f (x, y) sobre o retângulo R, denotada Z Z

R

f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

Z Z

R

f (x, y)dxdydef= lim

(10)

Figura 1.2: Soma de Riemann para f (x, y) em R = [a, b] × [c, d]

1.3 Integral Dupla: Domínios Não

Retangula-res Limitados

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-meçamos por considerar uma função F definida em um domí-nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e F (x, y) =    f (x, y) , (x, y) ∈ D 0 , (x, y) /∈ D . Formalmente

F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f (x, y). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa-ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re-tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por

(11)

1

P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj, xj+1, . . . , xm =

b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo

modo definimos a norma da partição por: |P | = max

1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Ajk)

onde ∆A_jk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk− yk−1.

To-mamos um ponto (ξ_j, ζk) ∈ [xj−1, xj] × [yk−1, yk] em cada pequeno

retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida F (x, y): Smn= m X j=1 n X k=1 F (ξj, ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno-tada

Z Z

D

Z Z

D

f (x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân-gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj, ζk) = 0.

1.4 Interpretação Geométrica

Quando a função f (x, y) é positiva na região R, como a da (Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y) e quanto maior for o refinamento da par-tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral dupla

Z Z

R

(12)

Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b] × [c, d]

reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y).

1.5 Integrais Iteradas

Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo-lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos f (x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no

(13)

1

Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y

volume do citado prisma.

V = Z b

a

A(x)dx

Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva f (x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como vimos em Cálculo I A(x) =

Z d

c

f (x, y)dy.

O volume do prisma pode ser então escrito como:

V = Z b a Z d c f (x, y)dy dx .

Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no volume do citado prisma.

(14)

Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x

V = Z d

c

A(y)dy

Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) = Z b

a

f (x, y)dx. O volume do prisma pode ser então escrito como:

V = Z d c Z b a f (x, y)dx dy .

Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que:

Z d c Z b a f (x, y)dx dy = Z b a Z d c f (x, y)dy dx

ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu-lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.

(15)

1

1.6 Propriedades das Integrais Duplas

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-grafia abaixo.

Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R27→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

Z Z D cf (x, y)dxdy = c Z Z D f (x, y)dxdy

Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale:

Z Z D (f + g)(x, y)dxdy = Z Z D f (x, y)dxdy + Z Z D g(x, y)dxdy

Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R27→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

Z Z

D

f (x, y)dxdy ≥ 0

Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va-lores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z D f (x, y)dxdy ≥ Z Z D g(x, y)dxdy

Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um

(16)

número finito de curvas em R2, então vale: Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z A f (x, y)dxdy + Z Z B f (x, y)dxdy

OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro-priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”.

1.7 Alguns Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta. Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto é, na integral

Z Z

R

f (x, y)dxdy primeiramente integramos na

va-riável x e depois na vava-riável y. Já na integral Z Z

R

f (x, y)dydx primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.

Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so-bre domínios retangulares. A saber:

Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.6) dada por f (x, y) = exp(−x − y) e determine a integral dupla I =

Z Z

R

f (x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.

(17)

1

Figura 1.6: Função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R: f (x, y) = exp(−x − y)

SOLUÇÃO:

Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração:

I = Z 1 0 Z 1 0 exp(−x − y)dxdy

Lembrando que: exp(−x − y) = exp(−x) exp(−y) temos: I = Z 1 0 Z 1 0 exp(−x) exp(−y)dxdy

Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y como uma constante:

I = Z 1 0 − exp(−x) 1 0 exp(−y)dy

Substituindo os limites de integração temos: I =

Z 1

0

(− exp(−1) − (− exp(−0))) exp(−y)dy Efetuando os cálculos temos:

I = Z 1

0

(1 − exp(−1)) exp(−y)dy

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável: I = (1 − exp(−1)) − exp(−y) 1 0

Substituindo os limites de integração temos: I = (1 − exp(−1)) (− exp(−1) − (− exp(−0))) Efetuando os cálculos temos:

(18)

I = (1 − exp(−1))2

OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-tangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D

direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).

Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).

(19)

seg-1

mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.

Nossa integral será efetuada assim:

Z Z D f (x, y)dxdy = Z b a Z b(x) a(x) f (x, y)dydx

Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.8) dada por f (x, y) = y(3x − x2− y) e determine a integral du-pla I =

Z Z

R

f (x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das curvas y = 0 e y = 3x − x2.

Figura 1.8: Função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R: f (x, y) = x.y SOLUÇÃO:

Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x − x2 (Fig. 1.9). Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e b(x) = 3x − x2.

(20)

Figura 1.9: Limites para o domínio D

A integral passa a ser escrita como:

I = Z Z f (x, y)dxdy = Z 3 0 Z 3x−x2 0 y(3x − x2− y)dydx Operando no integrando fazendo o produto por y temos:

I = Z 3 0 Z 3x−x2 0 (y(3x − x2) − y2)dydx

Passo 3 efetuando a integração em y temos: I = Z 3 0 (y 2 2 (3x − x 2_{) −} y3 3 ) 3x−x2 0 dx

Substituindo os limit3es de integração temos: I = Z 3 0 ((3x − x 2₎2 2 (3x − x 2_{) −} (3x − x2)3 3 )dx

Efetuando as simplificações teremos: I =

Z 3

0

(3x − x2)3

6 dx

Expandindo o binômio de Newton temos: I = 1

6 Z 3

0

(27x3− 27x4+ 9x5− x6)dx

Passo 4 efetuando a integração em x temos: I = 1 6(27 x4 4 − 27 x5 5 + 9 x6 6 − x7 7 ) 3 0

Substituindo os limit3es de integração temos: I = 1 6(27 34 4 − 27 35 5 + 9 36 6 − 37 7)

(21)

1

I = 729 280

1.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:

Integração Dupla: Domínios retangulares

Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj, xj+1, . . . , xn = b}

e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições

dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma-lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤

n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1

e ∆yk = yk− yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =

[xj−1, xj] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da

partição por: |P | = max

1≤j≤n 1≤k≤m

(22)

[xj−1, xj] × [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte soma de Riemann: Snm = n X j=1 m X k=1 f (ξj, ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f (x, ) sobre o retângulo R, denotada Z Z

R

Z Z

R

f (x, y)dxdydef= lim

|P |→0Snm

Integração Dupla: Domínios não Retangulares

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-meçamos por considerar uma função F definida em um domí-nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e F (x, y) =    f (x, y) , (x, y) ∈ D 0 , (x, y) /∈ D . Formalmente

F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f (x, y). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte-gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a inteinte-gral dupla de uma função f (x, y) em um domínio não retangular D por:

Z Z

D

f (x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

onde: S_mn = Pm j=1

Pn

k=1F (ξj, ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann

para F (x, y)

Integrais Iteradas

(23)

1

[a, b] × [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram o valor da integral dupla, que pode ser representada por:

Z d c Z b a f (x, y)dx dy = Z b a Z d c f (x, y)dy dx .

Propriedades das Integrais Duplas

As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as seguintes propriedades:

Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

Z Z D cf (x, y)dxdy = c Z Z D f (x, y)dxdy

Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2_{7→ R duas funções de valores}

reais integráveis em D, então vale:

Z Z D (f + g)(x, y)dxdy = Z Z D f (x, y)dxdy + Z Z D g(x, y)dxdy

Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

Z Z

D

(24)

Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo-res reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z D f (x, y)dxdy ≥ Z Z D g(x, y)dxdy

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de curvas em R2, então vale:

Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z A f (x, y)dxdy + Z Z B f (x, y)dxdy

Determinação dos Limites de Integração

Para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes passos:

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).

(25)

1

Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.

Z Z D f (x, y)dxdy = Z b a Z b(x) a(x) f (x, y)dydx

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-plas.

(26)

x2+ y2. Determine a integral dupla Z Z

R

f (x, y)dxdy.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f(x, y) = x2_{+ y}2_,

onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2_}.

• Determine os limites da integral dupla Z Z

D

f (x, y)dxdy,

• esboce a região de integração e

• calcule a integral dupla Z Z

D

f (x, y)dxdy.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.

LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994.

STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-GAGE Learning, 2009.

SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.

(27)

1

2003.

KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971.

(28)

(29)

2

Mudança de Variáveis em

Integrais Duplas

META:

Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2.

Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em

R2 utilizando mudança de variáveis.

Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em

R2 em coordenadas polares. PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01.

(30)

2.1 Introdução

Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As vezes, na integral dupla

Z Z

D

f (x, y)dxdy, dada a natureza ou de

HISTÓRIA

O teorema de mu-dança de variáveis em integrais duplas foi primeiro proposto por Euler quando ele desenvolveu a noção de integral dupla em 1769. Usado por Legendre, Laplace e Gauss, foi primeira-mente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfató-riamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890.

f (x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas cartesianas.

2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relaciona-das por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que podemos inverter a mudança de variáveis.

Seja F (x) uma anti-derivada de f (x) tal que F0(x) = f (x). Então, da regra da cadeia temos:

d

dξF (g(ξ)) = F

0_(g(ξ))g0_{(ξ) = f (g(ξ))g}0_(ξ).

Integrando com respeito a ξ temos:

Z _d

dξF (g(ξ))dξ = Z

f (g(ξ))g0(ξ)dξ Das propriedades da integral temos: F (g(ξ)) + C = Z f (g(ξ))g0(ξ)dξ Como x = g(ξ) temos: F (x) + C = Z f (g(ξ))g0(ξ)dξ

(31)

2

Como F (x) é uma primitiva de f (x) a primeira expressão é a in-tegral indefinida de f (x) com respeito a x e temos:

Z

f (x)dx = Z

f (g(ξ))g0(ξ)dξ

Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples. Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então:

Z b a f (x)dx = Z d c f (g(ξ))g0(ξ)dξ

A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g0(ξ) < 0) pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da se-gunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste caso, usando as propriedades da integral simples temos:

Z b a f (x)dx = − Z c d f (g(ξ))g0(ξ)dξ De outra forma escrevemos: Z b a f (x)dx = Z c d f (g(ξ))|g0(ξ)|dξ.

e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expres-são acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos

OBSERVAÇÃO

heurística heu.rís.ti.ca sf (gr heuristiké) 1 Ciência ou arte do pro-cedimento heurístico. 2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus pró-prios meios. 3 Ramo da ciência histórica que consiste na pesquisa dos documentos do passado.

agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas. Para isto, consideremos a integral dupla

Z Z

D

f (x, y)dxdy sobre uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do domínio D0 do plano (u, v) (podemos expressar este fato como D = T (D0)). Mais especificamente podemos escrever: x = ˆx(u, v) e y = ˆy(u, v) tomando uma partição para o domínio D0 no plano (u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transforma-ção T podemos levar o pequeno retângulo A0_jk na pequena figura

(32)

plana A_jk = T (A0_jk) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno retângulo no plano (u, v) é ∆A0_jk a área da pequena figura Ajk no

plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro-ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores ∂T

∂v∆vk e ∂T

∂u∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto-res). Do calculo vetorial temos:

∂T ∂u∆uj = ∂ ˆx ∂u∆uj~i + ∂ ˆy ∂u∆uj~j + 0~k. ∂T ∂v∆vk= ∂ ˆx ∂v∆vk~i + ∂ ˆy ∂v∆vk~j + 0~k

Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto ve-torial: ∆Ajk = ∂T ∂u∆uj × ∂T ∂v∆vk .

Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:

∂T ∂u∆uj× ∂T ∂v∆vk= det       ~i ~j ~_k ∂ ˆx ∂u∆uj ∂ ˆy ∂u∆uj 0 ∂ ˆx ∂v∆vk ∂ ˆy ∂v∆vk 0       Fazendo os cálculos temos:

∂T ∂u∆uj× ∂T ∂v∆vk= ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂v − ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂u ∆uj∆vk~k.

Tomando o módulo da expressão acima, para a área de A_jk, temos: ∆Ajk ≈ ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂v− ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂u ∆uj∆vk.

A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix 2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = ˆx(u, v) e y = ˆy(u, v) e denotado: ∂(x, y) ∂(u, v) = det    ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂u ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂v   = ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂v− ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂u.

Como a área do pequeno retângulo A0_jké dada por ∆A0_jk = ∆uj∆vk

temos: ∆Ajk ≈ ∂(x, y) ∂(u, v) ∆A 0 jk.

(33)

2

Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y)

O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de variáveis em integrais duplas:

Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z D0 f (ˆx(u, v), ˆy(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela transformação (x, y) = T (u, v).

OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sis-tema de coordenadas cartesianas para o sissis-tema de coordenadas polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = ˆx(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y = ˆy(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por:

∂(x, y) ∂(r, ϑ) = det    ∂ ˆx ∂r ∂ ˆy ∂r ∂ ˆx ∂ϑ ∂ ˆy ∂ϑ   = det   cos(ϑ) sin(ϑ) −r sin(ϑ) r cos(ϑ)  = r.

Portanto o jacobiano da transformação ∂(x, y)

∂(r, ϑ) = r a mudança de variáveis na integral dupla toma a forma:

Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z D0 f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.

OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-tangular da forma: D em coordenadas polares.

(34)

Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3)

Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ

(di-NOTA

Por convenção a medida de ângulo tem sinal positivo quando o deslocamento é feito na direção anti-horária, direção contrária ao movimento dos pon-teiros do relógio e tem sinal negativo quando o deslocamento é feito na direção horária, direção do movimento dos ponteiros do relógio.

reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando

o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).

Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio ~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) sai da região D.

Z Z D f (x, y)dxdy = Z β α Z β(ϑ) α(ϑ) f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ

(35)

2

2.3 Alguns Exemplos

Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos apenas de exemplos em coordenadas polares.

Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla Z Z

D

f (x, y)dxdy onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 _{+ y}2 _{≤ 1} e f (x, y) =}

exp(−x2 − y2_{). O domínio da função representa um quarto de}

disco (Fig 2.4).

Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1

SOLUÇÃO:

Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais ade-quado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β = π

2, α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1.

Neste caso podemos descrever o domínio como: D0 = {(r, ϑ) ∈ R2|0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e

(36)

o módulo do jacobiano da transformação é dado por: ∂(x, y) ∂(r, ϑ) = r. Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como:

I = Z Z D f (x, y)dxdy = Z 1 0 Z π/2 0

f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs-tituindo f (x, y) temos: I = Z 1 0 Z π/2 0

exp(−(r cos(ϑ))2− (r sin(ϑ))2)rdϑdr Efetuando as simplificações temos:

I = Z 1 0 Z π/2 0 exp(−r2)rdϑdr

Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o inte-grando não depende de ϑ temos:

I = Z 1 0 exp(−r2)ϑ π/2 0 rdr

Substituindo os limites de integração temos: I = π/2

Z 1

0

exp(−r2)rdr

Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mu-dança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr ou seja rdr = −1 2dξ e os limites r    1 0 e ξ    1 0 . Daí, a integral

(37)

2

passará a forma: I = π/4 Z 1 0 exp(−ξ)dξ

Cuja integração é fácil e da forma: I = π/4 − exp(−ξ) 1 0

Efetuando os cálculo temos: I = π

4(1 − exp(−1))

Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata.

Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnis-cata, r =pcos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte cinza da (Fig 2.6).

SOLUÇÃO:

Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Pode-mos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0,

(38)

β = π

4, α(ϑ) = 0 e β(ϑ) =pcos(2ϑ).

Neste caso podemos descrever o domínio como: D0 = {(r, ϑ) ∈ R2|0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤ pcos(2ϑ)}. E como, neste exemplo, queremos calcular área temos que f (x, y) = 1 e em coordenadas polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla:

A = Z Z D dxdy = Z π/4 0 Z √ cos(2ϑ) 0 rdrdϑ Integrando em r temos: A = Z π/4 0 r2 2 √ cos(2ϑ) 0 dϑ

Substituindo os limites de integração temos:

A = Z π/4

0

pcos(2ϑ)2

2 dϑ

Simplificando o integrando temos: A =

Z π/4 0

cos(2ϑ)

2 dϑ

Integrando na variável ϑ temos: A =sin(2ϑ) 4 π/4 0

Substituindo os limites de integração temos: A =sin(π/2) − sin(0)

4 Portanto: A =1

(39)

2

OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revi-são cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples.

2.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas, como a induzida pelas coordenadas polares.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja transformado no domínio D0 do plano (u, v) (D = T (D0)) e mais especificamente x = ˆx(u, v) e y = ˆy(u, v). Definindo o jacobiano da transformação, denotado ∂(x, y)

∂(u, v), por: ∂(x, y) ∂(u, v) = det    ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂u ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂v   = ∂ ˆx ∂u ∂ ˆy ∂v − ∂ ˆx ∂v ∂ ˆy ∂u.

Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-tegrais duplas:

(40)

Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z D0 f (ˆx(u, v), ˆy(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) dudv.

Sistema de Coordenadas Polares

Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de co-ordenadas cartesianas para o sistema de coco-ordenadas polares no cálculo de integrais duplas temos:

(x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = ˆx(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y = ˆy(r, ϑ) = r sin(ϑ).

Vale a seguinte transformação de variáveis:

Z Z D f (x, y)dxdy = Z Z D0 f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.

Determinação dos Limites de Integração em Coordena-das Polares

Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares.

Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3)

Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).

Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).

(41)

2

~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) sai da região D.

Z Z D f (x, y)dxdy = Z β α Z β(ϑ) α(ϑ) f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-ções da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus momentos de inércia.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões.

ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 + cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia.

ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia.

(42)

Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2

LEITURA COMPLEMENTAR

THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003.

(43)

3

Algumas Aplicações da

Integral Dupla

META:

Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2.

OBJETIVOS:

Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02.

(44)

3.1 Introdução

Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as inte-grais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade. Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET

3.2 Preliminares

Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distri-buição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) %(x, y), ∀(x, y) ∈ D.

Determinação da massa

Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) =    %(x, y) , (x, y) ∈ D 0 , (x, y) /∈ D .

Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj, xj+1, . . . , xm = b}

e P [c, d] = {y₀ = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Tomamos um

ponto (ξj, ζk) ∈ [xj−1, xj] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo

e definimos a seguinte soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 Φ(ξj, ζk)∆Ajk.

(45)

3

A massa da região D, denotada m(D), será a integral dupla da fun-ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, denotada

Z Z

D

%(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

m(D) = Z Z

D

%(x, y)dxdydef= lim

|P |→0Smn

.

OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 g(ξj, ζk)Φ(ξj, ζk)∆Ajk

onde g(ξj, ζk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj, ζk). E o

peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla:

p(D) = Z Z

D

g(x, y)%(x, y)dxdydef= lim

|P |→0Smn

.

Determinação do Momento de Massa

Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y). Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ_jΦ(ξj, ζk)∆Ajk. O

momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 ξjΦ(ξj, ζk)∆Ajk .

(46)

pelo limite:

My(D) =

Z Z

D

x%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 ζkΦ(ξj, ζk)∆Ajk .

O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite:

Mx(D) =

Z Z

D

y%(x, y)dxdydef= lim

|P |→0Smn

.

Determinação do Centro de Massa

O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (¯x, ¯y) definido por:

¯ x = My(D) m(d) = Z Z D x%(x, y)dxdy Z Z D %(x, y)dxdy ¯ y = Mx(D) m(d) = Z Z D y%(x, y)dxdy Z Z D %(x, y)dxdy

Determinação do Momento de Inércia

(47)

3

de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y). Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ_j2Φ(ξj, ζk)∆Ajk. O

momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 ξ_j2Φ(ξj, ζk)∆Ajk .

O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite:

Iy(D) =

Z Z

D

x2%(x, y)dxdydef= lim

|P |→0Smn

.

De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Smn= m X j=1 n X k=1 ζ_k2Φ(ξj, ζk)∆Ajk .

O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite:

Ix(D) =

Z Z

D

y2%(x, y)dxdydef= lim

|P |→0Smn

.

O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla:

(48)

I0(D) =

Z Z

D

(x2+ y2)%(x, y)dxdy .

3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla

Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares.

Vamos aos nossos exemplos.

Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e (b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa é constante %(x, y) = %.

(49)

3

SOLUÇÃO:

Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b 1 −x

a. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)

e My(D) respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:

m(D) = Z Z D %(x, y)dxdy = Z a 0 Z b(1−x/a) 0 %dydx Integrando em y temos: m(D) = % Z a 0 y b(1−x/a) 0 dx

Substituindo os limites de integração temos: m(D) = % Z a 0 b 1 − x adx Integrando em x temos: m(D) = %b x −x 2 2a a 0

Substituindo os limites de integração temos: m(D) = %b a −a 2 2a Simplificando temos: m(D) = %ab 2

Passo 2 calcular o momento de massa M_x(D) dado pela integral dupla:

Mx(D) =

Z Z

D

%(x, y)ydxdy Substituindo os limites temos: Mx(D) = Z Z D %(x, y)ydxdy = Z a 0 Z b(1−x/a) 0 %ydydx Integrando em y teremos: Mx(D) = Z a 0 %y 2 2 b(1−x/a) 0 dx

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) =

Z a

0

(b(1 − x/a))2

2 dx

(50)

Mx(D) = % Z a 0 b2 2 − b2x a + b2x2 2a2 dx Integrando em x teremos: Mx(D) = % b2x 2 − b2x2 2a + b2x3 6a2 a 0

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % b2a 2 − b2a2 2a + b2a3 6a2

Simplificando as frações temos: Mx(D) = %

b2a 6

Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral

dupla: My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy Substituindo os limites temos: My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy = Z a 0 Z b(1−x/a) 0 %xdydx Integrando em y teremos: My(D) = Z a 0 %xy b(1−x/a) 0 dx

Substituindo os limites de integração temos: My(D) = Z a 0 %bx 1 −x adx Integrando em x teremos: My(D) = %b x2 2 − x3 3a a 0

Substituindo os limites de integração temos: My(D) = %b a2 2 − a3 3a

Simplificando as frações temos: My(D) = %

ba2 6

Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: ¯

x = My(D) m(D) e ¯y =

Mx(D)

m(D) .

(51)

3

¯ x = %ba 2 6 %ab 2 e ¯y = %b 2_a 6 %ab 2 Simplificando temos: ¯ x = a 3 e ¯y = b 3

Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos.

Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa cir-cular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é cons-tante %(x, y) = %.

SOLUÇÃO:

Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-nando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)

(52)

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: m(D) = Z Z D %(x, y)dxdy = Z π/2 0 Z b a %rdrdϑ Integrando em r temos: m(D) = Z π/2 0 %r 2 2 b adϑ

Substituindo os limites de integração temos: m(D) = % Z π/2 0 b2 2 − a2 2 dϑ Integrando em ϑ temos: m(D) = % b 2 2 − a2 2 ϑ π/2 0

Substituindo os limites de integração temos: m(D) = 1

4%π(b

2_{− a}2₎

Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral

dupla: Mx(D) =

Z Z

D

%(x, y)ydxdy

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: Mx(D) = Z Z D %(x, y)ydxdy = Z π/2 0 Z b a %r sin(ϑ)rdrdϑ Integrando em r temos: Mx(D) = % Z π/2 0 sin(ϑ)r 3 3 b adϑ

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % Z π/2 0 sin(ϑ) b 3 3 − a3 3dϑ Integrando em ϑ temos: Mx(D) = % b3 3 − a3 3 (− cos(ϑ)) π/2 0

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % b3 3 − a3 3 (− cos(π/2) − − cos(0)) Simplificando temos: Mx(D) = 1 3%(b 3_{− a}3₎

Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral

(53)

3

My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: Mx(D) = Z Z D %(x, y)ydxdy = Z π/2 0 Z b a %r cos(ϑ)rdrdϑ Integrando em r temos: Mx(D) = % Z π/2 0 cos(ϑ)r 3 3 b adϑ

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % Z π/2 0 cos(ϑ) b 3 3 − a3 3 dϑ Integrando em ϑ temos: Mx(D) = % b3 3 − a3 3 (sin(ϑ)) π/2 0

Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % b3 3 − a3 3 (sin(π/2) − sin(0)) Simplificando temos: Mx(D) = 1 3%(b 3_{− a}3₎

Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: ¯

x = My(D) m(D) e ¯y =

Mx(D)

m(D) .

Usando os resultados anteriores temos:

¯ x = ¯y = 1 3%(b 3_{− a}3₎ 1 4%π(b 2_{− a}2₎

Levando em conta que b3− a3 _{= (b − a)(b}2_{+ ba + a}2_{) e b}2_{− a}2 ₌

(b − a)(b + a) temos: ¯ x = ¯y = 1 3%(b − a)(b 2_{+ ba + a}2₎ 1 4%π(b − a)(b + a) Simplificando temos: ¯ x = ¯y = 4 3π. b2+ ba + a2 b + a

(54)

3.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o mo-mento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade.

RESUMO

Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia

Dada uma região D ∈ R2 plana limitada com distribuição de densi-dade superficial %(x, y) podemos calcular a massa de D, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(D), Mx(D), My(D), Ix(D), Iy(D)

e I₀(D), pelas integrais duplas: m(D) = Z Z D %(x, y)dxdy Mx(D) = Z Z D %(x, y)ydxdy My(D) = Z Z D %(x, y)xdxdy Ix(D) = Z Z D %(x, y)y2dxdy

(55)

3

Iy(D) = Z Z D %(x, y)x2dxdy e I0(D) = Z Z D %(x, y)(x2+ y2)dxdy Centro de Massa

Podemos também calcular o centro de massa, denotado (¯x, ¯y) usando as seguintes fórmulas: ¯ x = My(D) m(d) = Z Z D x%(x, y)dxdy Z Z D %(x, y)dxdy ¯ y = Mx(D) m(d) = Z Z D y%(x, y)dxdy Z Z D %(x, y)dxdy

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeira-mente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa.

ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em cinza.

(56)

Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas cartesianas.

ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo semi-círculo superior x2+ y2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas polares.

LEITURA COMPLEMENTAR

(57)

3

THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003.

(58)

(59)

4

Integrais triplas

META:

Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3.

OBJETIVOS:

Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de fun-ções de valores reais e domínio em R3.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-mínio em R, da disciplina Cálculo I.

(60)

4.1 Introdução

Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada

HISTÓRIA

A primeira técnica sistemática documen-tada para o cálculo de integrais triplas no cálculo de volume foi o método da exaustão de Eudoxus cerca de 370AC. O maior avanço no cálculo de integrais triplas veio do Iraque, no século 11, na figura de Ibn AL-Haythan (conhecido na Europa por Alhazen ). En-quanto resolvia o que ficou conhecido como “Problema de Alhazen” (um problema de ótica) ele calculou o volume de um parabolsóide usando um método de indução. Wikipédia.

por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. As características e detalhes próprios das integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas três aulas.

4.2 Integração Tripla: Domínios

Paralelepípe-dais

Começamos por considerar uma função φ definida em um do-mínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três par-tições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =

{y₀ = c, y1, . . . , yj, yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,

. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f } onde como visto em Cálculo I temos:

x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl, y0 < y1 < · · · < yj <

yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn. Desta

(61)

4

[yj−1, yj] e Kk = [zk−1, zk] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1,

∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk− zk−1, respectivamente. Definimos,

agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pe-quenos paralelepípedos Vijk= [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk], 1 ≤

i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralele-pípedo é dado por ∆Vijk= ∆xi∆yj∆zk. Como tanto ∆xi quanto

∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno

paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max

1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Vijk), que corresponde

ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre do-mínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξ_i, ζj, ηk) ∈

[xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo

e definimos a seguinte soma de Riemann:

Slmn= l X i=1 m X j=1 n X k=1 φ(ξi, ζj, ηk)∆Vijk

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, denotada

Z Z Z

R

φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-guinte limite:

Z Z Z

R

φ(x, y, z)dxdydz def= lim

(62)

4.3 Integração Tripla: Domínios Não

Paralele-pípedais Limitados

Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por con-siderar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =    φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D 0 , (x, y, z) /∈ D .

Formal-mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma parti-ção para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x₀ = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =

{y0 = c, y1, . . . , yj, yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,

. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f }. Do mesmo modo definimos a norma

da partição por: |P | = max

1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n

(∆Vijk) onde ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk,

∆xi = xi− xi−1, ∆yj = yj− yj−1 e ∆zk = zk− zk−1. Tomamos

um ponto (ξ_i, ζj, ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk] em cada

pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida Φ(x, y, z):

Slmn= l X i=1 m X j=1 n X k=1 Φ(ξi, ζj, ηk)∆Vijk

(63)

4

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3, denotada

Z Z Z

D

φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-guinte limite:

Z Z Z

D

φ(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio D ⊂ R3, contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi, ζj, ηk) = 0.

4.4 Interpretação Geométrica

Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um (φ(x, y, z) = 1, ∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada, vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla Z Z Z

D

dxdydz como o volume da região D ⊂ R3.

4.5 Integrais Iteradas

Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], do mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:

1. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z b a hZ d c hZ f e φ(x, y, z)dzidyidx 2. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z b a hZ f e hZ d c φ(x, y, z)dyidzidx

(64)

3. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z d c hZ b a hZ f e φ(x, y, z)dzidxidy 4. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z d c hZ f e hZ b a φ(x, y, z)dxidzidy 5. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z f e hZ d c hZ b a φ(x, y, z)dxidyidz 6. Z Z Z R φ(x, y, z)dxdydz = Z f e hZ b a hZ d c φ(x, y, z)dyidxidz

Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é parale-lepipedal a ordem de integração não importa.

4.6 Propriedades das Integrais Triplas

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-monstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-grafia abaixo.

Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R37→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

Z Z Z D cf (x, y, z)dxdydz = c Z Z Z D f (x, y, z)dxdydz

Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale:

Z Z Z D (f + g)(x, y, z)dxdydz = Z Z Z D f (x, y, z)dxdydz + Z Z Z D g(x, y, z)dxdydz

(65)

4

Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R37→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale:

Z Z Z

D

f (x, y, z)dxdydz ≥ 0

Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valo-res reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: Z Z Z D f (x, y, z)dxdydz ≥ Z Z Z D g(x, y, z)dxdydz

Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3, então vale:

Z Z Z D f (x, y, z)dxdydz = Z Z Z A f (x, y, z)dxdydz + Z Z Z B f (x, y, z)dxdydz

OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-aridade” do operador integral tripla. As terceira e quarta pro-priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”.

4.7 Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-plos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar

(66)

que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais sim-ples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variá-veis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral Z Z Z

R

f (x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x, depois na variável y e por último na variável z. Já na integral Z Z Z

R

f (x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z, depois na variável y e por último na variável x.

Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R dada por f (x, y) = x2 + y2 + z2 e determine a integral tripla I =

Z Z

Rf (x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R 3_{|0 ≤}

x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.

SOLUÇÃO:

Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração:

I = Z 1 0 Z 1 0 Z 1 0 (x2+ y2+ z2)dxdydz

Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e z como constantes: I = Z 1 0 Z 1 0 x3 3 + y 2_{x + z}2_x dydz

Substituindo os limites de integração temos: I = Z 1 0 Z 1 0 13 3 − 03 3 + y 2_{(1 − 0) + z}2_{(1 − 0)} dydz Efetuando os cálculos temos:

I = Z 1 0 Z 1 0 1 3 + y 2_{+ z}2 dy

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x como constante:

(67)

4

I = Z 1 0 1 3y + y3 3 + z 2_y 1 0dz

Substituindo os limites de integração temos: I = Z 1 0 1 3(1 − 0) + 13 3 − 03 3 + z 2_{(1 − 0)} dz Efetuando os cálculos temos:

I = Z 1 0 1 3+ 1 3+ z 2 dz

Passo 4 último passo, integraremos na variável z: I = 1 3z + 1 3z + z3 3 1 0

Substituindo os limites de integração temos: I = 1 3(1 − 0) + 1 3(1 − 0) + 13 3 − 03 3

Efetuando os cálculos temos: I = 1 3+ 1 3 + 1 3 = 1

OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não re-tangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região