Elementos de Análise Real - Bartle

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Elementos

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de

Robert

G.

BARTLE

Professor de Matemática

Uníversity of lllinois

Urbana- Champaign

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TRADU CÃO

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Alfredo A. de Farias

Professor do Instituto de Ciências Exatas

UFMG

EDITORA CAMPUS LTDA.

Rio de Janeiro

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Do origina!

The Elements of Real Analysís, 2~ Edição .

Robert G. Bartle

Copyright

©

1964, 1976,

by

John Wiley & Sons, Inc.

Todos os direitos reservados. Tradução

autorizada

da edição em idioma inglês

pu b \i cada por 1 olm Wiley & Sons, Inc .

©

1983, Editora Campus

Ltda.

Todos os direitos

para a língua portuguesa

reservados

e

protegidos pela

Lei

5988

de

14/12/1973.

Nenhuma

parte deste livro poderá

ser

reproduzída ou transmitida sejam

quais

forem

os

meios empregados:

eletrônicos,

mecânícos, fotográficos, gravação ou

quaisquer

outros .

Capa

Otávio Studart

Diagramação, composição, paginação e revísão

Editora Campus Ltda.

Rua Japeri 35 Rio

Comprído

Tel.:284 8443 PABX

20261 Rio de Janeiro RJ

Brasil

End. Telegráfico: CAMPUSRIO

ISBN 85-7001-113-X

(Edição oliginal: ISBN 0-471-05464-X, John Wiley & Sons, Inc., New York.)

B295e

82-0733

Ficha

Catatográfica

CJP,Brasil. Catalogação-na-fonte

Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.

Bartle, Robert G.,

1927-Elementos de análise real/ Robert G. Bartle ; tradução de Alfredo A. de Farias. -Rio de Janeiro :Campus, 1983.

Tradução de : The Elements of real analysis.

Bibl íografia

ISBN

85-7001-113-X

1. Análises matemáticas 2. Cálculo 3. Funções de variáveis reaís. I. Título

CDD- 515 CDU- 517

,.

-SUMARIO

PREFÁCIO,l3

INTRODUÇÃO. UM ESBOÇO DA TEORIA DOS CONJUNTOS

L A Álgebra dos Conjuntos, 16

Igualdade de conjuntos, interseção, união, produto cartesiano

2.

Funções, 24

Representação tabular, transformações, restríções e extensões,

com-posição, funções injetiva e inversa, funções sobrejetiva e bijetiva,

imagens direta e inversa

3. Conjuntos Finito e Infinito, 33

Conjuntos finitos, numeráveis

e

não-numeráveis, a inumerabilidade

deR

e/

CAPÍTULO 1. OS NúMEROS REAIS

4. As Propriedades Algébricas de

R,38

Propriedades

de

corpo

de

R, irracionalidade

de

-/2

5 _ Propriedades de Ordem de

R,

4 2

Propriedades de ordem, valor absoluto

6. A Propriedade de Comp1eteza de

R.47

Supremos

e

ínfimos, propriedade arquimediana,

a

existência de

.J2

7. Cortes, Intervalos

e

o Conjunto de

Cantor~

54

Propriedade do corte, ceias e intervalos, propriedades das celas

encai-xantes, o

conjunto

de Cantor,

modelo

para

R

CAPÍTULO 2. A TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS CARTESIANOS

8.

Espaços Vetoriais e Cartesianos, 59

Espaços vetoriais, espaços com produto interno, espaços normados, a

desigualdade de Schwarz, o espaço cartesiano RP

9.

Conjuntos Abertos

e Conjuntos Fechados,

68

Conjuntos abertos> conjuntos fechados, vizinhanças

10. Celas Encaixantes e o Teorema de Bo1zano-Weierstrass, 73

O teorema das celas encaixantes, pontos de acumulação, o teorema

de Bolzano-Weíerstrass

11.

O

Teorema de Heine·Borel, 77

Capacidade, o teorema de Heine+Borel, o teorema da interseção de

Cantor, o teorema da cobertura de Lebesgue

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12. Conjuntos Conexos,84

A

conexidade de íntervalos em

R,

conjuntos abertos poiigonalmente

conexos são conexos, conjuntos conexos em

S.

são intervalos

13. O Sistema dos Números Complexos, 88

Definição e propriedades elementares

CAPITULO 3. CONVERGJ!NCIA

14. Introdução às Seqüências, 92

Convergência, unicidade do limíte, exemplos

15.

Subseqüências e Combinações.

99

Subseqüências, combinações algébricas de seqüências 16. Dois Critérios para Convergência, 104

Teorema da convergéncia monotõnica, o teorema de Bolzano-Weiers-trass, seqüências de Cauchy, o critério de Cauchy

17. Seqüências de Funções, 112

Convergência, convergência uniforme,

a

norma uniforrri.e, critério de Cauchy-para convergência uniforme

18. O Limite Superior, 121

Umite superior e limite inferior de uma seqüência em

R,

seqüências

não-limitadas, limites infinitos

19.

Outros Tópicos, 125

Ordem

de

grandeza, somação de

Cesàro,

seqüências duplas,

lirrútes

iterados

CAPÍTULO

4·

FUNÇÕES CONTÍNUAS

20. Propriedades locais das Funções Contínuas, 132

Continuidade em um ponto e em um conjunto, o critério de descon-tinuidade, combinações de funções

21. Funções Lineares, 141

Funções lineares, representação matricial, a norma 22. Propriedades Globais das Funções Contínuas,144

Teorema da continuidade global, preservação da compacidade, pre-servação da conexão, teorema da continuidade da função inversa,

funções contínuas limitadas

23. Continuidade Uniforme e Pontos Fixos, 151

Continuidade uniforme, condição de Lipschitz, teorema do ponto fi.

xo para contrações, teorema de ponto fixo de Brower 24. Seqüências de Funções Contínuas, 156

Permuta de limite e continuidade, aproximação por funções escada e por funções parcialmente lineares, polinômios de Bersntein, teore-mas de aproximação de Bernstein e Weierstrass

25. Limites de Funções, 164

Limites restritos e não-restritos, lirrúte inferior restrito e não-restrito, semícontinuidade

26. Outros Resultados, 171

da aproximação polinomíal> teorema da extensão de

Tietze~

teorema

de Arzelà-Ascoli

CAPÍTULO

5.

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

27. O Teorema do Valor Médío,180

A derivada, teorema do máximo interior, teorema de Rolle, teorema

do valor médio

28. Outras Aplicações do Teorema do Valor Médio,l86

Aplicações, regras de l'Hôpital, permuta de limite e derivada, teore·

ma de

Taylor

29. A Integral de Ríemann·Stieltjes, 196

Somas

e

integral

de

Rlemann-Stieltjes,

critério de integrabilidade de

Cauchy, propriedades da integral, íntegração por partes, modificação

da integral

30.

Existência da Integral, 205

Critério de integrabílídade de Riemann, integrabilídade das funções

contínuas, teoremas do valor médio. teorema da diferenciação, teo·

rema fundamentai do cálculo integral, teorema da mudança de

variá-vel

3 L

Outras

Propriedades da Integral, 221

Pennuta de limite e integral, teorema da convergência ll:m.ítada,

teo-rema da convergência monotônica, forma integral do resto, integrais

que dependem de um parâmetro, fórmula de Leibniz, teorema da

permuta, teorema da representação de Riesz

·

32. Integrais Impróprias e Infinitas. 236

Integrais impróprias de funções não-limitadas, integrais infinitas,

cri-tério de

Cauchy,

critério da comparação,

critério

limite da

compara-ção, critério

de Dirichlet, convergência

absoluta

33. Convergência Uniforme e Integrais Infinitas, 245

Critério

de Cauchy para a

convergência uniforme, o

teste-M

de

Weierstrass,

o

teste

de

Dirichlet~

integrais infinitas que

dependem de

um par.âmetro, teorema da convergência dominada, integrais infinitas ·

iteradas

CAPÍTULO 6. SÉRIES INFlNITAS

34. Convergência de Séries Infinitas,

262

Convergência de séries, critério de Cauchy, convergência absoluta,

teorema

de

reagru pamen to

35. Testes de Convergência Absoluta, 268

.

Teste

da

comparação, teste

limite

da comparação, teste da raiz, teste

da razão, teste de

Raabe, teste da in tegra1

36. Outros Resultados sobre Séries,278

Lema de Abel, teste de DirichJet, teste de Abel, teste das séries

alter-nadas, séries duplas, multiplicação de

Cauchy

37.

Séries de Funções, 286

Convergência absoluta e

uníforme,

critério de Cauchy, o

teste-M

de

potên-c ias, teorema de Caupotên-chy-Hadamard, teorema da diferenpotên-ciação, teore-ma da unicidade, teoreteore-ma da multiplicação, teoreteore-ma de Bemstein, teorema de Abel, teorema da Tauber . '

38. Séries de Fourier, 298

Desigualdade de Bessel, lema de Riemann-Lebesgue, teorema da con-vergência pontual, teorema da concon-vergência uniforme, teorema da convergência em norma, igualdade de Parseval, teorema de Fejér,

teorema da aproximação de Weierstrass CAPÍTULO 7. DIFERENCIAÇÃO EM RP

39. A derivada em RP, 314 .

Derivadas parciais, derivadas direcionais, a derivada de f: RP ->-

Rq,

o jacobíano

40. A Regra da Cadeia e os Teoremas de Valor Médio, 324

Regra da cadeia, teorema do valor médio, permuta da ordem de dife-renciação, derivada de ordem superior, teorema de Taylor

41. Teoremas de Aplicação e Funções fmplícitas, 337 Classe

C

1

, lema da aproximação, teorema da aplicação injetiva, teo·

rema da aplicação sobrejetiva, teorema da aplicação aberta, teorema da inversão, teorema da função implícita, teorema da parametrização, teorema do posto

42. Problemas de Extremo, 355

Extremos relativos, teste da derivada segunda, problemas de extre-mos com vínculos, teorema de Lagrange, vínculos de desigualdade CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO EM

.RP

43. A Integral em RP, 369

Conteúdo zero, somas de Riemann e a integral,

teste

de Cauchy,

pro-priedades ela integral, te ore ma da in tegrabílidade

44. Conteúdo e a Integral,377

Conjuntos com conteúdo, caracterização da função conteúdo, outras propriedades da integral, teorema do valor médio, integrais iteradas 45. Transformações de

Conjuntos

e Integrais,390

Imagens de conjuntos com conteúdo por aplicações C1

,

transforma-ções

por aplicações lineares, transformações por

aplicações não· lineares, teorema do jacobiano, teorema da mudança de variáveis,

coordenadas polares e esféricas, forma forte do teorema da mudança de variáveis

REFERÊNCIAS, 407

SUGESTÓES PARA EXERCÍClOS SELECIONADOS,409 ÍNDICE ANALfTICO, 423

!

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PREFÁCIO

Até algum tempo atrás, exigia-se do estudante de matemática a técnica na resolução

de problemas e no manejo do cálculo, sem, entretanto, se dar ênfase a "sutilezas teóricas"

tais como convergência uniforme e continuidades uniforme. Pressupunha-se a aplicação do

teorema da função hnplícita sem o conhecimento de suas hipóteses básicas. Essa situação

se

modificou~

hoje considera-se indispensável que todo estudante de matemática - seja ele

um futuro matemático ou um técnico em computação, ou físico, ou engenheíro, ou eco·

nomista - assimile o aspecto teórico fundamental do assunto, de modo a compreender

não só o alcance, como as limitações da teoria geral.

Este Hvro. é o resultado de minha experiência no ensino de análise real na

Universi-dade de Illinois desde 1955. Minhas turmas variaram de calouros excepcionalmente bem

preparados a estudantes de pós-graduação. A maioría deles não era constituída de bacha·

réis em matemática, mas havia estudado pelo menos três semestres de cálculo, inclusive

derivadas parciais, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e séries infinitas. A fim de pre·

parar

o

terreno para

o

presente curso, em que

se

demonstram

teoremas de

caráter analíti·

co, seria conveniente que todo estudante tivesse cursado um semestre de álgebra linear ou

álgebra moderna. Como; entretanto, isto nem sempre ocorre, resolvi preceder o estudo da

análise por algumas demonstrações

algébricas.

Nesta edição, as propriedades algébricas e de ordem do sistema de

n~meros

reais são

introduzjdas de maneira mais simples do que na primeira edição. Introduzem-se, além

dis-so, na seção 8, as definições de espaço vetorial e espaço normado -de aplicação freqüen·

te na matemática moderna. Por outro lado, diversas seções foram reduzidas, de forma não

só a

tornar

o

livro mais acessível, como para

permitir maior

flexibilidade

em sua

utilização

como livro-texto. Muitos exercícios e projetos novos foram íncluídos, muito embora não

nos tenhamos afastado do nível de sofisticação da primeira edição. Na primeíra seção fo·

raro feitas apenas modificações de pequena monta. Quanto à diferenciação e à integração

em

Jl.P;

entretanto,

a

experíência mostrou

que seu

estudo ficou demasiadamente

abrevia-do na primeira edição. Assim é que, nesta edição, resolvi condensar a teoria das funções

de uma variável em um único capítulo, desenvolvendo consideravelmente o tratamento

das funções de várias variáveis.

Nas seções 1 a 3 introduzimos a terminologia e a notação da teoria dos conjuntos

empregadas subseqüentemente, bem como alguns conceitos básicos.

É

preciso notar, en·

tretanto, que essas seções

não

constituem uma apresentação sistemática da teoria dos

con-juntos (apresentação, de resto, desnecessária nesta altura dos acontecimentos). Essas

se-ções devem ser estudadas rapidamente, para consulta posterior, quando necessário. O tex·

to começa efetivamente na seção 4; a seção 6 introduz a "análise''.

É

possível estudar em

um semestre as seções 4 a 12, 14 a 17

>

20 a 24.1 e a maior parte de 27 a 31. O professor

poderá introduzir alguns outros tópicos (tais como séries) em troca da redução (ou

mes-13

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mo omissão) de resultados que não são essenciais para o estudo ulterior. Como o livro, em sua totalidade, contém maís tópicos do que os que poderiam ser normalmente estudados em um ano, o professor provavelmente limítará a discussão de algumas seções. É, entre-tanto, conveniente que o estudante disponha desse material adicional para referência futu-ra. A maioria dos tópicos abordados em cursos de "cálculo avançado" é tratada aqui; a principal exceção são as integrais curvilínea.'> e de superfícies e o teorema de Stokes; este assunto foi excluído porque um estudo intuitivo pertence mais propriamente aos cursos de cálculo, ao passo que o estudo rigoroso exigíria discussão bastante extensa para atender

a sua finalidade.

O díagrama abaixo indica a dependência lógica das diversas seções do livro. Uma

li-nha cheia indica dependência direta da seção precedente; uma lili-nha tracejada indica de-pendência mais fraca. Todas as definíções, teoremas, corolários, lemas são nUlnerados de acordo com o número da seção. Sempre que apropriado, associei nomes aos teoremas mais írnportantes. As demonstrações

são

iníciadas pela palavra "DEMONSTRAÇÃO" e

terminam com a expressão «Q.

E.

D!' (quod erat demonstrandum).

Não se pode subestimar a grande importância dos

exercícíos

e projetos; só mediante sér:io e concentrado esforço na sua resolução é que o estudante poderá domínar o assunto. Os projetos desenvolvem um tópico específico em uma seqüência de exercícios e consti-tuem característica partícularmente valiosa do livro; esperamos que eles contribuam para íncutír no estudante o sentido de prazer na realização de pesquisas matemáticas .

39, 4(), 41 14 Seções 4 a 10 14. 15, 16 1 l

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34, 35. 36 1 - - - , I I I I I l I

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Na confecção deste

livro~

fui influenciado não só pela minha experiência didática)

como por várias outras fontes. Foram

extremamente

benéficas

as

discussões

com

colegas e

estudantes~

e desde o

aparecimento

da primeira edíção mantive extensa

correspondência

com

estudantes

e

professores

de_

outras universidades·

e

instituições. Agradeço

a

todos

quantos ofereceram comentários e sugestões. Seu 'interesse em melhorar o livro encorajou·

me a

empreender a revisão. Os professores K. W.

Anderson,

W. G. Bade e A.

L.

Peressíni

leram o manuscrito da

primeira ediçao

e

fiz.eram

interessantes sugestões. Agradeço

parti-cularmente

ao

meu colega

Prof. B. C. Bemdt por seus extensos e incisivos comentários e

sugestões. Sou grato

ainda a

Carolyn

J.

Bloemker por sua paciência e zelo na datilografia

do

manuscrito revisado.

Finalmente~

fica aqui minha apreciação pela assístência e

coope-ração do pessoal da

Wiley.

Robert G. Bartle

' .

INTRODUÇAO

UM ESBOÇO DA TEORIA

DOS CONJUNTOS

A idéia de conjunto é básica em toda a matemática, e todos os objetos e constru-ções matemáticas recaem, em última análise, na teoria dos conjuntos. Diante da impor· tâncía fundamental dessa teoria, apresentaremos

a

seguir um resumo das noções teóricas correspondentes, que serão usadas com freqüênCia no texto. Mas o objetivo deste livro é apresentar os elementos (e não os fundamentos) da análise real, o que nos leva a adotar

um ponto de vista assaz pragmático. Contentar-nos-emas, poís, com uma discussão infor-mal e encararemos a palavra "conjunto" corno entendida por si mesma e sinônima de "classe", «coleção", "agregado". Não pretendemos definir tais termos, nem tampouco apresentar uma lista de axiomas da teoria dos conjuntos. O leitor dotado de maior grau de sofisticação, que não se satisfizer com nosso desenvolvimento informal, deverá consultar as obras constantes da bibliografia no fim do texto. Ali ele verá como o assunto pode ser colocado em bases axiomáticas e constatará que essa axiomatização constitui importante instrumento para os fundamentos da matemática. Esses detalhes, entretanto, não nos preocuparão, pois os consideramos fora do âmbito do presente livro.

Recomendamos ao leitor uma leitura rápida desta introdução, a fim de assimilar a notação que utilizaremos. Ao contrário dos outros capítulos, que devem ser estudados, a

presente introdução deve ser considerada como matéria básica. O leitor não deve despen-der muito tempo nela.

SEÇÃO 1 A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

Se

A

denota um conjunto ex é um elemento, costuma·se escrever

xEA

corno abreviação da afirmação de que

x

é um elemento de A, ou

x

é um membro do con·

junto A, ou que o conjunto A contém o elemento

x,

ou que

x

pertence a A. Não nos de te•·

remos mais nesta propriedade de "ser um elemento de um conjunto". Para a maior parte dos casos é possível utilizar o significado empírico da expressão "membro", sem necessi-dade de recorrer à caracterização axiomática.

Se A é um corüunto ex é um elemento que não pertence a A, escrevemos

xEl:A.

De acordo com nossa concepção intuitiva de conjunto, exigiremos que se verifique apenas uma das duas possibilidades, para um elemento

:x:

e um conjunto A:

X EA, xft:A. 16

í

' " " ' '· '

'

!I

I

' •. " ... ; ~·:

Se

A

e

B

são dois conjuntos ex é um elemento, então

há,

em princípio, quatro

pos-sibílídades (c

f.

Figura L 1):

(1) XEA (3)

xe

A

e

e

xeB;

xeB;

'

(2)

X.f:

A

(4)

X~

A

e

X~

B·

)

e

xe

B.

Se

a segunda

hípótese

não pode

ocorrer

(isto

é,

se todo elemento

de

A

é

também

elemen·

to

de

B),

então dizemos que

A está contido em B,

ou

que B contém A, ou que

!i

é

sub-conjunto

de B,

e

escrevemos

ou

B

2A.

Se

A S: B

e existe pelo menos um elemento em

B

que não está em

A,

dizemos que

A

é

subconjunto próprio de B.

Note-se

que a

afirmação

A

ç:

B

não

excluí

automaticamente

a

possibilidade

de A

exaurir

B.

Quando

tal ocorre, os conjuntos

A

e

B

se dizem

iguais,

no sentido que

passa-mos a definir.

1.1 Definição. Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos. Se os

con-juntos A e B são iguais, escrevemos A

=

B.

Figura 1.1

(4)

Assim, para provar que os conjuntos A e

B

são iguais, devemos mostrar que as hipó·

teses

(2)

e

(3)

não podem ocorrer, ou, equivalentemente, que

A

Ç

B

e

B ÇA.

A palavra "propriedade" não

é

fácil de se defin1r com prect$àO. Todavia, não

hesita-remos em usá-la na acepção usual (informal). Se

P

denota uma propriedade válida para

uma coleção de elementos, então escrevemos

{x: P(x)}

pf~.ra

denotar o

conjunto de todos

os elementos

x

para

os quais é válida aquela

proprieda-de~

lê-se: "O conjunto de todos os

x

tais que

P(x)".

Em geral

é

conveniente especificar

que elementos estamos estudando quanto

à

propriedade

P.

Assim é que escreveremos

{x

E

S: P(x)}

para designar o subconjunto de S para os quaisP é válída.

Exemplo. (a) Se N

=

{1, 2, 3, ...

}denota

o conjunto

dos

números naturais, então o

conjunto

{x

E

N:

x

2 -

3x

+

2 =O}

consiste dos números naturais que verificam a equação dada. Mas as únicas

sótuções

da

equação quadrática

x

2 -

3x

+

2 =O são

x

=

1 e

x

=

2. Logo, em lugar de escrever a

ex.-17

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I

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I

pressão acima

Gá

que temos informação detalhada quanto aos elementos do conjunto em

estudo), denotaremos tal conjunto por

{1, 2},

relacionando, assim, ou listando, seus

ele-mentos ..

(b) Por vezes é possível utilízar uma fórmula para abrevíar a descrição de um con-junto.

O

conjunto de todos os naturais pares, por exemplo, pode ser escrito { 2x : x E N},

em lugar de{

y

E N :

y

:::::

2x, x E N }.

(c) O conjunto { x E

N:

6

<

x

<

9} pode representar-se explicitamente por { 7, 8 },

exibindo-se, assim, os elementos do conjunto. Naturalmente, há outras maneiras de des-crever o mesmo conjunto; por exemplo:

{xEN:40<x2_<80},

{x E N: x2 -15x +56= 0},

{7 +X :X

=

0

OU X ""'

1}-(d) Além do conjunto dos números naturais {que consiste dos elementos denotados por 1, 2, 3, ... ), que será sistematicamente denotado por N, há alguns outros conjuntos

para os quais introduziremos uma notação-padrao. O conjunto dos inteiros é

Z ={O, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... }.

O conjunto dos números racionais é

Q

= {m/n : m. n E

Z

e

n;:é

O}.

Consideraremos os conjuntos

N,

Z e Q como entendidos por si mesmos, e não nos

detere-mos no estudo de suas propriedades.

De importância fundamental para nosso estudo ulterior é o conjunto

R

de todos os

números reais, que será estudado nas seções 4 -6. Subconjunto especial de

R

é o intervalo

unitário

J::::::{xeR:O<xs; 1}.

Finalmente, denotaremos por C o conjunto dos números complexos. Na seção 13 dare·

mos uma definição mais detalhada de C, bem como uma rápida descrição de suas

proprie-dades.

OPERAÇÕES COM CONJUNfOS

Introduziremos agora alguns métodos de construção de novos conjuntos, a partir de conjuntos dados.

1.2 Definição. Se A e B são conjuntos, sua interseção é o conjunto de todos os ele-mentos que pertencem a A e a B. Denotaremos essa interseção pelo símbolo A 11 B, que

se lê "A interseção B". (Cf. Figura 1.2.)

1.3 Definição. Se

A

e

B

são conjuntos, sua união é o conjunto de todos os elemen-tos que pertencem a A,

ou

a B, ou a ambos. Denotaremos a união pelo símbolo A

u

B,

que se lê

"A

união

B''.

(Cf. Figura 1.2.)

18

Poderíamos também definir A

n

B e A U B por

A

n

B = {x:

x

E A e

x

E BL AUB={x:xEA ou xEB}. 1 ' 1 I

I

I

' i \

l

'

i

Quanto à última,

é

importante notar que a palavra '"ou" é

ali

usada no sentido inClusivo,

habitual na matemática e na lógica. Na terminologia legal, este sentido inclusivo

é

às vezes

índicado por "e/ou".

Admitimos tacitamelilte que a interseção e a uníão dé .. conjuntos são também conjuntos. Entre outras coísas, isto exige a existência de um conjunto desprovido de elementos (pois se A e 8 não têm elementos em comum, sua interseção não possui elementos).

1.4 Definição. O

.conjunto desprovido de elementos

é

chamado conjunto

vazio;

de·

nota-se pelo símbolo

(/J.

Se A

e

B são conjuntos que não têm qualquer elemento em co·

mum (isto

é~

se A

n

B

=~)~dizemos

que A e B são disjuntos.

A U B IIJIDIDlil

Figura 1.2 lntexseção e união de dois conjuntos.

Os

resultados

abaixo

ilustram algumas propriedades algébricas das operações com

conjuntos que

acabamos

de definir. Como as demonstrações dessas asserções

são

rotinei-ras,

deixaremos

a

maior

parte

delascomo exercício.

1.5 Teorema.

Sejam A,

B,

C conjuntos; então

(a)

A

nA

=

A,

A U

A

=

A;

(b)

A

n

B

=

B

nA, A u

B

=

B

U A;

(c)

(A

n

B)

n

C=

A

n

(B

n

C), (A U B) U C=

A

U (B U C);

(d)

A

n

(B

U

C)= (A

n

B)

U(A

n

C))

A

U (B

n

C)= (A U B)

n

(A U C).

Essas igualdades costumam designar-se,

respectivamente,

como

propriedades

idem-potente, comutativa, associtltiva

e

distributiva

das operações de interseção e união de

conjuntos.

Como ílustração, demonstraremos a primeira equação de (d). Sejax um elemento de A n (Bu C), então

x

E A e

x

E B U C. Isto sígnifica que

x

E A, e ou

x

E B ou

x

E C. Logo, temos ou (i)

x

E A e

X E 8, ou (Ü)

x

E A ex E C. Portanto, ou

x

E A n B ou

x

E.A fi C, de modo que

x

E (A 11 8} U (A

n

().Isto mostra que A

n

(B u C) é subconjunto de (A n 8) u {A

n

C).

Reciprocamente, seja y elemento de (A

n

8)

u

(A

n

C). ~ntão, ou (iii) y E A

n

B, ou {i v)

y EA í'l C. Segue-se que y EA, e ou y E 8 ou y E C Portanto, y EA e y EB U C de modo que

y E A () (B

u

C). Logo, (A

n

8)

u

(A

n

C) é subconjunto de A () (8

u

C). Em vista da Definição Ll, concluímos que os conjuntos A () (B

u

C) e (A n B)

u

(A n C) são iguais.

Como indicação de um método alternativo, notemos que há, em princípio, um total de 8(=2~) possibilidades para um elemento x em relação a três conjuntos A, B, C (cf. Figura 1.3):

. ;. I t : ' ' (1) X E A,;( E B, X E C; (2) x E A, X E B,

us

C; (3) X E A, X >É B, X E C; (4) xeA, xeB, :xéC; {5) xeAxEB,xEC;

(6)

xí/1A,xeB,xí/1C; (7) xé A, xí/1 B, x e C;

(8)

xe

4-,

xí/1 B,

:xe

C

A demonstração consiste em mostrar que ambos os membros da prímeira equação de (d) con-têm aqueles, e somente aqueles, elementos x que pertencem aos casos (1), (2) ou (3).

Em vista das relações no Teorema 1.5( c), costumamos orni tir os parênteses, escre~

vendo simplesmente

AnBnc,

AUBUC.

B

possível mostrar que, se

{A

1 , A 2 , ••• , An} é uma coleção de conjuntos, então existe

um único conjunto A que consiste de todos os elementos que pertencem a ao menos um

dos conjuntos Ahj

=

1, 2, ... , n; e existe um único conjunto B que consiste de todos os

elementos que pertencem

a

todos os conjuntos Ai>

i=

1, 2,. , . , n. Omitindo os parênte· ses, escrevemos

B = A 1

n

A2

n · · ·

(l A ...

Figura 1.3

Às vezes, para economizar espaço, imitamos a notação de somatório utilizada no cálculo, utilizando uma notação mais condensada, corno

" A=

U

Aí= U{Ai :j = 1, 2, ... ,

_n},

j ;..;- 1 "

B

;::;=

n

Ai

=

n {

A1 : j = 1, 2, ... , n}. i"' I

Anal~amente, se para cada j em um conjunto

1

existe um conjunto

Ai;

então

u{A

i :j E

J

denota o conjunto de todos os elementos que pertencem a ao menos um dos

conjuntos i· Da·mesma forma

n{Ai

:j

EJ}

denota

o

conjunto de todos os elementos que

pertencem a todos

os

conjuntos

Ai

para

j EJ.

Introduzimos agora outro processo de construção de um novo conjunto a partir de dois conjUntos dados.

1.6 Definição. Se A e B são conjuntos, então o complemento deB em relação a A é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Denotamos tal conjunto por A\ B (leia-se "A menos B"); alguns autores usam também a notação A - B, ou A ,... B.

(CL Fígura 1.4.)

20

'

'

•

'

'

Com a notação introduzida acima, temos

A\ B

=

{x

E

A:

x

e

B}.

Por vezes

o conjunto

A

já

está

subentendido, não havendo necessidade de

mencioná-lo

explicitamente. Em tais

casos, referimo-nos simplesmente

ao complemento de B e

denota-mos

A\ B

por

í!!?(B).

Voltando

à Figura Ll, notamos que os elementos x que verificam

(1)

pertencem a

A

n

B;

os

que verificam

(2) pertencem a

A\ B;

e os que verificam (3) pertencem a

B\ A.

Mostremos que

A

é a

união dos conjuntos

A

n

B

e

A\ B.

Figura 1.4 O complemento relativo.

A'\.B

1.7

Teorema.

Os conjuntos A

nB e A \B são disjuntos e

A

=

(A

n

B)

u

(A \ B).

Demonstração.

Suponhamos que X

EA

ns

e X

EA \

B.

A

última asserção

nos

diz

que x

EA

ex

f::$)

o que

contradiz

a relação x

E

A

n

B.

Logo, os conjuntos são disjuntos.

Se

x

EA, então ou

x

EB ou

x

1/:.B.

No primeiro caso,

x

EA ex EB

de

modo que

X

EA

ns.

Na

última

situaçao,

X

EA e

X

é.B

de modo que

X E

A \B.

Isto mostra

que

A

é

subconjunto de

(A

n

B)

U

(A \B).

Reciprocamente,

se

y

E

(A

n

B) U

(A\ B),

então

ou

y E

A

n

B,

ou

y E

A\ B.

Em

qualquer

caso,

temos

que

y E

A,

o

que

mostra

que

(A

n

B) U

(A \B)

é

subconjunto

de

A.

.

Q.E.D.

Enunciaremos

agora as

leis de De Morgan 1 relativas

a

três conjuntos; nos

exercícios

proporemos uma

formulação

mais geraL

1.8 Teorema.

Sejam A. B, C

conjuntos

quaisquer;

então

A

\(BUC)=(A \B)n(A \C),

A

\(BnC)=(A \B)U(A \C) .

.Demonstração.

Demonstraremos

a primeira relação, deixando a

segunda

corno exer·

cício. Para estabelecer a igualdade

dos conjuntos, mostraremos

que todo

elemento

de

A\ (B

U

C..)

está

tanto em

(A

\

B)

como

em

(A\ C)

e

reciprocamente.

Se x

está

em

A\ (B

U

C),

então

x

está

em

A

mas x

não

está em

B

U

C.

Logo, x está

em

A,

mas não está nem em

B

nem em

C.

(Por quê?) Portanto,

x

está em

A

mas não está

em

B,

ex

está em

A

mas

não está em

C.

Isto

é,

x

E

A\ B

ex

EA

\C,

o que mostra que

x

E

(A

\

B)

n

(A

\

C).

1 _{Augustus De Morgan (l806-1873) lecionou no University College, Londres. Foi matemático e}

lógico, e contribuiu para preparar o camil1ho da lógica matemática moderna.

21 ( \ \

'

< { \

(

i _' { ' l i \. ( ' ( \,

l

(

(

f

_' . ' ( ' \

(

í \ '· / \

(

·'

(

( ·., { '· ' . I (

.

\ '

,•'

..

' \

I .

L l ' I . . I /

l

I l L

J

.I: ! ! ' I l

Reciprocamente, se

x

E

(A \

B)

n

(A

\

C), então

x

E (A \ B)

ex

E (A\ C). Assim,

x

EA

ex

f!:..B

ex

<t:.C.

Segue-se que

x EA ex

Ê(B U C); de modo que t

x

EA \ (B U C).

Corno os conjuntos (A\ B)

n

(A\ C) e A\ (B

u

C) contêm os mesmos elementos,

são iguais, pela Definição 1.1. Q.E.D.

PRODUTO

CARTESIANO

Definiremos agora o produto cartesiano2 de dois conjuntos.

1.9 Definição. Se A e B são dois conjuntos não-vazios, ent~o o prqduto cartesiano

A

x

B

de

A

e

B

é o conjunto de todos os pares ordenados (a,

b

),

com a EA e

b

EB. (Cf .

Figura 1.5.) B b r---

1

(a, b) l I I

:

AxB

Figura 1.5 O produto cartesiano.

A

(A definíçâo que acabamos de dar é um tanto informal, já que não definimos prevíamente o que

é um "para ordenado". Sem e.ntrar em maiores detalhes, diremos '}Penas que o par ordenado (a, b)

- poderia ser definido como o conjunto cujos únicos elementos são{a}ta, b}. Pode-se então mostrar que os pares ordenados (a, b) e (a', b') são iguais sé e somente se a =a' e b

=

b'. Esta é a propriedade fundamental dos pares ordenados.)

Assim, se A ={1, 2,

3le

B

={4,

s},

então o conjunto A xB é o conjunto cujos

ele-mentos são os pares ordenados

(1' 4),

(1'

5), (2, 4 ), (2, 5), (3, 4), (3, 5).

Podemos visualizar o conjunto A x B como o conjunto de seis pontos do plano com as co-ordenadas que acabamos de relacionar.

. Costuma-se desenhar um díagrama (tal como o da Figura 1 .5) para indicar o produ-to cartesiano de dois conjunprodu-tos A, B. Não se deve, entretanto, perder de vista que um tal

diagrama pode ser algo sim:Rlificador. Por exemplo, se A

= {

x

E

R

:

1

<

x

<

2} e B ={x E

R:

O

<

x

<

1 ou 2

<

x

<

3}, então, em lugar de um retângulo, devemos desenhar uma

fi.

gura corno a 1.6.

Renê Descartes (1596-1650), criador da geometria analítica, foi um nobre francês, soldado, matemático, e um dos maiores filósofos de todos os tempos. ·

22

·-,_

3 2

AxB

1

Figura 1.6 O produto cartesiano.

1 2

EXERCÍCIOS

LA. Faça um diagrama para representar cada um dos conjuntos mencionados no Teorema 1.5. l.B. Demonstre a parte (c)'do Teorema 1.5.

l.C. Demonstre a segunda parte de (d) do Teorema 1.5.

LD. ProvequeA C.BseesomenteseA nB=A.

l.E. Mostre que o conjunto D de todos os elementos que pertencem a A, ou a8, mas não a

ambos, é dado por

D={A \B)U(B\A).

Este conjunto D costuma chamar-se díferença simétrica de A e B. Represente-o por um diagrama.

l.F. Mostre que a diferença simétrica, definida no exercícío precedente, ta:mbém pode ser da~

da por D =(A

u

8) \ (A

n

8).

LG. Se B CA, mostre que B =-A\ (A\ 8).

l.H. Se A e 8 são conjuntos quaisquer, mostre que A n B =A \(A\ 8).

LI. Se{A _{1 ,} A_{1 , ••• ,} A11

}é

uma coleção de conjuntos, e se E é um conjunto arbitrário,

mos~

tre que

"

..

..

"

E

n

U

A1 =

U

(E

n

Aí),

E

U

U

A₁

=

U

(E U A_1}.

j ~I j - ! I~~ ~-~

LJ.

se{

A _{1 ,} A1 , ••• , An} é uma coleção de conjuntos, e se E é um conjunto arbitrário,

mos~

tre que

~ ' _{" "}

E n

n

A1 =

n

(E nA_1), EU

n

Aí=

n

(E U A1).

j ... ' ; - 1 j-l i .. i

l.K. Sejam

E

um conjunto e

tA

₁ ,A_{1 , ••• )}

An}

uma coleção de conjuntos. Estabeleça as leis de De Morgan: " ft " "

E'

n

AI =

u

(E\

AI), i-t i .. 1 E \

U

A1

=

n

(E\ Ai). 1~ I 1~ I

Note~e que, se denotamos E\Ai por1tf'{Aj), estas relações tomam a forma

'l :r ) I 'i . I t i ! ' : 'I ! I, • I' l '

L L. Seja J um conjunto arbitrário e, para cada j E J, seja A i contido em X. Mostre que

'C(n{A/ :j eJ}) = U{<€(A,):j EJ},

~<U{Ai :j eJ}) = nf~<AI):j e J}. 1. M. Se B ₁ e Bz são subconjuntos de B e se B

=

B ₁ u B~ , então

SEÇÃO 2 FUNÇÕES

Passaremos agora à discussão da noção fundamental de função, ou aplicação. Vere· mos que uma função é um tipo·especial de conjunto, embora haja outros enfoques mais sugestivos. Todas as seções ulteriores do livro tratarão de vários tipos de função que, en· tretanto, serão de natureza menos abstrata do que os tipos estudados nesta introdução.

Para o matemático de há um século passado, a palavra "função" significava em geral uma fónnula definida, como

f(x) =x2

+

3x- 5,

que associava

a

cada número real x outro número real f(x). Já era conhecido, naturalmen~

te, o fato que certas fórmulas, como

g(x) =

.Jx-

5,

não originavam números reais para todos os valores reais de

x,

mais isto não era considera·

do razão suficiente para exigir uma extensão do conceito de função. Provavehnente pode ter surgido controvérsia entre os matemáticos sobre se o valor absoluto

h(x)=lxl

de um número real era uma "função honesta" ou não; pois, afmal, a definição de

!xl

é

da-da "em partes" por

Jx

I

= {

x,

-x,

se

x

>O,

se

x

<0.

Com o desenvolvimento da matemática, tomou~se cada vez mais claro que a simples

exigência de que uma função fosse uma fórmula era extremamente restritiva, sendo neces· sária uma definição mais geral. Tomou-se também evidente a necessidade de fazer uma distinção nítida entre a função em si e os valores da função. Não será culpa do leitor se, a esta altura, "ele se encontrar na posição do matemático de um século atrás. Assim é que nos propomos atualizá·lo, mas o faremos em duas etapas. Nossa primeira defmiç:ão revisa-da de função seria:

Uma função

f

de um conjunto

A

em um conjunto

B

é uma regra de correspondência

que a cada

x

de certo subconjunto D de A assocía um único e bem determinado elemento

f(x) de B.

Sem dúvida, as fónnulas explícitas do tipo mencionado acima estão incluídas nesta tentativa de definição. A definição proposta permite que uma função não seja definida para certos elementos de A, bem como da margem à consideração de funções para as

24

quais os conjuntos

A

e

B

não são necessariamente constituídos de números reais {poden-do mesmo ser mesas e cadeiras- ou gatos e cachorros).

Todavia, por

mais sugestiva

que

a

definição proposta possa

ser> ela

tem um deteito sério: não é clara. Permanece a dificuldade de interpretação da frase "regra de correspon-dência". Sem dúvida o leitor pode cogitar de outras expressões que o satisfaçam mehor do que aquela, mas não é muito provável que consíga dissipar inteiramente a dúvida. A so· lução mais satisfatória se afigura definir "função" inteiramente em tennos de conjuntos e

das

noções

introduzidas na

seção precedente. Apesar da desvantagem de tal definição ser mais artificial e perder algo do conteúdo intuitivo da descrição anterior, ela ganha em cla-reza.

A idéia-chave

é

cogitar

do

gráfico da função: isto

é,

uma coleção de pares ordena-dos. Notemos, de início, que uma coleção arbitrária de pares ordenados não pode ser o gráfico de uma função, pois, uma vez escolhido o primeiro membro do par, o segundo

es-tá

univocamente deterrninado.

2.1 Definição. Sejam

A

e

B

conjuntos (não necessariamente distintos). Uma função de

A

para

B

é

um conjunto

f

de pares ordenados em

A

x

B

com a pmpríedade de que, se (a,

b)

e

(a.

b')

são elementos de

f,

então

b

=

b'.

O

conjunto de todos os elementos de

A

que podem ocorrer como primeiros membros de el~inentos em/

é

chamado domínio de

f

e será denotado por

D(j).

O conjunto de todos os elementos de

B

que podem ocorrer co-mo segundos membros dos elementos de

f

é

chamado

contradomínio

de

f

(ou

conjwtto

de valores de

f)

e será denotado por

R

(f).

Se

D

(f)

=A,

costuma-se dizer que /leva

A

em

B,

ou que

f

é uma aplicação de

A

em

B,

e se escreve f:

A

_,.

B.

Se

(a,

b) é

elemento de uma função f> costuma-se escrever

b

=

f(a)

ou

f:ar--:>b

r---~· R (f) f (a., b)

~

I

1_1:

=-=---=r-.::.::

=

-=-=- ---:

:

B

I

I

I

I

Figura 2.1 Uma ftwçio como gráfic<).

em lugar de

(a,

b) >.:::.f. Designaremos freqüentemente o elemento

b

como o valor de/no ponto

a,

ou como a imagem de

a

pela

f

25

.-\ {' i ,.

,-.

' '-( ' " I, _' < -' ( i ' f I ' ! ' ( \ '

(

(

'

( ' ' ' ' ( ./ '-J ( I _' I

\

(

(

'( t 'l

(

I ? ' ' \ I

'

I t ( -, ' '

f

(

I _\ • \. -; \

(

j f _' ( \ ' ; ( _/ ' ( \

REPRESENTAÇÃO TABULAR

Uma forma de encarar uma função é como um gráfico. Outro enfoque importante e largamente usado é encará-la como uma tabela. Consideremos a Tabela 2.1, que pode ser encontrada em qualquer jornal esportivo.

O domínio da função

f

de lances, ou jogadas, consiste dos nove jogadores

D(f) = {Anderson, Bade, Bateman, Hochschlld, Kakutani, Kovalevsky, Osbom,

Peressini, Rosenberg},

enquanto que o contradomínio da função consiste dos seis números

R

(f)

={o,

1, 2, 4,

s,

s}.

Os elementos da função são os pares ordenados

(Anderson, 2), (Base, 0), (Bateman, 5)

(Hochschild, 1 ), (Kakutani, 4 ), (Kovalevsky, 8) (Osbom, O), (Peressiní, 2), (Rosenberg, 4).

Em tais representações tabulares, costumamos escrever apenas o domínio da função na coluna da esquerda (pois não há necessidade de mencionar os membros do time que não jogaram). Podemos então dizer que o valor da nossa função

f

em Anderson é 2,

escreven-do f(Anderson)

=

2, ou Anderson H- 2, etc.

Sem dúvida, estamos todos familiarizados com a utílização de tais tabelas para obter

informação. São importantes exemplos de funções, cuja natureza dificilmente se expressa-ria em termos de uma fórmula.

Tabela 2.1 Jogador lAnces Anderson 2 Bade

o

Bateman 5 Hochschild 1 Kakutani 4 Kovalevsky 8 Osborn

o

Peressiní 2 Rosenberg 4 f

Figura 2.2 Uma função como transformação.

26

I

j

t

TRANSFOIL.\1AÇÕES E

MÁQUINAS

Há outra maneira de encarar uma função·: como uma

transformação

de parte de um

conjunto A em parte de um conjunto B.

Em

tal fraseología, quando

(a,

b)

E/,

cogitamos

de

f

como tomando o

elemento

a

do subconjunto

D(f)

de

A

e

"transformando-o~'.

ou

Haplicando-o" em um elemento

b

=

f(a) do subconjunto

R

(f) de

B.

Costuma-se então

fa-zer um díagrama como o da Figura 2.2. Tal representação geométrica de uma função

é

de

uso freqüente, mesmo quando os conjuntos

A

e

B

não são subconjuntos do plano.

Ainda outra maneira de visualizar uma função: como uma

máquina

que aceita ele·

mentos de D{f) como entradas e produz elementos correspondentes de R

(f) como saída.

Se tomarmos um elemento

x

de

D(f)

e

o colocarmos

em{,

obteremos na saída o valor

correspondente

f(x).

Se colocarmos como entrada um elemento diferente

y

de D(j),

ob-teremos na saída

f(y)

(que poderá ou não diferir

def(x)). Se procurarmos inserir em

f

al-go que não pertença a

D(f)~

veremos que

tal

elemento não será aceito, pois

f

pode operar

somente sobre elementos que pertençam

aD(f).

(Cf. Fígura 2.3.)

f

Figura 2.3 Uma f•..tnção como máquina.

t

f(x)

Esta última forma de encarar

uma

função toma clara a distinção entre

f

e

f(x):

a

primeira

é

a

máquína,

a

segunda é

o elemento

que

sai da

máquína quando nela

introduzi-mos

x.

Certamente é

útil,

e mesmo necessáríot distinguir entre uma máquina e o que ela

produz. Ninguém confundiria um moedor de carne com carne moída; não obstante> não

poucas

pe~soas

têm feito confusão entre funções e seus valores, de modo que nos senti·

mos justificados em procurar

estabe!~cer

a distinção do ponto de vista da notação.

RESTRIÇÕES E EXTENSÕES DE FUNÇÕES

Se

f

é urna função com domínio

D(J)

e

D

1 é

um subconjunto de

D(f),

é útil definir·

mos uma nova função /

₁

com domínio D

1

por [

1

(x)

=

f(x)

para todo

x

ED

1 .

Esta

fun-ção /

1

é chamada a

restrição

de

f

ao conjunto D

1 •

Em termos da Definição 2.2, temos

f~

={(a, b)Ef:a

eD~}.

Por vezes escrevemos [

₁

=f

I

D

₁

para denotar a restrição da função

f

ao conjunto

D

1 . ,

Construção análoga (que se afigura menos artificíal)

é a notação de "extensão". Se

g é

uma função com domínio

D(g)

e

D2

.d

D(g),

então qualquer função

g2

com domínio

D

_{2 ,}

tal

que g

₂

(.."t) =g(x) para todo

x

E

D(g),

é

chamada uma

extensão de gao conjunto

D'}..

.

' f ; l i l h

jl

I

l

I

i I

,,

i ' i I

I

!

' ' ' /

COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Desejamos agora "compor" duas funções, aplicando primeiro

f

a cada

x

em D(f) e

em seguida aplicando g a f(x), sempre que isto seja possível (isto é, desde que f(x)

per-tença

a

D(g)).

Faz-se

então necessário certo cuidado

quanto ao domínio da função resul·

tante. Por exemplo, se

f

é defmida em R por f(x) =x3 e g é definida para x

2:

O por

g (x) =

.JX,

então a composição g o

f

só pode ser defuüda para

x

2:

O, e para esses

núme--ros reais ela deve ter o valor

..JXl_

2.2 Definição. Seja

f

uma função com domínio D(f) em A e contradomínio R(f)

em B, e seja g uma função com domínio D(g) em B e contradomínio R (g) em C. (Cf. fi. gura 2.4.) A composição g o

f

(observe a ordem!) é a função de A em C dada por

gof={(a,c)EA

xC:existe umelementob

EB

tal que (a, b)

E/e

(b, c)

Eg}.

2.3 Teorema.

Se

f e g são funções, a composição g o

f

é uma função com

!IIlliillJ])

D(g,f)

D(g o f)= {x E D(f) :f(x) E D(g)},

R (g o f)= {g(f(x)): x E D(g o f)}.

g

f

Figura 2A Composição de funções.

2.4 Exemplos. (a) Sejam f, g funções cujos valores para

x

real são os números reais

dados por3 _·

f(x)=2x, g(x)=3x2 -1.

Como D(g) é o conjunto R de todos os reais e R (f) ç;,D(g), o domínio D(g o f) é também

R e gof(x)=3(2x)2

-1<=12x2 -1. Por outro lado, D(jog)=R, mas fog(x)=

2(3x

2 _-1)=6x2

_-2.

(b) Se h é a função com D (h)

={

x

E R :

x

:;?: 1} definida por

h(x)=.Jx-1.

Costuma-se escrever também f: x ...,. 2x e g : x - 3xl - 1 para x E R.

28

1

f

e

se

f

é tal como na parte (a), então

D(hoJ)={xER:2x2:1}={xER:x~f}e

h

o

f(x)

=

y2x- L Outrossim,

D(fo

h)

={x

ER

:x

2.:

1} e

f

o

h(x}

=

2yrx=l. Se

g

é

a

função da parte (a), então

D(hog)={xER:3x

2

-l>I}={xER:xs-.J-f

ou

x

2.:

.J.f}e

h

o

g(x)

=

V3x

2 -

2. TambémD(g<> h) ={x ER :x

2.:

lf

ego

h(x)

=

3x-4.

(Note-se que a fórmula que exprime

g o h

tem sígnificado para valores de x outros que

.não os

do

domínio

deg <>h.)

(c) Sejam F, G funções com domínios D(F) ={x ER :x

2.:

o},

D (G) =R, tais que

os

valores de

F

e

G

no ponto x de seus domínios sejam

.

F(x) =

..fX~

G(x)

=

-x

2 - l .

Então D(GoF)={xER:x2.:0te GoF(x)=-x-1, enquanto que D(FoG)={xE

D(G): G(x)

ED(t)l

Este

últímo conjunto é vazio, pois

G(x)

<O

para todo

x

ED(G).

Logo, a

função

F

o

G

não

é definida em nenhum ponto, ou seja,

F

o

G

é

a

"~unção

vazia".

FUNÇÕES INJETIVA E INVERSA

Daremos

~seguir

a construção de uma nova função a partir de uma função dada, no

caso de a função original não tomar o mesmo valor duas vezes.

2.5 Definição. Seja

f

uma função

com

domínio D(/) em A e contradomínio R

(f)

em B. Dizemos que

f

é injetiva, ou

um~a~um,

se, sempre que (a, b) e (a', b) forem

elemen~

tos de[, então

a

=

at.

Se

f

é injetiva, podemos dizer que

f

é

umá injeção.

Em outras palavras}

f

é

injetiva se e

somente

se as duas relações f(a) =b,f(a')

=

b

implicam

a =.a'.

Alternativamente,

f~

injetiva

se

e somente

se

quando

a

e

a'

estão em D(f)

e

a ::f: a',

entãof(a)

-=F [(a').

Afirmamos que, se

f

é

injetiva de A para B, então o conjunto de pares ordenados em

B

x

A

obtido pela permuta dos primeiros e segundos membros dos pares ordenados em/

origina uma função

g

que também

é

injetiva.

Omitimos a demonstração, deixando-a como exercício;

é

um bom teste para o

lei-tor.

As

ligações entre

f

e

g

são:

D(g) =R(/), R(g) =D(f)

(a,

b)

E/

se e somente se

(b, a)

Eg.

A última afirmação pode ser escrita na forma mais comum

b

=

f(a)

se e somente se

a

=

g(b

).

2.6 Definição. Seja:( uma injeção com domínio D(f) em A e contradomínio R(/)

em B. Se g ={(b,a) EB xA

:

(a,b

)Eft

entãog é uma injeção com

domínio

D(g) =R

(f)

em B e com contradomínio R

(g)

=

D(/)

em A. A função

g

é chamada função inversa de

f

e se denota por

r-l .

A função inversa pode ser interpretada do

ponto

de vista da

aplicação.

(Cf Figura

2.5.) Se

f

é injetiva, leva elementos distintos de D(f) em elementos distintos de R

(f).

As·

sim, cada

elemento

b

de

R

(j)

é

a imagem, pela/, de um único elemento a em

D(j).

A fun·

ção inversaf-

1

leva, ou aplica} o elemento

b

neste elemento único,a.

29

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