Esquemas Raciocínio lógico

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RACIOCÍNIO LÓGICO © [email protected] (julho/09)

1. TABELA VERDADE

Conjunção ... e ... [ ^ ]

V apenas se ambas forem verdadeiras F demais casos

Disjunção ... ou ... [ v ]

V houve no mínimo uma V F apenas se ambas forem F Condicional

Se... então ... [ → ]

“Condição suficiente gera resultado necessário” F somente quando V → F (uma condição suficiente não pode gerar um resultado falso)

Disj. Exclusiva Ou ... ou [ v ]

“Mutuamente Excludentes” V valores lógicos diferentes

F nunca poderão ser V ou F ao mesmo tempo Bicondicional

Se e somente se [↔]

V ambas tiverem os mesmos valores lógicos F tiverem os valores lógicos diferentes

e ( ^ ) ou ( v ) se.. .então... ( → ) ou...ou... ( v ) se e somente se ( ↔ ) V V V V V F V V F F V F V F F V F V V V F F F F F V F V TAUTOLOGIA CONTRADIÇÃO CONTINGÊNCIA Última coluna da Tabela Verdade V F há valores V e F NEGAÇÃO Conjunção ~ (p ^ q) ~p v ~q Disjunção ~ (p v q) ~p ^ ~q Condicional ~ (p → q) p ^ ~q Bicondicional ~ (p ↔ q) (p ^ ~q) v (q ^ ~p)

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

2. EQUIVALÊNCIA LÓGICA

P e Q = Q e P P e P = P ou P = P P → Q = ~Q → ~P P → Q = ~P ou Q P e (P ou Q) = P P ou (P e Q) = P P ↔ Q = Q ↔ P P ↔ Q = (P → Q) e (Q → P) Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B

3. DIAGRAMAS DE VENN

COM NÚMEROS

começar a montar o diagrama a partir das interseções (de dentro para fora), sempre subtraindo os valores

(TIPO 1A) TODO ... É ...

(TIPO 1B) ALGUM ... É ... (TIPO 1C) NENHUM ... É ...

(TIPO 2) JOGO DE PALAVRAS feio ≡ não feio / não feio ≠ bonito todo ≡ não todo / não todo ≠ nada alto ≡ não alto / não alto ≠ baixo

(TIPO 3) CONTRADIÇÕES duas frases, ver se há contradição entre elas

Ex: Todo espião é não vegetariano e

algum vegetariano é espião

(TIPO 4) NÃO É VERDADE QUE - o conjunto proposto é falso - pode ser dos três tipos anteriores - o conjunto complementar é V

(TIPO 5) 2 FRASES, 3 CONJUNTOS - relação de 2 em 2 conjuntos. - montam-se três alternativas: algum,

nenhum ou total contato entre eles.

1º 2º 2º 2º 3º 3º 3º A B Todo A é B Nem todo B é A Algum B não é A A Algum A é B B Algum A não é B A Nenhum B é A B Nenhum A é B 1 Algum B não é A

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4. DIAGRAMA LÓGICO

- relação entre pessoas e objetos: “a quem pertence o que”

SEMPRE MONTAR TABELA: pessoas → linhas; objetos → colunas TIPO 1:

“Artur, Bernardo e César; Brasília, Parati e Santana; Cores cinza, verde

e azul. Carro Artur: cinza; Carro César: Santana. Carro Bernardo: não é verde e não é Brasília. As cores dos carros são:”

 Após descobrir o que pertence a quem, cancelar outras linhas/colunas. TIPO 2: há quem diz a verdade, mente e quem diz os 2.

“Ana, Maria e Cláudia; Vestidos: azul, branco e preto; A de azul: “Ana está de Branco”; Branco: “Eu sou Maria”; Preto: “Cláudia está de Branco”; Ana sempre diz a verdade; Maria, às vezes; Cláudia, mente.”

 A partir da pessoa que diz a verdade, monta a tabela como se ela estivesse falando as frases e ver se tem sentido.

TIPO 3: duas frases; uma verdadeira, outra falsa

“Qual a classificação de André, Beto, Caio e Dênis? 1 – André foi 1º, Beto foi 2º; 2 – André foi 2º, Denis foi 3º; 3 – Caio foi 2º, Denis o 4º”

a) julgar qual é V e qual é F; ver se tem sentido. b) atribuir as frases às pessoas.

5. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO

Utilizado quando (observar nas premissas): 1º Diagramas todo, nenhum e algum

2º Tabela-Verdade No máximo duas proposições simples (deve-se sempre preferir esse método) 3º premissas = V

testar conclusão= V Há proposição simples ou uma conjunção (e)

4º premissas = V conclusão = F

conclusão: proposição simples ou disjunção (ou) ou condicional (se...então)

Resolução:

(1º) Diagramas (de Venn):

Todo (tipo 1A); algum (tipo 1B); nenhum (tipo 1C). (2º) Tabela-Verdade:

a) Montar a Tabela Verdade com todas as premissas e adicionar uma coluna para a conclusão

b) Verificar quais são as linhas em que os valores lógicos das premissas são verdadeiros. Destacá-las.

c) Se nas linhas em que VL(Pi)=V, VL(C)=V, o argumento é válido; Se em ao menos numa linha o VL(C)=F, o argumento é inválido

P Q P1: P→Q P2: ~P C: ~Q

V V V F F

V F F F V

F V V V F Contradição!

F F V V V

Há contradição! Portanto, o argumento “P→Q e ~P” é inválido!

(3º) Premissas verdadeiras (testar conclusão V) a) considerar VL(Pi)=V.

b) utilizar o valor lógico das premissas através das operações lógicas dos conectivos para descobrir o VL das proposições.

c) Se VL(C)=V, o argumento é válido (a) P1: P v Q = V P2: ~P = V C: Q (b) se VL(~P) = V, então VL(P) = F se VL(P v Q) = V e VL(P) = V, então VL(Q) = V

(c) como VL(Q) = V, então VL(C)=V : argumento válido

(4º) Premissas verdadeiras e conclusão falsa

- mesma lógica do método anterior, só que se verifica se a conclusão apresenta um argumento inválido, ou seja, supõe-se que VL(C) = F. - se aparecer alguma contradição nas premissas, indicando um valor

lógico não falso para a conclusão, então o argumento é válido.

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6. ESTRUTURAS LÓGICAS

Utilizado quando a questão dá as premissas e a conclusão é uma das alternativas.

[1º TIPO]

Uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira [proposição simples ou composta tipo conjunção (P1 e P2)]

Resolução: 3º Método de Validação de Argumentos

a) considerar VL(Pi)=V, e descobrir os VLs das proposições simples. b) a partir dos VLs das proposições simples, encontrar qual a

alternativa que traz uma proposição com VL verdadeiro. [2º TIPO]

Todas as premissas possuem mais de uma forma de ser verdadeira. Há dois métodos para sua resolução

1º método: semelhante ao tipo anterior com uma especificidade.

1.

considerar todas as premissas verdadeiras;

2.

atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples;

3.

substituir este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, não há alguma contradição entre os resultados obtidos.

2º método: encadeamento lógico das premissas

1.

modificar a segunda parte da condicional de uma premissa para que ela seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte 2. feita por tentativa e erro até que se encaixe uma premissa a outra 3. montar uma tabela com tudo V e a partir da 2ª linha, adicionar um F

até chegar a todas as colunas F

4.

verificar se há alguma linha em que não haja contradição entre os valores lógicos das premissas (tipo P = V e ~P = V)

dica: ocorre freqüentemente o encadeamento do tipo (p→q)=(~q→~p). para memorizar: “inverte e troca” (inverte a ordem e troca o sinal)

Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo:

P1: ~D→B ≡ ~B→D P2: Fu→D P3: D→~Fu P4: ~Fu→~B Encadeamento: Fu → D → ~Fu → ~B → D (P2 / P3 / P4 / P1) Fu D ~Fu ~B D 1ª V V V V V Contradição! → Fu e ~Fu 2ª F V V V V OK! 3ª F F V V V Contradição! → D, Fu e ~Fu 4ª F F F V V Contradição! → D, Fu e ~Fu 5ª F F F F V Contradição! → D, Fu e ~Fu 6ª F F F F F Contradição! → Fu e ~Fu

Conclusão: Não estou furioso (Fu:F), não bebo (~B:V) e dirijo (D:V)

7. CONTAGEM

(A) PERMUTAÇÃO: n elementos em n posições diferentes.

!

1 .

2 )...

2 ).(

1 .(

n

P

n

₌

₋

₌

(B) ARRANJO: grupos de r elementos a partir de n elementos, onde a ordem importa.

)!

(

!

r

n

A

n r

=

₋

(C) COMBINAÇÃO: grupos de r elementos a partir de n elementos, onde a ordem não é importante.