TEC: Mecânica dos Pavimentos Elasticidade

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TEC:

Mecânica dos

Pavimentos

Elasticidade

Profª. Daniane F. Vicentini

vicentini@ufpr.br

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de

Construção Civil

1. Introdução

UFPR - Setor de Tecnologia/Departamento de Transportes

PPGECC – Tópicos Especiais em Construção: Mecânica dos Pavimentos

Elasticidade: hipóteses da Mecânica dos Meios Contínuos:

- Homogeneidade - Isotropia

- Elasticidade

- Aplicação lenta de carga

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Tensão:

Por um ponto do sólido passam infinitos vetores tensão, pois por um ponto passam infinitos planos. Portanto, a tensão dependerá do ponto e do plano da superfície (o vetor tensão nem sempre coincide com a normal).

Tensor de tensões: 3D:

simetria

x

σ

z

σ

y

σ

yx

τ

xy

τ

yz

τ

xz

τ

zy zx

τ

x z y

Tensão:

Ordem de um tensor:

Ordem 0 = escalar

1ª ordem = um índice variando 2ª ordem = dois índices variando

3ª ordem = três índices variando 4ª ordem = quatro índices variando Ex.:

2. Conceitos

Tensor de 2ª ordem: ��= � �11 �12 �13 �21 �22 �23 �31 �32 �33 � = � � � � ��_�11₂₂ �33 �23 �13 �12�� Tensor de 4ª ordem:

�

�� Ex.:

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Rigidez, Resistência e outros: 1) O mais rígido: 2) O mais resistente: 3) O mais plástico/dúctil: 4) O mais frágil: 5) O mais flexível:

2. Conceitos

ε

σ

A D C B

Lei constitutiva elástica para materiais isótropos: Lei de Hooke

2. Conceitos

Onde:

Observe que não há acoplamento entre:

• Tensões normais e def. tangenciais nos planos principais do material • Tensões tangenciais e def. normais

• Tensões tangenciais de um plano e def. tangenciais de outro plano

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Lei de Hooke inversa (p/ isótropos): Onde: 1 D: 3 D: (tensor de flexibilidade)

3. Condições a cumprir:

x

σ

z

σ

y

σ

yx

τ

xy

τ

yz

τ

xz

τ

zy zx

τ

x z y • Equilíbrio • Compatibilidade • Constitutiva

0

xy x xz x

b

x

y

z

τ

σ

∂

τ

∂

₊

∂

_{+ =}

∂

0

yx y yz y

b

x

y

z

τ

σ

τ

∂

+

=

∂

0

zy zx z z

b

x

y

z

τ

∂

σ

∂

₊

∂

_{+ =}

∂

,

0

ij j

b

i

σ

+ =

ε = ∂ ∂ x u x ε ∂ = ∂ y v_y ε = ∂ ∂ z w_z γ = ∂ + ∂ ∂ ∂ xz u_z w_x

γ

= ∂ + ∂ ∂ ∂ xy u_y v_x

γ

∂ ∂ = + ∂ ∂ yz v_z w_y

.

C

ε

=

σ

ε

E

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3. Condições a cumprir:

Lei de Compatibilidade (de Saint-Venant)

Surge da permuta de índices na relação

ε

-u. É composta por 6 equações que,

se atendidas, garante que o campo de deformações compatível, e que o campo de deslocamentos seja contínuo e de solução única:

4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.1. Lema de Cauchy

O lema de Cauchy estabelece que, sendo conhecidos três vetores tensão associados a três planos perpendiculares (de normal ), pode-se determinar o vetor tensão associado a qualquer outro plano e orientação.

Suponha um tetraedro infinitesimal, onde 3 de suas faces estão orientadas de forma a coincidir com os eixos cartesianos:

Fazendo o equilibrio, temos:

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4.1. Lema de Cauchy

Ou ainda:

Onde e são as tensões (intrínsecas) normal e tangencial do vetor tensão .

Existe algum estado tensional onde esteja na mesma direção de (e consequentemente )???

4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.2. Invariantes

Casos particulares:

Ausência de tensões tangenciais e as normais de mesmo valor. É chamado de estado tensional esférico ou hidrostático.

Estado cilíndrico.

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4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.3. Princípio de Saint-Venant (1855):

As diferenças de deformações produzidas em um corpo pela aplicação de um sistema de cargas estaticamente equivalentes, são desprezíveis em distâncias superiores à da dimensão da zona afetada pelo estado da carga. De acordo com este teorema, a partir de uma distância “d” a resposta medida em ambos problemas seria análoga. Também pode ser aplicado em sólidos com comportamento elastoplástico.

Ex. de aplicações:

Boussinesq (demonstrou matematicamente para sólido semi-infinito, mas não generalizou), ensaio de tração de barras (1D), carga de pneu (depende do que se deseja saber), modelos de escavação de frente de túnel, etc.

4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.4. Planos octaédricos

São aqueles que estão igualmente inclinados com relação ao sistema principal. A tensão normal ( , intrínseca) a esses planos é chamada de tensão octaédrica (“mean stress”):

Assim, o tensor de tensões/deformações admite a seguinte decomposição:

Parte

esférica desviadoraParte

I

II III

Onde: resp. pela mudança de volume resp. pela mudança de forma

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4.5. Transformação de coordenadas

Em alguns casos a rotação do sistema de referência pode ser bastante útil. Para isso, se utiliza uma matriz de rotação (ou transformação ), a fim de transformar as componentes de tensões ou deformações de um sistema inicial a um novo (‘).

Ex. Caso geral: Onde: é a matriz de transformação.

Ex. Caso 2D:

4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.6. Princípio de Superposição de efeitos

Válido somente em regimes de comportamento elástico.

+

=

Ex. aplicação:

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4. Outras “ferramentas” matemáticas:

4.7. Outras

Teorema de reciprocidade de Betti, uso das funções de Airy, PTV, princípios energéticos, etc.

5. Condições de contorno:

• Equilíbrio • Compatibilidade • Constitutiva 3 eq. 6 eq. 6 eq. 15 eq. + 15 incógnitas = Sistema possível, indeterminado ∞soluções !!!

Assim, a definição do problema elástico aparece com a imposição das CC (em deslocamento, força ou condições mistas).

Simulação MEF de barragem Aterro em camadas (E. Aristizábal et al. 2012, Rev. ing. univ.

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5.1. Em Forças de Superfície:

1 3

2

Ex.: ação da água sobre uma barragem Pressão da água: p = f(h)

Calcular as componentes de tensões no ponto A.

A h

5. Condições de contorno:

5.2. Em Deslocamentos: 1 3 2 NA A 5.3. Mistas:

Casos onde se pode aplicar força em uma direção e bloquear (ou liberar) o deslocamento em outra. Ex. (2D):

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5. Condições de contorno:

5.4. Apoio de Molas:

O deslocamento imposto não necessariamente deve ser = 0. Em alguns casos, poderá obedecer a uma relação de flexibilidade com as forças de superfície (vetor tensão).

Ex. aplicação: Pavimentos de concreto sobre base elástica, fundações, etc. p

k = coef. de mola, rigidez ou

recalque k

Onde:

5. Condições de contorno:

5.5. Cargas pontuais (F ou M): Matematicamente, a aplicação pontual de cargas não existe (é preciso uma área para aplicar, ainda que pequena) e sua ocorrência provocará uma tensão elevadíssima.

Água cortando metal (izaro.com)

Nos problemas reais, sob o “ponto” de aplicação, aparecerá uma plastificação local ou microfissuras. As tensões ao redor desta zona são redistribuídas, buscando a situação de equilíbrio para o sistema.

A solução, no entanto, é válida para o resto do domínio do problema.

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5.6. Simetria:

Quando a geometria e as CC do problema em estudo apresentar simetria, pode-se valer deste recurso a fim de reduzir o domínio e variáveis em estudo.

1

2

=

Simulação 3D de escavação de tunel (gzconsultants.com)

5. Condições de contorno:

5.7. Cargas devidas ao tráfego: Em pavimentos flexíveis, geralmente as solicitações são traduzidas em termos do eixo padrão de 8,2 tf.

A área de contato dependerá:

pressão de contato do pneu

carga que o mesmo recebe

(≈ pressão do pneu)

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5. Condições de contorno:

Área de contato aproximada, p/ pneu:

“Tire print” (H. Xiao-di, L. Walubita, 2011. J.

Cent. South Univ. Technol. (2011) 18: 250−258) Onde: Ac usada no PCA 1966

5. Condições de contorno:

Ac usada no PCA 1984 (área equivalente, método baseado no

MEF):

(Huang)

Ac usada no PCA 1966:

Ainda:

TCE (p/ pavimentos flexíveis) geralmente é assumida área de contato circular (com área equivalente a rodas simples ou dupla, conforme o caso) e pode-se utilizar a axissimetria!!!

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- S. Timoshenko (1970). Theory of Elasticity.

- F. París (1998). Teoría de la Elasticidad. Ed. SAND – GERM.

- Y. H. Huang (2004). Pavement analysis and design. Ed. PEARSON Prentice Hall. - M. Sadd (2009). Elasticity Theory, applications, and numerics. Ed. Elsevier.