Computação Gráfica. Prof. MSc André Yoshimi Kusumoto

Prof. MSc André Yoshimi Kusumoto

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Primitivas gráficas em duas dimensões

Matrizes em Computação Gráfica

• Todas as transformações geométricas podem ser representadas na forma de equações

• As matrizes são muito utilizadas porque o seu uso e o seu entendimento é menos complexo do que equações algébricas

• Devido ao padrão de coordenadas usualmente adotado para

representação de pontos no plano (x,y) e no espaço tridimensional (x,y,z) é mais conveniente manipular esses pontos por matrizes quadradas 2x2 ou 3x3 elementos.

Primitivas gráficas em duas dimensões

Pontos, vetores e matrizes

• Dado um sistema de coordenadas cartesianas, é possível definir pontos e objetos pelas suas coordenadas

• Nos espaços bidimensionais ou nos objetos planos, duas coordenadas caracterizam um ponto. Para objetos tridimensionais, três coordenadas são necessárias.

• Ex.

• Para definir um ponto, usa-se a sua distância em relação a cada um dos eixos do sistema de coordenadas

Pontos, vetores e matrizes

• Os vetores e matrizes não são limitados a dois ou três elementos.

Primitivas gráficas em duas dimensões

  Matriz Quadrada 5x5   Matriz 2x3      

Operações de Matrizes

• Adição e subtração – matrizes de mesma dimensão

• Multiplicação por um valor constante

• Transposta – a matriz transposta, simbolizada pela letra T sobrescrito, tem como matriz resultante da troca dos valores de suas linhas e colunas.

Primitivas gráficas em duas dimensões

Operações de Matrizes

• Multiplicação de matrizes – desde que o número de colunas da primeira seja igual ao níveis de linha da segunda. Isto é, uma matriz de dimensão m x n pode ser multiplicada por outra matriz de dimensão n x p. A matriz resultante será de dimensão m x p.

• Considere os seguintes vetores e verifique

Primitivas gráficas em duas dimensões

• Podemos utilizar diferentes sistemas de coordenadas para descrever os objetos

• Serve para dar uma referência em termos de medida do tamanho e posição dos objetos

• Coordenadas Polares – descritas por raio (r) e ângulo (θ)

• Coordenadas Esféricas – descritas por raio (r) e dois ângulos (θ e ψ)

• Coordenadas Cilíndricas – descritas por raio (r), ângulo (θ) e comprimento (P) • Esféricas e Cilíndricas são sistemas que representam pontos em 3D

• Um determinado sistema de coordenadas é denominado Sistema de Referência se for um sistema de coordenadas cartesianas para alguma finalidade específica.

• Assim, sua definição deve abranger dois aspectos principais:

• A unidade de referência básica

• Os limites extremos dos valores aceitos para descrever os objetos

Sistema de Referência do Universo (SRU)

• Coordenadas do universo, ou do mundo.

• Utilizado para descrever os objetos em termos das coordenadas utilizadas pelo usuário em determinada aplicação

• Cada tipo de aplicação especifica o seu universo de trabalho próprio

• Ex. CAD (metros ou centímetros), CAD Mecânica de precisão (milímetros ou nanômetros)

• Cada um como seus limites extremos (coordenadas mínimas e máximas do universo)

Sistema de Referência do Objeto (SRO)

• _{Cada objeto é um miniuniverso individual, ou seja, cada objeto tem suas particularidades}

descritas em função de seu sistema

• _{Muitas vezes coincide com o centro do sistema de coordenadas}

• Ex. na modelagem de sólidos, este centro é conhecido como pivô.

Sistema de Referência Normalizado (SRN)

• Trabalha com coordenadas normalizadas, com valores entre 0 e 1, onde 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, sendo x e y, as coordenadas horizontais e verticais possíveis.

• Serve como um sistema de referência intermediário entre SRU e SRD

• Principal aplicação é tornar a geração das imagens independente do seu dispositivo

• Pois, coordenadas do universo são convertidas para um sistema de coordenadas padrão normalizado.

Sistema de Referência do Dispositivo (SRD)

• Utiliza coordenadas que podem ser fornecidas diretamente para um dado dispositivo de saída específico

• Ex. em um vídeo, esses valores podem ser o número máximo de pixels que podem ser acesos (640x480, 800x600, etc) ou podem indicar a resolução especificada em determinada

configuração do sistema operacional (800x600x32bits – True Color)

• Assim, nos hardwares, o sistema de coordenadas depende geralmente da resolução possível e da configuração definida pelo usuário dentre as

possíveis

Representação da Imagem

• Na representação matricial, a imagem é descrita por um conjunto de células em um arranjo espacial bidimensional, uma matriz.

• Cada célula representa um pixel, ou pontos, da imagem matricial. Os objetos são formados utilizando essa representação, isto é, utilizando os pixels ou pontos.

Primitivas Gráficas

(x,y)=(1,1) De 1 até xMax xMax

• Consideremos traçar uma reta do ponto extremo inferior esquerdo p1(x₁,y₁) até o ponto extremo superior direito p2(x₂,y₂).

• Significa definir quais pontos (pixels) devem ser ativados para representar a reta considerada

Equação de reta

m é o coeficiente angular que representa o ângulo que a reta possui em relação ao eixo x

• Para m <= 1, a reta possui um ângulo entre 0° e 45° com o eixo x • Para m > 1, a reta possui um ângulo entre 45° e 90° com o eixo x

b é o coeficiente linear que representa o valor que a reta cruza com o eixo y

Equação de Reta

Assim, em uma matriz 10x10, onde p1(1,10) e p2(10,1):

Para cada x, de 1 até 10:

Código em C m=(float)(y2-y1)/(x2-x1); b=(float)y1-m*x1; for (x=x1;x<=x2;x++) { y=(int)round(m*x+b);

Equação de Reta

Equação de Reta

(2,2)

(7,9)

Exercício

1. Considere uma matriz 10x10, onde p₁(2,2) e p₂(7,9). Utilizando a equação de reta

apresentada, demonstre quais pixels

deveriam ser ativados para representar a reta entre os pontos p₁ e p₂.

Código em C

m=(float)(y2-y1)/(x2-x1); b=(float)y1-m*x1;

Equação de Reta

(2,2)

• Digital Differential Analyser

• Algoritmo utilizado para rasterização de linhas, triângulos e

polígonos.

• Usado para interpolação linear de variáveis sobre os valores de

dois pontos

• É um algoritmo incremental que calcula o cada passo a partir

dos resultados do passo anterior

• É um algoritmo simples e não requer conhecimento especial

para a sua implementação

• A utilização de floating points (variáveis do tipo float) torna o

Algoritmo em C

dx = x2 - x1; dy = y2 - y1;

if (abs(dx) > abs(dy)) steps = abs(dx); else steps = abs(dy);

xinc = dx / (float) steps;

yinc = dy / (float) steps;

drawpixel(x1,y1);

for (aux=0; aux<steps; aux++) { x = x+xinc;

y = y+yinc; drawpixel(x,y) }

Exercícios

1. Considere os pontos abaixo. Calcule e responda quais são os

pixels que serão ativados para representar essa reta.

Demonstre e apresente os valores.

• p1(6,9) e p2(11,12)

• p1(1,1) e p2(3,5)

• p1(2,2) e p2(7,6)

• AZEVEDO, E. e CONCI, A. Computação Gráfica: Teoria e Prática. Rio de Janeiro, Editora Campus, 2003, 353p.

• CONCI, A.; AZEVEDO, E.; LETA, F. R. Computação Gráfica. Rio de Janeiro, Editora Campus, 2008. v. 2. 432 p.