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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

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Sistemas de Equações

Diferenciais Lineares

Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1, na Seção 2.9, e fomos

capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 3.11 e 4.6 do mesmo

volume. Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de

primeira ordem lineares. Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode

ser resolvida utilizando eliminação (Volume 1, Seção 3.11) ou transformada de

Laplace (Volume 1, Seção 4.6), desenvolveremos uma teoria geral para esses

tipos de sistemas e, no caso de sistemas com coeficientes constantes, um

método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial.

Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles

de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção 3.3-3.5 do Volume 1.

O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de

primeira ordem não lineares (Capítulo 2).

Descrição do capítulo

1.1 Teoria preliminar

1.2 Sistemas lineares homogêneos 1.2.1 Autovalores reais distintos 1.2.2 Autovalores repetidos 1.2.3 Autovalores complexos 1.3 Solução por diagonalização 1.4 Sistemas lineares não homogêneos

1.4.1 Coeficientes indeterminados 1.4.2 Variação de parâmetros 1.4.3 Diagonalização 1.5 Exponencial de matriz

(2)

1.1

Teoria

preliminar

Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse ca-pítulo. Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com esses conceitos.

Introdução

 Relembre que na Seção 3.1 do Volume 1 ilustramos como resolver sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma

(1)

onde Pij são polinômios de vários graus no operador diferencial D. Nesse capítulo, restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos especiais de sistemas que tenham a forma normal

(2)

Um sistema tal como (2) de n equações de primeira ordem é denominado sistema de

primeira ordem.

Sistemas lineares

 Quando cada uma das funções g1, g2,..., gn em (2) for linear nas variáveis dependentes x1, x2,..., xn, obtemos a forma normal de um sistema de primeira ordem de equações lineares:

(3)

Fazemos referência a um sistema da forma indicada em (3) simplesmente como um sistema linear. Consideramos que os coeficientes aij(t) bem como as funções fi(t) sejam contínuos em um intervalo comum I. Quando fi(t)  0, i  1, 2,..., n, o sistema linear é dito ser homogêneo; caso contrário, ele é não homogêneo.

Forma matricial de um sistema linear

 Se X, A(t) e F(t) representarem as

respec-tivas matrizes Observação para

(3)

então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares (3) pode ser escrito como

ou simplesmente (4)

Se o sistema for homogêneo, sua forma matricial é então

(5) Exemplo 1 Sistemas escritos em notação matricial

(a) Se então a forma matricial do sistema homogêneo

(b) Se então a forma matricial do sistema não homogêneo

Vetor solução

Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna

cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema (4) no intervalo.

D E F I N IÇ ÃO 1 . 1

Um vetor solução de (4), obviamente, equivale a n equações escalares x1 1(t), x2 ␾2(t),..., xn ␾n(t), podendo ser interpretado geometricamente como um conjunto de equações paramétricas de uma curva espacial. Nos casos n  2 e n  3, as equações x1  ␾1(t), x2  ␾2(t), e x1  ␾1(t), x2  ␾2(t), x3  ␾3(t)

representam curvas em duas e três dimensões, respectivamente. Trata-se de uma prática comum designar tal curva solução como trajetória. O plano é também chamado de plano de fase. Ilustraremos esses conceitos na seção a seguir, assim como no Capítulo 2.

(4)

Exemplo 2 Verificação de soluções Verifique que no intervalo (,)

são soluções de (6)

Solução

 A partir de e , temos que

e ❑

Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n.

Problema de valor inicial

 Seja t0 um ponto em um intervalo I e

onde i, i  1, 2,..., n são constantes dadas. Assim, o problema

Resolver:

Sujeita a: (7)

é um problema de valor inicial no intervalo.

Existência de uma solução única

Considere as entradas das matrizes A(t) e F(t) como sendo funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t0. Logo, existe uma única solução do problema de valor inicial (7) no intervalo.

T E O R E M A 1 . 1

Sistemas homogêneos

 Nas próximas definições e teoremas, estaremos interes-sados somente em sistemas homogêneos. Sem definir, consideraremos sempre que aij e fi sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I.

Princípio da superposição

 O resultado apresentado a seguir é um princípio da

superposição para a solução de sistemas lineares.

Princípio da superposição

Considere X1, X2,..., Xk um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a combinação linear

onde os ci, i  1, 2,..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.

(5)

Decorre do Teorema 1.2 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também uma solução.

Exemplo 3 Utilizando o princípio da superposição Você deve praticar verificando que os dois vetores

são soluções do sistema

(8) Pelo princípio da superposição, a combinação linear

é outra solução do sistema. ❑

Dependência linear e independência linear

 Estamos principalmente

interessa-dos em soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (5).

Dependência/independência linear

Considere X1, X2,..., Xk como sendo um conjunto de vetores solução do sistema ho-mogêneo (5) em um intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente

dependen-te no independen-tervalo se existirem constandependen-tes c1, c2,... ck, nem todas nulas, de modo que

para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo, ele será linearmente independente.

D E F I N IÇ ÃO 1 . 2

O caso no qual k  2 deve estar claro; dois vetores solução X1 e X2 são linear-mente dependentes se um for múltiplo constante do outro, e vice-versa. Para k  2, um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes.

Wronskiano

 Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação diferencial ordinária, podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano como um teste para a independência linear. Enunciamos o seguinte teorema sem de-monstração.

Critério para soluções

linearmente independentes

Considere

sendo n vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Logo, o conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se o Wronskiano

T E O R E M A 2 . 3

(6)

(9)

para todo t no intervalo.

(continuação)

Pode ser mostrado que se X1, X2,..., Xn forem vetores solução de (5), então, para todo t em I, W(X1, X2,..., Xn) ⫽ 0 ou W(X1, X2,..., Xn)  0. Assim, se pudermos de-monstrar que W ⫽ 0 para algum t0 em I, então W ⫽ 0 para todo t, e consequentemente

o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo.

Observe que, ao contrário da nossa definição de Wronskiano na Seção 3.1 do Volume 1, aqui a definição do determinante (9) não envolve diferenciação.

Exemplo 4 Soluções linearmente independentes

No Exemplo 2 vimos que e são soluções do sistema (6). Claramente X1 e X2 são soluções linearmente independentes no intervalo (,), pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro. Além disso, temos

para todos os valores reais de t.

Conjunto fundamental de soluções

Qualquer conjunto X1, X2,..., Xn de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (5) em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental

de soluções no intervalo.

D E F I N IÇ ÃO 1 . 3

Existência de um conjunto

fundamental

Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (5) em um intervalo I.

T E O R E M A 1 . 4

Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 3.5 e 3.6 do Volume 1.

Solução geral – Sistemas

homogêneos

Considere X1, X2,..., Xn como sendo um conjunto fundamental de soluções do sis-tema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a solução geral do sissis-tema no intervalo é

onde os ci, i  1, 2,..., n são constantes arbitrárias. T E O R E M A 1 . 5

Exemplo 5 Solução geral do sistema (6)

A partir do Exemplo 2, sabemos que são soluções

(7)

con-junto fundamental de soluções no intervalo. A solução geral do sistema no intervalo é então

(10) ❑

Exemplo 6 Solução geral do sistema (8) Os vetores

são soluções do sistema (8) no Exemplo 3 (veja o Problema 16 nos Exercícios 1.1). Agora

para todos os valores reais de t. Concluímos que X1, X2 e X3 formam um conjunto

fundamental de soluções em (,). Assim, a solução geral do sistema no intervalo é a combinação linear X  c1X1  c2X2  c3X3, isto é,

Sistemas não homogêneos

 Para sistemas não homogêneos, uma solução

par-ticular Xp em um intervalo I é qualquer vetor, livre de parâmetros arbitrários, cujas entradas são funções que satisfazem o sistema (4).

Solução geral – Sistemas não

homogêneos

Considere Xp uma solução dada do sistema não homogêneo (4) em um intervalo

I, e seja

a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado (5). Logo, a

solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é

A solução geral Xc do sistema homogêneo (5) é chamada de função

comple-mentar do sistema não homogêneo (4).

T E O R E M A 1 . 6

Exemplo 7 Solução geral – sistema não homogêneo

O vetor é uma solução particular do sistema não homogêneo (11)

(8)

Nos Problemas 1-6, escreva o sistema linear na forma matricial.

1. 2.

3. 4.

5.

6.

Nos Problemas 7-10, escreva o sistema indicado sem utilizar ma-trizes.

7.

8.

9.

10.

Nos Problemas 11-16, verifique que o vetor X é uma solução do sistema indicado. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Nos Problemas 17-20, os vetores dados são soluções de um sis-tema X¿  AX. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em (,).

17.

18.

19.

no intervalo (,). (Verifique isso.) A função complementar de (11) no mesmo in-tervalo, ou a solução geral de , foi vista em (10) do Exemplo 5 como

sendo . Portanto, pelo Teorema 1.6,

é a solução geral de (11) em (,). ❑

(9)

20.

Nos Problemas 21-24, verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado.

21.

22.

23.

24.

25. Prove que a solução geral de

no intervalo (,) é

26. Prove que a solução geral de

no intervalo (,) é

1.2

Sistemas lineares homogêneos

Introdução

 No Exemplo 5 da Seção 1.1, vimos que a solução geral do sistema homogêneo

Como ambos os vetores solução têm a forma i  1,2, onde k1, k2, 1 e

2 são constantes, somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução

da forma

(1)

para o sistema de primeira ordem linear homogêneo

(2) onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n  n.

Autovalores e autovetores

 Se (1) for um vetor solução do sistema, então X¿  K␭e␭t de modo que (2) se escreve K␭␭e␭t AK␭e␭t. Após cancelar ␭e␭t e rearranjando, obte-mos AK  ␭K ou AK  ␭K  0. Como K  IK, a última equação é o mesmo que

(3)

Trabalharemos somente com sistemas lineares de coeficientes constantes.

(10)

A equação matricial (3) é equivalente às equações algébricas simultâneas

Assim, para obter uma solução não trivial X de (2), temos primeiro que obter uma solução não trivial do sistema anterior; em outras palavras, precisamos calcular um vetor não trivial K que satisfaça (3). Porém, para que (3) tenha outras soluções que não apenas a solução óbvia k1  k2 ...  kn  0, temos que ter

Essa equação polinomial em ␭ é chamada de equação característica da matriz A; as soluções dessa equação são os autovalores de A. Uma solução K ⫽ 0 de (3) que corresponde a um autovalor ␭ é denominada um autovetor de A. Uma solução do sistema homogêneo (2) é então X  Ke␭t.

Na discussão que se segue, examinaremos três casos: todos os autovalores sendo reais e distintos (isto é, não existem autovalores iguais), autovalores repetidos, e, finalmente, autovalores complexos.

1.2.1

Autovalores reais distintos

Quando a matriz A n  n tem autovalores reais e distintos ␭1, 2,..., n, então um conjunto de n autovetores linearmente independentes K1, K2,..., Kn pode sempre ser obtido e

é um conjunto fundamental de soluções de (2) em (,).

Solução geral – Sistemas

homogêneos

Considere 1, 2,..., ␭n como sendo n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema homogêneo (2), e K1, K2,..., Kn os autovetores corres-pondentes.

Logo, a solução geral de (2) no intervalo (,) é definida como

T E O R E M A 1 . 7

Exemplo 1 Autovalores distintos

Resolva (4)

Solução

 Primeiro obtemos os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. A partir da equação característica

vemos que os autovalores são 1  1 e ␭2  4.

(11)

Logo, k1  k2. Quando k2  1, o autovetor correspondente é

Para 2  4, temos

de modo que k1  3k2/2, e portanto, com k2  2, o autovetor correspondente é

Como a matriz de coeficientes A é uma matriz 2  2, e por termos obtido duas solu-ções de (4) que são linearmente independentes,

concluímos que a solução geral do sistema é

(5) ❑ Devemos ter em mente que uma solução de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares, quando escrito em termos de matrizes, é simplesmente uma alternativa ao método empregado na Seção 3.11 do Volume 1 – ou seja, listar as funções individuais e a relação entre as constantes. Se somarmos os vetores do lado direito de (5) e a seguir as igualarmos às entradas correspondentes no vetor da esquer-da, obteremos a definição mais familiar

Conforme destacado na Seção 1.1, podemos interpretar essas equações como equações paramétricas de uma curva ou trajetória no plano xy ou plano de fase. Os três gráfi-cos ilustrados na Figura 1.1, x(t) no plano tx, y(t) no plano ty, e a trajetória no plano de fase, correspondem à escolha das constantes c1 c2 1 na solução. Um conjunto de trajetórias no plano de fase como mostrado na Figura 1.2 é dito ser um perfil de fase do sistema linear dado. O que parece ser duas retas pretas na Figura 1.2 são na verda-de quatro retas-metaverda-de verda-definidas parametricamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes pelas soluções X2, X1, X2, e X1, respectivamente. Por exemplo, as equações cartesianas , x  0, e y  x, x  0, das retas-metade no primeiro e quarto quadrantes foram obtidas pela eliminação do parâmetro t nas soluções x  3e4t, y  2e4t, e x  et, y   et, respectivamente. Além disso, cada autovetor pode ser visto como um vetor de duas dimensões se estendendo ao longo de uma das retas-metade. O autovetor se localiza ao longo de no primeiro quadrante, e se estende ao longo de y  x no quarto quadrante; cada vetor se inicia

na origem, com K2 terminando no ponto (2,3) e K1 terminando em (1,1).

A origem não é somente uma solução constante, x  0, y  0, para todo sistema linear homogêneo 22 X¿  AX, mas é também um ponto importante no estudo qua-litativo de tais sistemas. Se pensarmos em termos físicos, as pontas das setas em uma trajetória na Figura 1.2 indicam a direção na qual uma partícula com coordenadas (x(t), y(t)) numa trajetória no tempo T se moveria com o aumento do tempo. Observe que as pontas das setas, sendo exceção apenas aquelas das retas-metade no segundo e quarto quadrantes, indicam que uma partícula se moveria para longe da origem com o aumento do tempo t. Se imaginarmos a escala de tempo de  a , então a inspeção

x y 4 2 0 –2 –5 – 6 –8 –10 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3t x 6 4 2 –2 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 t 0 y (a) Gráfico de x = e–t + 3e4t (b) Gráfico de y = –e–t + 2e4t

(c) Trajetória definida por x = e–t + 3e4t,

y = –e–t + 2e4t no plano de fase

Figura 1.1 Uma solução particular de (5) resulta em três planos coordenados diferentes.

y

x

Figura 1.2 Um perfil de fase do siste-ma (4).

(12)

da solução x  c1e t  3c 2e 4t, y  c 1e t  2c 2e 4t

, c1⫽ 0, c2⫽ 0, mostra que uma

trajetória, ou partícula em movimento, “começa” assintótica às retas-metade defini-das por X1 ou –X1 (pois e

4t é insignificante para t → ) e “termina” assintótica a

uma das retas-metade definidas por X2 e –X2 (pois e

t é desprezível para t → ).

Observamos que a Figura 1.2 representa um perfil de fase típico de todos os siste-mas lineares homogêneo 22 X¿  AX com autovalores reais de sinais opostos. Veja o Problema 17 nos Exercícios 1.2. Além disso, perfis de fase nos dois casos para os quais autovalores reais distintos têm o mesmo sinal algébrico seriam perfis típicos de todos os sistemas lineares 22; a única diferença é que as pontas das setas indicariam que uma partícula se afastaria da origem em qualquer trajetória com t →  quando ambos ␭1 e 2

fossem positivos, e se moveria em direção à origem em qualquer trajetória quando ambos 1 e 2 fossem negativos. Consequentemente, é comum denominar a origem como um repulsor no caso 1  0, ␭2  0, e um atrator no caso ␭1  0, ␭2  0. Veja o Problema

18 nos Exercícios 1.2. A origem na Figura 1.2 não é um repulsor nem um atrator. A in-vestigação do caso restante quando ␭  0 é um autovalor de um sistema linear homogê-neo 22 é deixado como um exercício. Veja o Problema 48 nos Exercícios 1.2. Exemplo 2 Autovalores distintos

Resolva (6)

Solução

 Utilizando os cofatores da terceira linha, obtemos

e assim os autovalores são 1 3, ␭2 4, ␭3 5. Para 1 3, a eliminação de Gauss-Jordan resulta em

Então, k1  k3 e k2  0. A escolha k3  1 resulta em um autovetor e o vetor solução

correspondente

(7) De modo similar, para 2  4,

implica k1  10k3 e k2  k3. Escolhendo k3  1, obtemos um segundo autovetor e

vetor solução

(13)

Finalmente, quando 3  5, as matrizes aumentadas

resultam em (9)

A solução geral de (6) é uma combinação linear dos vetores solução em (7), (8) e (9):

Uso de computadores

 Pacotes matemáticos como MATLAB, Mathematica,

Ma-ple e DERIVE podem poupar tempo na obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz. Por exemplo, para calcular os autovalores e autovetores da matriz de co-eficientes em (6) aplicando o Mathematica, utilizamos primeiro a definição da matriz por linhas:

Os comandos Eigenvalues[m] e Eigenvectors[m] digitados em sequência resultam em

respectivamente. No Mathematica, autovalores e autovetores podem também ser ob-tidos ao mesmo tempo por meio do comando Eigensystem[m].

1.2.2

Autovalores repetidos

É claro que nem todos os n autovalores ␭1, 2,..., n de uma matriz A n  n precisam ser distintos, isto é, alguns dos autovalores podem ser repetidos. Por exemplo, a equa-ção característica da matriz de coeficientes no sistema

(10) é diretamente mostrada como sendo (␭  3)2 0, e portanto ␭1  ␭2 3 é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse valor, obtemos o autovetor único

(11) é uma solução de (10). Porém, como estamos obviamente interessados em determinar a solução geral do sistema, precisamos obter uma segunda solução.

Em geral, se m for um inteiro positivo e (␭  ␭t) m

for um fator da equação ca-racterística enquanto que (␭  ␭1)

m+1

não for, então 1 é dito ser um autovalor de multiplicidade m. Os próximos três exemplos ilustram os seguintes casos:

(i) Para algumas matrizes A nn, pode ser possível obter m autovetores line-armente independentes K1, K2,..., Km que correspondem a um autovalor 1 de multiplicidade m n. Nesse caso, a solução geral do sistema contém a combinação linear

(14)

(ii) Caso exista somente um autovetor correspondente ao autovalor ␭1 de

mul-tiplicidade m, então m soluções linearmente independentes da forma

onde Kij são vetores coluna, podem sempre ser determinadas.

Autovalor de multiplicidade dois

 Iniciamos considerando autovalores de

mul-tiplicidade dois. No primeiro exemplo, ilustramos uma matriz para a qual podemos determinar dois autovalores distintos que correspondem a um autovalor duplo. Exemplo 3 Autovalores repetidos

Resolva

Solução

 Expandir o determinante na equação característica

resulta em –(␭  1)2(␭  5)  0. Vemos que ␭1  ␭2  1 e ␭3  5.

Para 1 1, a eliminação de Gauss-Jordan imediatamente nos dá

A primeira linha da última matriz significa k1 – k2  k3  0 ou k1  k2 – k3. As

esco-lhas k2  1, k3  0 e k2  1, k3  1, resultam, respectivamente, em k1 1 e k1  0.

Portanto, os dois autovetores correspondentes a 1 1 são

Como nenhum autovetor é um múltiplo constante do outro, obtivemos duas soluções linearmente independentes correspondentes ao mesmo autovalor

(15)

implica k1  k3 e k2  k3. Adotando k3  1, temos k1  1, k2  1, e portanto um

terceiro autovetor é

Concluímos que a solução geral do sistema é

A matriz de coeficientes A no Exemplo 3 é um tipo especial de matriz conhecido como matriz simétrica. Uma matriz A n  n é dita ser simétrica se sua transposta AT (onde as linhas são trocadas pelas colunas e vice-versa) for igual a A, ou seja, se AT 

A. Pode-se provar que se a matriz A no sistema X¿  AX for simétrica e tiver

entra-das reais, então sempre podemos determinar n autovetores linearmente independen-tes K1, K2,... Kn, e a solução geral de tal sistema é dada no Teorema 1.7. Conforme ilustrado no Exemplo 3, o resultado se aplica mesmo quando alguns dos autovalores forem repetidos.

Segunda solução

 Suponha agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois

e que exista somente um autovetor associado a esse valor. Uma segunda solução pode ser obtida na forma

(12)

onde

Para termos isso, substituímos (12) no sistema X¿  AX e simplificamos:

Como essa equação se aplica a todos os valores de t, temos que ter

(13)

e (14)

A equação (13) simplesmente declara que K tem ser um autovetor de A associado com 1. Pela solução de (13), determinamos uma solução . Para obter a segunda solução X2, precisamos somente resolver o sistema adicional (14) para o vetor P.

Exemplo 4 Autovalores repetidos

Determine a solução geral do sistema indicado em (10).

Solução

 A partir de (11), sabemos que 1 3 e que uma solução é

Identificando temos a partir de (14) que agora precisamos re-solver

(16)

Como esse sistema é claramente equivalente a uma equação, temos um número infi-nito de escolhas para p1 e p2. Por exemplo, escolhendo p1  1, temos .

Entre-tanto, para simplificar, adotaremos , de modo que p2 0. Portanto, . Assim, a partir de (12), obtemos

A solução geral de (10) é então

Pela adoção de diversos valores para c1 e c2 na solução do Exemplo 4, podemos

traçar trajetórias do sistema em (10). A Figura 1.3 apresenta um perfil de fase de (10). As soluções X1 e –X1 determinam duas retas-metade x  0, e x  0,

respectivamente, que estão indicadas em preto na Figura 1.3. Como o único autovalor é negativo e e3t → 0 quando t →  em todas as trajetórias, temos (x(t),y(t)) → (0,0) quando t → . É por isso que as pontas das setas na Figura 1.3 indicam que uma partícula em qualquer trajetória se moveria em direção à origem com o aumento do tempo e pelo fato da origem ser um atrator nesse caso. Além disso, uma partícula em

movimento em uma trajetória y  c1e

3t  c 2te

3t

, c2

⫽ 0, se aproxima de (0,0) tangencialmente a uma das retas-metade quando t → . Por outro lado, quando o autovalor repetido for positivo, a situação se reverte e a origem se torna um repulsor. Veja o Problema 21 nos Exercícios 1.2. Análoga à Figura 1.2, a Figura 1.3 é típica de todos os sistemas lineares homogêneos 22 X¿  AX que tenham dois autovalores negativos repetidos. Veja o Problema 32 nos Exercícios 1.2.

Autovalor de multiplicidade três

 Quando a matriz de coeficientes A tem

so-mente um autovetor associado com um autovalor 1 de multiplicidade três, podemos determinar uma solução da forma (12) e uma terceira solução da forma

(15)

onde

Substituindo (15) no sistema X¿  AX, temos que os vetores coluna K, P e Q preci-sam satisfazer

(16) (17)

e (18)

Obviamente, as soluções de (16) e (17) podem ser utilizadas para formar as soluções

X1 e X2.

Exemplo 5 Autovalores repetidos

Resolva

y

x

Figura 1.3 Um perfil de fase do siste-ma (10).

(17)

Solução

 A equação característica (␭  2)3  0 mostra que ␭1  2 é um autovalor

de multiplicidade três. Resolvendo (A – 2I)K  0, obtemos o único autovetor

A seguir, resolvemos os sistemas (A – 2I)P  K e (A – 2I)Q  P, obtendo

Utilizando (12) e (15), vemos que a solução geral do sistema é

Observações

Quando um autovalor 1 tem multiplicidade m, podemos obter m autovetores line-armente independentes ou o número de autovetores correspondentes é menor que

m. Logo, os dois casos listados na página 35 não se referem a todas as

possibili-dades sob as quais um autovalor repetido pode ocorrer. Podemos ter, por exemplo, uma matriz 55 com um autovalor de multiplicidade 5 e existirem três autovetores linearmente independentes correspondentes. Veja os Problemas 31 e 49 nos Exer-cícios 1.2.

1.2.3

Autovalores complexos

Se 1  ␣  ␤i e ␭2  ␣  ␤i, ␤  0, i

2  1, forem autovalores complexos da

matriz de coeficientes A, podemos então certamente esperar que os seus autovetores correspondentes tenham também entradas complexas.*

Por exemplo, a equação característica do sistema

(19)

é

A partir da fórmula quadrática, obtemos 1  5  2i, ␭2  5  2i.

Agora, para 1  5  2i, temos que resolver

* Quando a equação característica tem coeficientes reais, autovalores complexos sempre aparecem em pares conjugados.

(18)

Como k2  (1 –2i)k1,* a escolha k1  1 resulta no seguinte autovetor e um vetor

solução:

De modo similar, para 2 5 – 2i, obtemos

Podemos verificar por meio do Wronskiano que esses vetores solução são linearmen-te independenlinearmen-tes, e assim a solução geral de (19) é

(20) Observe que as entradas em K2 correspondentes a 2 são os conjugados das

entradas em K1 correspondentes a 1. O conjugado de 1 é, claramente, 2.

Escre-vemos essa informação como e . Apresentamos o resultado geral a seguir.

Soluções correspondentes a um

autovalor complexo

Seja A uma matriz de coeficientes com entradas reais do sistema homogêneo (2), e K1 um autovetor que corresponde ao autovalor complexo 1 ␣  i␤, ␣ e ␤ reais. Assim

são soluções de (2).

T E O R E M A 1 . 8

É desejável e relativamente fácil reescrever uma solução tal como (20) em ter-mos de funções reais. Com esse objetivo, aplicater-mos primeiro a fórmula de Euler para escrever

Então, após multiplicar números complexos, organizar os termos e substituir c1 c2 por C1 e (c1 – c2)i por C2, (20) se escreve

(21)

onde

e

Agora é importante percebermos que os dois vetores X1 e X2 em (21) são eles pró-prios soluções reais linearmente independentes do sistema original. Consequente-mente, se justifica ignorar a relação entre C1, C2 e c1, c2, e podemos considerar C1 e C2 como completamente arbitrárias e reais. Em outras palavras, a combinação linear (21) é uma solução geral alternativa de (19).

(19)

O processo anterior pode ser generalizado. Seja K1 um autovetor da matriz de

coeficientes A (com entradas reais) que corresponde ao autovalor complexo 1  ␣

 i␤. Logo, os dois vetores solução no Teorema 1.8 podem ser escritos como

Pelo princípio da superposição, Teorema 1.2, os seguintes vetores também são solu-ções:

Para qualquer número complexo z  a  ib, ambos e

são números reais. Portanto, as entradas dos vetores coluna e são números reais. Definindo

(22) somos levados ao teorema a seguir.

Soluções reais correspondentes a

um autovalor complexo

Seja 1 ␣  i␤ um autovalor complexo da matriz de coeficientes A no sistema homogêneo (2), e B1 e B2 os vetores coluna definidos em (22). Assim,

(23)

são soluções linearmente independentes de (2) em (,).

T E O R E M A 1 . 9

As matrizes B1 e B2 em (22) são muitas vezes descritas como

(24) pois esses vetores são, respectivamente, as partes real e imaginária do autovetor K1. Por exemplo, (21) decorre de (23) com

Exemplo 6 Autovalores complexos Resolva o problema de valor inicial

(25)

Solução

(20)

1.2.1

Autovalores reais distintos

Nos Problemas 1-12, determine a solução geral do sistema in-dicado. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Os autovalores são 1 2i e . Para 1, o sistema

resulta em k1  (2  2i) k2. Escolhendo k2  1, obtemos

Agora, a partir de (24) formamos

Como ␣  0, decorre de (23) que a solução geral do sistema é

(26)

O perfil de fase da Figura 1.4 apresenta alguns gráficos de curvas ou trajetórias de-finidas pela solução (26) do sistema. Agora a condição inicial ou, de modo equivalente, x(0)  2, e y(0)  1, resulta no sistema algébrico 2c1  2c2

 2, c1  1, cuja solução é c1  1, c2  0. Portanto, a solução do problema é

A trajetória específica definida parametricamente pela so-lução particular x  2 cos 2t – 2 sen 2t, y  cos 2t se refere à curva preta na Figura

1.4. Note que essa curva passa por (2,1). ❑

y

x

Figura 1.4 Um perfil de fase do siste-ma em (26).

(21)

12.

Nos Problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial in-dicado.

13.

14.

Tarefas computacionais

Nos Problemas 15 e 16, utilize um SAC ou um programa de álgebra linear como auxílio para determinar a solução geral do sistema dado.

15.

16.

17. (a) Utilize um programa computacional para obter o perfil de fase do sistema no Problema 5. Se possível, inclua as pontas das setas como na Figura 1.2. Além disso, inclua quatro linhas-metade nesse perfil de fase.

(b) Obtenha equações cartesianas para cada uma das quatro linhas metade no item (a).

(c) Trace os autovetores no seu perfil de fase do sistema. 18. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 2 e

4. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linha-metade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase.

1.2.2

Autovalores repetidos

Nos Problemas 19-28, determine a solução geral do sistema in-dicado. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

Nos Problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial in-dicado.

29.

30.

31. Mostre que a matriz 5  5

tem um autovalor 1 de multiplicidade 5. Mostre que três autovetores linearmente independentes correspondendo a 1 podem ser obtidos.

Tarefas computacionais

32. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 20 e 21. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linha-metade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase.

1.2.3

Autovalores complexos

Nos Problemas 33-44, determine a solução geral do sistema in-dicado.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

(22)

41. 42.

43. 44.

Nos Problemas 45 e 46, resolva o problema de valor inicial dado.

45.

46.

Tarefas computacionais

47. Obtenha perfis de fase para os sistemas nos Problemas 36, 37 e 38.

48. Resolva cada um dos seguintes sistemas lineares. (a)

(b)

Determine um perfil de fase para cada sistema. Qual é o sig-nificado geométrico da reta y  x em cada perfil de fase?

Problemas para discussão

49. Considere a matriz 5  5 apresentada no Problema 31. Re-solva o sistema X¿  AX sem o auxílio de métodos ma-triciais, porém escreva a solução geral usando a notação matricial. Utilize a solução geral como base para discutir como o sistema pode ser resolvido aplicando-se os métodos matriciais dessa seção. Apresente as suas idéias.

50. Obtenha uma equação cartesiana da curva definida para-metricamente pela solução do sistema linear no Exemplo

6. Identifique a curva que passa por (2,1) na Figura 1.4. [Sugestão: Calcule x2, y2 e xy].

51. Examine os perfis de fase do Problema 47. Sob quais condi-ções o perfil de fase de um sistema linear homogêneo 2  2 com autovalores complexos será constituído por uma famí-lia de curvas fechadas? E uma famífamí-lia de espirais? Sob quais condições a origem (0,0) é um repulsor? E um atrator? 52. O sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares

(27)

descreve o movimento de dois sistemas massa-mola acoplados (veja a Figura 3.59 do Volume 1). Já resolvemos um caso es-pecial desse sistema nas Seções 3.11 e 4.6 do Volume 1. Nesse problema descrevemos outro método para resolver o sistema. (a) Mostre que (27) pode ser escrita como a equação

matri-cial X–  AX onde

(b) Se uma solução tem a forma X  Ke␻t, mostre que X–  AX resulta em

(c) Mostre que se m1 1, m2  1, k1  3 e k2  2, uma solução do sistema é

(d) Mostre que a solução no item (c) pode ser escrita como

1.3

Solução por diagonalização

Introdução

 Nessa seção, consideraremos um método alternativo para resolver um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Esse método é aplicável a um sistema X¿  AX sempre que a matriz de coeficientes A for diagonalizável.

Sistemas acoplados

 Um sistema linear homogêneo X¿  AX,

(1)

no qual cada xi¿ é escrito como uma combinação linear de x

1, x2,..., xn, é dito ser

acoplado. Se a matriz de coeficientes A for diagonalizável, então o sistema pode ser desacoplado de modo que cada xi¿ possa ser expresso somente em termos de x

(23)

Se a matriz A tiver n autovetores linearmente independentes, então sabemos a partir do Teorema 2.27 do Volume 2 que podemos obter uma matriz P tal que P1AP

 D, onde D é uma matriz diagonal. Se fizermos a substituição X  PY no sistema

X¿  AX, então

(2) A última equação em (2) é igual a

(3)

Como D é diagonal, a inspeção de (3) revela que esse novo sistema é desacoplado; cada equação diferencial no sistema é da forma yi¿  ␭iyi, i  1, 2,..., n. A solução de cada uma dessas equações lineares é Logo, a solução geral de (3) pode ser escrita como o vetor coluna

(4)

Como agora conhecemos Y e como a matriz P pode ser construída a partir dos auto-vetores de A, a solução geral do sistema original X¿  AX é obtida a partir de X 

PY.

Exemplo 1 Desacoplando um sistema linear

Resolva por diagonalização.

Solução

 Iniciamos calculando os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz de coeficientes.

A partir de det(A  ␭I)  (␭  2)(␭  1)(␭  5), obtemos ␭1  2, ␭2  1

e 3  5. Como os autovalores são distintos, os autovetores são linearmente

indepen-dentes. Resolvendo (A  ␭iI)K  0 para i  1, 2 e 3, temos, respectivamente,

(5)

Portanto, uma matriz que diagonaliza a matriz de coeficientes é

As entradas na diagonal principal de D são os autovalores de A que correspondem à ordem na qual os autovetores aparecem em P:

(24)

EXERCÍCIOS 1.3

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 388. Conforme vimos anteriormente, a substituição X  PY em X¿  AX resulta no sistema desacoplado Y¿  DY. A solução geral desse último sistema é imediata:

Logo, a solução do sistema dado é

(6) ❑

Note que (6) pode ser escrita da maneira usual expressando-se a última matriz como uma soma de matrizes colunas:

A solução por diagonalização sempre funcionará desde que possamos determi-nar n autovetores linearmente independentes de uma matriz A n  n; os autovalores de A podem ser reais e distintos, complexos ou repetidos. O método falha quando A tem autovalores repetidos e n autovetores linearmente independentes não podem ser obtidos. É claro que nessa última situação A não é diagonalizável.

Como temos que calcular autovalores e autovetores de A, esse método é essen-cialmente equivalente ao procedimento apresentado na última seção.

Na próxima seção, veremos que a diagonalização pode também ser utilizada para resolver sistemas lineares não homogêneos X¿  AX + F(t).

Nos Problemas 1-10, utilize diagonalização para resolver o sis-tema indicado. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. Já demonstramos como resolver o sistema de equações dife-renciais de segunda ordem lineares que descreve o movimento do sistema massa-mola acoplado na Figura 3.59 do Volume 1,

(7)

de três modos diferentes (veja o Exemplo 4 na Seção 3.11 do Volume 1, o Problema 52 nos Exercícios 1.2 deste Volume e o Exemplo 1 na Seção 4.6 do Volume 1). Neste problema, você percorrerá os passos para os quais (7) também pode ser resolvido utilizando-se diagonalização.

(a) Escreva (7) na forma MX–  KX  0, onde

Identifique as matrizes M e K. Explique por que a ma-triz M tem uma inversa.

(b) Escreva o sistema do item (a) como

(8)

Identifique a matriz B.

(c) Resolva o sistema (7) para o caso especial no qual m1 1, m2  1, k1  3 e k2  2 solucionando (8) utilizando

(25)

o método da diagonalização. Em outras palavras, consi-dere X  PY, onde P é uma matriz cujas colunas são os autovetores de B.

(d) Mostre que a solução X no item (c) é igual àquela indicada no item (d) do Problema 52 nos Exercícios 1.2.

1.4

Sistemas lineares não homogêneos

Introdução

 Os métodos dos coeficientes indeterminados e variação de pa-râmetros utilizados no Capítulo 3 do Volume 1 para determinar soluções

particu-lares de EDOs lineares não homogêneas podem ser adaptados para a solução de sistemas lineares não homogêneos. Dentre os dois métodos, a variação de parâme-tros é a técnica mais poderosa. Entretanto, existem casos para os quais o método dos coeficientes indeterminados consiste em um meio mais rápido para se obter uma solução particular.

Na Seção 1.1, vimos que a solução geral de um sistema linear não homogêneo X¿  AX + F(t) em um intervalo I é X  Xc Xp, onde Xc c1X1 c2X2...  cnXn é a função complementar ou solução geral do sistema linear homogêneo associado X¿  AX, e Xp é qualquer solução particular do sistema não homogêneo. Vimos como obter Xc na Seção 1.2 quando A era uma matriz de constantes n  n; consideramos agora três métodos para obter Xp.

1.4.1

Coeficientes indeterminados

As considerações

 Como na Seção 3.4 do Volume 1, o método dos coeficientes

indeterminados consiste em adotar um palpite embasado a respeito da forma de um

vetor solução particular Xp; o palpite é motivado pelos tipos de funções que com-preendem as entradas da matriz coluna F(t). Não é surpresa que a versão matricial dos coeficientes indeterminados somente é aplicável a X¿  AX + F(t) quando as entradas de A e de F(t) forem constantes, polinômios, funções exponenciais, senos e co-senos, ou somas e produtos finitos dessas funções.

Exemplo 1 Coeficientes indeterminados Resolva o sistema

Solução

 Resolvemos primeiro o sistema homogêneo associado

A equação característica da matriz de coeficientes A,

resulta nos autovalores complexos 1 i e . Pelos procedimentos da última seção, obtemos

(26)

Agora, como F(t) é um vetor constante, consideramos um vetor solução particular Substituindo essa última consideração no sistema original e igualando as entradas, temos

Resolver esse sistema algébrico resulta em a1  14 e b1  11, e assim uma solução

particular é A solução geral do sistema original de EDs no intervalo (, ) é então X  Xc Xp ou

Exemplo 2 Coeficientes indeterminados

Resolva o sistema

Solução

 Os autovalores e os autovetores correspondentes do sistema homogêneo

associado são 1  2, ␭2  7,

Portan-to, a função complementar é

Agora, como F(t) pode ser escrita , tentaremos determinar uma solução particular do sistema que tenha a mesma forma:

Substituir essa última consideração no sistema dado resulta em

ou

A partir da última identidade, obtemos quatro equações algébricas em quatro incógnitas

Resolvendo as primeiras duas equações simultaneamente, obtemos a2   2 e b2

 6. Substituímos então esses valores nas duas últimas equações e resolvemos em relação a a1 e b1. Os resultados são . Segue-se, portanto, que um vetor

(27)

A solução geral do sistema em (, ) é X  Xc  Xp ou

Exemplo 3 Forma de Xp

Determine a forma de um vetor solução particular Xp para o sistema

Solução

 Como F(t) pode ser escrita em termos matriciais como

uma consideração natural para uma solução particular seria

Observações

O método dos coeficientes indeterminados para sistemas lineares não é tão direto como os últimos três exemplos indicam. Na Seção 3.4 do Volume 1, a forma da solução particular yp foi prevista com o conhecimento anterior a respeito da fun-ção complementar yc. O mesmo é válido para a formação de Xp. Porém, existem outras dificuldades: as regras especiais que governam a forma de yp na Seção 4.4 do Volume 1 não se aplicam totalmente à formação de Xp. Por exemplo, se F(t) for um vetor constante como no Exemplo 1 do Volume 1, e ␭  0 for um autovalor de multiplicidade um, então Xc contém um vetor constante. Segundo a “regra da multi-plicação” da página 144 do Volume 1, tentaríamos uma solução particular da forma

Essa não é a consideração apropriada para sistemas lineares: deveria ser

De modo similar, no Exemplo 3, se substituirmos et por e2t em

F(t) (␭  2 sendo um autovalor), então a forma correta do vetor solução particular

é

Em vez de mergulharmos nessas dificuldades, nos voltaremos para o método da va-riação de parâmetros.

(28)

1.4.2

Variação de parâmetros

Uma matriz fundamental

 Se X1, X2,..., Xn for um conjunto fundamental de solu-ções do sistema homogêneo X¿  AX em um intervalo I, então sua solução geral no intervalo será a combinação linear X  c1X1  c2X2 ...  cnXn, ou

(1)

A última matriz em (1) é reconhecida como o produto de uma matriz n  n por uma matriz n  1. Em outras palavras, a solução geral (1) pode ser escrita como o produto

(2) onde C é um vetor coluna n  1 de constantes arbitrárias c1, c2,..., cn, e a matriz n  n, cujas colunas são constituídas pelas entradas dos vetores solução do sistema X¿  AX,

é denominada uma matriz fundamental do sistema no intervalo.

Na discussão a seguir, precisamos aplicar duas propriedades de uma matriz fun-damental:

Uma matriz fundamental

⌽(t) é não singular.

Se

⌽(t) for uma matriz fundamental do sistema X¿  AX, então

(3) O reexame de (9) do Teorema 1.3 mostra que det ⌽(t) é o mesmo que o Wronskiano W(X1, X2,..., Xn). Portanto, a independência linear das colunas de ⌽(t) no intervalo I garante que det ⌽(t) ⫽ 0 para todo t no intervalo. Como ⌽(t) é não singular, a inver-sa multiplicativa ⌽1(t) existe para todo t no intervalo. O resultado indicado em (3) decorre imediatamente do fato de que toda coluna de ⌽(t) é um vetor solução de X¿  AX.

Variação de parâmetros

 De modo análogo ao procedimento na Seção 3.5 do

Vo-lume 1, questionamos se é possível substituir a matriz de constantes C em (2) por uma matriz coluna de funções

(4)

seja uma solução particular do sistema não homogêneo

(5) Pela regra do produto, a derivada da última expressão em (4) é

(6) Note que a ordem dos produtos em (6) é muito importante. Como U(t) é uma matriz coluna, os produtos U¿(t)⌽(t) e U(t)⌽¿(t) não são definidos. Substituir (4) e (6) em (5) resulta em

(29)

Agora, se utilizarmos (3) para substituir ⌽¿(t), (7) se escreve

ou (8)

Multiplicando ambos os lados da equação (8) por ⌽–1(t), obtemos

Como Xp ⌽(t)U(t), concluímos que uma solução particular de (5) é

(9) Para calcular a integral indefinida da matriz coluna ⌽1(t)F(t) em (9), integramos

cada entrada. Portanto, a solução geral do sistema (5) é X  Xc  Xp ou

(10)

Exemplo 4 Variação de parâmetros

Determine a solução geral do sistema não homogêneo

(11) no intervalo (,).

Solução

 Primeiro resolvemos o sistema homogêneo

(12) A equação característica da matriz de coeficientes é

logo os autovalores são 1  2 e ␭2  5. Pelo método usual, temos que os auto-vetores correspondentes a 1 e 2 são, respectivamente,

Os vetores solução do sistema (11) são então

As entradas em X1 formam a primeira coluna de ⌽(t), e as entradas em X2 formam a

(30)

A partir de (9), obtemos

Consequentemente, a partir de (10), a solução geral de (11) no intervalo é

Problema de valor inicial

 A solução geral do sistema não homogêneo (5) em um

intervalo pode ser escrito de um modo alternativo

(13) onde t e t0 são pontos no intervalo. A última forma é útil para a solução de (5) sujeita a uma condição inicial X(t0)  X0, pois os limites de integração são escolhidos de modo que a solução particular desapareça em t  t0. Substituir t  t0 em (13) resulta em X0 ⌽(t0)C, a partir do qual temos C  ⌽1(t0)X0. Substituindo esse último resultado em (13), obtemos a seguinte solução do problema de valor inicial:

(14)

1.4.3

Diagonalização

As considerações

 Como na Seção 1.3, se a matriz de coeficientes A possuir n autovetores linearmente independentes, então podemos utilizar diagonalização para desacoplar o sistema X¿  AX  F(t). Suponha P sendo uma matriz tal que P1AP

 D, onde D é uma matriz diagonal. Substituir X  PY no sistema não homogêneo

X¿  AX  F(t) resulta em

(15) Na última equação em (15), G  P1F é um vetor coluna. Assim, cada equação

dife-rencial nesse novo sistema tem a forma Porém,

ob-serve que, ao contrário do procedimento para resolver um sistema homogêneo X¿ 

AX, agora temos que calcular a inversa da matriz P.

Exemplo 2 Diagonalização

Resolva por diagonalização.

Solução

 Os autovalores e autovetores correspondentes da matriz de coeficientes

(31)

Aplicando-se a substituição X  PY e

o sistema desacoplado é

As soluções das duas equações diferenciais

são, respectivamente, e . Portanto, a solução do

sis-tema original é

(16) Escrita da maneira usual utilizando-se vetores colunas, (16) é

EXERCÍCIOS 1.4

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 388.

1.4.1

Coeficientes indeterminados

Nos Problemas 1-8, utilize o método dos coeficientes indetermi-nados para resolver o sistema indicado.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Resolva sujeita a

10. (a) O sistema de equações diferenciais para as correntes i2(t) e i3(t) na rede elétrica apresentada na Figura 1.5 é

Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema considerando R1  2 , R2  3 , L1  1 h, L2  1 h, E  60 V, i2(0)  0 e i3(0)  0. (b) Determine a corrente i1(t). E L2 R2 R1 i1 i2 i3 L1

Figura 1.5 Rede no Problema 10.

1.4.2

Variação de parâmetros

Nos Problemas 11-30, utilize a variação de parâmetros para re-solver o sistema indicado.

11. 12.

(32)

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Nos Problemas 31 e 32, utilize (14) para resolver o problema de valor inicial indicado.

31.

32.

33. O sistema de equações diferenciais para as correntes i1(t) e

i2(t) na rede elétrica ilustrada na Figura 1.6 é

Utilize variação de parâmetros para resolver o sistema con-siderando R1 8 , R2 3 , L1 1 h, L2 1 h, E(t)  100 sen t V, i1(0)  0 e i2(0)  0. E L2 L1 R1 R2 i2 i3 i1

Figura 1.6 Rede no Problema 33.

Tarefas computacionais

34. Resolver um sistema linear não homogêneo X¿  AX 

F(t) por variação de parâmetros quando A for uma matriz

33 (ou maior) é uma tarefa praticamente impossível de ser feita à mão. Considere o sistema

(a) Utilize um SAC ou um programa de álgebra linear para obter os autovalores e autovetores da matriz de coefi-cientes.

(b) Forme uma matriz fundamental ⌽(t) e utilize o compu-tador para calcular ⌽1

(t).

(c) Use o computador para realizar os cálculos de

onde C é uma matriz coluna de constantes c1, c2, c3 e c4.

(d) Reescreva a saída do computador para a solução geral do sistema na forma X  Xc  Xp, onde Xc  c1X1 

c2X2  c3X3  c4X4.

1.4.3

Diagonalização

Nos Problemas 35-38, aplique diagonalização para resolver o sistema indicado.

35.

36.

37.

(33)

1.5

Exponencial de matriz

Introdução

 Matrizes podem ser utilizadas de um modo totalmente diferente para resolver um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Recorde que uma equação diferencial de primeira ordem linear simples x¿  ax, onde a é uma constante, tem a solução geral x  ceat. Parece natural, então, perguntarmos se po-demos definir uma exponencial de matriz eAt, onde A é uma matriz de constantes, de modo que eAt é uma solução do sistema X¿  AX.

Sistemas homogêneos

 Veremos agora que é possível definir uma exponencial

de matriz eAt de modo que o sistema homogêneo X¿  AX, onde A é uma matriz de

constantes n  n, tenha uma solução

(1) Como C é uma matriz coluna n  1 de constantes arbitrárias, queremos que eAt seja uma matriz n  n. O desenvolvimento completo do significado e teoria da exponen-cial de matriz exige um conhecimento profundo de álgebra matriexponen-cial. Assim, uma maneira de definir eAt é inspirada pela representação em série de potências da função exponencial escalar eat.

(2) A série em (2) converge para todo t. Utilizando essa série, com 1 substituído pela identidade I e a constante a substituída por uma matriz A de constantes n  n, obte-mos uma definição para a matriz eAt n  n.

Exponencial de matriz

Para uma matriz A n  n,

(3)

D E F I N IÇ ÃO 1 . 4

Pode-se mostrar que a série dada em (3) converge para uma matriz n  n para todo valor de t. Além disso, em (3), A0 I, A2 AA, A3 A(A2), e assim por diante.

Derivada de

 eAt A derivada da exponencial de matriz eAt é análoga àquela da exponencial escalar, isto é, d/dt eat  aeat. Para justificar

(4) diferenciamos (3) termo a termo:

Em decorrência de (4), podemos agora provar que (1) é uma solução de X¿  AX para todo vetor C de constantes n  1:

(34)

e

 At

é uma matriz fundamental Se representarmos a matriz eAt pelo símbolo (t), então (4) é equivalente à equação diferencial matricial ¿(t)  A (veja (3) da Seção 1.4). Além disso, decorre imediatamente da Definição 1.4 que (0)  eA0 I e assim det (0) ⫽ 0. Essas duas propriedades são suficientes para concluirmos que (t) é uma matriz fundamental do sistema X¿  AX.

Sistemas não homogêneos

 Vimos em (4) da Seção 2.3 do Volume 1 que a

solu-ção geral da equasolu-ção diferencial de primeira ordem linear única x¿  ax  f(t), onde a é uma constante, pode ser escrita como

Para um sistema não homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem linea-res, pode-se mostrar que a solução geral X¿  AX  F(t), onde A é uma matriz de constantes n  n, é

(6) Como a exponencial de matriz eAt é uma matriz fundamental, ela sempre é não sin-gular e eAs  (eAs)1. Note que eAs pode ser obtida a partir de eAt pela substituição de t por –s.

Cálculo de

 eAt A definição de eAt dada em (3) pode, é claro, sempre ser utilizada para calcular eAt. Entretanto, a utilidade prática de (3) está limitada pelo fato de que as entradas em eAt são séries de potência em t. Com um desejo natural de trabalhar-mos com coisas simples e familiares, tentaretrabalhar-mos então reconhecer se essas entradas definem uma função de forma fechada. Veja os Problemas 1-4 nos Exercícios 1.5. Felizmente existem muitas maneiras alternativas de se calcular eAt. Esboçamos dois desses métodos na discussão que se segue.

Utilizando transformada de Laplace

 Vimos em (5) que X  eAt é uma solução

de X¿  AX. De fato, como eA0  I, X  eAt

é uma solução do problema de valor inicial

(7) Se x(s)  ᏸ{X(t)}  ᏸ{eAt

}, então a transformada de Laplace de (7) é

Multiplicar a última equação por (sI – A)1 implica x(s)  (sI – A)1I = (sI – A)1. Em outras palavras, ᏸ{eAt} (sI – A)1 ou

(8)

Exemplo 1 Exponencial de matriz

Utilize a transformada de Laplace para calcular eAt para

Solução

(35)

Então decompomos as entradas da última matriz em frações parciais:

(9)

Tomando a transformada de Laplace inversa de (9), obtemos o resultado desejado, ❑

Utilizando potências A

 m

Na Seção 2.8 do Volume 2, desenvolvemos um método para calcular uma potência arbitrária Ak, k um inteiro não negativo, de uma matriz A n  n. Recorde da Seção 2.8 do Volume 2 que podemos escrever

(10) onde os coeficientes cj são os mesmos em cada uma das expressões anteriores, sendo que a última expressão é válida para os autovalores 1, 2,..., n de A. Consideramos aqui que os autovalores de A são distintos. Adotando ␭  ␭1, 2,..., n na segunda expressão de (10), fomos capazes de determinar cj na primeira expressão pela solução de n equações em n incógnitas. Será conveniente no desenvolvimento que se segue enfatizar o fato de que os coeficientes cj em (10) dependem da potência k se substi-tuirmos cj por cj(k). A partir de (3) e (2), temos

(11) A seguir, aplicamos (10) em (11) para substituir Ak e ␭k como somas finitas seguidas por uma troca de ordem dos somatórios

(12)

(13)

onde . Do mesmo modo que utilizamos os autovalores de A

em (10) para determinar os cj, novamente aplicamos autovalores, porém dessa vez no somatório finito (13) para obter um sistema de equações para determinar os bj; esses coeficientes, por sua vez, são utilizados em (12) para determinar eAt.

Exemplo 2 Exponencial de matriz Calcule eAt para

Solução

 Já vimos a matriz A na Seção 2.8 do Volume 2 e lá calculamos seus autovalores como sendo 1  1 e ␭2 2. Agora, como A é uma matriz 22, temos a partir de (12) e (13)

(14) Adotando ␭  1 e ␭  2 na segunda equação de (14), obtemos duas equações nas duas incógnitas b0 e b1. Resolver o sistema

(36)

resulta em . Substituindo esses valores na primei-ra equação de (14) e simplificando as entprimei-radas, temos

(15)❑ Nos Problemas 25-28 nos Exercícios 1.5, mostramos como calcular a exponencial de matriz eAt quando a matriz A é diagonalizável (veja a Seção 2.11 do Volume 2).

Uso de computadores

 Para aqueles dispostos a momentaneamente trocar enten-dimento por velocidade de solução, eAt pode ser calculado de um modo mecânico com o auxílio de um programa computacional; por exemplo, no Mathematica, a fun-ção MatrixExp [A t] calcula a exponencial de matriz para uma matriz quadrada At; no Maple, o comando é exponential(A,t); no MATLAB, a função é expm(At). Veja os Problemas 27 e 28 nos Exercícios 1.5.

EXERCÍCIOS 1.5

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389.

Nos Problemas 1 e 2, use (3) para calcular eAt e eAt.

1. 2.

Nos Problemas 3 e 4, use (3) para calcular eAt.

3. 4.

Nos Problemas 5-8, utilize (1) e os resultados dos Problemas 1-4 para obter a solução geral do sistema dado.

5. 6.

7. 8.

Nos Problemas 9-12, utilize (6) para calcular a solução geral do sistema indicado.

9.

10.

11.

12.

13. Resolva o sistema no Problema 7 sujeito à condição inicial

14. Resolva o sistema no Problema 9 sujeito à condição inicial

Nos Problemas 15-18, use o método do Exemplo 1 para calcular

eAt para a matriz de coeficientes. Utilize (1) para determinar a solução geral do sistema indicado.

15. 16.

17. 18.

Nos Problemas 19-22, use o método do Exemplo 2 para calcular

eAt para a matriz de coeficientes. Utilize (1) para determinar a solução geral do sistema indicado.

19. 20.

21. 22.

23. Se a matriz A puder ser diagonalizada, então P1AP  D ou A  PDP1. Utilize esse último resultado e (3) para mostrar que eAt  PeDtP1.

24. Utilize e (3) para mostrar que

Nos Problemas 25 e 26, utilize os resultados dos Problemas 23 e 24 para resolver o sistema indicado.

(37)

Tarefas computacionais

27. (a) Aplique (1) para obter a solução geral de

Utilize um SAC para calcular eAt. A seguir, use o compu-tador para determinar autovalores e autovetores da matriz de coeficientes e formar a solução geral do modo indicado na Seção 1.2. Finalmente, confira as duas formas da solução geral do sistema.

(b) Aplique (1) para obter a solução geral de Utilize um SAC para calcular eAt. No caso da saída ser complexa, use o programa para fazer a simplificação; por exemplo, no Mathematica, se m =

MatrixExp [A t] tiver entradas complexas, então tente

o comando Simplify[ComplexExpand[m]].

28. Aplique (1) para calcular a solução geral de

Utilize um SAC para calcular eAt.

Problemas para discussão

29. Releia a discussão do resultado indicado em (8). A matriz

sI – A sempre tem uma inversa? Discuta.

30. Nos Exercícios 2.9 do Volume 2, vimos que uma matriz não nula A n  n é nilpotente se m for o menor inteiro positivo tal que Am  0. Verifique que é nilpotente. Discuta por que é relativamente fácil calcular eAt quando A é nilpotente. Calcule eAt para a matriz dada e então utilize (2) para resolver o sistema X¿  AX.

CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389.

Nos Problemas 1 e 2, preencha os espaços. 1. O vetor é uma solução de X¿ 

para k  ______.

2. O vetor é uma solução do

problema de valor inicial para c1  ______ e c2  ______. 3. Considere o sistema linear

Sem tentar resolver o sistema, quais dos seguintes vetores,

é um autovetor da matriz de coeficientes? Qual é a solução do sistema que corresponde a esse autovetor?

4. Considere o sistema linear X¿  AX de duas equações dife-renciais onde A é uma matriz de coeficientes reais. Qual é a

solução geral do sistema considerando que se saiba que 1 1  2i é um autovalor e é um autovetor correspon-dente?

Nos Problemas 5-14, resolva o sistema linear indicado com os métodos desse capítulo.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

(38)

15. (a) Considere o sistema linear X¿  AX de três equações diferenciais de primeira ordem onde a matriz de coefi-cientes é

e ␭  2 é um autovalor de multiplicidade dois. Deter-mine duas soluções diferentes do sistema que corres-ponde a esse autovalor sem utilizar qualquer fórmula especial (tal como (12) da Seção 1.2).

(b) Utilize o procedimento do item (a) para resolver

16. Verifique que é uma solução do sistema linear

para constantes c1 e c2 arbitrárias. À mão, trace um perfil de fase do sistema.

Referências

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