Proposição
Definição:Proposição
Chama-se proposição toda oração declarativa
que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Exemplos:
• Roma é a capital da França. • 11 5 • 20 IN
Não são consideradas proposições as sentenças:
Imperativas: Feche a porta.
Procure a saída.
Exclamativas: Parabéns ! Feliz Natal !
Interrogativas: Quantos chilenos moram no Brasil ? Será que o Júlio vai jogar hoje ?
Princípios Fundamentais da Lógica
Princípio da não ContradiçãoUma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente.
Princípio do Terceiro Excluído
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa .
Valor Lógico
Definição: Valor Lógico de uma Proposição: Toda proposição possui um valor lógico,
que é Verdadeiro (indicado por V ) e ela for verdadeira, ou é Falsidade (indicada por F ) se ela é falsa .
Exemplo:
n: O número 7 é primo . Verdadeira
Falso
Proposição Simples
Exemplos:p: O número 2 é par .
q: O Brasil fica na América do Norte.
r: 5 IN
Verdadeira
Falsa
Conectivos Lógicos
Conectivos Lógicos:São palavras usadas na formação de outras sentenças.
Conectivos:
Proposições Compostas
As proposições compostas são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos .
Exemplo:
p: O número 2 é primo.
q: O número 2 é par.
t: O número 2 é primo ou par.
Proposições Simples
Negação(
)
A partir de uma proposição p qualquer sempre podemos, construir outra, denominada negação de p (p) .
Exemplos:
p: 9 = 5
A proposição p tem sempre valor lógico oposto de p. q: 1/3 ℚ
p p
V F
F V
Tabela – Verdade:
q: 1/3 ℚ
Conjunção (
)
Colocando o conectivo entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q,
denominada conjunção das sentenças p e q .
Exemplo: p: 2 > 0
q: 4 1
Se p e q são ambas verdadeiros;
então a proposição composta p q é verdadeira
Se ao pelo menos uma delas for falsa, então p q é falsa.
Tabela – Verdade: p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção (
)
Colocando o conectivo entre duas proposições p e q,
obtemos uma nova proposição, p q,
denominada disjunção das sentenças p e q .
Exemplo: p: 5 > 0
q: 7 > 3
A proposição composta p q é verdadeira se pelo
menos uma das proposições p ou q é verdadeira;
Se p e q são ambas falsas, então p q é falsa. Tabela – Verdade:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
(
)
Colocando –se o condicional entre duas proposições p e q , obtemos uma nova proposição , p q , que se lê :” se p então q “.
Exemplo: p: 25 > 0
q: 25 é par
Somente quando p é verdadeira e q é falsa ; A proposição composta p q é falsa
Caso contrário, p q é verdadeira .
Tabela – Verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Condicional (
)
Exemplo:Se Antônio receber um aumento salarial
então comprará um vídeo game para seu filho. Tabela – Verdade: p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional (
)
Colocando –se o condicional entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q ,que se lê : ”p se, e somente se, q “.
Exemplo: p: A neve é branca. ; q: Roma é capital da França.
p q : A neve é branca se, e somente se, Roma é capital da França.
A proposição composta p q verdadeira
somente quando p e q são ambas verdadeiras ou são ambas falsas ; Caso contrário p q é falsa.
Tabela – Verdade: p q p q
V V V
V F F
F V F
Exercício:
1)Considere as proposições:
A: O rato entrou no buraco. B: O gato seguiu o rato.
a) A
b) B
c) AB
d) AB
e) AB
f) AB
g) (AB)
h) AB
O rato não entrou no buraco. O gato não seguiu o rato.
O rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato.
O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato.
É Falso,que o rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. O rato não entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato.
Exercício:
2)Considere as proposições:
P: Carolina é alta. Q: Carolina é elegante. Escreva as sentenças abaixo em linguagem simbólica :
a) Carolina é alta e elegante.
b) Carolina é alta, mas não é elegante.
c)É falso, que Carolina é baixa ou elegante.
d) Carolina é alta, ou é baixa e elegante.
PQ
PQ
Exercício :
3)Dar o valor lógico das proposições:
a) 3 > 5 ou 7 é ímpar .
b) ((Porto Alegre é a capital do Estado de São Paulo)).
c) Se 9 é par, então, hoje é terça-feira.
d)9 é um número quadrado perfeito e é um n° irracional.
e) (3x4=12 e 5x3=15)
Verdadeira
Falsa
Verdadeira
Tabela Verdade:
A B C [(A ( C)] (B C) V V V
V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Ordem de precedência de operações:
Exemplo : 1
V V F F V V V V 2 F F F F V V V V 3 V F V F V V V V 4 V F F F V V V V 5 F V F V F V F V 6 F V F F F V F F 7 F F V V F V F F
Obs.: A etapa (7) corresponde ao resultado “final”,
Exercício:
P Q (P Q) ( P Q) V V
V F F V F F
Exercício:
A B C [A (B C)] [ A (C)]
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Logo, A =V , B = V , C = F e D = F
(F) (F)
(F)
(V)
(V) (V) (F)
(F) (V)
(F)
(F)
[
A
(
B
v
D
)] v
A
B
C)]
Exercícios
1)A forma sentencial abaixo é falsa. Determine os valores de A, B, C e D
(F)
(V)
Logo:
A = B = C = D = E = V
(F)
(V) (F)
(V)
[(
B v C)
D ) v ( (B ^ E)
(
C
^ D) )]
A
(F) (F)
(V) (F)
(V) (V) (V)
(V)
(F) (V)
(V) (F)
(V)
Exercícios: 2)A forma sentencial abaixo é falsa. Determine os valores de A, B, C,D e E
Implicação Lógica
e
Tautologia
Uma proposição composta P(p,q,r,...) é uma tautologia
se seu valor lógico é V (Verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples de p,q,r,... .
Exemplo:
A proposição composta
( p p ) é uma tautologia
p p p p
V F V
F V V
A proposição composta
( p p ) é uma tautologia
p p p
V V
Contradição
Uma proposição composta P(p,q,r,...) é uma contradição
se seu valor lógico é F (Falso), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples de p,q,r,... .
Exemplo:
A proposição composta
( p p ) é uma contradição .
A proposição composta
( p q ) ( p q ) é uma contradição
p p p p
V F F
F V F
p q ( p q ) ( p q )
V V F V F V
V F F V F F
F V F V F F
Contradição
Exemplo:A proposição composta ( p q ) ( p q ) é uma contradição .
p q ( p q ) ( p q ) V V F V F V
V F F V F F
F V F V F F
Contingência
Toda proposição composta P(p,q,r,...) que não é nem tautologia nem contradição é chamada contingência ou proposição contingente .
Exemplo:
A proposição composta ( p q ) p é uma contingência .
p q ( p q ) p
V V V V V
V F V V V
F V V F F
Implicação Lógica
Definição:A proposição P implica a proposição Q
se, e somente se , a condicional P Q for uma tautologia . Representação : P Q ( “ P implica Q ” )
Exemplo :
A tabela verdade mostra que ( p q ) ( p q ) é uma tautologia. Portanto, ( p q ) ( p q )
p q ( p q ) ( p q )
V V V V V
V F F V F
F V F V F
Equivalência Lógica
Definição:
A proposição P equivalente a proposição Q
se, e somente se , a bicondicional P Q for uma tautologia . Representação : P Q ( “ P é equivalente a Q ” )
Exemplo :
A tabela verdade mostra que ( pq )( q p ) é uma tautologia. Portanto, ( pq ) ( q p ) .
p q ( p q ) ( q p )
V V V V V
V F F V F
F V V V V
A B A ( A B ) A
V V V V V V V
V F V V F V V
F V F F F V F
F F F F F V F
Absorção
A ( A B ) é Equivalente a A A ( A B ) A
A B A ( A B ) A
V V V V V V V
V F V V V V V
F V F F V V F
F F F F F V F
A B (A ( A )
V V V V F V
V F F V F F
F V V V V V
F F V V V V
A B (A A )
V V V V V F F
V F F V F V V
F V V V V F F
F F V V V F V
Equivalências Lógicas
Eliminação da Condicional
A B (A A ) ( A B)]
V V V V V V F F F
V F F V F F F F V
F V F V F F V F F
F F V V F V V V V
Eliminação da Bicondicional
A B (A A ) ( B A)]
V V V V F V V F V
V F F V F F F V V
F V F V V V F F F
F F V V V V V V V
Exercício :
(5) e (9)
(7)
(10)
(11) e (8)
[ (A B) ( B A ) ] { [ (A B) (B A ) (C A) ] (C C)] }
[ (A B) (B A ) ] { [ (A B) (B A ) (C A) ] (C C)] } T
[ (A B) (B A ) ] [ (A B) (B A ) (C A) ]
[ (A B) (B A ) ]
A B
A forma sentencial abaixo, é logicamente equivalente a:
Alternativas:
Tabela-Verdade
A B C [ (A B) ( B A ) ] { [ (A B) (B A ) (C A) ] (C C)] } A B V V V V V V F V V F V V V V V V V V
V V F V V V F V V F V V V V V V V V
V F V F F V F F F V F V F V F V V F
V F F F F V F F F V F V F V F V V F
F V V V F F V F V F F F F F F V V F F V F V F F V F V F F F F V F V V F
F F V V V V F V V F V V F F F V V V
Exercício:
(9)
(6) e (7)
{ [ (A C) ( B C ) ] [ B ( B C ) ] } [ (A C) B ] }
{ [ (A C) (B C ) ] [ B (B C ) ] } [ A C B ] } { [ C (A B ) ] [ B C ] } (C B ) }
{ C (A B ) ( B C ) } C B ) }
{ C ( B C ) (A B ) } C B ) }
{ C (A B ) } C B ) }
C (A B ) C B )
C C B ) (A B )
C B ) (A B )
(6)
(4)
(7)
(4)
(10)
A forma sentencial abaixo, é logicamente equivalente a:
C A )
Negação de Proposições Compostas
Exemplo :
A : As rosas são amarelas.
B : Os cravos são brancos.
A B : As rosas são amarelas e os cravos brancos.
Negação : (A B)
A B
Negação de Proposições Compostas
Exemplo :Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar
C : Estiver cansado
F : Estiver com fome
E : Consigo estudar E: não consigo estudar
(C v F) E
Negação : [ (C v F) E ]
[(C v F) v E]
(C v F) ^ E
Negação de Proposições Compostas Exercício:
1)Fará sol se, e somente se, não chover.
S: fará sol C: chover
S ↔ C
Negação : (S ↔ C)
[( S C) (C S)]
( S C) (C S)
( S C) ( C S)
S ↔ C
Negação de Proposições Compostas
2) Bruno é aluno de MD ou pesquisador.
B: Bruno é aluno de MD
P: Bruno é pesquisador.
(B P)
Negação: (B P)
( B P)
Negação de Proposições Compostas
3) Todo menino gosta de futebol.
Se é menino então gosta de futebol.
M : é menino
F : gosta de futebol M F
Negação: ( M F )
( M F)
M F Algum menino não gosta de futebol.
Negação de Proposições Compostas
4) Tudo que é bom engorda.
Se é bom então engorda.
B : é bom
E : engorda
B E
Negação: ( B E )
( B E)
Negação de Proposições Compostas
5) Se eu estudar Matemática Discreta e tiver sorte na prova, então serei aprovado.
E : estudar Matemática Discreta
P : tiver sorte na prova
A : serei aprovado
(E P) → A
Negação: [(E P) → A]
[(E P) A] (E P) ( A) Mesmo estudando Matemática Discreta e
Lógica da Argumentação
Argumento:
Sejam P1 , P2 , P3 , ... , Pn e Q proposições
Argumento é toda afirmação formada por uma sequência finita de proposições P1 , P2 , P3 , ..., Pn que acarreta uma proposição final Q.
Forma Simbólica: (P1 P2 P3 ... Pn) Q
Premissas : P1 , P2 , P3 , ... , Pn Conclusão: Q Argumento: Válido ou Falácia
Um argumento P1 , P2 , P3 , ... , Pn Q é válido se, e
somente se, (P1 P2 P3 ... Pn) Q é uma tautologia.
Argumentação
Exemplo :
Sejam as premissas:
i)Se um homem é feliz, ele não é solteiro.
ii)Se um homem não é feliz, ele morre cedo.
Conclusão: Se é homem solteiro, morre cedo.
Forma simbólica da argumentação:
[ (F S) (F C) ] (S C)
F: homem é feliz S: solteiro C: morre cedo
F S
F C
Argumentação
Podemos escrever a forma simbólica da argumentação:
[(F S) (FC)] (SC)
[(F S) (F C) S ] C
V V V
V
F F
F
V V V V
Argumentação
Exercício :1) Sejam as premissas:
i)Se um aluno é feliz, ele faz MD.
ii)Se um aluno não é feliz, ele não é estudioso.
Argumentação
Exercício :2) Sejam as premissas:
i) Se trabalho, não posso estudar.
ii)Trabalho ou serei aprovado em MD.
iii)Trabalhei
Argumentação
Exercício :3) Sejam as premissas:
i) Todo caranguejo é crustáceo.
ii) Se é peixe então não é caranguejo.