COMPRESSÃODEDADOSPARAANÁLISEDEQUALIDADEDEENERGIAELÉTRICA
UTILIZANDOTRANSFORMADADEWAVELETEFILTROSDEKALMAN
CARLOS A.DUQUE,MOISÉS V.RIBEIRO,HENRIQUE A.C.BRAGA E SÉRGIO Q. DE ALMEIDA
Faculdade de Engenharia – Universidade Federal de Juiz de Fora Campus Universitário – Bairro Martelos – Juiz de Fora-MG Cep: 36015-400
E-mails: duque@pet.ufjf.br, moises@critt.ufjf.br, hbraga@engelet.ufjf.br, sergioq@lacee.ufjf.br
Resumo Este trabalho apresenta um novo algoritmo de compressão de dados para análise a posteriori de fenômenos relacionados com a qualidade de energia elétrica. O algoritmo utiliza filtros de Kalman e Transformada de Wavelet (bancos de filtros de análise). Neste método o filtro de Kalman é utilizado para estimar a componente fundamental do sinal, que é então extraída do sinal original, gerando o sinal de erro. A Transformada de Wavelet é utilizada para comprimir o sinal de erro, obtendo-se taxas de compressão superiores àquelas obtidas, caso o sinal original, fosse comprimido diretamente. A reconstrução do sinal original é feita a partir do sinal de erro reconstruído (através dos bancos de filtros de reconstrução) adicionado ao padrão previamente extraído do sinal. As simulações mostram que as taxas de compressão são maiores que 90% e erros de reconstrução menores que 5%.
Abstract This paper presents a new data compression algorithm useful for the “off line” analysis of power quality
phenomena. The new method employs the Kalman filter technique to provide a signal fundamental component estimation which is, then, subtracted from the main signal in order to generate the error signal. After that, the Wavelet Transform is used to compress the error signal, leading to compression rates greater than those attained without using the Kalman filter step. The main signal reconstruction is obtained from the error signal reconstruction (using synthesis filter banks) added to a standard, previously extracted from the original signal. Simulation cases show that this method leads to compression rates greater than 90% and reconstruction errors smaller than 5%.
Keywords Power Quality, Wavelet Transform, Data Compression, Kalman Filter.
1 Introdução
Até poucos anos atrás a qualidade da energia elétrica estava relacionada exclusivamente com as indesejáveis interrupções no fornecimento deste tipo de energia. Estas interrupções podem ser provocadas por fenômenos aleatórios (descargas atmosféricas, curtos-circuitos nas linhas de transmissão e distribuição, etc.) ou pela necessidade de manutenção preventiva dos sistemas elétricos. A falta de continuidade do fornecimento da energia elétrica tem como principal conseqüência a diminuição da produtividade dos consumidores e a interrupção na operação de algum equipamento. Assim sendo, a Qualidade de Energia entregue, pelas concessionárias, era medida pelo número de horas de interrupções de fornecimento de energia elétrica por ano.
A contínua modernização das indústrias e centros comerciais tem implicado na utilização de novas cargas (tipicamente de natureza eletrônica) que determinam, em geral, problemas para a Qualidade de Energia oferecida pela concessionária. Estas
cargas, por outro lado, são muito sensíveis às imperfeições das tensões e correntes elétricas. Fica estabelecido, assim, uma situação que tende a piorar no futuro, à medida que mais e mais cargas desse tipo são usadas, a menos que medidas preventivas e corretivas sejam tomadas para inverter este quadro. Os problemas relacionados com a Qualidade de Energia podem ser divididos segundo a sua duração:
Sobretensões e subtensões de curta duração (Voltage swell e sags);
Sobretensões, subtensões e interrupções prolongadas;
Oscilações transitórias; Distorções harmônicas;
“flicker” (distúrbio aleatório da tensão). Entretanto, atualmente, nem os fornecedores (concessionárias), nem os consumidores (indústrias, centros comerciais e residenciais) estão capacitados a determinar precisamente a magnitude e a duração dos principais fenômenos relacionados com os problemas da qualidade da energia.
Sabin e Sundaram (1996) mostraram que algumas experiências de medição da qualidade de energia têm sido desenvolvidas na Europa e Estados Unidos, onde uma grande quantidade de dados está sendo coletado para definição de padrões. Para isto são necessários equipamentos de aquisição de dados, com grande capacidade de armazenamento, para a formação de banco de dados.
Um dos parâmetros de medida da eficiência destes equipamentos diz respeito ao algoritmo de compressão empregado na sua estrutura, uma vez que estes equipamentos devem empregar uma taxa de amostragem suficientemente alta para a definição dos fenômenos transitórios, e monitorar a linha por um longo período de tempo.
Artigos recentes, como em Santoso e Grady (1997) e Littler e Morrow (1999), têm mostrado a eficiência da teoria de Wavelet na compressão das informações, o que torna esta ferramenta muito indicada para estes instrumentos. Esta ferramenta é discutida rapidamente na Sessão II.
A contribuição deste trabalho está na otimização do algoritmo de compressão: ao invés de aplicar o sinal amostrado, diretamente na entrada do filtro de análise, procede-se inicialmente com a extração do padrão. O sinal de erro é gerado e só então processado pelo filtro de análise, resultando em significativa economia de memória. Este processo é apresentado na Sessão III. Na Sessão IV apresentam-se casos ilustrativos e na Sessão V as conclusões.
2 COMPRESSÃO DE DADOS USANDO A TRANSFORMADA DE WAVELETS
Vários artigos recentes têm mostrado diversas aplicações da teoria de wavelets em sistemas de potência. Análise de qualidade de energia e compressão de dados, são duas das principais aplicações. Uma boa referência para o estudo da teoria Wavelets é dada em Burrus et alii (1998a). Nesta sessão serão considerados apenas os conceitos de estruturas de bancos de filtros de análise e de síntese. Este é um enfoque típico de processamento digital de sinais multitaxa como mostrado em Mallat (1989).
A Figura 1 mostra uma estrutura de banco de filtros de análise de 3 estágios, enquanto a Figura 2 o banco de síntese. Os filtros que compõem estas estruturas são os filtros passa-baixa h0 e g0 e os filtros
passa-alta h1 e g1.
O projeto deste filtros possuem restrições específicas para garantir a reconstrução ótima do sinal, como mostrado em Liu (1998b). Os dois outros blocos presentes nos bancos de filtros são o decimador, ou down-sampling (2), e o expansor, ou up-sampling (2). A finalidade principal do banco de síntese é a de separar o sinal em sub-bandas, conforme mostrado na Figura 3. Observe que diferentemente da Transformada de Fourier as bandas possuem larguras diferentes, o que corresponde à decomposição multiresolucional em quatro sub-bandas.
A característica multiresolucional pode ser entendida como segue:
s(n) corresponde ao sinal amostrado em alta taxa e possui componentes em freqüência em toda faixa de 0-, onde corresponde à componente máxima do sinal. Separando os sinal por faixas observa-se que a faixa c0 é a faixa das componentes de baixa
freqüência e que não necessita ser processada com a alta taxa de amostragem original. Os decimadores, juntamente com os filtros, se encarregam de reduzir a taxa e consequentemente o esforço computacional. Assim para cada faixa de freqüência da estrutura, uma taxa diferenciada é empregada no processamento, sem perda de resolução.
O banco de síntese tem o objetivo de recompor as decomposições em cada estágio, a fim de reconstruir o sinal original.
A compressão é então obtida através da aplicação de um threshold nos coeficientes de cada sub-banda de acordo com Santoso e Grady (1997).
Figura 3. Bandas de Freqüência Resultante dos Bancos de Filtros
)
(
H
c0 d0 d1 d2
Figura 1. Banco de Filtros de Análise h0 h1 c0(n) d0(n) d1(n) d2(n) 2 2 h0 h1 2 2 h0 h1 2 2 s(n) d0(n) 2 2 c0(n) d1(n) 2 2 g0 g1 g0 g1 2 2 g0 g1 d1(n) s(n) ~
Estimador Adaptativo de Padrão Registro de Dados Bloco de Análise e Compressão s(n)
+
-Figura 4. Diagrama de Blocos do Sistema de Análise e Compressão Modificado
A compressão é efetuada dentro de cada um dos níveis c0, do, d1. e d2. Observe, por exemplo, que se o
sinal possuir apenas a componente fundamental, as saídas dos filtros que definem as bandas do, d1 e d2
serão zero, e consequentemente não precisarão ser armazenadas. Esta idéia intuitiva é suficiente para o entendimento de como a compressão pode ser eficiente em sinais cujo espectro só é rico em componentes de freqüência durante pequenos intervalos, como é o caso dos transitórios em sistemas de energia elétrica.
3 SISTEMA DE COMPRESSÃO MODIFICADO
A Figura 4 mostra o diagrama de blocos do sistema de análise e compressão modificado.
O sinal de entrada alimenta o bloco do estimador do padrão. A função deste bloco é estimar e gerar o padrão da rede, tipicamente a sua componente fundamental. O sinal de erro é obtido subtraindo-se do sinal de entrada, o padrão estimado. O erro é então processado no Bloco de Análise e Compressão. As vantagens deste algoritmo são as altas taxas de compressão, uma vez que quando o sistema estiver em regime, o erro será zero e portanto não haverá dados para serem comprimidos. Um exemplo ilustrativo é o caso de variação de carga, quando a corrente, após o transitório, estabiliza-se num novo estado permanente.
3.1 Estimador Adaptativo do Padrão
O padrão é definido neste contexto como as componentes do sinal que permanecem inalteradas por mais de 1.5 ciclos. Dentro desta definição um sinal com componentes harmônicas pode ser considerado como padrão. Neste caso o estimador de padrão será mais complexo.
Apesar das vantagens que podem advir de estimar padrões complexos, como as componentes harmônicas, neste trabalho considera-se apenas como padrão a componente fundamental.
3.2 Estimador de Kalman
Um estimador de amplitude e fase de senóides bem conhecido na literatura é o estimador de Kalman como mostrado em Liu (1998b) e em Sachdev et alii (1985). Para a formulação do problema de Kalman é preciso, inicialmente, escrever as equações de estado do processo.
A equação de medida pode ser escrita como, ) ( ) cos( ) (n A 0n q2 n s (1) ou ainda, ) ( ) sen( ) cos( ) (n x 0n x 0n q2 n s c s (2) com , T w0 0 (3)
onde w0 é a freqüência da fundamental, em rad/s, e T
o período de amostragem do processo.
Os parâmetros do processo, ou estados, são xc e xs. A
equação de estado pode ser escrita como, ) ( ) ( ) ( 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 n q n x n x n x n x s c s c (4)
A equação de saída, equação de medida, é então escrita como,
( ) ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( 0 0 q2 n n x n x n sin n n s s c (5)Nas equações (2) e (3) q2(n) e q1(n) representam
ruídos gausianos de média zero. Como as estatísticas dos ruídos (sua variância, valor médio, etc.) não são conhecidas, seus valores são empiricamente estimados.
O módulo do estimador do padrão é representado no diagrama de blocos da Figura 5.
O gerador do padrão pode ser implementado usando a seguinte expressão : ) ( ) ( cos sen sen cos ) 1 ( ) 1 ( 2 1 0 0 0 0 2 1 n s n s n s n s (6) ) ( ) ( ) ( ˆ n xs1 n xs2 n y c s (7) 4 CASOS ILUSTRATIVOS
Nesta seção são apresentados casos ilustrativos que mostram a melhora do método proposto frente ao método de compressão convencional. Os casos de “poluição” na qualidade da energia foram gerados sinteticamente no MATLAB, procurando aproximar casos práticos.
Figura.5. Diagrama de blocos do Estimador de Padrão
Algoritmo de Estimação de xc e xs Atualiza? S N Gerador de Padrão ) ( ^ n
y
s(n)Três casos foram analisados: (a) Sinal com Sag; (b) Sinal com Notch; e (c) Transitório com perda de carga. Os dados utilizados nas simulações são resumidos a seguir:
1- Freqüência da componente fundamental: 60 Hz; 2- Taxa de amostragem: 2048*60 Hz;
3- SNR (Relação Sinal Ruído): 46 dB; 4- Número de pontos em cada janela: 10000 5- Threshold igual a 10% do valor de amplitude
absoluta máxima em cada decomposição; 6- Coeficientes de wavelets: Daubechies-6; 7- Decomposição em três níveis.
4.1 Sinal com Sag
A Figura 6-a mostra o primeiro sinal a ser comprimido. Este sinal aproxima a situação de um Sag, quando a amplitude da componente fundamental sofre um afundamento temporário. A Figura 6-c mostra a performance do filtro de kalman na estimação do parâmetro xs (performance equivalente
é obtida para o parâmetro xc, não mostrado).
Observa-se que o estimador em poucas iterações atinge o valor do padrão com boa precisão. Observa-se ainda que durante o afundamento da tensão o estimador foge do valor padrão e retorna logo em seguida para o valor correto. Este distanciamento temporário não afeta o gerador do padrão, uma vez que o algoritmo prevê o intervalo de 1.5 ciclos da fundamental para considerar o valor estimado como padrão.
A Figura 6-b mostra a diferença entre o sinal original e o padrão estimado. É esta diferença que será compactada pelo algoritmo de Wavelet.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -1 -0.5 0 0.5 1 (a) A m p lit u d e tempo (s) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -0.4 -0.2 0 (b) A m p lit u d e tempo (s) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.5 1 1.5 (c) A m p lit u d e tempo (s) xs Padrão xs Estimado
Figura 6. (a) sinal original, (b) Sinal com a Extração do Padrão,
(c) Estimador de
x
cA Figura 7-a mostra o sinal original e o sinal reconstruído pelo algoritmo descrito na Sessão anterior. Observe que as duas curvas estão sobrepostas, mostrando que o erro de reconstrução é muito pequeno. Este erro é mostrado na Figura 7-b.
A Tabela 1 compara o método proposto (última coluna da tabela) como o método convencional. No método de compressão convencional a compressão é realizada sobre o sinal original. Observe que o método proposto apresenta uma melhora significativa no índice de compressão, e com erro médio quadrático menor.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 (a) Sinal Orig. Sinal Reconst 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 (b)
Figura 7. (a) Sinal Original e Sinal Reconstruído, (b) Erro entre os Sinais Original e Reconstruído
Tabela 1. Comparação entre os dois Métodos de Compressão Método Convencional Método Proposto Índice de Compressão 88.0072 98.8536 Erro Médio
quadrático 2.3165e-004 1.2569e-005
4.2 Sinal com notch
A Figura 8-a mostra um sinal “poluído” com o efeito de Notch. Na realidade são mostradas duas curvas, sendo a segunda o sinal reconstruído. Novamente somente através da figura do erro (Figura 8-b) percebe-se a diferença entre os dois sinais.
A Tabela 2 mostra os resultados comparativos. O método proposto novamente apresentou melhora significativa no índice de compressão, além de apresentar menor erro médio quadrático. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -1 0 1 2 (a) Sinal Orig. Sinal Reconst 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 (b)
Figura 8. (a) Sinal Original e Sinal Reconstruído, (b) Erro entre os Sinais Original e Reconstruído
Tabela 2 . Comparação entre os dois métodos de Compressão Método Convencional Método Proposto Índice de Compressão 86.1330 90.2901 Erro Médio
4.3. Sinal com Transitório Oscilatório
Como último exemplo, considere o caso de perda de carga. Observe na Figura 9-a que após o transitório o sinal estabelece um novo estado permanente. A Figura 9-b mostra a diferença entre o sinal original e o sinal reconstruído. Neste caso aparecem erros pontuais maiores que 5%. Este erro pode ser reduzido pela diminuição do nível de Threshold, que foi estabelecido em 10%. A Tabela 3 apresenta os principais resultados da simulação, mostrando novamente um maior índice de compressão e menor erro para o método proposto.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -1 0 1 2 (a) Sinal Orig. Sinal Reconst 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 (b)
Figura 9. (a) Sinal Original e Sinal Reconstruído, (b) Erro entre os Sinais Original e Reconstruído
Tabela3. Comparação entre os dois métodos de Compressão Método Convencional Método Proposto Índice de Compressão 88.3960 97.3682 Erro Médio
quadrático 3.0615e-004 2.5839e-004
5 CONCLUSÕES
Este trabalho apresentou um método para compressão de dados usando Transformada Wavelet (banco de filtros) e Filtros de Kalman. Neste método o filtro de Kalman foi empregado para estimar a amplitude e a fase da componente fundamental do sinal. Num passo seguinte esta componente era extraída do sinal original, gerando o sinal de erro que alimentava o banco de filtros de análise. A compressão era obtida desprezando as componente de sinal com amplitudes inferiores a 10% do valor máximo dentro da janela de dados. Na reconstrução do sinal original os vetores (c0,d0,d1 e d2) eram passados pelo banco de filtros de síntese e o resultado adicionado ao padrão. O método mostrou índices de compressão superiores ao método convencional e erros menores. Os índices de compressão são mais significativos na proporção direta do período de observação do sinal, isto porque neste método, apenas as janelas que contém
distúrbios de qualidade de energia são efetivamente armazenadas, ao passo que no método convencional, toda a janela de observação gera dados para serem armazenados.
O método precisa ser aprimorado quanto ao estimador do padrão. O filtro de Kalman tende a gerar estimação ruim quando a relação sinal ruído (SNR) cresce, ou quando existem componentes harmônicas no sinal. Embora, nestes casos, a reconstrução do sinal não seja afetada, os índices de compressão tendem a ser iguais ao do método convencional.
Passos futuros deste trabalho são a melhora do estimador de padrão e a implementação do método em tempo real, utilizando processador digital de sinais (DSP).
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