CE-003: Estat´ıstica II, turma L
1a Prova - 2o semestre 2006 (29 Setembro de 2006)1. (10 pontos) O volume de vendas, no ramo de vestu´ario, tem se mantido est´avel de ano para ano, mas acedita-se que sofra mudan¸ca de um quadrimestre para outro, dentro de um mesmo ano. Atrav´es de uma metodologia adequada, foi criado um ´ındice que reflete a quantidade vendida. Em cada um dos quadrimestres do ano, foram escolhidas aleat´oriamente algumas empresas de mesmo porte e seus ´ındices de venda foram calculados conforme tabela abaixo. Fa¸ca os gr´aficos box-plot para os dados de cada um dos trˆes quadrimestres e compare o comportamento do ´ındice nos quadrimestres.
Quad. 1 114,7 144,7 119,1 113,7 108,9 96,7 87,6 132,4 Quad. 2 144,7 173,4 154,2 154,7 125,9 119,5 155,7 213,9 156,2 159,0 Quad. 3 153,1 192,5 145,5 168,8 141,5 141,2 189,6 178,4 208,6 > q1 <- c(114.7, 144.7, 119.1, 113.7, 108.9, 96.7, 87.6, 132.4) > q2 <- c(144.7, 173.4, 154.2, 154.7, 125.9, 119.5, 155.7, 213.9, + 156.2, 159) > q3 <- c(153.1, 192.5, 145.5, 168.8, 141.5, 141.2, 189.6, 178.4, + 208.6)
100
120
140
160
180
200
qudrimestre
índice
Coment´arios feitos sobre os box-plot a serem analisados.
2. (05 pontos) Com os dados do problema anterior calcule a m´edia, desvio padr˜ao e coeficiente de varia¸c˜ao dos dados de cada quadrimestre e compare os ´ındices dos quadrimestres usando estas medidas.
> q1.m <- c(mean(q1), sd(q1), 100 * sd(q1)/mean(q1)) > q2.m <- c(mean(q2), sd(q2), 100 * sd(q2)/mean(q2)) > q3.m <- c(mean(q3), sd(q3), 100 * sd(q3)/mean(q3))
> names(q1.m) <- names(q2.m) <- names(q3.m) <- c("m´edia", "desvio padr~ao", + "CV")
> q1.m
m´edia desvio padr~ao CV
114.72500 18.22751 15.88800
> q2.m
m´edia desvio padr~ao CV
155.72000 25.89379 16.62843
> q3.m
m´edia desvio padr~ao CV
168.80000 24.91726 14.76141
3. (05 pontos) Ainda com os dados do primeiro problema, fa¸ca um histograma e um gr´afico ramo-e-folhas dos ´ındices anuais (isto ´e, para todos os dados juntos).
> stem(c(q1, q2, q3))
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 8 | 87 10 | 9459 12 | 062 14 | 12556345669 16 | 938 18 | 03 20 | 94
> hist(c(q1, q2, q3), main = "", xlab = "´ındice", ylab = "frequ^encia")
índice
frequência
80
100
120
140
160
180
200
220
0
2
4
6
8
10
4. (10 pontos) O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em autom´oveis, sujeitos a uso cont´ınuo e severo, pode ser considerado com uma vari´avel aleat´oria cont´ınua, medida em anos. Suponha que a fun¸c˜ao de densidade ´e dada pela seguinte express˜ao:
f (x) = 1 4x, 0 ≤ x ≤ 2 1 8, 2 < x ≤ 6 0, caso contr´ario
(b) qual ´e a probabilidade de um autom´ovel, sujeito `as condi¸c˜oes descritas acima, necessitar de troca de amortecedores antes de 1 ano de uso? E entre 1 e 3 anos?
(c) supondo que um autom´ovel est´a h´a 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necess´ario fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
(d) qual ´e o tempo m´edio adequado para a troca de amortecedor desses autom´oveis? X : tempo de troca
> fx <- function(x) ifelse((x >= 0 & x <= 2), x/4, ifelse((x > 2 & + x <= 6), 1/8, 0))
> plot(fx, from = -1, to = 7) (a) > integrate(fx, 0, 6)
1 with absolute error < 1.1e-15 (b) > integrate(fx, 0, 1)
0.125 with absolute error < 1.4e-15 > integrate(fx, 1, 3)
0.5 with absolute error < 5.6e-15 (c) P [X < 4|x > 3] = P [3 < X < 4]/P [X > 3]
> integrate(fx, 3, 4)$val/integrate(fx, 3, 6)$val [1] 0.3333333
(d) > EX <- function(x) x * fx(x) > integrate(EX, 0, 6)
2.666667 with absolute error < 0.00016
5. (10 pontos) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as v´alvulas que produz tˆem uma dura¸c˜ao inferior a
20 horas. Uma ind´ustria compra semanalmente um grande lote de v´alvulas desse fabricante, mas sob a seguinte
condi¸c˜ao: ela aceita o lote se, em 10 v´alvulas escolhidas ao acaso, no m´aximo uma tiver dura¸c˜ao inferior a 20 horas; caso contr´ario o lote todo ´e rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem raz˜ao, qual a probabilidade do lote ser rejeitado?
(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto ´e, na verdade a propor¸c˜ao de v´alvulas com dura¸c˜ao inferior a 20 horas ´e de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o crit´erio acima?
X : n´umero de v´avulas com dura¸c˜ao inferior a 20 horas ; X ∼ Bin(n = 10, p = 0.05) (a) P [X > 1] = 1 − P [X ≤ 1] > 1 - pbinom(1, size = 10, p = 0.05) [1] 0.08613836 (b) X ∼ Bin(n = 10, p = 0.10) ; P [X ≤ 1] > pbinom(1, size = 10, p = 0.1) [1] 0.736099
6. (10 pontos) A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem ´e descrita por uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao normal de m´edia 60.000 km e desvio padr˜ao de 8.300 km.
(a) se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a propor¸c˜ao de pneus que dever´a ser trocada pela garantia?
(b) o que aconteceria com a propor¸c˜ao do item anterior se a garantia fosse dada para os primeiros 45.00 km? (c) qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no
(d) se voce comprar 4 pneus Rodabem qual ser´a a probabilidade de que voce utilizar´a a garantia (de 45.000 km) para trocar um ou mais destes pneus?
X : durabilidade X ∼ N (60.000, 8.3002) (a) 100 ∗ P [X < 48.000]
> round(100 * pnorm(48000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4) [1] 7.4119
(b) 100 ∗ P [X < 45.000]
> round(100 * pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4) [1] 3.5363
(c) P [X < k] = 0.02
> qnorm(0.02, mean = 60000, sd = 8300) [1] 42953.88
(d) Y : n´umero de pneus ; Y ∼ Bin(n = 4, p) P [Y ≥ 1] = 1 − P [Y = 0]
> p <- pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300) > 1 - pbinom(0, size = 4, prob = p)
