APLICADO!> '.> rop.kahls.mo KIPERESFl-RICO At- h. c TMIl0 DOS NÍVEIS D

APLICADO !>•'.> rOP.KAhlS.MO KIPERESFl-RICO At- h.cTMIl0 DOS NÍVEIS D LNEK.r.lA i»r SISTEMAS A TRÊS CORPCS EM INTERACT t'OULOMBJANA

Te?c de y.EX": KADG \ C E M F . O B R A S I L E I R O D E P E S Q U I S A S F Í S I C A S Rio de J e n e i rc 1 9 7 9

-Apresentam-se- os resultados ca aplicação do formalismo hipcrerfcrlco no calcule des esTcGO3 fundamenteis dos ícns H , (e c e ) e cc eterno de He. Mcsxra-c-e cue- a ccr.vergir.cia dos vaJ-o res e lenta, como foi encontrsoc :.-_c cz.15 caçoes em Física Nucle-ar. Isto obriga ao calcule et eler:er;tcj5 ce ir;atriz do potencial ate ordens alif.s. o que fei realizado cor-: c programa SCHOONSCKIP et cálculo algébricc. Ainca as&im, se faz necessário o uso do ::.'-.toe:.!;" de aceleração de convergência, oue melhoram notavelsiente or recul~aco£: da aplicaçãc direta do riétode.

S U M A R I O AGRADE C I KEN'TO I i I RESUMO i v LISTA DE FIGURAS v i i LISTA DE TABELAS v i i i CAFÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO 2 - MtTODC DOS HARMÔNICOS HIPERESFÉRICOS 5 2 . 1 - 0 Problema de Dois Corpos e Sua Generalização.

Harmôni-cos H i p e r e s f é r i c c s 5 2.2 - Harmõr.Icos-k para Três Corpos 15 2.3 - A Solução do Sistema de Equações Acopladas 19

CAPÍTULO 3 " ELEMENTOS DE MATRIZ DO POTENCIAL PARA 0 PROBLEMA COULOri BIANO DE TRÊS CORPOS 27 3 - 1 - 0 Potencial nas Novas Coordenadas 27 3-2 - Os EltPientos de M a t r i z 32 3.3 ~ Cálculo E f e t i v o dos V , , 36

CAPÍTULO b - SISTEMAS COüLOMBIANOS DE TRÊS CORPOS 46

CAPÍTULO 5 - RESULTADOS E DISCUSSÕES 51 5-1 " Autovalores e Autovetores 51 5.2 - Convergência em Função de k 57

*

{fZ'.zict

A

- «ciosos

D E :XTHA?OLAÇAO

68

A. 1 - Apro>:inianlcs ck- rsdé Pontua : c 68

A.2- Método Je Extrapclaçüo tíe Aiíkln c-S

A P L N Q I C E £ - TABELAS DE ELEMENTOS DE MATRIZ 73

LISTA DE FiGURAS

Fiq. Fãg.

5.1 - *irí.íico da onde parcial Xnn do átomo de He calculada com 5/2

k = 10 e multiplicada por p 55

5.2 PfXz utiVizeda para a extrapolação dos valores da ener

-gia dr e*<? f 63

A.) - Re*-.a cc- extrapolação do mitodo de Aitkén 70

-liSTA DE TABELAS

Tsb. Peg.

3.1 - Valores dos indices e expressões dos elementos de rra^

triz 37 3.2 - Integração em A 39

3.3 - SUK eqüivale a V1Q 1 - 0 0 40

3.4 - Colocam-se os Polinôrcios de Jacobi 41

3.5 - SaTde de SUK apôs a Substituição da Tab. 3.4 42

3.6 - Polinômios de Jacobi 42 3.7 - SaTde após colocação da forma explícita dos

Polinõ-rcios de Jacobi 42

3.8 - Substituição para a integração era A 43

3.9 - Resultado da integração em A 43

3.10 - Substituição CDS valores numéricos .* 44

3.11 - Valores A*^' para k1 = 0,2,4,6,8 44

4.1 - VÜlores da energia fundamental, usando o princípio

de incerteza e experimental de H", He e Li+ 48

4.2 - Valores oa energia do estado fundamental, utilizando

o principio viariacional 49

4.3 - Valores da energia do estatío fundamental, utilizando os wttodr.s de configuração-interação (C-I) e as equa_

5.1 -. Autovalores da energia do Ton e"e e em u.a 53

5.2 - Autovalores da energia do ion H (com massa do

proton real) em u.a 53

5.3 - Autovalores da energia do Ton H (com massa do

proton -*• «} 54

5.4 - Autovalores da energia do stotro de He (com massa

de núcleo -*• « ) em u.a 54

5.5 - Contribuição percentual das ondas parciais Xj,

ã norma da função de onda 56

5.6 - Tabela de aproximantes de Padé para o Ton e e e ,

N = (k-4)/2, n=9 59

5.7 - Tabela de aproximantes de Padé para o He, N =

= (k-2)/2, n=14 59

5.8 - Tabela de aproximantes de Padé para o Ton H (M

- « ) , N = (k-2)/2, n=14 59

5.9 - Tabela de aproximantes de Padé para o Ton

H" (K

p

real), N =.(k-2)/2, n = U 60

5.10 - Aproximentes de Padé sobre os aproximantes diago

nais das tabelas 6, 7, 8, 9 61

5.11 - Valores de E(») para os Tons e"e

+

e", H~ e átomo

de He (M * massa do próton), em u.a 62

B.l - Elementos C para o Ton e~e

+

e~ 74

B.2 - Elementos C para o Ton H~ e átomo de He com

massas nucleares infinitas 75

B.3 - Elementos C para o Ton R* con massa" nuclear

real 76

' ix

-CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A compreensão da estrutura e propriedades dos sistemas

atômicos e moleculares rr.ais simples recebeu uma atenção^

conside-rável desde antes da aparição da mecânica quãntica e do estabeltí

cimento dã equação de Schrôdingdr. tom estes instrumentos,

pode-mos resolver o átomo de hidrogênio de uma maneira complete e elje

cante. Entretanto, quando passamos a investigar problemas de

três, ou mais corpos, a situação se torna intrincada, fazendo-se

necessário o uso de aproximações ou de hipóteses adicionais

(re-latives ã disposição espacial das partículas, por exemplo) na S£

lução dos sistemas. Para átomos e ions como H~, He, Li

T

e outros,

não era possível uma solução completa. Porém, estes átomos são

suficientemente simples para que possamos obter resultados acure^

dos com os variados métodos de aproximação. Neste domínio os

me-lhores resultados ate hoje encontrados são os cálculos

realiza-dos a partir de um principio varíacional.

0 surgimento da Física Nuclear e a necessidade de

com-preender mais a fundo as interações fortes, trouxe a necessidade

de resolver outros problemas de poucos corpos'—', que são de

na-tureza diferente dos da Física Atômica e Molecular (pelo alcance

tías forças e relacionamento diferente intre as partículas).

0 potencial coulombiano depen.de exclusivamente da inte_

ração entre pares de partTculas e 5 de .lonoo alcance. Os pctencj

-2-ais fenomenolÕ9icos nucleon-nucleon da física nuclear pensa-se Ç Ü * também sejam 1 a 1 e são de curto alcance. Apesar da difereji ça das características das forças presentes, uma solução formal do problema de tris corpos, com potenciais entre pares deve servir igualmente bem a sistemas coulombianos e nucleares.

0 primeiro resultado notável dos esforces para a obtejn çãc de uma solução exata do problema de três corpos vem das equji ções propostas por Fadeev'-'. Essencialmente, estas equações são uma maneira conveniente de se reescrever a equação de Schrôdinger e Lippman Schwinger para três corpos, colocando-a nura forma integral (com solução única) que enfatize a matriz T co invés dos potenciaisv-'—'.

Com o impulso dade a teoria por Fadeev surgem outras tentativas de compreensão da dinâmica do problema de três corpos, em particular o desenvolvimento da função de onda em harmônicos hiperesfêricos. Diversas investidas foram realizadas nesta dire-çãc e os trabalhos que primeiro chegaram a uma forma elegante da solução são os de Zickendraht*-' e os de Simonov*- -'. Este último lança a base do método que costumamos chamar de harmõni-cos-k. Para uma grande coletânea bibliográfica de trabalhos rea-lizados nesta área vejam-se as refs. (8) e ( 9 ) .

A partir do seu surgimento, estes métodos vêm sendo exaustivamente utilizados nos problemas da física nuclear. Ambos, trazem o mérito de chegar formalmente a uma solução exata.Porém, nos cálculos práticos, se faz necessário o uso de métodos n u m é H cos de certa sofisticação para a obtenção de urn resultado aproxj^ medo dos valores que se deseja calcular. Isto pode limitar de na neira drástica a aplicação destes formalismos. Em especial,a uti^ lizeçao dos harmõnicos-k torna-se bastante mais difícil quando

-3-estuda;r.-se estados em que o r. omen tc cr.oular total nao ê nulo. Na Física Atômica apenas recentemente recorreu-se a es_ tes métcdos. As coordenadas hi peresréri cas foram utilizadas por C L . Lir.*—' r.o estudo do sistema e ü t r o n - h i d r o g i n i o. Os harr.ôn^ cos-k foram aplicados na obtenção do estado fundamental do Ton negativo do pcsitrõnio e~e+e~ por Chowdhury et a i . * — ' e H.

Coelho et a l .K— ' . Harmõnicosk a uma dimensão levam a resulta

-dos simples, no caso de três partículas a uma dimensão. 0 átomo de He e o He foram investigados dentre deste formalismo por Cce. lho e A m a d o * — ) .

0 uso dos harmõnicos-k no estudo do ion e"eTe~ parece

especialmente interessante pois, ao contrario do que ocorre em sistemas como o H , não podemos considerar uma das massas como ir^ finite eliminando sua contribuição ao movimento. Com hannõni -cos-k, em nenhum momento é mais conveniente ou necessária esta consideração.

No.presente trabalho, pretendemos aplicar o método dos harmõnicosk a sistemas de três corpos sob interação coulombia -na, mais precisamente na obtenção da energia de ligação do íon e e e", do átomo de Hélio e do Ton negativo do Hidroginio H~.

0 segundo Capitulo traz uma descrição detalhada do mé-todo dos harmônicos hiperesfericos (harmõnicos-k); dos casos em que é possível uma solução analítica e de como resolver explici-tamente c sistema infinito de equações acopladas que contêm a di nãmica do problema.

No terceiro Capitulo são exeninadas as características do potencial de Coulomb, dentro deste nova metodologia. Calcule-mos em detalhe os assim chamados elementos de matriz do potenci-al. Para efetivação deste cálculo é conveniente o uso de um

pro í pro

-grõ.ríc de connu'scao aloébrica, Schocnschip, que explicamos ..o de: correr de capitulo.

Os sistemas Coulombianos de três corpos são investiga-dos de íir.à maneira mais próxima no quarto Capítulo e em seguida no quinto Capitulo cpresentamos o resultado de nossas aplicações do método dos harmôr.icos-k e do estudo da convergência dos valo-res calculados. Para tal estudo utilizamos métodos de aceleração de convergência como os aproximantes de Pade e propusemos uma formula linear em ( k ) "Y para extrapolação dos valores da

ener-gia.

No Apindice A estão contidos alguns detalhes do método

(14)

dos aproximantes de Pade p o n t u a i s1—1' , seu uso .2 sua relação com

o método de extrapolação de Aitken.

No Apêndice B estão contidas tabelas cem os valores dos elementos de matriz do potencial.

Devemos ainda s a l i e n t a r que quando nos r e f e r i m o s a un^ dades atômicas ( u . a . ) , são as d e f i n i d a s no l i v r o de Bethe e S a l p e t e rv— ' . A saber:

1 . unidade de carga = e = carga do e l é t r o n ; 2. unidade de massa = m = massa do e l é t r o n ;

3. unidade de comprimento = a = ti /me = r a i o da p r i -meira ó r b i t a de Bohr;

2

4. unidade de energia = e /a = dobro do potencial de ionização do hidrogênio (massa do prõton •* » ) .

CAPÍTULO 2

METCDO DOS HARMÔNICOS HIPFRESFÉRICOS

2• 1 ~ 2_ Problema de Dois Ccrpos e sua Generalização. Harmônicos Hiperesfêricos

Na necãnica quintica, quando buscamos uma solução para problemas de dois corpos, costumamos separar os movimentos do ceii tro de massa e relativo; este último é relevante para o calculo da energia de ligação. A equEção que descreve o movimento relatj^ vo pode ainda ser separada em duas, uma relacionada ã distãnci3 entre as partículas e ouír2 que contém as variáveis angulares.

A equação de Schròdinçer para o problema com massas ir», e m~ -tem a forma

p ^r

,2 c c

« +

V.. = * - £ + ^ + ^ ~ 2

A função de onda c d e p e n d e , e n t ã o , das seis coordena^ das das p a r t í c u l a s (x-ijX^.x,) e (y-jjyosyo)- I n t r o d u z i n d o as coojr d e n a d a s do centro de m a s s a . e r e l a t i v a s

u m , x •* m?y

-6-poderos separar a eq. (1) em ura que dependa apenas de R e outra para r '—- . A eq:iação em r ov seja a que governa o movimento relativo é"

*l *ír) + ?S (E

B

- V)^(f) = 0 (4)

onde:

u = m-jnip (m, 4 m») é a massa reduzida. Ao utilizarmos as coordenadas esféricas

r, = r cos <> sen 8 r2 = r sen $ sen 6 (5) = r cos e • r\ na eq. (4), chegaremos a

r

I

r l ê lê r

rZ sene 3 8 3 8 rl sene 3 ,e,*) = 0 (6)

Devemos tentar como solução

. » » • ( " • ) » » • . • ( • • • ) onde cs Y? 1 ( n, s ã o os h a r m ô n i c o s e s f é r i c o s ^ — ' . M u l t i p l i c a n d o a 'I'm eq. ( 6 ) p o r Y . e i n t e g r a n d o na p a r t e a n g u l a r o b t e m o s : Ut( r >

V

3 $ í J Í t . v v . - ; v « >

£ clarc que para potenciais que dependem apenas da dis

tância entre as partículas (modulo do raio v e t o r ) , o sistema de

equações (3) é desacopledo. Porem, para casos como o dodiuteron,

era que ha forças que dependem de l, obtemos um sistema de

equa-ções diferenciais acopledas.

Quando existent três eu mais corpos em interação , pode

mos pensar em generalizar o procedimento descrito para duas

par-tículas. 0 método dos harmônicos hiperesfericos consiste

basica-mente nesta generelização.

No problema de co"«s corpos, os seis graus de liberdade

a priori existentes forãr. reduzidos a tris quando eliminamos o

movimento do centro de rr.assa. Pessamos então a utilizar uma

dis-tância r e dois ângulos cono variáveis relevantes. Do mesmo modo,

no problema de N corpos, podemos eliminar o movimento do centro

de massa e teremos 3N-3 çraus de liberdade. Após uma escolha co£

veniente de coordenadas poderemos definir uma hiperdistancia p e

3N-4 ângulos. As funções que chamamos de harmônicos

hiperesferi-cos são as que terão um papel análogo aos Y

o

, , na eq. ( 7 ) .

Xr M l

0 ponto de partida para a generalização é a passagem das coordenadas x^ M = 1 , . . . , N ) das p a r t í c u l a s para as assim chamadas coordenadas generalizadas de Jacobi '-l§'-li)

rc.)"

1

I

(9)

R - ( I m. x.)( l

-8-et a + 1 1

0=1 - 8=1

á

-*• _

A interpretação destas coordenadas ê direta. R e o

ve-tor do centro de massa cias H partículas e y" ' f é o veve-tor que

realiza a conexão do centro de massa de um sub-sistema de

partí-culas (etiquetadas de 1 a a) com a partícula ct+1.

Desta maneira a equação de Schrfidinger para N corpos:

1 = 1 • i xi -i ( 1 0 )

pode ser reescrita como:

:

r

.Çpio,...,^^) = 0 (11)

Neste momento podemos transformar as coordenadas % em

coordenadas hiperesféricas *—'. Introduzimos uma hiperdistância

(raio de hiperesfera) definida por

Q=l

As outras coordenadas sio os ângulos que definem a posição de

um ponto na hiperesfera. Uma maneira de definir estes ângulos é

manter para cada £ os ângulos polar e zzimutal'6 e $ , e defj^

nir novos ângulos relacionados ao comprimento de | e ã hiperdis_

tância por

O -ç , - Q s e n Ç j . o . . . s e n ^ s e n ?,] Ç? = p s e n ç.,_2 • • • s e n s2 c o s C i

: "" 03)

r r ^ C P n r t o n r T O S T

C

M

_-| = P sen ç

f

,_

2

Denotaremos o conjunto dos ângulos {C^ ,62»•••»^«_i*$]>

é,,...,«., ., ,ç. ,e

o

... ,ç,, «} por íí. Deste modo tenos um sistema ,

com unr.a hi perdi stência c, e os 3N-4 ângulos íl.

Utilizando estas coordenadas hiperesfiricas e eliminar»

do o movimento do centro de massa da eq. (11) obtemos* ':

_1 3^ (

P3N

~

4

Í-) - _ÜÍ.,(p.n) + -

2

t'lo'Ti)

2

V *(p:íí)

L

'

í

"--

3 p

3p p j ^ ^

(14)

7^ é o operêdor que contém a parte angular do Lapiaciano de 3N-3

dimensões definido pelas coordenadas hiperesfiricas. A forma

ex-plitica deste operador i ' — ' :

vi-

N-l A

0=1 cos2

-1

, | _ r ,

t n

( í « - ' ) c

a

cos

2 ?tt

| r - l (15)

onde:

V

*

= £en

"

e

a

56

a

( S e n 6

°

3

V

+

s e n V

a

°a

=

"f

=

-

en c

H-2 ''•

Sen Ç

a

C0S

-10-2

, pode ser obtido por iteração dos operadores

V i I i _ L

en

(3N-l)

_

sen^^C cos^ *. L « ** ** J

a a a

1 + _ Z + 1 * JSenZç, 2r, cosZc senZr,cos2c, ? ;1 <- '

sen Cj cos ç sen CjCos ç-j

( 1 6 )

(17)

Continuando a analogia com dois corpos devemos expan -2 dir a função V(p;£) em uma base de autofunçoes do operador Vfi ,

n

3N - 5) ük { £ mjQ) (18)

A forma destas funções é

N-l N-2

onde os Y^ sãj os harmônicos esféricos correspondentes aos

a a , 2

operadores Aft. Os Y^f£ m \ são autofunçoes dos operadores K. (cf.

eq. (16))

3 j + ] ) vM l1.1) <çJ > í 2 0 )

i / j f l i ^"C s a t i s f a z e m e s t a equação são dados p o r ^ — ' :

j + 1 j

Os "Viç/jf.inl i ^"C s a t i s f a z e m e s t a equação são dados por

1 l

onde

-u-a =

b »

c =

7

k.

(22)

= 0 , 1 , 2 , . . .

N-2

De outra maneira podemos dizer que os li.

fe

_ ^ são a parte

ançu-lar dos polinomios harmônicos de grau k

v

— -'-

L£;

, ou seja das solu

çces da equação de Laplace:

3_ ap +

~ i !

p

l

p J

- o

(23)

pois

JL f

3N

"

4

^-*3p ^P &|

- P k(k+3N-5)

7

que i m p l i c a em k + 3H - 5) (13)

harmc-

-u-nicos hiperesfêricos. Aleis <Us propriedades jã descritas, estas

funções devem satisfazer a condição de ortonormalidade

aot

(24)

onde a engloba o conjunto de ru?«neros quãnticos {£-m-} e díJ ê *

{ parte angular do elemento ce volume no espaço de dimensão 3N-3,

: que ê dado por

H-1 d£

= n

_{a=l p dp}

utilizando as eqs. (13) obtemos

(25)

K-l.

d a = TI

N-2

7

dQ dô n cos

£

ç

°-

a

B=l

dç6 (26) • i

EXEMPLOS:

•19 Para dois corpos, N=2, as soluções da equação de autovalo

-res

2

íí k o kct

são os harmônicos esféricos usuais e k coincide com o autovalor

do momento angular, i.e.

-',3-29 - Fera três corpos, N-3, dess-volver.do as funções da eq. (19)

obtemos

(sení)

]

?,], t.

2 2

(CCS2Ç) (27)

T

onde N e ume constante de normèl.zaçeo e substituamos 3 função

hipergeométríca -F

1

pela sua forma em polinõr.ios de Jecobi

Das eqs. (22) temos

k

o

s Z

l »

k

j

=

k

K-2 '

k

então

k = 2n + £

1

+ t^

n =

0,1,2,

Quando o momento angular total for n u l o ' —

-k = 2 n n = 0 , l , 2 ,

f O \

39 - Para quatro corpos, H=4, ternos'-2-^

V 3 3 1 1 2 2

-14-(k, + ! , £ + | • v (cos2ç2) (28) 0«s eqs. (22) k1 = 2n 4 k = 2n • n = 0,1,2, n = 0,1,2

Corn o que vinos, a expansão da função Y(o;n) fica:

T

k ov

(29)

Chagamos os coeficientes xk. >(P) d^ ondas parciais.

Substituin-do a expanseo da eq. (29) na eq. (14) multiplicada por u k (ft) e

integrando em n obtemos o sistema • — * — * — ' — ^ (cf.eq. (8)):

3N-4 d » 3p> 2. k(k+3H-5) 2e

onde

(30) (31)

sío os elementos de matriz do potencial na base dos harmônicos hi^

peresféricos. Como em geral os potenciais com os quais trabalha-mos dependem apenas da distância r... = |x.-xj entre pares de partículas, temos:

-15-V

U

k'a'

Par? as aplicações físicas serio úteis aqueles harmôni^

cos que, aliei das propriedades já vistas, formem uma base para

a representação irredutível do çrupo de perniutaçoes. Um último

requerimento é que a forma destes funções não dificulte o

calcu-lo <ios elementos de matriz V. . , , . Harmônicos hiperesfíricos

com estas propriedades foram estudados inicialmente por

Simo-n o v / — ' para o problema de três corpos. Sio os chamados harmoSimo-ny

cos-K. KÕ próxima seção veremos estas funções. 0

desenvolvimen-to histórico deste formalismo, bem coro os estudos do ponte de

vista da teoria de grupos podera ser vistos em S i m o n o v * — ' e

2.2 - HarmÕniccs-k para Três Corpos

No caso especifico de três corpos utilizaremos ©penas

as coordenadas de Jacobi ç.j e |

2

(cf. eqs. (2.1.9)). A

hiperdis-tincia p e o ângulo ç ficarão definidos por

"*2 -*2

'

p s

^1

+ Ç

2

Çj - P sen ç (1)

Ç

2

= p cos ç

De acordo com Simonov^Í) os hiperesfericos ü^ deve

-rão" conter 3H-4 * 5 índices (nürceros cuânticor): c número k que

está relacionado ao fato dos hiperesfericos serem autofunções de

2

?

fi

(cf. eq. (2.1.15)), os autovalores de momento angular e sua

relaíi-

-16-vcs £ •;->- Os números q u í m i c o s ij, r.j, l^ e r^ são a subdivisão do índice <* , combirados no momento artçuür total serão L, M, t^

Escreveremos, então, os hcnrõnicss hiperesfericos pare tris narticulas na forma da combinado

(cosç)

2

Kl, J

2

^ (cos

2

;) (2)

onde:

são pclinôraios de Jacobi (cf. eq. (2.1.27}},

. i K n ' i i ct.- _ n - 1 1 2 2 i - T . , " I1 I LiDn 2 ' 2 I z Rt.n. » i í c

(3)

e a constante de normalização é dada por

M/2

r( *

]

/

2

* ) r (-'

4

%

M

'

J

) !

i

As funções U,.IM. . , entretanto, r.êo formam a base das

1 C

representações irredutíveis do grupo de perrütação. Para satisfy zer este condição, i necessário passar a um novo conjunto de nú-meros quãnticos (kLKv-), ao invés de (kLKí^i^J ^~*~•-—'.

de-f i n i r n c - r S v a r i á v e i s .

(5)

Os novos numeres çuânflrcs v e •» serão obtidos pelo uso dos operadoresÜL»2J_)

1 •

-v este relacionado às perr.-.taçõei e T não tem uma interpretação física be- d e f i n i d a ^ — K

Podemos escrever o nove conjunto de funções, que são os h* retorne cs-k, como combinações dií funções definidas pela eq.(2), a saber:

Para alguns casos podeires encontrar os coeficientes C# , . e algumas relações de recorrência foram dadas por

*—'. Mais recentemente Knyr et a i . ' — ' utilizaram um grupo de transformações canônicas para construir os harmônicos -te.

Quando estudamos êstades 1'Içados é de particular inte-resse o r.Tvel 'fundamental er out c renentum angular total ê nulo, no nosso caso (L « 0 ) . Harrínicos--: com L = 0 foram investigados por SiiRcncv*—'. A forma explicit* cestas funções é (v >_ 0)

1 8 -» ./ -^— COS.XvA ^ I ' I . ' 1 - J? A *") "' " • ' ]_!_, -,= 0 (9) k * Ct 2, 4 , 6 , ...

v =

i * l ~

2

* •••±°

As variáveis A e > ficam definidas por

C, - II = p* Â cosA

l

}

- 1- - P

2

A senX ( 1 0 )

Em termos de A e > : elemento de integração angular díí, para três corpos, vem expresse como:

d* = 7r2AcAdX (11)

As propriedades ces funções ü. e U^_ en relação a pe£ mutações ficam definidas p e U troca

P

13

/ =

'

X

" T *

P

23

X

" ' '

>Jr

T

onde P.. i o operador de irtercimbio das partículas i e j

(6)

Podemos verificar, prontamente, que as funções ü. são sirltricas em relação ã troca cas partículas 1 e 2. Para tanto ,

-19-corno*—'

cosAvA

De u».a F^neira mais explicita F ^ opera em

-V

12

Vejairos, por exemplo, como opere P lizando 2S eqs. (9) e (10) teremos

(is:

(14)

função

e ê fácil verificar que

(15)

Estas funções simétricas pela troca 1 *••* 2 terão, corre veremos adiante, ur papel crucial no estudo do nível fundamental de sistemas a três corpos.

2.3 - A Solução do Sistema de Equações Acopladas

0 produte final do fonnalismp hiperesfirico é o siste-ma de equações diferenciais acupiades, ao qual chegamos na subse

Ç Ê O 2.1 (cf. eq. (21)). A d'ri^-";a dos problemas de K corpos

es-tá tocia contida neste sisters. Cuance estudaros o problema de

dois corpos vimos que, quando o potencial depende apenas da

dis-tância entre as partTculas, c sisterr.* descrito pelas eqs.(2.1.8)

5 desccoplado. Mo caso dos hírrõnicos hiperesfericos se o

poten-cial depende apenas da hi percistancia p, o sistema de eqs.(2.1.3?;

é desacoplado.

Vejamos dois casos de interesse:

1 9 - 0 Oscilador Henr.cnico General izado*—'

1

-^-'—'

2 9 - 0 Potencial Fs-uco-Coulombiano^—'.

1 9 - 0 potencial do oscilador harmônico para duas partículas e

dado

Pera li partTculas idênticas teremos^ — '—'

Para este potencial a eq. (2.1.30) i desacoplada, sua

forma s e r ã ^ — ' :

<J

/n

3N-4 d

A

k(k+3K-5)

A 2 c

n K L , s w

2

N 2

d^(

p

íp) - " ^

L +

" ^ r | * n k

(

^

=

ff-

c

2 1

-o n d e

2 C = et o , a =

Ti

A energia e , sera dada por

e . =(2n + k + ^S^l) /

nK 2

(5)

,

Fl

(a,b;z) - 1

+

| ^ | [ | ± | j ^

29 - Esta é uma outra situação, que não está relacionada a un po-tencial entre pares, como acontece com o oscilador harmônico. A forma do potencial i

V(P) • " ^ (6)

DaT o nome que utilizados, potencial pseudo-coulor.bia-no. Com V(p) escrito na forma de eq. (6) e definindo-se:

Rnk " P 2 *nk x2 = 2ÍE| E < 0 '.!) Ç = 2 x p Podeirios r e e s c r e v e r a e q . ( 2 1 ) na f o r m a

d

2 R

j Zaf 1 _ 1 (2k+3N-6)(2k+3K-4)

-2T

De Magnus e t a i . * — ^ temos

R

n k

= 0

-22-f(z) = ;: e

ctc

z^

l

>

ÍC 1

F

1

(-n,a+l;z) (10)

Pcftantc, combinando as eqs. (7), ( 8 ) , (9) e (10), obtenos:

ç

n k

( p ) = N e "

x p

p

k 1

F

1

(-n,2k+3U-4;2x

P

) (11)

onde /.' i uma constante de normalização,

Os casos estudados são situações especificas nas quais

é possívsl uma solução completa do sistema de eqs. (2.1.30).Quar^

do não ocorre a separação das equações, tornase necessário re

-solver c sistema infinito de equações acopladas. Uma das maneiras

méis utilizadas para efetivar a solução do sistema consiste em

expandir a função de onda "hiperradial" Xi, ( P ) num conjunto

com-pleto dt funções {é . (otp)}, com a normalização correta

l*

n k v

(OI

2

ç

3N

"

4

<U - 1 . 5 - «P (13)

A expansão de y^ (p) terá a forma'-—'—':

Xj^ylP; - l

an

^

v <

*

>nk

JaP} . • \ )

Tomando-se os elementos de matriz, nesta nova base, dos

operado-res exis-.entes no sistema (eqs. (2.1.30)), podemos transformá-lo

nuca equ&ção matricial de autovalores, a s

-23-n K \J

onde

i o operador da energia cinitic3 e */ = 2 E , E < 0 ( estados

ligados).

Num cálculo real devemos cortar Ô S expansões das eqs.

(14) e (2.1.20) pare valores razoáveis de n e

l

. 0 parâmetro a

contido nas funções nos diz que pare cede c fixo as funções são

uma base completa, ca seja, no limite n •+ <= a família de bases

com parâmetro a teve fornecer um mesmo resultado.

Uma vez que tenhamos o sistema eis eqs. (15) podemos re_

solvê-lo pelos métodos usuais de diagonal-zeção, obtendo simulta^

neamente,os estados fundamental e excitEdc para um mesmo número

quintico. Podemos também, quando se queirc, obter a função de ori

da na representação das coordenadas.. 0 pa-ãretro a pode também

ser usado de uma maneira variacional, o çts quer dizer que

pode-mos procurar o a que nos forneça o melhor vclor para a energia

do estado fundamental. Come ja apontemos, cucndo n for suficiente

mente grande o cálculo não será sensível l mudança do parãmtro.

A escolha, quase que natural, perc o conjunto ^

n

k v ^

são as funções do oscilador harmônico general i z a d o ' — ' —

;

. Estas

funções ,como já vimes,são a solução das ecs. (2.1.30) para um po

tencial do tipo osciledor harmônico entre pares de partículas

e 5 o único exemplo que conhecemos de i n t e n ç ã o entre pares que

leva a separação das eqs. (2.1.30). As funções do oscilador (eq.

(4)) formam um conjunto completo e surgem cs un potencial fTsi

-co. De modo análogo utilizam-se expansões a funções de onda ,

para o problema de dois corres íc*. ^:. ( 2 . 1 . 8 ) } , numa base de funções do oscilador harr.õnico us-í* '=-^i.

Uma critica que ccsiur.ê íe rei te em relação as fun ções do o s c ü õ d o r (eq. (4}} ? c faic ca que elas não têm o com -portamento das f unções • >;t. (-"; nc irrtrito. Para estas temos

x

k

.,(p} = = "

;

" O

7

>

o — os

enquanto que para as funções do cs:iTêdor. harmônico

generaliza-- l *

Z

ç

n k

í€) = s ~ (18)

Esta discrepância pode ser ccrriçic£ c:r<o c faz H.T. Coelho

1

—

;

.

Contudo, como ele próprio assinale ^~'=^-'

%

para problemas coao o

cálculo da energia de ligcçãc, r.Ic reverá diferença sensível.

Para o problema de três coroes, as funções do

oscila-dor harmônico generalizado (eq. (4)) tiir, a forma

- 1 •-> 1 l

2n! i i/c 2k " I a - c , . , 2 , / 1 O,

c e , F , ( - n , k + 3 , a p ) ( 1 9 )

nk

e teremos para a energia cinéiica c- elementos de matriz

r

a 6

k k

, |(2n

+

k*3)ô

n r

. * V n

(20)

Os elementos de ratriz V.. ,,.., para o potencial de

f- -0 m r. \i

7

-Coulcrb (coro v e r t r r s a r i i c n t e ) teir 2 f e r r =

'"'kv.k'v1 c c

e os e l e r e n t c s de r r . i t r i z ceste osercdor r.a. base cos

(21) serao !

*nk I * n ' k ' ^

dc n ! . n ' l 1/2 n n

I I

PI=O £ = 0 . . m l i fn+k-5-2

fn'+k

t

+2"

in

1

- I

* f mL A IT * * -L Ç ( 2 2 )

Outros conjuntos também utilizeeos para a solução do

sisteca (eq. (2.1.3C)) são:

n!

7T

L

1

ap

proposto por Visschers et c l . ' — ' , e

(23)

Lj(bc) e '

D C / t

(24)

proposto por Demin et a i . — ' . Note-se que este ultimo conjunto

depende de dois paríretros b e s que dever, ser variados

levando--se em conta a melhor convergência de expansão (eq. (1*)). Além

disso, pode-se expressar c parâmetro s .core

o n d e k ver?, d o s h e r m õ n i c o s - k uz;'.''zizos . E s t e s d o i s c o n j u r t o s v i -sam o l i m i t e a s s i n t õ t i c o c o r r e t : , ^ " t r e t e n t o , ao c o n t r i r i o d o q u e o c o r r e c o m as f u n ç õ e s do o; :** = : c r , rio s u r g e m d e u~ p o t e n c y ai f T s i c o .

CAPÍTULO 3

ILEKSr-TOS D£ KÃTRIZ DO POTENCIAL PARA O PROBLCKA

CCULOKBIAKO DE TRÊS CCRPOS

3.1 - G Potencial nas Noves Coordenadas

A interação eletrostatica i un dos exemplos para octet)

ciais cue deperdem apenas das distancies entre pares de

partícu-las r..

4

= |x.-x.;. Para escrevê-lo, nas coordenadas de Jacob; ,

devercs encontrar r. . em função dos Ç (cf. eq. (2.1.9)). No

ca-so de t ris ccrpos temos

/id

O)

x3

j

Achar as coordenadas relativas das partículas 1 e 2 i t r i v i a l . Das eqs . (1) temos

X1X2 "

Para encontrar

X « - J L

podemos, por exenplo, fazer

-2Z-Substituindo os vc'cres ri =;. (1) na eq. (3) ,ot ternos:

Lembrando que x., x- e Í- slo independentes, teremos

,,./_

I

!i_

T1

,

:

. / 5

(5)

logo.

X

2 "

X

3

De modo análogo tecr.os

3

(m^in

z

}

Ç

2 * V n^*Z-m

z

)

Ç

1 "

x

l "

x

3

Quando m, = R U » m, = m , absorvendo a massa err. ^ e

as coordenadas relativas terão a íorftc^—'

í, • s, - h

'2

da cistv-cia er.tre ?>res ce psrttcuUs, teredos a seguinte fcrsaa funciord :

3 _

( 9 )

No formalisRO dos harmõniccs-k utilizaaos as noves va-riáveis ;eqs. (2.2.10)).

A cos

A sen X (10)

Desenvolvendo (af-j + bf

2

)-(*f-

;

*

e ç

2

cas eqs. (10) encontramosfiiOi.-

1

e substituindo

P (

.2 w2

A

ccs ?. + - 4 ^ A sen

ill)

Podemos notar cue

2be .2

-30-o que r-30-os leve c interçretèr estes c-30-oeficientes c-30-om-30-o sen-30-os e c-30-os_ senos, de U K certo ângulo 6

cos 5

sen 6

(13)

2ab

P o r t a n t o , fazendo uso da e q . (11) temos para

2 2 c o s 6 c o s x + A s e n 6

í í • A

cos ( X - 6 ) 1

( 1 4 ) COS COS iir.-i (15) (16)

Do mesmo modo para

v »

3

» . _

+ m ) ^2 c * cos I» i, i (17) (18)

-31-(2)) e portanto i - Z-r., lego

r «

' l ' " L !1 • ' COS i

« = ^ (21)

(19)

Se a situação investigada for a do Ten e~e e , ou

se-ja, três sassas iguais, t e e o s * — '

cos* * - j

(20)

senó 3

logo.

Quando estudamos sistemas

C O R O O

Ton h" ou c átomo do

Hélio, devemos separar duas situações: una em que consideramos a

«assa do núcleo infinita e outra em que utilizados as nessas

re-ais. A escolha depende da aproximação desejada.

No caso era que usamos as massas reais temos da eq.

(17)

V ^ (22)

onde consideramos uw * m» = m e m- = H para melhor aproveitar

a simetria das equações.

Quando fizermos a massa do núcleo tender ao infinito,

6 = c o s ' ^ O ) = | (23)

Portanto, para o caso em que duas das tris massas são iguais

te-remos, cias eqs. (11), (14) e (22), que a forma do potencial de

Coulomb será:

-32-'

1/2

' H j - i g '

1

* »

1

! " " -

1

» ^ ;

1

*

-1/2

]

J

(24)

Podemos chegar a ur.a forrs ai.da ir.ais conveniente u t i -lizando e r e l a ç ã o ^ — ' — *

«.I,,

n=o -1 < z < 1 « t > - l - 2 p se t > O t > -p-i

(U)

se -J < t < 0

Os C são polinômios de Gegenbauerv—;. No nosso caso podemos co

locar p * - I e t = I. Finalmente, o potencial de Coulomb terá* a forma da expansão

,

.il

'123 up -7/2 « ..

2

l

fêi

n=o .. 7 ' s'+b'

- Z

(26) 3.2 - Os Elementos de Matriz

Os elementos de matriz do potencial são dados pela eq. (2.1.20),

-33-Estares investigando o nível fundamentei, con monentun

angular total nulo, de siste.-as nos quais duas das três

partícu-las são idênticas. A função cie spin das partícupartícu-las idênticas

se-rá, portanto, o sinçlete. Par; que a função de onda total do sis^

terá (eq. (2.1.29)), pernaneçc antisimétrica pela troca das coo£

densdas espaciais destas duas partículas, é necessário que os

harmônicos-k. que aparecem na expansão da função de onda (eq.

(2.1.29)) sejar simétricos, relativamente ã troca das coordena

-das destas partículas (que por conveniência são as etiqueta-das 1

e 2 ) . Os com esta propriedade são precisamente os de v positivo

(cf. eq. (2.2.13)).

Substituindo a forma explícita destes harmônicos na

integral que define os elementos V. . , ,, obter.os*—':

ri

v+v'+i iv,o) pnf*í> , ) (k'-2v)/4 2TT cos(vX)cos(v'?.)dA (2)

Utilizando a expansão do potencial (eq.(3.1.26)),temos

ri

kv,k'v'

(k-2v)/4

'+ cosf.v-v' |X)

17? 1

LÜ£

c

(Ac

[

a

.

"

HA

~!

•v+v'+l 2ir

cos (v+v')X

CMÂCOS(X-Í)

(3)

As integrais cue se encontram na integração em X são

do t i p o COS F./. t d A = • o _{s e n r ) .} n a n o t a ç ã o d e S i r o r : . — ' . C s e u r e s u l t a d o p a r e c c s ( n A ) e ; , r. - • ; / c par ( 5 ) nrr

, n-r. Tmpsr ou < O

?ara ser:(ir.A) o resuitaco i nulo. Deste modo

'A c o s (>.= ;} c o s m>. = c o s ( m e ) J

(6)

- o

leremos, então como resultado da integração er. >. da eq. (3)

A j :— - 2Z /-rí—~ cos

:

'v+v

1

V

: j

J

+ !-- - il /-r=—v COSf!v-v':ò)

onde

r

A C =

&

T

(n

"

( n + 1

i

"

1

j " ' ^

M:

1 )

(7)

(8)

0 sor.atorio e * r., e i e s a r d e f o r m a l m e n t e v a r i a r d e z e r o

ao i n f i n i t o , i en

1

, vèráziô c o n - . r o l a d o p e l o g r a u d o s p o l i n e m i o s d e

.Jacobi e p e l a s p r o p r i e d a d e s d : s J

n m

. C o n v e n c i o n e m o s :

'. ' - 5 - Z v1

P e l a tíefiniçic czi J r _ . > ; . ( 3 ; ; p c d e r c i v e r i f i c a r q u e t : a e q . ( 7 ^

a s o m a t e r á i r í c " ' : e r *;_.,,. N c t a r c - c u e c s p o l i r . õ m i o s d e J a c c b i

Ir- z) 7

P '"'(1-2A ) te~ Ç - S L 2n =r A, a r.aicr potência em A dos harmcrij_

cos-k envolviccs í. Z'«,-2

T

,, e para es:es potências as integrais

em A terão a

£

orri:

.1 T.» . -riu-+£!«., (Pi . t\j) o ,1 ^0 A dA 2

(io)

A max . _ j = : A c.; A r > c / l 2 P rfx (1-2AZ) 0 - 2 Se f i z e ' d c s a n j t í ê r i Ç c <ís v a r i c v e i s x = 1 - 2 A a s i n t e

grõis das ecs. (11) sirzz equi vcle

r

.tes a —

;

:

que sõ e diferente ca zerz para valores e.~ que

n + 2 i : • (1?:.

Aplicôndo esta cc:i:io r-.s eqs. {'ri), o':temos

r

. -?• '^ -fí

3 5

-ccro c o n c i ç i o pire cu = r? integrais s e j a m d e f i n i d a s . AlÕt;: d i s s o das .ondiçces sobre cs „",. temos ( e q s . (5) e { 1 0 ) ) que o m e n o r v a l e r pare n ê

F a z e n d o j = n-f-N - 11 "iceros m o d i f i c a r a soma da eq. (3) para

min onde " ''min N + N . max w i n rr.c -•. Em r e s u m o , para c a l c u l a r os e l e m e n t o s de m a t r i z do p o t e n c i a l (eq. ( 3 ) } , d e v e m o s e f e t u a r = i n t e g r a ç ã o em X, a soira que d e c o r r e d e

irír a t ^ L3 V, a substituição da forma explicita dos pol inonri'js

lit i n I», c X

de J a c o b i que o c o r r e m na i n t e g r a ç ã o e finaliner.te, e f e t u a r as in-tegrais das p o t ê n c i a s ce A. Toda e s t a m e t o d o l o g i a de c a l c u l o p(> d e ser s i n t e t i z a d a nur programa de c o m p u t a d o r que r e a l i z e c á l c u

-los a l g é b r i c o s . Isto será visto na p r ó x i m a s u b - s e ç ã o .

3.3 - C á l c u l o E f e t i v o dos V^ k > v,

A nossa exper :Ír,ci a no c a l c u l o dos e l e m e n t o s de m a t r i z do p o t e n c i a l , i n d i c o u cc-.o c o n v e n i e n t e a u t i l i z a ç ã o de um p r o g r a ma c"e c o m p u t a d o r que efeite c á l c u l o s a l g é b r i c o s , o que p o s s i b i l 2 ta um c o n t r o l e a c u r a d o riis c a n c e l a ç õ e s que s u r g e m do d e s e n v o l v i -m e n t o d o s p o l i n ô -m i o s , p s r r i t i n d o i n c l u s i v e que se o b t e n h a -m r e s u 2

t i c o s s e : e f e r r . 2 de c u r e " : • = ; . 0 r r o g r a m e S c h o o r . s c f i i p vem s e n -c : u t i l i z i d o h& v á r i o s = r.:: -c CEP.N e o u t r o s -c e n t r o s d e p e s q u i s e e r p r o b l e m a s de = 1 t a s er~'-.~i~ [ e l e t r o d i n â r . i c a q u i n t i c a , s u p e r s j M e t r i c , e t c } . R e c e n t e r s " : ; . 2 " e p r e - j r a m a . f o i i m p l a n t a d o no CBPF. V e j a m o s i.ma scTtíc t í p i c a :%$*.= p r e ç - a m a no c a s o c o s e l e m e n t o s de n a - r i z V - , . . . , , tie «• e ~ r " . d e t e l r a n d o o s e u p r o c e d i m e n t o . r* c c c c c c c c D z 7 •7 »? "7 2 2 "-FCO r ? C C 'JV 5> [_' "• 2 5 ' . 'v J? *? U '•'• -r uv s T 0 1 1

c

₂ C 1 0 ?.'.B, >• — r-r * ~" * <"••) = - CC * - C 1 * = ^*2 r ~Z 1T = Ci! * - C' * - ^fi » = " 7 * -i-fia 1 2 7

c

1 2 i": 3 1 B3 C7 2 , rs DS rif: DS .? ii "1 1 7 0 n 1 2 * * \ * s f j f J (.i f j ( J f J f J f J A '1 1 1 A 7 1 C 1 0 - "i , 1 r -1 , 1 # j -/ J ' i 6 it 2 2 r c, •! ft 6 ? 2 < C 3 1 I 2 2 1 r. U « 1 1 1 e ri c CC3,C? , 2 ' í I; , u , (^ t 5 , 5

'

l

K

, Í°*r , (3" , f E * », c -: t 2 -5 • * f • $ m _" -s ~ «.. * • • ? * .3 * J r 1 1 7 2 5 1 C ?.-• :/ : E 2 , » t ? • T 1 r H "C * C" * ? •

I

•

I tI 12 c 2 7 r — .-* — ** — " ^ -CT 3 1 f t 7 1 2 1 1 2 , / ^ • " ^ f-J Í J Í J f J f J f.: !J ( J f J 1 7 n 1 2 2 1 1 * i 1 2 f f f r t f V 1 , 2 -f ^

a)

1} - 1 2) C» 3* '<,) UMAX TKTN IDTF N1 H2 TflAX H I .12 * # • * • * 'J.17Í2. ,ciiô , - 1 , 2 * ( - 1 ) - (-1.) i -* • - 1 ) - 1 Í — 1 J [ - 1 1 * = ?i.1TK • * * « lií ^s v J« » « m fC11 ^ _ **.!) **»7) * * J ) 1,C2,C3,C1,C5,C6# 1 • 1 ) )

j

Te ire Ta 1 - Valores dos índice; e expressões dos elementos de m a t r i z .

I n i c i a l m e n t e ve;=mcs e T a b . 1 . A l e t r a C no i n i c i o de uir.?. l i n h a i n d i c a um c o i r e n t ? r i o , i . 5 , uma i n s t r u ç ã o não o p e r a t i v a (como em F o r t r a n ) . H é c r.Zrr.ero de c i f r a s s i g n i f i c è t i vas d e s e j a -das no c á l c u l o de números o j r o g r a r - 2 a d m i t e uma g r a n d e p r e c i s a c ) , S a b r a n g e os símfcclc: c é c l a r s d o s para o p r o g r a m a , I os i n -d i c e s e F as f u n ç õ e s que s^rãc u t i l i z a -d a s no c á l c u l o ( i n c l u i n -d o as p r ó p r i a s do programa j , '. 5 L~.Z e s p é c i e de d a d o ; Z 5 uma i n s t r u ç ã o p s ' 3 que se c a l c u l e z e x p r e s s ã o • q u e a segue na mesma l i -nhê. Este e x p r e s s ã o no nesso c?.so t r e d u z a forma f u n c i o n a l dos

e l e m e n t o s cs m a t r i z do p o t e n c : ; " e r.c : r o g r a r e cs cr.ematnos de SUf, SUMI, . . . . S u a forma i

S U M = C * D S { J , I K I N , I K A X , ( E * " > .rA C T : J , ! r 4 I N ) * i - ' ! ) * « J i ) ( 1 )

DS £ um copendo de SCHOONSCHI" è sera no índice J, de IMIN ate

I RAX, a expressão contida nos parintsses. Isto traduz a sorrê que

se faz nas integrais J (cf. eç. (2.2.7)). A expressão FACT ?

dada por {cf. eq. (3.2.15))

*J-2*IMIN*3) (2)

0 tarmo B aparece para que se center as potências em J. Cada ter;

mo C*B será substituído pela sxsresslj conveniente para a ccnti_

nuidade do cálculo.

Os índices IMIN e IMAX depender cc çrau dos polinõmios" envoi vi

-dos na integração (cf. eq. (3.2.9)). Estes e outros Indices que

utilizamos são sugeridos pele estrutura do cálculo e são

defini-dos por

NMAX=v+v'

IDIF-(NHAX-KK!K)/2

Nl=(k-2v)/^

(3)

K2«(k

I

-2v'}/4

I«AX«(NMAX+fiK!K)/2*Nl+H2

Kl«v

M2 = v'

0 passo seguinte i c substituição des CO,Cl,...., nulti^

plicados cor.c os termos do so/ratõrio D£, por urna expressão conve.

niente, que corresponde ã inteçrâção sebre \ na eq. (3.2.3)

-39-' O

:i>

T T\ ID i n I D I D I D ID l.C3"5Alt\'* r f t » JA» {I + C '• 1 * P T ,C»'>*B**?i* ,ci-c1ir F ,C5=C51*F (»J _ -j ) «r » a = C'I i E s * * 2 f s - 3 ) *?.i!-"t

!«_])

=

»

r

*

=C^1*íí=3 {J! —1) » > * « = C 7 1 =* X* =Q*i 1* ; i (K - 1 J * !m *C (3) *.7í. n Í C ( 3 ) " . ! i » P Fir •) i- V ^ :' ' * • ? - " U* '?' 1 **FAC 5" ~.: • » ! - ? 0!. (C 0 L Í C r ~( r '* -'• / *~" ^, "t f .' 1 ) * J ! °O L {K :?) --Í.JAPÕI.(?i. ?) * J A P O ! . { ' N . f •>) * J í p^I. (H 1)'*J4P0L(Kr 1) *.1APÒI. (íi. Í1) T.7\P0L(ri I .1

l | <

•j #

5,':

3Í 3

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\

í j » ; -J* I % r *• » r ^ * * )

1

*

)

)

1

-i

)

Tabela 2 - Integração em X.

0 comando IO perfaz este t i p o de s u b s t i t u i ç ã o e no exemplo acima a forma geral i

C1*DT(N-NMIN-IDIF}*(-1 }*-IDIF*A**NKAX*FAC(KKAX)

JAPOL(N,NKIN+IDIF,KMAX,A) ( 4 )

onde

e P^j_|3j '(12A ) são polinÔRios de Jacobi que prover; da integra

-ção dos cosenos multiplicados pela expansão do potencial em poli^

nômios de Gegenbauer C^ (cf. eq. (3.2.3)). Também desta

integra-ção temos FAC(K) = 2,2,-1... pois õ soma

C^(A cosX) - cJ(A

C O S ( > . - 2 T T / 3 ) - C J ( A C O S ( ; . + 2 T T / 3 )

aparece multiplicada por -1 ou 2 conforme v+v' e ;v-v'j sejam ou

não múltiplos de 3.

0 segundo termo da soma do U d o direito da eq. (4) sÕ aparece

quando Kl ou N2 não seo nulos e isto e controlado no progrema pe_

1c f u n ç ã o : ~ ( N - N M I K - I O I F ) ÇÍ p&ra li < K'-'IK+iOIF e é i ç u a " c u e NI'IN=0 ? . p a r e c e r £ c t e r r c ceo u~z fu- ç a o t e t a , i . é , s e a r . u l a p a r e "I > N M I N + I D I F . No C Ò Í O em ' q u e c o r r e s p o n d e r á ã s u b s t ' t u i -( 5 ) p o i s FAC t e n m u l t i p l i c i d a d e : , • * . é . q u a n d o NMIN=O t e r e m o s u n t i p l o d e 3 como a r g u m e n t o c e ~"Z: i r a i s e x p l i c i t a m e n t e FAC.;t) = FACfl) = FAC(2) = FAC(3) = 1 , 2 , - 1 , 2 , 2 , - 1 , 2 , 2 , - 1 e t = v+v1 = NMAX ou v - v1; = '.MIN. 0 r e s u l t a d o cias s u r s f l u i ç c e s f e i t a s na T a b e l a 2 r e f e -r e n t e ao p-rog-rama s e -r á pe-ra S'itt.

Tabela 3 - SUM eqüivale a Y,n - ,, . .

• ^ T 0 , i ; u . .

N e s t e momento d e v e r i s i n s e r i r o s p o l i n ô m i o s d e . O a c o b i p r o v e n i e n t e s d o s harmõr.i c e s - i : c - a e f e t u a r m o s a i n t e g r a ç ã o na v £ r i e v e l A,

I B , Í ~ C T = C C " >• i * * 1 * J.VPO*. ( 7 , 0 , 1 , ? ) *.? !?Ot. lr-, 0 , 0 , .* > *?.OCT {i )

1 0 , C11 = CC« ;« ! • • I-J.iPO:. ( ? , C , 1,?.)*.UPO!. %' 0 , 0 , 1 , A 1 -KOO^ÍGl

T D , C21-CC**** s.»» 3»JAPGI.(?,C-, 1 , A) *J??OL (0 , 0 , 2 , Í.) * 12 I D, "'-l 1=CC*" í.r Í.'

I D , C5i = CC-i.».t' I D , C51=CC'A»A' I D * C81=CC-A»A*'

Tabela 4 - Colocên-se os Polinôniios de Jacobi. A forma geral de substituição t

Cl=CC*A-*NMAX*JAP0L(Nlí0,r!l,A)*JAP0L(Nl,0,M2,A)*PMÍN(l}*PHIN(2)

onde

PMIN(l) = / k + 2 , Pr5Ifí{2) = / ? / k ' + Z se v e v" ? 0

PHIN(l) = /Tc+T" , PKIU(2) = / k ' + 2 se » ou v1 = 0

estes valores estão contidos na definição dos harmônicos-k ( c f . eq. ( 2 . 2 . 9 ) ) . Convém er termos do programa colocar diretamente o produto PMIN(1)*PHIN(2) expresso pelos termos

ROOT(K}*N , ROOT(M) = / T f

Teremos então para SUM por exemplo (Teb. 5 ) .

Faz-se em seguida a colocação da forma explícita dos

polinômios de Jacobi (Tab. 6 ) .

SDR • r 4 ~ « ( • F * ( s y.rr-' • ;

iM!

,i,i.-:.' ,I,I,A-, i ,I,I,A-, i ,I,I,A-, '1) ' r ~ » •»»» * f ~ * 1 i)-j-.roL(C A)-.Tyrone A)*J%.PO!. (C , 0 . ,c. o. 0 , o. M * SOOT (6) .».) *FOOT(6l A) •SOOT (61

Tebsle 5 - S*Tda de Sü" dDÓS E SÜ:3ti t w i r l : da Tab. 4 .

Tabele ID,J*?OT. fK"> A 2 * * -DD(rn T O , W\2=1 -7t íb:A2=A**2 6 - Polinõroios K2*DS(3.G ,>:i-!«" - W 2 , K 1 - : . 2 - J ) « Ü 2 de Jacobi. , - . . • . • 1 . ; ^ : r.2:*=j/A2**J1 1M-1I... (ÍI1-K2+K I) -»2.

ontíe DB(K,?^) e o coeficiente do c-^ôr.io ! .. .

^ J

A saída no proçrêc» pare e s t e pesso é do t i p o

Ac:-i :rstec-»r.os as totêncirí de

e no procrar1. : t o r r é s o o n d e n t e ã

t i d a ne T a b e * Z.

5 = substituiçzo con

- Tabela £ - Subít:-irçío çê^a a integração etr. -..

8 1

a c o n s t a n t e IC=3 s u r g e do f a t o de colocarmos ^ — era e v i d e n -c i a na e x p a r i l : da e q . ( 3 . 1 . 2 0 ) . 0 r e s u l t a d o d = i n t e g r a ç ã o er SUK que e q ü i v a l e c c e l e r e n t o de matriz Y ,Q T.-,~ ?ode s e r v i s t o na

Tabela 9 . ST"? -- 2W. • 2ftC. - Itl. • • 7 2 0 . - •-" l1 » «rAC^fi,

IZZ*

2

'

* P » C T ( 2r , *r"7lC''' ( 3 . * F '. CT ( 1 .*FACTf3 D * D* D*

•I!

, 1 ) ROOT ( ' POP"7" (Ç "00^(6 ?007 ic. >-• BÍKCJl

Ei*

- - - ' \ • t

Substituindo os velozes r-usier:

podemos obter o resultado fina! de tocos manipulação sinples porêr trebclrcsc c&i tida na Tabela 9, pode- tambsr ser A

í

V

"

= V

k v k ' V

n

*

fcrr!a ce

k' \ '

- k' \ finais numéricos para os elementos A.

» K V

encontrados após a substituição da Tebs' Tabela 11.

::s de FACT, ROOT e DEr;

: Í quocientes e com ur.c

impressões como a cc£

r'ccr.trcdos os elementcs

: ' t e s

v

- - ' . Os resultadcs

rara este programa sic

• 10 e estão contidos na

IO. ir>. F í C T Í K * , D£fí CM*1 = BOOT 13) = HOOTÍ30) 1/W 1.7 320 50 £0 8 =3.872983336 = 5. £17725575 1) /(«-K-2* N*1) /{*v*K-2*íl»3)

Tabela 10 - Substituição dos valores r.u-iricos.

sun = sus 2 -snii3 =

sm* =

SÜH5 = SI/M6 = SUM 7 = SÍIK8 -* 0.2 • G . - 0 . + 1 . • 0 . * • .

- o .

• 1 . C5551586? 1738883552 O«í?50879£ft 1Ç271H6T-3-.-2 133573837 S05155SCÍOS-2 52232557C-S « 9 2 9 7 3 . M

"st£ erocediinento de calculo en cue utilizamos c oroçra ma S C K O G M ! - : ? , ccr base rcs resultados tíc Seção 3.2, ter. 2 vania gera de per-:-ir c~ conlrcls apurado em todas as passagens, elimi-nando as Cr:vsnteçer.s i»sue;s dos calcules er que ha muitos sotratcí rios e cê" redações (o que era geral e m e n t e r.uito c erro de trunc^ n e n t e ) . F::e~os, portanto, obter os valores dos elementos de taa-tri2 para ;rcens bastante altas de k.

•- cutro rocio de atacar o probler.s consiste em procurar relações f^chedas para os elementos de matriz do potencial. Es -tas relações existes? para o potencial de Coulomb e foram obtidas

/12 > —

por H. CoeTí*-c et a l . * — ' . Nos nao testamos estas relações, poretr.

elas provir c« rr.esna sistemática de calcule que utilizamos e na pratica tc-bir levariam a somatórios.

CAPITULO 4

3IS7EMAS COULOMBIANOS DE TRtS CORPOS

Os exemplos típicos para estados ligados coulombianos

de tris corpos são o átomo de Hélio e os Tons similares, tais c £

mo: H , Li", E=

+

~ . Experimentalmente, a produção destes Tons,

quando seus núcleos são mais pesados, torna-se limitada pela quari

tidade de ener:ia investida no processo, além de fenômenos como

captura eletrônica, que intervi riarr. na sua formação. Alguns

ou-trcs exemplos -ais exóticos são sistemas como o Ton negativo do

positrõnio e e~e *—' e o seu reflexo e

T

e"e . 0 primeiro poderia

se* formar em ire te is de pequena densidade eletrônica, quando são

injetados põsi-.rons termalizados ^—'. Outro possTvel sistema é o

hicroginio mais ur. positron; neste não se consegue determinar um

estado ligado, nas uma ressonância, no estudo do espalhamento p£

sitron-hidrogir.io*—'—'. Finalmente, temos os sistemas em que

aütn do prõton hajam mésons envolvidos, em particular é bastante

(37}

estudado o muoniurri'—', equivalente do hidrogênio porem com um

múon no lugar do próton.

No eítudo dos Tons helioides podemos, de uma maneira

inçinua, encontrar estimativas para o velcr da' energia do estado

fundamental utilizando o princTpio de incerteza*—'. Com este

principio temos para valores dos momenta dos elétrons

o n d e r, e r« s ã o as dirrensões da r e g i ã o de ' o c a l i i s ç ã o d o s e l é

-t r o n s 1 e 2 . D e c o r r e q u e a e r e r g i c c i r i -t i c ; s e r á

\ (4 • 4) U2

r

l 'Z

A energia potencial vinda da interveio dos elétrons con; o núclec

de carga Z é:

-Z i-r * ± ) (3)

r

l '2

e a energia da interação entre os elétrons i da ordem de

1

(4!

r

l *

r

Z

A soma d&s quantideces definidas

1 , 1 . 1 X T , 1 . 1

E(ri»r?) = j {-* + -^) - L \—- + -7-) + - — — — - (5)

1 £

* rí r,

r

l 2

r

l

r

2

representa a energia total do sistetr.a e o seu menor valor é aque

le que buscamos para o nTvel fundarentai. C rr.Tnimo ocorre em

e substituindo na eq. (5) obtemos z-zrz os Tons helíoides

*

E % (Z - \r u.a. (7}

Os valores de E para alguns cesos são dados ns Tab. 1.

Li ' E » -p n n c i -p i o i experimen de t a l i n c . ! .55 .1111 -:-,06 - : , 9 0 | -7 ,56 ,28

Tabela 1 - Valores da enerçia do estado -j'ic amen t a l , usando o principio de cerí-za e experimental de H~; :-= e Li*.

Os métodos v a r i a c i o n a i s . c u e c o n s i s t e m e s s e n c i a l m e i ; ew rr.iniirizar a e n e r o i a ^ — '

H è, Ú-.

E(«

í >'

dT

onde H é o hami l t o n i a n o co p r o b l e m , $ uir.a f u n ç ã o t e s t e e a in-:; g r a ç ã o é f e i t a em todo o e s p a ç o , podem f o r r e c e r v a l o r e s i r u i t T s s mo a c u r a d o s ; e n t r e t a n t o , n e c e s s i t a r de um c o n h e c i m e n t o p r é v i o c: função c-) onda e dependem m u i t a s v e z e s do a j u s t e de um g r e n d e rv mero de p a r â m e t r o s , cuja s i g n i f i c a ç ã o f í s i c a é d i f í c i l . Ainda n< caso dos h e l i õ i d e s uma função s i i r p l e s p a r a o c á l c u l o v a r i a c i * nal e

( Z c ) r ( Z o ) r

-<• = e ' e c

que r e p r e s e n t a o p r o d u t o de d-jas f u n ç õ e s d e onda h i d r o g e n õ i d e s , para o e s t a d o f u n d a m e n t a l , e c e ur t e r m o que dá c o n t a do m a s c a -ramento da c a r g a do n ú c l e o por um ios e l é t r o n s em r e l a ç ã o ao eu t r o » Com o h a m i l t o n i a n o u s u a l