Acsd_se1_06

unesp

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

CAMPUS DE GUARATINGUETÁ

CAMPUS DE GUARATINGUETÁ

DEPARTAMEN

DEPARTAMENTO DE

TO DE ENGENHARI

ENGENHARIA ELÉTRICA

A ELÉTRICA

Disciplina: Análise e Controle de Sistemas Dinâmicos

Disciplina: Análise e Controle de Sistemas Dinâmicos

Turmas: 311

Turmas: 311

Professor: Francisco A. Lotufo

Professor: Francisco A. Lotufo

Série de Exercícios – 1º Bimestre

Série de Exercícios – 1º Bimestre

1-1- A entradaA entradau(t)u(t) e a saídae a saíday(t)y(t) de um sistema contínuo são relacionados através de um sistema contínuo são relacionados através da equação:da equação:

88

))

((

55

))

((

t t 

==

uu t t 

++

 y  y

Este sistema é estático ou dinâmico? É linear ou não-linear? Justifique sua resposta. Este sistema é estático ou dinâmico? É linear ou não-linear? Justifique sua resposta.

2-2- As relações de entrada-saída de vários sistemas são dadas abaixo. Estes sistemas são estáticos ou dinâmicos? EAs relações de entrada-saída de vários sistemas são dadas abaixo. Estes sistemas são estáticos ou dinâmicos? E classifique-os quanto à linearidade, invariância no

classifique-os quanto à linearidade, invariância no tempo, ordem e causalidade.tempo, ordem e causalidade.

))

((

22

))

((

))

((

33

))

((

))

((

--f 

f 

))

((

))

((

33

))

((

))

((

--ee

))

((

))

((

))

((

--dd

))

((

))

((

--cc

))

((

))

((

-- b

 b

44

))

((

))

((

--aa

22 22 22 22 22 22 22 t t  u u t t  u u t t   y  y dt  dt  t t  dy dy dt  dt  t t   y  y d  d  t t  u u t t   y  y dt  dt  t t  dy dy dt  dt  t t   y  y d  d  t t  u u t t   y  y dt  dt  t t  dy dy t t  u u t t  ty ty dt  dt  dy(t) dy(t) t t  tu tu t t   y  y t t  u u t t   y  y

++

==

++

++

==

++

++

==

++

==

++

==

++

==

22 22 22 22

)]

)]

11

((

[[

33

))

((

22

))

((

--m

m

))

11

((

))

((

))

((

-- j j

))

11

((

))

((

22

))

22

((

33

))

11

((

22

))

((

--ii

))

11

((

))

((

22

))

22

((

33

))

11

((

22

))

((

--hh

))

((

))

((

33

))

((

))

((

--gg

−−

++

==

−−

++

==

++

++

==

−−

−−

−−

++

−−

++

==

−−

−−

−−

++

==

++

++

k  k  u u k  k  u u k  k   y  y k  k  u u k  k  k  k  ku ku k  k   y  y k  k  u u k  k  u u k  k   y  y k  k   y  y k  k   y  y k  k  u u k  k  u u k  k   y  y k  k   y  y k  k   y  y t t  u u t t   y  y dt  dt  t t  dy dy  y  y dt  dt  t t   y  y d  d  Observação:

Observação: as equações deas equações de hh àà mm são equações a diferenças que representam sistemas discretos (análogo à equaçãosão equações a diferenças que representam sistemas discretos (análogo à equação diferencial para sistemas contínuos), onde

diferencial para sistemas contínuos), ondekké um número inteiro.é um número inteiro.

3-3- Determinar as equações diferenciais que descrevem o seguinte sistema mecânico:Determinar as equações diferenciais que descrevem o seguinte sistema mecânico:

M

M

11

M

M

22

M

M

33 ƒ ƒ

k 

k 

22

B

B

33

k 

k 

33

k 

k 

11

B

B

22

B

B

11

k 

k 

22

4- O corpo humano, para efeito do estudo de vibrações, pode ser modelado pelo sistema mecânico translacional abaixo. Determine o modelo matemático correspondente.

ƒ

M

1 Cabeça

M

2

M

3

M

₄ k 2 _k  4 k 3 k 5 B1 B2 B3 Tronco B5 k 1 B4 Braços Órgãos

5- Dado o sistema mecânico misto abaixo, determinar as equações diferenciais que o descrevem:

T

J

1

N

1

N

2

k 

_B

J

2

M

k 

1

B

1

r

6- Determinar as equações diferenciais que descrevem o seguinte sistema com acoplamento capacitivo:

M

k 

u

R 

v

A

y

B

7- Para o sistema mostrado abaixo e dotado dos parâmetros, massa, mola e amortecimento, escreva as equações diferenciais que descrevem seu funcionamento:

k 

2

B

₂

A

ƒ

M

1

x

2

M

2

k 

1

B

1

x

1

8- Escreva as equações diferenciais de funcionamento para o sistema mecânico abaixo:

B

3

ƒ

(t)

k 

3

M

2

M

1

M

3

k 

4

B

1

B

2

k 

1

k 

2

9- No sistema mecânico abaixo,r 2é o raio do cilindro. Escreva as equações diferenciais necessárias para se descrever o seu

funcionamento.

k 

3

B

3

J

2

M

3

B

2

r

2

k 

1

x

3

θ

1

T(t)

_θ

₂

10- A maioria dos sistemas de controle requer algum tipo de força motriz. Um dos meios mais utilizados usualmente é o motor elétrico. Escreva a equação diferencial relativa ao deslocamento angular de uma carga com momento de inércia e amortecimento acoplado diretamente ao eixo de um motor de corrente continua, quando se aplica instantaneamente uma tensão nos terminais da armadura, tendo-se energizado o campo separadamente.

11- Um motor de corrente contínua com controle de armadura é empregado em um sistema de abertura e fechamento automático de uma garagem, conforme modelo abaixo. Determine o modelo matemático correspondente.

Motor N1 N2 J M r k  Porta

12- Um atuador eletromecânico contém um solenóide que produz uma força magnética proporcional à corrente na bobina i

k 

 f  

=

_i

×

. A bobina apresenta resistência e indutância. Escreva as equações diferenciais do funcionamento utilizando Lagrange.

13- Abaixo temos o esboço de um microfone de bobina móvel. O diafragma possui elastânciak, massaMe amortecimento B. Fixado ao diafragma existe uma bobina que se move no interior do campo magnético gerado pelos imãs permanentes. Deduza as equações diferenciais do sistema utilizando Lagrange, considerando variações a partir das condições de equilíbrio. L R  E v(t) S S N Bobina Ondas sonoras Diafragma Ímãs permanentes

14- Dado o sistema eletromecânico abaixo, determinar o seu modelo matemático utilizando-se as equações de Lagrange. k  M1 R 1 v1(t) A x R 2 v2(t) M2 B2 L(x,q) B1

15- Resolva as seguintes equações a diferença:

a-)  y

(

k 

)

+

0

,

5

 y

(

k 

−

1

)

=

3

,

y

(

−

1

)

=

4

b-)  y

(

k 

)

−

4

 y

(

k 

−

1

)

+

4

 y

(

k 

−

2

)

=

4

(

−

3

)

k 

+

3

k 

,

 y

(

−

1

)

=

0

e

y

(

−

2

)

=

2

16- Considere a equação a diferença:

k  k   y k   y k   y k   y

(

+

3

)

−

8

(

+

2

)

+

37

(

+

1

)

−

50

(

)

=

8

(

0

,

5

)

que satisfaz as condições iniciais: y

(

0

)

=

2

,

 y

(

1

)

=

3

e

y

(

2

)

=

5

Determine as solução completa para esta equação e plote y

(

k 

)

×

k  para os primeiros 10 (dez) pontos.

17- Obtenha a solução completa para a equação a diferença dada abaixo se y

(

0

)

=

2

e

y

(

1

)

=

5

k  k   y k   y k   y

(

)

+

0

,

6

(

−

1

)

+

0

,

25

(

−

2

)

=

4

(

0

,

4

)

18- O número de Fibonacci pode ser expresso através da equação a diferenças:

2

)

1

(

e

1

)

0

(

com

),

2

(

)

1

(

)

(

k 

=

 y k 

−

+

 y k 

−

 y

=

y

=

 y

Obtenha uma solução geral para y

(

k 

)

e determine  y

(

10

)

.

19- Plotar  x(t)xt.Assumir t 0> 0 eτ> 0. a-

 x t

( )

=

x u t

_{0 −1}

(

₀

−

t 

)

b-

 x t

x

K u t nt

n

K 

n

( )

=

(

−

),

=

,

= −

∑

0 0 3 1 0

0 5

c-

 x t

a

K

n

t nt

K 

n

( )

=

(

−

),

=

,

=

∑

δ

0 2 0

0 8

20- Use as funções singulares para descrever as formas de onda abaixo. Assuma que os sinais são zero para tempos não mostrados. 4 6 _t[ms] 0 2 2 x(t) [V] t[ms] 0 6 -5 10 3 x(t) [mA] 0 2 4 1 t[ms] 3 x(t) [mA] 2

21- Escreva no Matlab um programa (script file) para gerar e plotar as formas de onda abaixo. a-

u t 

₋₁

(

−

4

)

b-

u t

_{− 1}

(

− −

2

)

u t  

₋₁

(

−

5

)

c-

−

2 5

, [ (

t u t

_{− 1}

+ −

2

)

u t  

₋₁

( )]

d-

2 1

[

−

e

−1 8, t 

] ( )

u t 

₋₁

22- Determine a solução no tempo das equações:

 x t

x t

x t

x

x

•• • •

+

+

=

=

=

( )

3

( )

6

( )

0

,

(

0) 0

,

(

0) 3

a

x

bx

k

x

x

•

+

=

,

(

0)

=

₀

,

a, b e k são constantes

2

 x

••

+

7

x

•

+

3

x

=

0

,

x

(

0)

=

x

₀

,

x

•

(

0) 0

=

23- Para o circuito RC abaixo

a- Determine uma equação diferencial que relacione a tensão de saída ye a tensão de entrada x .

b- Seja a tensão inicial sobre o capacitor C ,

v

_C 0

=

1

V 

, com a polaridade mostrada e seja

 x

=

2

e

−t . Usando a

técnica de transformada de Laplace, determine y.

+ + -y(t) R = 1Ω Tensão de Entrada x(t) -+ C = 1 F

-24- Usando a técnica de transformada de Laplace determine a resposta ao impulso unitário do sistema descrito pela equação diferencial

d y t 

dt 

dy t 

dt 

x t 

3 3

( )

( )

( )

+

=

25- Determine se a função de transferência:

 P s

s

 s

s

( )

=

2

_{+ +}

+

1

1

2

Representa um sistema estável ou instável.

26- Determine os pólos e zeros das funções racionais abaixo

 F s

s

 s

s

s

Y s

 s

s

s

( )

=

₋

−

₋

( )

=

₊

₊

₊

2 5 4 3 3 2

16

7

30

20

12

22

20

Se essas funções racionais representarem funções de transferência de sistemas lineares, esses sistemas são estáveis ou instáveis.

27- Dado o pulso f(t)esquematizado abaixo, encontre sua transformadaF(s).

t a

0 1

f(t)

28- Resolva a equação diferencial

 x t

••

( )

+

3

x t

•

( )

+

2

x t

( )

=

4

e

t 

 x

•

+ =

2

x

δ

( ),

t

x

( )

0

−

=

0

29- Encontre a transformada inversa das funções racionais

 F s

s

 s

s

s

( )

(

)(

=

+

+ +

+

2 2

3

2

5

2)

 F s

s

 s s

( )

(

)

=

−

+

2

1

3

 F s

s

s

s

 s

s

( )

(

)(

=

3

+

₊

5

2

+ +

9

₊

7

1

2)

 F s

s

 s

1 2

6

3

( )

=

+

 F s

s

 s

s

2 2

5

2

1

2)

( )

(

)(

=

+

+

+

30- Encontre a solução x(t)das equações diferenciais

 x

x

x

x

a

x

b

•• • •

+

3

+

2

=

0

,

(

0)

=

,

(

0)

=

 x

x

x

x

x

•• • •

+

2

+

5

=

3

,

(

0) 0

=

,

(

0) 0

=

31- Encontre a transformada de Laplace de f(t)definida por 

 f t 

t 

t

t 

( )

,

sen

,

=

<

+

 

 





 



≥







0

0

4

3

0

π