Resumo. Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier. Objectivo. Função Própria de um Sistema

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Luís Caldas de Oliveira

Sinais e Sistemas

Representação de Sinais Periódicos em

Séries de Fourier

Luís Caldas de Oliveira lco@ist.utl.pt

Instituto Superior Técnico

Sinais e Sistemas – p.1/34 Luís Caldas de Oliveira

Resumo

Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier

Propriedades da CFS

Série de Fourier de sinais discretos (DFS) Propriedades da DFS

A série de Fourier e os SLITs Filtragem

Sinais e Sistemas – p.2/34

Objectivo

Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar a

saída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinal periódico.

Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLIT

a exponenciais complexas.

Função Própria de um Sistema

p(t)será uma função própria de um sistema caracterizado pela transformaçãoT (·)se:

T (p(t)) = P p(t)

neste casoPé o valor próprio associado à função própria p(t).

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Funções Próprias dos SLITs

Os sinais exponenciais complexos são funções próprias dos SLITs

x(t) = est−→ y(t) = Z +∞ −∞ h(τ)es(t−τ)dτ = est Z +∞ −∞ h(τ)e−sτdτ | {z } H(s) ou seja: y(t) = H(s)est

em que H(s)é o valor próprio associado à função própria

est_.

Função de Transferência

H(s) =

Z +∞ −∞

h(t)e−stdt

No caso geral,H(s)pode ser um valor complexo:

H(s) = HR(s) + jHI(s)

= |H(s)|ej∠H(s)

Soma de Exponenciais Complexas

Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada em termos de uma soma de funções próprias:

x(t) =X

k

akeskt

Neste caso, a saída poderá ser obtida através de: y(t) =X

k

akH(sk)eskt

Combinação Linear de Exponenciais

Conjunto das funções de base exponenciais complexas harmonicamente relacionadas:

φk(t) = ejkω0t=ejk(2π/T )t, k ∈ 

Todas estas exponenciais têm períodoT (embora não

sendo o período fundamental).

A combinação linear destas exponenciais tem

também períodoT: x(t) = +∞ X k=−∞ akejkω0t= +∞ X k=−∞ akejk(2π/T )t

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Série de Fourier Contínua (CFS)

À representação de um sinal periódico pela combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas dá-se o nome de série de Fourier:

x(t) = +∞

X

k=−∞

akejkω0t

Determinação dos Coeficientes

x(t)e− jnω0t ₌ +∞ X k=−∞ akejkω0te− jnω0t Z T 0 x(t)e− jnω0t_{dt =} Z T 0 +∞ X k=−∞ akejkω0te− jnω0tdt Z T 0 x(t)e− jnω0t_{dt =} +∞ X k=−∞ ak "Z T 0 ej(k−n)ω0t_dt # Z T 0 x(t)e− jnω0t_{dt = a} nT Sinais e Sistemas – p.10/34

Série de Fourier Contínua

x(t) = +∞ X k=−∞ akejkω0t ak = 1 T Z T x(t)e− jkω0t_dt

Condições de Dirichlet

O somatório da série de Fourier converge se se verificarem as seguintes condições:

Condição 1:x(t)tem de ser absolutamente integrável num período:

Z

T

|x(t)|dt < ∞

Condição 2:x(t)tem um número finito de máximos e mínimos em cada período.

Condição 3:x(t)tem um número finito de discontinuidades num intervalo de tempo finito e essas discontinuidades são finitas.

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Propriedade da Linearidade

Se x(t) −−−→ CF S ak e y(t) −−−→ CF S bk então: Ax(t) + By(t) −−−→ CF S Aak+Bbk

Propriedade do Deslocamento

x(t − t0) −−−→ CF S ake − jkω0t0 x(t)ejlω0t _−−−→ CF S ak−l

O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da CFS. O seu módulo mantém-se inalterável.

Inversão Temporal

x(t) −−−→ CF S ak x(−t) −−−→ CF S a−k

A inversão temporal resulta na inversão da sequência dos coeficientes de Fourier.

Propriedade da Multiplicação

x(t) −−−→ CF S ak y(t) −−−→ CF S bk x(t)y(t) −−−→ CF S P+∞ l=−∞albk−l

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Propriedades do Conjugado

x∗_{(t) −−−→} CF S a ∗ −k x∗(−t) −−−→ CF S a ∗ k

Propriedades de Simetria

ℜ[x(t)] −−−→ CF S ake= 1 2[ak+a ∗ −k] jℑ[x(t)] −−−→ CF S ako= 1 2[ak− a ∗ −k] xe(t) = 1 2[x(t) + x ∗ (−t)] −−−→ CF S ℜ[ak] xo(t) = 1 2[x(t) − x ∗ (−t)] −−−→ CF S jℑ[ak] Sinais e Sistemas – p.18/34

Relação de Parseval

A relação de Parseval para sinais periódicos contínuos vale: 1 T Z T |x(t)|2_{dt =} +∞ X k=−∞ |ak|2

A relação de Parseval afirma que a potência média de um sinal periódico é igual à soma da potência média das com-ponentes harmónicas.

Sequências Periódicas

x(n)é uma sequência periódica de períodoN: x(n + N) = x(n)

A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciais complexas harmónicas: x(n) = X k=<N> akej 2π Nkn

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Exponenciais Complexas Discretas

ej2πN(k)n=ej 2π N(k+lN)n N=8 N 2π 1 N N−1 X n=0 ej2πNkn₌ ( 1 sek = mN, 0 no caso contrário.

Série de Fourier Discreta (DFS)

Análise: ak= 1 N N−1 X n=0 x(n)e− j2πNkn Síntese:x(n) = N−1 X k=0 akej 2π Nkn x(n) −−−−→ DF S ak Sinais e Sistemas – p.22/34

Propriedade da Linearidade

Se x(n) −−−−→ DF S ak e y(n) −−−−→ DF S bk então: Ax(n) + By(n) −−−−→ DF S Aak+Bbk

Propriedade do Deslocamento

x(n − m) −−−−→ DF S ake − j2π Nkm x(n)ej2πNnl −−−−→ DF S ak−l

O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da DFS. O seu módulo mantém-se inalterável.

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Propriedades do Conjugado

x∗_{(n) −}₋₋₋_→ DF S a ∗ −k x∗(−n) −−−−→ DF S a ∗ k

Propriedades de Simetria

ℜ[x(n)] −−−−→ DF S ake= 1 2[ak+a−k] jℑ[x(n)] −−−−→ DF S ako= 1 2[ak− a−k] xe(n) = 1 2[x(n) + x ∗ (−n)] −−−−→ DF S ℜ[ak] xo(n) = 1 2[x(n) − x ∗ (−n)] −−−−→ DF S jℑ[ak] Sinais e Sistemas – p.26/34

Propriedade da Multiplicação

x(n) −−−−→ DF S ak y(n) −−−−→ DF S bk x(n)y(n) −−−−→ DF S P l=<N>albk−l

Relação de Parseval

A relação de Parseval para sinais periódicos discretos:

1 N X n=<N> |x(n)|2 dt = X k=<N> |ak|2

A relação de Parseval afirma que a potência média de um sinal periódico é igual à soma da potência média das com-ponentes harmónicas.

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SLITs Contínuos

Se o sinal de entrada contínuo estiver representado na forma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT pode ser calculada por:

x(t) = +∞ X k=−∞ akejkω0t=⇒ y(t) = +∞ X k=−∞ akH( jkω0)ejkω0t

em queH( jω)é a resposta em frequência do sistema

com resposta impulsivah(t): H( jω) =

Z +∞ −∞

h(t)e− jωtdt

SLITs Discretos

No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiver representado na forma de uma série de Fourier, podemos determinar a sua saída com:

x(n) = X k=<N> akejkω0n=⇒ y(n) = X k=<N> akH(ejkω0)ejkω0n

em queH(ejω₎_{é a resposta em frequência do sistema}

com resposta impulsivah(n):

H(ejω) = +∞ X n=−∞ h(n)e− jωn Sinais e Sistemas – p.30/34

Filtragem

Tipos de filtros

Filtros de balanceamento em frequência: servem

para moldar o espectro de um sinal (por exemplo, o controle de graves e agudos de um amplificador)

Filtros selectivos em frequência: seleccionam ou

removem componentes em frequência do sinal (por exemplo, o ruído de 50 Hz).

Filtros selectivos

6 -- H( jω) 1 Passagem Rejeição Rejeição ωc −ωc 0 H( jω) = ( 1, |ω| ≤ ωc 0, |ω| > ωc

Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem e

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Tipos de Filtros Selectivos

Passa-baixo: deixam passar as componentes com

frequência abaixo de um dado valor.

Passa-alto: deixam passar as componentes com

frequência acima de um dado valor.

Passa-banda: deixam passar as componentes com

frequência dentro de uma dada gama.

Rejeita-banda: rejeitam as componentes com

frequência dentro de uma dada gama.

Conclusões

A série de Fourier decompõe uma sequência

periódica numa combinação linear de exponenciais

complexas com frequências harmónicas.

As exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs

Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saída de um SLIT podem ser obtidos multiplicando os coeficientes do sinal de entrada pela resposta em frequência do SLIT.

Os filtros são SLITs com uma resposta em frequência apropriada para remoção ou alteração de

componentes em frequência do sinal de entrada.