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MD Slides 02 Lógica Formal Noite

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Academic year: 2019

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(1)
(2)

Proposição

Definição:Proposição

Chama-se proposição toda oração declarativa

que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

Exemplos:

• Roma é a capital da França. • 11  5 • 20  IN

Não são consideradas proposições as sentenças:

Imperativas: Feche a porta.

Procure a saída.

Exclamativas: Parabéns ! Feliz Natal !

Interrogativas: Quantos chilenos moram no Brasil ? Será que o Júlio vai jogar hoje ?

(3)

Princípios Fundamentais da Lógica

Princípio da não Contradição

Uma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente.

Princípio do Terceiro Excluído

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa .

(4)

Valor Lógico

Definição: Valor Lógico de uma Proposição: Toda proposição possui um valor lógico,

que é Verdadeiro (indicado por V ) e ela for verdadeira, ou é Falsidade (indicada por F ) se ela é falsa .

Exemplo:

n: O número 7 é primo . Verdadeira

Falso

(5)

Proposição Simples

Exemplos:

p: O número 2 é par .

q: O Brasil fica na América do Norte.

r: 5  IN

Verdadeira

Falsa

(6)

Conectivos Lógicos

Conectivos Lógicos:

São palavras usadas na formação de outras sentenças.

Conectivos:

(7)

Proposições Compostas

As proposições compostas são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos .

Exemplo:

p: O número 2 é primo.

q: O número 2 é par.

t: O número 2 é primo ou par.

Proposições Simples

(8)

Negação(

)

A partir de uma proposição p qualquer sempre podemos, construir outra, denominada negação de p (p) .

Exemplos:

p: 9 = 5

A proposição p tem sempre valor lógico oposto de p. q: 1/3  ℚ

p p

V F

F V

Tabela – Verdade:

q: 1/3  ℚ

(9)

Conjunção (

)

Colocando o conectivo  entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q,

denominada conjunção das sentenças p e q .

Exemplo: p: 2 > 0

q: 4  1

Se p e q são ambas verdadeiros;

então a proposição composta p q é verdadeira

Se ao pelo menos uma delas for falsa, então pq é falsa.

Tabela – Verdade: p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

(10)

Disjunção (

)

Colocando o conectivo  entre duas proposições p e q,

obtemos uma nova proposição, pq,

denominada disjunção das sentenças p e q .

Exemplo: p: 5 > 0

q: 7 > 3

A proposição composta p  q é verdadeira se pelo

menos uma das proposições p ou q é verdadeira;

Se p e q são ambas falsas, então p  q é falsa. Tabela – Verdade:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

(11)

Condicional

(

)

Colocando –se o condicional  entre duas proposições p e q , obtemos uma nova proposição , pq , que se lê :” se p então q “.

Exemplo: p: 25 > 0

q: 25 é par

Somente quando p é verdadeira e q é falsa ; A proposição composta p  q é falsa

Caso contrário, p  q é verdadeira .

Tabela – Verdade:

p q p  q

V V V

V F F

F V V

F F V

(12)

Condicional (

)

Exemplo:

Se Antônio receber um aumento salarial

então comprará um vídeo game para seu filho. Tabela – Verdade: p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

(13)

Bicondicional (

)

Colocando –se o condicional  entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, pq ,que se lê : ”p se, e somente se, q “.

Exemplo: p: A neve é branca. ; q: Roma é capital da França.

pq : A neve é branca se, e somente se, Roma é capital da França.

A proposição composta p q verdadeira

somente quando p e q são ambas verdadeiras ou são ambas falsas ; Caso contrário p  q é falsa.

Tabela – Verdade: p q p  q

V V V

V F F

F V F

(14)

Exercício:

1)Considere as proposições:

A: O rato entrou no buraco. B: O gato seguiu o rato.

a) A

b) B

c) AB

d) AB

e) AB

f) AB

g) (AB)

h) AB

O rato não entrou no buraco. O gato não seguiu o rato.

O rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato.

O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato.

É Falso,que o rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato não entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato.

(15)

Exercício:

2)Considere as proposições:

P: Carolina é alta. Q: Carolina é elegante. Escreva as sentenças abaixo em linguagem simbólica :

a) Carolina é alta e elegante.

b) Carolina é alta, mas não é elegante.

c)É falso, que Carolina é baixa ou elegante.

d) Carolina é alta, ou é baixa e elegante.

PQ

PQ

(16)

Exercício :

3)Dar o valor lógico das proposições:

a) 3 > 5 ou 7 é ímpar .

b) ((Porto Alegre é a capital do Estado de São Paulo)).

c) Se 9 é par, então, hoje é terça-feira.

d)9 é um número quadrado perfeito e  é um n° irracional.

e) (3x4=12 e 5x3=15)

Verdadeira

Falsa

Verdadeira

(17)

Tabela Verdade:

A B C [(A   ( C)]  (B   C) V V V

V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Ordem de precedência de operações: 

Exemplo : 1

V V F F V V V V 2 F F F F V V V V 3 V F V F V V V V 4 V F F F V V V V 5 F V F V F V F V 6 F V F F F V F F 7 F F V V F V F F

Obs.: A etapa (7) corresponde ao resultado “final”,

(18)

Exercício:

P Q (PQ)(P  Q) V V

V F F V F F

(19)

Exercício:

A B C [A(B C)]  [ A (C)]

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

(20)

Logo, A =V , B = V , C = F e D = F

(F) (F)

(F)

(V)

(V) (V) (F)

(F) (V)

(F)

(F)

[

A

(

B

v

D

)] v



A



B



C)]

Exercícios

1)A forma sentencial abaixo é falsa. Determine os valores de A, B, C e D

(F)

(V)

(21)
(22)

Logo:

A = B = C = D = E = V

(F)

(V) (F)

(V)

[(



B v C)



D ) v ( (B ^ E)

(

C

^ D) )]

A

(F) (F)

(V) (F)

(V) (V) (V)

(V)

(F) (V)

(V) (F)

(V)

Exercícios: 2)A forma sentencial abaixo é falsa. Determine os valores de A, B, C,D e E

(23)

Implicação Lógica

e

(24)

Tautologia

Uma proposição composta P(p,q,r,...) é uma tautologia

se seu valor lógico é V (Verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples de p,q,r,... .

Exemplo:

A proposição composta

( p  p ) é uma tautologia

p p p  p

V F V

F V V

A proposição composta

( p  p ) é uma tautologia

p p  p

V V

(25)

Contradição

Uma proposição composta P(p,q,r,...) é uma contradição

se seu valor lógico é F (Falso), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples de p,q,r,... .

Exemplo:

A proposição composta

( p  p ) é uma contradição .

A proposição composta

( p q ) ( p q ) é uma contradição

p p p  p

V F F

F V F

p q  ( p q ) ( p q )

V V F V F V

V F F V F F

F V F V F F

(26)

Contradição

Exemplo:

A proposição composta ( p  q )  ( p  q ) é uma contradição .

p q  ( p  q )  ( p  q ) V V F V F V

V F F V F F

F V F V F F

(27)

Contingência

Toda proposição composta P(p,q,r,...) que não é nem tautologia nem contradição é chamada contingência ou proposição contingente .

Exemplo:

A proposição composta ( p q ) p é uma contingência .

p q ( p q ) p

V V V V V

V F V V V

F V V F F

(28)

Implicação Lógica

Definição:

A proposição P implica a proposição Q

se, e somente se , a condicional P  Q for uma tautologia . Representação : P Q ( “ P implica Q ” )

Exemplo :

A tabela verdade mostra que ( p  q )  ( p  q ) é uma tautologia. Portanto, ( p  q )  ( p  q )

p q ( p  q )  ( p  q )

V V V V V

V F F V F

F V F V F

(29)

Equivalência Lógica

Definição:

A proposição P equivalente a proposição Q

se, e somente se , a bicondicional P Q for uma tautologia . Representação : P Q ( “ P é equivalente a Q ” )

Exemplo :

A tabela verdade mostra que ( pq )( q  p ) é uma tautologia. Portanto, ( pq )  ( q  p ) .

p q ( p  q )  ( q  p )

V V V V V

V F F V F

F V V V V

(30)
(31)

A B A  ( A  B )  A

V V V V V V V

V F V V F V V

F V F F F V F

F F F F F V F

Absorção

A  ( A  B ) é Equivalente a A A  ( A  B )  A

A B A  ( A  B )  A

V V V V V V V

V F V V V V V

F V F F V V F

F F F F F V F

(32)

A B (A   (A  )

V V V V F V

V F F V F F

F V V V V V

F F V V V V

A B (A     A   )

V V V V V F F

V F F V F V V

F V V V V F F

F F V V V F V

Equivalências Lógicas

Eliminação da Condicional

(33)

A B (A    A  )  (  A  B)]

V V V V V V F F F

V F F V F F F F V

F V F V F F V F F

F F V V F V V V V

Eliminação da Bicondicional

A B (A   A  )  ( B  A)]

V V V V F V V F V

V F F V F F F V V

F V F V V V F F F

F F V V V V V V V

(34)
(35)

Exercício :

(5) e (9)

(7)

(10)

(11) e (8)

[ (A  B)  ( B A ) ]  { [ (A B)  (B  A )  (C  A) ]  (C  C)] } 

 [ (A  B)  (B A ) ]  { [ (A B)  (B  A )  (C  A) ]  (C  C)] } T

 [ (A  B)  (B A ) ]  [ (A B)  (B  A )  (C  A) ]

 [ (A  B)  (B A ) ]

 A  B

A forma sentencial abaixo, é logicamente equivalente a:

Alternativas:

(36)

Tabela-Verdade

A B C [ (A  B)  ( B A ) ]  { [ (A B)  (B  A )  (C  A) ]  (C  C)] }  A  B V V V V V V F V V F V V V V V V V V

V V F V V V F V V F V V V V V V V V

V F V F F V F F F V F V F V F V V F

V F F F F V F F F V F V F V F V V F

F V V V F F V F V F F F F F F V V F F V F V F F V F V F F F F V F V V F

F F V V V V F V V F V V F F F V V V

(37)

Exercício:

(9)

(6) e (7)

{ [ (A  C)  ( B C ) ][ B ( B C ) ] } [ (A  C) B ]  } 

 { [ (A  C)  (B  C ) ][ B (B  C ) ] } [ A  C B ]  }  { [ C  (A  B ) ][ B C ] } (C B )  }

 { C  (A  B )  ( B C ) } C  B ) }

 { C  ( B C )  (A  B ) } C  B ) }

 { C  (A  B ) } C  B ) }

 C  (A  B ) C  B )

 C C  B )  (A  B )

 C B )  (A  B )

(6)

(4)

(7)

(4)

(10)

A forma sentencial abaixo, é logicamente equivalente a:

 C A  )

(38)
(39)

Negação de Proposições Compostas

Exemplo :

A : As rosas são amarelas.

B : Os cravos são brancos.

A  B : As rosas são amarelas e os cravos brancos.

Negação : (A  B) 

 A  B

(40)

Negação de Proposições Compostas

Exemplo :

Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar

C : Estiver cansado

F : Estiver com fome

E : Consigo estudar E: não consigo estudar

(C v F)  E

Negação : [ (C v F)  E ]

 [(C v F) v E]

(C v F) ^ E

(41)

Negação de Proposições Compostas Exercício:

1)Fará sol se, e somente se, não chover.

S: fará sol C: chover

S ↔ C

Negação :(S ↔ C) 

  [( S  C)  (C  S)]

 ( S  C)  (C  S)

 ( S  C)  ( C  S)

S ↔ C

(42)

Negação de Proposições Compostas

2) Bruno é aluno de MD ou pesquisador.

B: Bruno é aluno de MD

P: Bruno é pesquisador.

(B P)

Negação: (B  P) 

( B   P)

(43)

Negação de Proposições Compostas

3) Todo menino gosta de futebol.

 Se é menino então gosta de futebol.

M : é menino

F : gosta de futebol M  F

Negação: ( M  F )

  ( M  F)

 M  F Algum menino não gosta de futebol.

(44)

Negação de Proposições Compostas

4) Tudo que é bom engorda.

 Se é bom então engorda.

B : é bom

E : engorda

B  E

Negação: ( B  E )

  ( B  E)

(45)

Negação de Proposições Compostas

5) Se eu estudar Matemática Discreta e tiver sorte na prova, então serei aprovado.

E : estudar Matemática Discreta

P : tiver sorte na prova

A : serei aprovado

(E P) → A

Negação:[(E  P) → A]

 [(E  P)  A]  (EP) (A) Mesmo estudando Matemática Discreta e

(46)
(47)

Lógica da Argumentação

Argumento:

Sejam P1 , P2 , P3 , ... , Pn e Q proposições

Argumento é toda afirmação formada por uma sequência finita de proposições P1 , P2 , P3 , ..., Pn que acarreta uma proposição final Q.

Forma Simbólica: (P1  P2  P3  ...  Pn)  Q

Premissas : P1 , P2 , P3 , ... , Pn Conclusão: Q Argumento: Válido ou Falácia

Um argumento P1 , P2 , P3 , ... , Pn  Q é válido se, e

somente se, (P1P2P3... Pn) Q é uma tautologia.

(48)

Argumentação

Exemplo :

Sejam as premissas:

i)Se um homem é feliz, ele não é solteiro.

ii)Se um homem não é feliz, ele morre cedo.

Conclusão: Se é homem solteiro, morre cedo.

Forma simbólica da argumentação:

[ (F  S)(F C) ] (S C)

F: homem é feliz S: solteiro C: morre cedo

F   S

F C

(49)

Argumentação

Podemos escrever a forma simbólica da argumentação:

[(F  S)(FC)](SC)

[(F  S)(F C)S ] C

V V V

V

F F

F

V V V V

(50)
(51)

Argumentação

Exercício :

1) Sejam as premissas:

i)Se um aluno é feliz, ele faz MD.

ii)Se um aluno não é feliz, ele não é estudioso.

(52)

Argumentação

Exercício :

2) Sejam as premissas:

i) Se trabalho, não posso estudar.

ii)Trabalho ou serei aprovado em MD.

iii)Trabalhei

(53)

Argumentação

Exercício :

3) Sejam as premissas:

i) Todo caranguejo é crustáceo.

ii) Se é peixe então não é caranguejo.

Imagem

Tabela  – Verdade:        p q p  q V     V V V F F F V F F F Fp  q : 2 > 0  e  4   1
Tabela  – Verdade:        p q p  q V     V V V F V F V V F F Fp q : 5 > 0  ou7 > 3
Tabela  – Verdade:        p q p  q  V     V V V F F F V V F F Vp q :  Se 25 > 0  então  25 é par
Tabela  – Verdade:    p q p   q  V     V V V F F F V V F F V Mentiu
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