Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência

(1)

Ana Paula Martins Lima

Análise de Camadas Perfeitamente Casadas

em Simulações Bidimensionais do Método

dos Volumes Finitos no Domínio da

Frequência

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da UFBA

Orientador: Prof. Marcela Silva Novo

Salvador Setembro de 2014

(2)

Ana Paula Martins Lima Ana Paula Martins Lima recebeu o grau de bacharel em En-genharia Elétrica pela Universidade Federal da Bahia, em julho de 2011. Em setembro de 2013, foi contratada pela Pe-tróleo Brasileiro S.A. Petrobrás, como Engenheira de PePe-tróleo Junior.

Ficha Catalográﬁca

Lima, Ana Paula Martins

Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simula-ções Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domí-nio da Frequência / Ana Paula Martins Lima; orientador: Mar-cela Silva Novo. — Salvador : UFBA, Departamento de En-genharia Elétrica, 2014.

v., 107 f: il. ; 29,7 cm

1. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Departamento de Engenharia Elétrica.

Inclui referências bibliográﬁcas.

1. Engenharia Elétrica – Tese. 2. Camadas Perfeitamente Casadas. 3. Eletromagnetismo Computacional. 4. Método dos Volumes Finitos. 5. Número de Condição.

6. .

I. Novo, Marcela Silva. II. Universidade Federal da Bahia. Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título.

(3)

Ana Paula Martins Lima

Análise de Camadas Perfeitamente Casadas

em Simulações Bidimensionais do Método

dos Volumes Finitos no Domínio da

Frequência

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da UFBA. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Marcela Silva Novo Orientadora Departamento de Engenharia Elétrica — UFBA

Prof. Vitaly Félix Rodrìguez Esquerre Universidade Federal da Bahia - UFBA

Prof. Fernando Augusto Moreira Universidade Federal da Bahia - UFBA

Prof. José Ricardo Bergmann Pontíﬁcia Universidade Católica do Rio de Janeiro - PUC-Rio

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Agradecimentos

A realização deste projeto foi possível apenas com a ajuda e o apoio de algumas pessoas a quem devo expressar enorme gratidão. Primeiro, à minha orientadora, Profa Marcela Silva Novo, pela orientação que tornou esta Dissertação de Mestrado uma realidade.

Aos meu amigos em geral, pelo apoio e motivação nos momentos de maiores diﬁculdades e incertezas.

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnoló-gico) pelo suporte financeiro que contribui para a viabilização deste trabalho. Finalmente, um agradecimento especial aos meus pais. À minha mãe, Edimar Leiros Martins Lima, e ao meu pai, José Antônio de Carvalho Lima, por toda a confiança e apoio incondicional durante a realização deste trabalho.

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Resumo

Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Análise de Cama-das Perfeitamente CasaCama-das em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência. Salvador, 2014. 107p. Dissertação de Mestrado — Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia.

O objetivo principal deste trabalho é analisar a degradação do número de condição da matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo método dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas (PML) são utilizadas como condição de contorno absorventes (ABC) em estruturas coaxiais. O estudo do número de condição é realizado em conjunto com o estudo do coeficiente de reflexão da PML para assegurar níveis de absorção da onda satisfatórios. A modelagem numérica é realizada através da aplicação do FVM bidimensional (FVM-2D), incorporando ao domínio computacional PMLs cilíndricas nas direções longitudinal e radial. Dois perfis de atenuação da PML foram estudados: polinomial e geométrico. Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) também foi analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção. Para fins de comparação, dois métodos iterativos foram implementados e testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e método generalizado dos mínimos resíduos (GMRES). Em todos os casos considerados, os dois tipos de PML apresentaram desempenho semelhante em termos de absorcão da onda e do número de condição da matriz do sistema. Embora a PML tem sido aplicada com grande sucesso em métodos no domínio do tempo, sua utilização como ABC em métodos no domínio da frequência ainda é limitada. A inclusão da PML no domínio computacional aumenta significativamente o número de condicão da matriz do sistema e consequentemente deteriora a convergência dos métodos iterativos utilizados na solução do sistema.

Palavras–chave

Camadas Perfeitamente Casadas. Eletromagnetismo Computacional. Método dos Volumes Finitos. Número de Condição.

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Abstract

Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Analysis of Per-fectly Matched Layers for Bi-dimensional Finite Volume Simulations in the Frequency Domain. Salvador, 2014. 107p. MsC Thesis — Department of Electrical Engineering, Universidade Federal da Bahia.

The main objective of this work is to analyze the degradation of the condi-tion number of the matrix resulting from the discretizacondi-tion of Maxwell’s equations by finite volume method (FVM) when perfectly matched layers (PML) are used as absorbing boundary condition (ABC) in coaxial struc-tures. The study of the condition number is done in conjunction with the study of the reflection coefficient of PML to ensure satisfactory levels of wave absorption. The numerical modeling is done by using a bi-dimensional finite volume method (2-D FVM) that incorporates cylindrical PMLs in the radial and longitudinal directions. This is assessed by comparing the performance of two PML loss profiles, viz., polynomial and geometric grading. Moreo-ver, the Complex-Frequency Shifted Perfectly Matched Layer (CFS-PML) is also analyzed in order to evaluate what kind of PML has better conditio-ning for a given level of absorption. For comparison purposes, two iterative methods are implemented and tested: biconjugate gradient stabilized me-thod (BiCGSATB) and generalized minimal residual meme-thod (GMRES). Although PML has been used with great success in the time domain me-thods, in the frequency domain its usefulness is limited. The inclusion of the PML in computational domain significantly increases the CN of the matrix of the system and consequently the convergence deteriorates.

Keywords

Computational Electromagnetics. Condition Number. Finite Volume Method. Perfectly Matched Layer. .

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Sumário

1 Introdução 16

1.1 Contexto 16

1.2 Objetivos da Dissertação 19

1.3 Organização da Dissertação 20

2 Método dos Volumes Finitos 21

2.1 Introdução 21

2.2 Formulação do Problema 21

2.3 Discretização 22

2.3.1 Deﬁnição do Domínio do Problema 23

2.3.2 Discretização das Esquações 24

3 Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 29

3.1 PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas 30

3.2 Desempenho Teórico da PML 32

3.2.1 O Espaço Contínuo 32

3.2.2 O Espaço Discreto 33

3.3 Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) 37

4 Resultados Numéricos 40

4.1 Ajuste nos Parâmetros dos Métodos Iterativos e do Pré-Condicionador 41

4.2 PML na Direção Longitudinal 43

4.2.1 Validação 43

4.2.2 Estudo do Coeﬁciente de Reﬂexão Numérico 46

4.2.3 Estudo do Número de Condição 55

4.3 CFS-PML na Direção Longitudinal 61

4.4 Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Longitudinal 68

4.5 PML na Direção Radial 72

4.6 CFS-PML na Direção Radial 88

4.7 Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Radial 95

5 Conclusões 99

Referências Bibliográﬁcas 101

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Lista de ﬁguras

1.1 Conﬁguração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta

conven-cional. (b) Ferramenta direconven-cional. [7] 17

1.2 Resumo do contexto e motivação deste trabalho. 18

2.1 Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica. 23

2.2 Superfície constante na direção φ. 25

2.3 Superfície constante na direção ρ. 25

2.4 Superfície constante na direção z. 26

3.1 Perﬁl Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10

camadas com interface em z = 0. 35

3.2 Perﬁl Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10

camadas com interface em z = 0. 36

4.1 Geometria do problema bidimensional (2D) para aplicação da PML

na direção longitudinal. 41

4.2 Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção

longitudinal. 42

4.3 Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com

PML na direção longitudinal. 43

4.4 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos não utilizam pré-condicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2. 45 4.5 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de

guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico

igual a g = 3, 2. 46

4.6 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima)

e região mais próxima da fonte (embaixo). 47

4.7 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os

(9)

4.8 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os

casos, KP M L = 1. 51

4.9 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Em ambos os casos, N P M L = 6 e KP M L = 1. 52 4.10 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico

para valores da parte real da variável de expansão (KPML) difer-entes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6. 53 4.11 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores

do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP M L = 1. 58 4.12 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores

do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) difer-entes. Tanto para o perﬁl polinomial (em cima), quanto para o

geométrico (embaixo), N P M L = 6 e KP M L = 1. 59

4.13 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6. 60 4.14 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal

de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αmax

z = 10−5. 62

4.15 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima)

e região mais próxima da fonte (embaixo). 63

4.16 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da CFS-PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αmax

(10)

4.17 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores de α, utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6

e KP M L = 1. 65

4.18 αmax

z X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,

N P M L = 6. 66

4.19 Coeﬁciente de reﬂexão teórico X número de condição para difer-entes valores de αmax

z . No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os

casos, N P M L = 6 e KP M L = 1. 69

4.20 αmax

z X número de condição para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML). No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em

ambos os casos, N P M L = 6. 70

4.21 Frequência X número de condição para diferentes valores da con-dutividade da PML (σ). No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6, KP M L = 1 e αmax = 10−4. 71 4.22 Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção

radial. 73

4.23 Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com

PML na direção radial. 73

4.24 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos não utilizam pré-condicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2

e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2. 75

4.25 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2. 76 4.26 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial

de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima)

(11)

4.27 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os

casos, KP M L = 1. 78

4.28 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os

casos, KP M L = 1. 79

4.29 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e ge-ométrico (g) diferentes, utilizando o BICGSTAB. Em ambos os

casos, N P M L = 6 e KP M L = 1. 80

4.30 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores da parte real da variável de expansão (KPML) difer-entes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2.

Em ambos os casos, N P M L = 6. 81

4.31 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP M L = 1. 85 4.32 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores

do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) difer-entes. Tanto para o perﬁl polinomial (em cima), quanto para o

geométrico (embaixo), N P M L = 6 e KP M L = 1. 86

4.33 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6. 87 4.34 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de

um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de

escalona-mento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−5. 89

4.35 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Regiões onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima)

(12)

4.36 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de

escalona-mento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−3. 91

4.37 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico para valores de αmax

ρ diferentes, utilizando o método BICGSTAB. No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6

e KP M L = 1. 92

4.38 αmax

ρ X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,

N P M L = 6. 93

4.39 Coeﬁciente de reﬂexão teórico X número de condição para valores de αmax

ρ diferentes. No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,

N P M L = 6 e KP M L = 1. 96

4.40 αmax

ρ X número de condição para diferentes valores da parte real da variável de expansão (KPML). No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em

ambos os casos, N P M L = 6. 97

4.41 Frequência X número de condição para diferentes valores da con-dutividade da PML (σ). No perﬁl polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6, KP M L = 1 e αmax

(13)

Lista de tabelas

4.1 Dados de entrada utilizados na simulação de ajuste dos parâmetros

do pré-condicionador e dos métodos iterativos. 44

4.2 Número de iterações em função da droptol do pré-condicionador ILU. 44 4.3 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em

função do número de camadas da PML (N P M L). O coeﬁciente

de reﬂexão teórico utilizado é COEF = 10−6. 54

4.4 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função dos parâmetros m e g. O coeﬁciente de reﬂexão teórico

utilizado é COEF = 10−6. 54

4.5 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de KP M L. O coeﬁciente de reﬂexão teórico utilizado

é COEF = 10−6. 54

4.6 Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número de condição quando a PML é introduzida ao domínio na direção

longitudinal. 56

4.7 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do αmax

z , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1. 67 4.8 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em

função do KP M L, considerando COEF = 10−6 e αmax

z = 10−4. 67

4.9 Dados de entrada da validação do método FVM terminado com a

PML na direção radial. 72

4.10 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função do número de camadas da PML (N P M L). O coeﬁciente

de reﬂexão teórico utilizado é COEF = 10−6. 82

4.11 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função dos parâmetros m e g. O coeﬁciente de reﬂexão teórico

utilizado é COEF = 10−6. 82

4.12 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em função de KP M L. O coeﬁciente de reﬂexão teórico utilizado

é COEF = 10−6. 82

4.13 Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número de condição com a PML introduzida na direção radial. 83 4.14 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em

função de αmax

ρ , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1. 94 4.15 Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em

função de KP M L, considerando COEF = 10−6 e αmax

(14)

Sumário das notações

ABC - Absorbing Boundary Condition (Condição de Contorno Absorvente) Bi-CGSTAB - Biconjugate Gradient Stabilized Method (Método do Gradiente Bi-Conjugado Estabilizado)

CFS-PML - Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer COEF - Coeﬁciente de Reﬂexão Teórico

COEFN - Coeﬁciente de Reﬂexão Numérico CN - Condition Number (Número de Condição)

FDM - Finite diﬀerence Method (Método das Diferenças Finitas)

FDTD - Finite-Diﬀerence Time-Domain (Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo)

FETD - Finite-Element Time-Domain (Método dos Elementos Finitos no Domínio do Tempo)

FVM - Finite Volume Method (Método dos Volumes Finitos)

FVTD - Finite-Volume Time-Domain (Método dos Volumes Finitos no Domínio do Tempo)

GMERS - Generalized Minimal Residual Method (Método Generalizado dos Mínimos Resíduos)

ILU - Incomplete LU Factorization (Fatorização Incompleta LU) KPML - Parte Real da Variável de Expansão

LUINC - Pré-Ccondicionador baseado em fatorização LU Incompleta LWD - Logging-While-Drilling

NMM - Numerical Mode Matching (Método do Casamento de Modos) NPML - Número de Camadas da PML

PEC - Perfect Electrical Conductor (Condutor Elétrico Perfeito) PML - Perfectly Matched Layer (Camadas Perfeitamente Casadas) TOE - Taxa de Onda Estacionária

Nρ - Número de Volumes na Direção Radial Nφ - Número de Volumes na Direção Azimutal Nz - Número de Volumes na Direção Longitudinal µ - Permeabilidade Magnética do Meio (H/m) ϵ - Permissividade Elétrica do Meio (F/m) σ - Condutividade Elétrica do Meio (S/m)

(15)

Lista de tabelas 15

⃗

Js - Vetor Densidade de Corrente Elétrica (A/m2) ρ - Densidade de Carga Elétrica (C/m3₎

⃗

E - Vetor Intensidade de Campo Elétrico (V /m) ⃗

H - Vetor Intensidade de Campo Magnético (A/m) ∂Ω - Contorno da Região de Interesse

∆ρ - Incremento Espacial na Direção Radial ∆z - Incremento Espacial na Direção Longitudinal

˜

Sφ - Superfície Dual com Área dada por ∆ρ∆z Sρ - Superfície Primária com Área dada por ρi∆φ∆z

Sz - Superfície Primária com Área dada por (ρ2i+1− ρ2i)/2· ∆φ Iφ(i, k) - Componente da Corrente que atravessa a célula (i,k) I0 - Amplitude da Corrente de Excitação

rtx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Radial ztx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Longitudinal sρ - Variável de Expansão Complexa na Direção Radial

sz - Variável de Expansão Complexa na Direção Longitudinal ˜

ζ - Variável Espacial Complexa ˜

ρ - Variável Espacial Complexa na Direção Radial ˜

z - Variável Espacial Complexa na Direção Longitudinal ζ0 - Interface da PML

d - Espessura da PML R(θ) - Erro de Reflexão η - Impedância Característica Γ - Coeficiente de Reflexão

σζ - Condutividade da PML considerando Propagação na Direção ζ m - Índice de Escalonamento Polinomial

σmax

z - Condutividade Máxima na PML - Perﬁl Polinominal g - Índice de Escalonamento Geométrica

σ0

z - Condutividade Máxima na PML - Perﬁl Geométrico αζ - Parâmetro Adicional da CFS-PML

(16)

1 Introdução

1.1 Contexto

A grande dependência da sociedade atual com relação ao petróleo pode ser observada no dia a dia das pessoas. É difícil encontrar um setor ou mesmo um produto que seja completamente independente deste recurso natural. Seja como combustível para o transporte motorizado (gasolina e óleo diesel) ou na composição de produtos derivados (polímeros plásticos e até medicamentos), o petróleo está enraizado no cotidiano.

A descoberta de uma jazida de petróleo em uma nova área é uma tarefa que envolve um longo e dispendioso estudo e análise de dados geofísicos e geológicos das bacias sedimentares. A identiﬁcação de uma área favorável à acumulação de petróleo é realizada através de métodos geofísicos e geológicos, que, atuando em conjunto, conseguem indicar o local mais propício para a per-furação. Somente após exaustivo prognóstico do comportamento das diversas camadas do subsolo, os geólogos e geofísicos decidem propor a perfuração de um poço, que é a etapa que exige mais investimentos em todo processo de prospecção.

Mundialmente, já se constatou que a descoberta de novos reservatórios de grande porte se tornará cada vez mais rara com o passar dos anos. Ou seja, há um grande interesse na indústria petrolífera no desenvolvimento de novas técnicas exploratórias que visem reduzir o custo elevado do processo de exploração e que impulssionem uma maior recuperação dos ﬂuidos contidos nas formações.

Dentre as diferentes técnicas de exploração geofísica baseadas em méto-dos eletromagnéticos, a técnica de perﬁlagem de poços conhecida por Logging-while-drilling (LWD) tem recebido considerável atenção na comunidade cien-tíﬁca e nas empresas de exploração petrolífera [1–6].

A técnica LWD é de grande utilidade no geodirecionamento de poços di-recionais e/ou horizontais e a sua principal vantagem é o fato de prover infor-mações em tempo real das propriedades físicas das forinfor-mações, dos parâmetros

(17)

Capítulo 1. Introdução 17

geométricos dos poços (inclinação e azimute), além das propriedades mecâni-cas do processo de perfuração. O conjunto destas informações, quando obtido em tempo real, otimiza o processo de perfuração do poço e permite que as medidas do sensor sejam realizadas antes que o ﬂuído de perfuração invada a formação profundamente. Desta forma, evita-se que a resposta do sensor sofra qualquer alteração durante o processo da perfuração.

A conﬁguração básica da ferramenta LWD convencional e direcional, empregando antenas em espiras perpendiculares e inclinadas em relação ao eixo da ferramenta é dada na Figura 1.1.

Figura 1.1: Conﬁguração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta conven-cional. (b) Ferramenta direconven-cional. [7]

Com o objetivo de auxiliar no processo da perfuração de um poço, além de reduzir os custos altos na elaboração de novos protótipos e os custos en-volvidos na realização de testes em campo, é extremamente importante para a indústria petrolífera que as simulações númericas dos sensores de perfilagem LWD em ambientes complexos sejam rápidas e eficientes. Entretanto, a mode-lagem númerica em cenários tridimensionais (3D) complexos dessas ferramen-tas é um problema desafiador pois a solução eficiente e precisa de campos eletromagnéticos em domínios onde a região de interesse é ilimitada em uma ou mais direções e apresenta perdas baixas é bastante complexa. A Figura 1.2 resume o contexto e motivação deste trabalho.

(18)

Figura 1.2: Resumo do contexto e motivação deste trabalho.

Uma forma de viabilizar este tipo de modelagem é introduzir uma condição de contorno absorvente (ABC) nas fronteiras computacionais, simu-lando a condição de radiação de Sommerfeld no infinito. Com isso, é possível garantir que a solução do problema na região de interesse não seja contaminada por reflexões espúrias provenientes das fronteiras do domínio computacional [8]. Um tipo de ABC muito eficiente foi introduzido na literatura em 1994 por Berenger [9], denominada de camada perfeitamente casada (Perfectly Matched Layer - PML).

Embora as camadas perfeitamente casadas (PMLs) têm se mostrado muito eficientes em simulações por diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD), o comportamento deste tipo de ABC em métodos discretos no domínio da frequência, tais como elementos finitos, diferenças finitas e vo-lumes finitos, ainda não é satisfatório. Isto é devido ao aumento do número de condição da matriz do sistema resultante da discretização das equações pertinentes quando a PML é introduzida no domínio computacional [10–12]. Deve-se observar que o problema associado ao número de condição não é devido ao método ser no domínio da frequência, e sim se o método requer a solução de um sistema matricial de larga escala. Métodos no domínio do tempo tais como, método dos volumes finitos no domínio do tempo (FVTD) ou método dos elementos finitos no domínio do tempo (FETD), requerem a solução de um sistema matricial e podem também ser afetados pelo número de condição [13]. Por outro lado, alguns métodos no domínio da frequência, tais como o método do casamento de modos (NMM) podem produzir matrizes muito menores e serem menos afetados pelo problema do número de condição [14].

(19)

Cabe ressaltar que na análise de problemas de larga escala é essencial a utilização de métodos iterativos na solução do sistema de equações lineares para reduzir tempo de processamento e armazenamento em memória. Em geral, a convergência dos métodos iterativos torna-se mais pobre à medida que o número de condição da matriz do sistema aumenta. Em alguns casos, a convergência não é obtida. Tal limitação restringe a utilização de PMLs a problemas bidimensionais (2D), excluindo, portanto, uma série de aplicações onde é necessário uma modelagem tridimensional (3D).

Uma breve investigação da implementação de PMLs no FVM-3D foi rea-lizada em [7]. Inicialmente, o domínio computacional foi discretizado utilizando uma grade (Nρ, Nφ, Nz) = (50, 4, 200), totalizando 40.000 células. Quatro ca-madas de PML foram incorporadas ao domínio. A condutividade do meio era igual a 10−4 S/m e a frequência de operação era 200 MHz. O método iterativo Bi-CGStab convergiu após 4.771 iterações, com tempo de processamento de 52 minutos, para a solução sem PML. Para a solução com PML, entretanto, o número de iterações necessário para convergência aumentou para 22.428, com tempo de processamento de 4 horas e 13 minutos. Em seguida, com a ﬁnalidade de observar a convergência do método, aumentou-se o domínio para (Nρ, Nφ, Nz) = (50, 10, 200), totalizando 100.000 células. Neste caso, quando a solução por FVM com PML foi utilizada, o método iterativo não convergiu após 70.000 iterações.

Recentemente, uma formulação do método dos volumes ﬁnitos tridimen-sional (FVM-3D) foi desenvolvida e aplicada com sucesso na simulação da resposta eletromagnética de ferramentas LWD em formações geofísicas de per-das altas [7, 15–18]. Contudo, em formações de perper-das baixas, sua aplicação implica no aumento do domínio computacional. Sendo assim, para reduzir re-quisitos de memória e tempo de processamento, uma PML deve ser introduzida nas fronteiras deste domínio para absorver as ondas reﬂetidas nas terminações da grade.

Em [19, 20], um estudo inicial da degradação do número de condição da matriz resultante da discretização por volumes ﬁnitos das equações de Maxwell após a implementação de PMLs ao domínio computacional foi realizado. Estruturas coaxiais terminadas por PMLs longitudinais com perﬁl polinomial foram analisadas.

1.2

Objetivos da Dissertação

Este trabalho tem como objetivo principal analisar a degradação do número de condição da matriz resultante da discretização das equações de

(20)

Maxwell pelo método dos volumes ﬁnitos (FVM) quando camadas perfeita-mente casadas (PML) são utilizadas como condições de contorno absorventes (ABC) em estruturas coaxiais. A geometria coaxial imita o domínio computa-cional com um mandril metálico em torno do eixo z que é utilizado na simu-lação de ferramentas de perﬁlagens LWD. Como a análise do condicionamento da matriz não pode ser feita de forma isolada, o nível de absorção da PML também é estudado.

Para realizar as análises propostas neste trabalho, o algoritmo bidi-mensional (2D) do FVM desenvolvido em [7] é modificado, incorporando ao domínio computacional PML nas direções longitudinal e radial. Dois perfis de atenuação da PML são estudados: polinomial e geométrico. Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) também será analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML apresenta um condi-cionamento melhor para um dado nível de absorção. Para fins de comparação, dois métodos iterativos são implementados e testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e método generalizado dos mínimos resíduos reinicializado (RGMRES).

1.3

Organização da Dissertação

O presente trabalho é composto por 5 capítulos, sendo esta introdução o primeiro deles.

No capítulo 2 é apresentado um resumo do método dos volumes ﬁnitos (FVM) e as equações discretizadas do modelo bidimensional (2D).

O capítulo 3 é dedicado a apresentação da teoria das camadas perfeita-mente casadas (Perfectly Matched Layers - PML). A formulação da PML uti-lizada é a PML anisotrópica via coordenadas espaciais complexas em coorde-nadas cilíndricas.

No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos após implementação numérica do modelo em MATLAB.

As conclusões do trabalho são descritas no capítulo 5, incluindo sugestões de trabalhos futuros.

No Apêndice A estão listadas as publicações decorrentes da presente dissertação.

(21)

2 Método dos Volumes Finitos

2.1

Introdução

O Método dos Volumes Finitos (FVM) é uma técnica numérica que discretiza a forma integral das equações que definem um problema físico [21]. Neste trabalho, as equações que governam o problema são as equações de Maxwell. A variante do FVM utilizada aqui foi introduzida na literatura em [7] e é baseada em um esquema de grades entrelaçadas desenvolvido em coordenadas cilíndricas. A escolha do sistema de coordenadas cilíndricas é feita com o objetivo de eliminar os erros de aproximação de escada (staircasing) na geometria da ferramenta LWD e do poço de perfuração. No FVM, o domínio físico do problema é decomposto em volumes elementares, onde a função incógnita é constante dentro de cada um deles. Tal característica é semelhante no método das diferenças finitas (FDM). Entretanto cabe ressaltar que o FDM é uma técnica de solução de equações diferenciais parciais, aproximando as derivadas parciais por diferenças finitas. O FVM, como dito anteriormente, discretiza a forma integral das equações governantes.

Apresenta-se neste capítulo um resumo do modelo numérico bidimen-sional (2D) desenvolvido em [7].

2.2

Formulação do Problema

Considere-se a forma integral das equações de Maxwell dada por [22]: I C ⃗ E· d⃗l− iω ∫∫ S µ ⃗H· d⃗s = 0 (2-1a) I C ⃗ H· d⃗l− ∫∫ S (σ− iωϵ) ⃗E · d⃗s = ∫∫ S ⃗ Js· d⃗s (2-1b) ⃝ ∫∫ S ϵ ⃗E· d⃗s = ∫∫∫ V ρ dv (2-1c) ⃝ ∫∫ S µ ⃗H· d⃗s = 0 (2-1d)

(22)

Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 22

onde µ, ϵ, σ são a permeabilidade magnética, permissividade elétrica e condu-tividade elétrica do meio, respectivamente. ⃗Js é o vetor densidade de corrente elétrica e ρ é a densidade de carga elétrica. ⃗E e ⃗H são os vetores intensidades de campo elétrico e magnético, respectivamente. Neste trabalho, os campos são harmônicos com dependência temporal da forma e−iωt.

As equações (2-1) estão sujeitas a seguinte condição de contorno:

n× ⃗E_∂Ω= 0 (2-2)

onde ∂Ω é o contorno da região de interesse. Esta condição representa o truncamento do domínio através da introdução de um condutor elétrico perfeito (PEC) nas fronteiras da grade computacional.

Como a propagação de ondas eletromagnéticas no solo é um pro-blema cuja região de interesse é aberta (inﬁnita), sendo o domínio computa-cional truncado por PEC por limitação de armazenamento em memória, uma condição de contorno absorvente (ABC) deve ser introduzida nas fronteiras computacionais para simular a condição de radiação de Sommerfeld (campo nulo no inﬁnito). A implementação de uma ABC do tipo camadas perfeita-mente casadas (Perfectly Matched Layers - PMLs) na grade cilíndrica do FVM, objeto principal de estudo deste trabalho, será apresentada no Capítulo 3. 2.3

Discretização

O método dos volumes ﬁnitos (FVM) proposto em [7] e adotado neste trabalho, utiliza uma discretização espacial semelhante àquela introduzida no algoritmo de Kane Yee [23]. Cabe ressaltar que, assim como em [7], neste trabalho utiliza-se o FVM na solução da equação da onda no domínio da frequência e em coordenadas cilíndricas.

A discretização adotada neste trabalho utiliza duas grades entrelaçadas denominadas de grade primária e grade dual. A grade primária é aquela que ocupa todo o domínio computacional, incluindo as fronteiras - condutor elétrico perfeito (PEC) utilizado para truncar o domínio. A grade dual tem os pontos médios de suas arestas localizados nos centros das faces dos volumes primários. As componentes dos campos elétricos discretos são deﬁnidas nos pontos médios das arestas dos volumes primários. Esta escolha é adequada tendo em vista que as condições de contorno nas fronteiras do domínio são aplicadas ao campo elétrico. As componentes dos campos magnéticos discretos, por sua vez, são deﬁnidas nos pontos médios das arestas dos volumes duais (normais às faces dos volumes primários). O posicionamento dos campos no interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas utilizado na discretização dos

(23)

campos eletromagnéticos (EM) na grade cilíndrica do FVM está mostrado na Figura 2.1. ϕ H z H ρ H ) , , (i jk ρ E z E ϕ E

Figura 2.1: Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica.

2.3.1

Deﬁnição do Domínio do Problema

O modelo desenvolvido em [7] é tridimensional (3D), entretanto, este trabalho restringe-se ao modelo bidimensional (2D) para o tratamento de geometrias com simetria azimutal, pois o objetivo principal do trabalho é o estudo da degradação do número de condição da matriz do sistema linear associado quando PMLs são incorporadas ao domínio computacional. Em problemas com simetria azimutal, o campo elétrico ( ⃗E) só tem componente na direção φ e não varia na direção azimutal. O campo magnético ( ⃗H), por sua vez, tem componentes nas direções ρ e z.

Seja o domínio do problema contínuo (2-1) em coordenadas cilíndricas dado por (0, Lρ)× (0, Lz)⊂ ℜ2.

Inicialmente, considera-se apenas a discretização na direção radial. O intervalo (0, Lρ) é sub-dividido em Nρvolumes. Os vértices da aresta do volume primário i, que têm índices inteiros, compreende o intervalo entre os vértices ρi+1 e ρi (i = 1, ..., Nρ). Já a aresta do volume dual i, que é deﬁnido entre vértices de índices fracionários, compreende o intervalo entre os vértices ρi+3/2

e ρi+1/2 (i = 1, ..., Nρ−1). A discretização do domínio na direção longitudinal é

(24)

Desta forma, o domínio computacional é constituído por Nρ× Nz volumes primários.

Considerando-se a localização das componentes do campo elétrico ⃗E nos pontos médios das arestas dos volumes primários, a componente azimutal de

⃗

E é denotada por: Eφ(i,k); (i = 1,· · ·, Nρ; k = 1,· · ·, Nz). Analogamente, as componentes radial e longitudinal do campo magnético localizadas nos pontos médios das arestas dos volumes duais, são denotadas respectivamente por:

Hρ(i,k+1/2) e Hz(i+1/2,k); (i = 1,· · ·, Nρ− 1; k = 1, · · ·, Nz− 1).

Neste trabalho, utiliza-se uma grade uniforme sendo, portanto, cada ponto da grade identiﬁcado como:

P (i, k) = (i∆ρ, k∆z)    i = 1,· · ·, Nρ; k = 1,· · ·, Nz.

onde ∆ρ e ∆z são os incrementos espaciais nas direções radial e longitudinal. i e k referem-se aos índices nodais da grade primária.

2.3.2

Discretização das Esquações

Para se discretizar as equações rotacionais de Maxwell e derivar o sistema linear associado, aplica-se a lei de Ampère sobre a superfície dual eSφ com contorno ∂ eSφ, resultando: I ∂ ˜Sφ ⃗ H· d⃗l− ∫ ∫ ˜ Sφ (σ− iωϵ) ⃗E · d⃗s = ∫ ∫ ˜ Sφ ⃗ Js· d⃗s (2-3) onde eSφ é uma superfície cuja a área é dada por ∆ρ∆z.

Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.2 como superfície de integração em (2-3), tem-se: ( Hρ(i,k+1/2)− Hρ(i,k−1/2) ) ∆ρ +(Hz(i−1/2,k)− Hz(i+1/2,k) ) ∆z −(σ(i,k)− ıωϵ(i,k) ) Eφ(i,k)∆z∆ρ = Iφ(i,k) (2-4)

onde Iφ(i,k) é a componente da corrente que atravessa a célula (i, k).

O próximo passo é eliminar o campo magnético da equação (2-4) resul-tando em um sistema de equações lineares para campo elétrico. Para tanto, aplica-se a lei de Faraday sobre superfícies da grade primária.

A componente discreta do campo magnético na direção radial é obtida discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária Sρ, com contorno ∂Sρ. Assim, tem-se:

(25)

Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 25 ) , (i 12k z H ₊ ) , ( ki E_ϕ ) , (i 12k z H − ) , (ik−12 H_ρ ) , (ik+12 H_ρ 2 1 − i ρ 2 1 + i ρ i ρ z ρ 2 1 − i z 2 1 + i z

Figura 2.2: Superfície constante na direção φ.

) , ( ki

E

_ϕ ) , (_i_k+1₂

H

_ρ

z

) 1 , (ik+

E

_ϕ

(26)

Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 26 ) , (i 1₂k z H ₊ ) , ( ki E_ϕ ) , 1 (i k E_ϕ ₊

Figura 2.4: Superfície constante na direção z. I ∂Sρ ⃗ E· d⃗l− ∫ ∫ Sρ µ ⃗H· d⃗s = 0 (2-5)

onde Sρ é uma superfície cuja a área é dada por ρi∆φ∆z.

Integrando-se (2-5) sobre a superfície indicada na Figura 2.3, obtém-se:

Hρ(i,k+1/2) = ( Eφ(i,k)− Eφ(i,k+1) ) ıωµ(i,k+1/2)∆z (2-6a) Hρ(i,k−1/2) = ( Eφ(i,k−1)− Eφ(i,k) ) ıωµ(i,k−1/2)∆z (2-6b)

De forma análoga, a componente longitudinal de ⃗H é determinada discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária Sz, com contorno ∂Sz: I ∂Sz ⃗ E· d⃗l− ∫ ∫ Sz µ ⃗H· d⃗s = 0 (2-7)

Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.4 como superfície de integração em (2-7), tem-se:

Hz(i+1/2,k)=

(

ρi+1Eφ(i+1,k)− ρiEφ(i,k)

) ıωµ(i+1/2,k) ( ρ2 i+1− ρ2i ) (2-8a) Hz(i−1/2,k) = ( ρiEφ(i,k)− ρi−1Eφ(i−1,k) ) ıωµ(i−1/2,k) ( ρ2 i − ρ2i−1 ) (2-8b)

(27)

Substituindo-se as equações (2-8), (2-6) em (2-4), obtem-se um sistema de equações lineares da forma [A][X] = [B], onde:

– [A] é uma matriz não-Hermitiana complexa - Uma matriz hermitiana deve ser quadrada e os elementos de sua diagonal principal devem ser reais. Mais abstratamente, um operador A é hermitiano se, e somente se, ele é igual ao seu operador adjunto. Quando os termos fora da diagonal não são complexo conjugados, a matriz é chamada de não-hermitiana. – [X] é o vetor incógnita (campos elétricos discretos).

– [B] é a representação discreta da fonte.

Sendo assim, o sistema assume a seguinte forma: [( Eφ(i,k)− Eφ(i,k+1) ) ıωµ(i,k+1/2)∆z − ( Eφ(i,k−1)− Eφ(i,k) ) ıωµ(i,k−1/2)∆z ] ∆ρ+ [( ρiEφ(i,k)− ρi−1Eφ(i−1,k) ) ıωµ(i−1/2,k) ( ρ2 i − ρ2i−1 ) − (

ρi+1Eφ(i+1,k)− ρiEφ(i,k)

) ıωµ(i+1/2,k) ( ρ2 i+1− ρ2i ) ] ∆z− ( σ(i,k)− ıωϵ(i,k) ) Eφ(i,k)∆z∆ρ= Iφ(i,k) (2-9)

Os elementos não nulos da matriz esparsa [A] são dados por: – Para l = (i− 1) + (k − 2)(Nρ− 1) onde i = 2, ..., Nρ; k = 2, ..., Nz. 1. Para c = (i− 1) + (k − 3)(Nρ− 1) Alc = [ −(ρi+1/2− ρi−1/2 ) ıωµ(i,k−1/2)∆z ] (2-10) 2. Para c = (i− 2) + (k − 2)(Nρ− 1) Alc = [ −2ρi−1∆z ıωµ(i−1/2,k) ( ρ2_i − ρ2_i₋₁)] (2-11) 3. Para c = (i− 1) + (k − 2)(Nρ− 1) Alc = [( ρi+1/2− ρi−1/2 ) ıωµ(i,k+1/2)∆z + ( ρi+1/2− ρi−1/2 ) ıωµ(i,k−1/2)∆z + 2ρi∆z ıωµ(i−1/2,k) ( ρ2 i − ρ2i−1 ) + 2ρi∆z ıωµ(i+1/2,k) ( ρ2 i+1− ρ2i )− ( σ(i,k)− ıωϵ(i,k) ) ∆z(ρi+1/2− ρi−1/2 )] (2-12)

(28)

Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos 28 4. Para c = (i) + (k− 2)(Nρ− 1) Alc = [ −2ρi+1∆z ıωµ(i+1/2,k) ( ρ2_i+1− ρ2_i)] (2-13) 5. Para c = (i− 1) + (k − 1)(Nρ− 1) Alc = [ −(ρi+1/2− ρi−1/2 ) ıωµ(i,k+1/2)∆z ] (2-14)

Os elementos do vetor ⃗B são dados por:

Bc =    Io, se c = (rtx− 1) + (ztx− 2) · (Nρ− 1); 0, caso contrário.

onde Io é a amplitude da corrente de excitação. rtx e ztx são os volumes da posição da corrente de excitação na direção radial e longitudinal, respectiva-mente.

A fonte de excitação utilizada neste trabalho consiste de uma antena em espira circular perpendicular ao eixo z.

(29)

3 Camadas Perfeitamente Casadas (PML)

Um dos maiores desafios dos métodos numéricos discretos tem sido obter uma solução eficiente e precisa da propagação da onda eletromagnética em regiões sem fronteiras. Para tais problemas, uma condição de contorno absorvente (Absorbing Boundary Condition - ABC) deve ser introduzida nas fronteiras do domínio computacional para simular o infinito.

Uma alternativa para realizar uma ABC é terminar a fronteira espacial com um material absorvente. Idealmente, o meio absorvente é bem fino, não apresenta reflexão para qualquer que seja a frequência e incidência da onda, altamente absorvente e eficiente no campo próximo a fonte. Na tentativa de formular uma ABC, Holland utilizou um meio absorvente convencional, não dispersivo e com perdas [24]. A limitação desta formulação está no fato de que a mesma só se aplica a ondas com incidência normal.

Em 1994, Berenger eliminou o problema da limitação do ângulo de incidência da onda com a introdução de um material absorvente altamente eficiente e aplicável a ondas de incidência, polarização e frequências arbitrárias [9], denominado de camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layer -PML). Berenger definiu uma nova formulação de campos-decompostos (split-field formulation) das equações de Maxwell, onde cada componente do vetor do campo é dividida em duas novas componentes ortogonais [9].

Após os trabalhos de Berenger, muitos artigos surgiram na literatura tanto para validar a PML quanto para implementá-la no FDTD em problemas de diferentes áreas [25–45]. Estudos também foram realizados com o objetivo de melhorar o desempenho da PML [46–50], a qual mostrou desempenho superior ao de outras ABCs desenvolvidas anteriormente.

Ainda em 1994, Chew e Weedon apresentaram uma formulação diferente para a teoria das PMLs em [26], aplicando-a ao domínio da frequência através de uma expansão complexa das coordenadas espaciais. Logo, foi possível facilitar a compreensão do comportamento da PML, pois se tornou mais simples a manipulação das equações matematicamente. Além disso, a partir dessa formulação, o mapeamento da PML nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas se tornou viável.

(30)

Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 30

Apesar de todo o avanço no estudo da PML, ainda faltava uma formu-lação que não alterasse as equações de Maxwell. Foi com esse propósito que Sacks [51] derivou a PML anisotrópica, que modiﬁca as propriedades cons-titutivas dentro da região da PML. Nesta formulação, a permeabilidade e a permissividade são deﬁnidas como tensores diagonais, assegurando-se que on-das planas sejam absorvion-das independente do ângulo de incidência, polarização ou frequência. A introdução de perdas nos tensores resultou em um meio ab-sorvente perfeitamente casado.

Com a formulação da PML através da expansão complexa das coorde-nadas espaciais e da PML anisotrópica já desenvolvidas, havia ainda a necessi-dade de uma formulação que reunisse as vantagens de cada uma delas. Teixeira e Chew preencheram essa lacuna derivando em [55] tensores constitutivos (em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas) para a PML anisotrópica a partir das equações de Maxwell no espaço complexo.

Neste trabalho, a formulação da PML utilizada é a PML anisotrópica via coordenadas espaciais complexas em coordenadas cilíndricas desenvolvida em [55]. A implementação da PML é em coordenadas cilíndricas por apresentar maior conformidade com a geometria dos poços e ferramentas de perﬁlagem petrolífera.

3.1

PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas

Conforme mencionado na introdução deste capítulo, a PML foi original-mente derivada através da introdução de condutividades, elétrica e magnética, artiﬁcialmente casadas, e através de uma divisão das componentes de campo eletromagnético em subcomponentes [9]. Uma formulação alternativa foi poste-riormente dada por [26], na qual foi mostrada que a PML pode ser relacionada com uma expansão complexa das coordenadas cartesianas no domínio da fre-qüência. Neste trabalho, a PML cilíndrica incorporada à grade computacional do método dos volumes ﬁnitos segue a formulação derivada em [55].

A partir da expansão complexa das coordenadas espaciais, as equações de Maxwell na região da PML são modiﬁcadas para:

e ∇ × ⃗H =−ıωϵ ⃗E (3-1a) e ∇ × ⃗E = ıωµ ⃗H (3-1b) e ∇ · ϵ ⃗E = 0 (3-1c) e ∇ · µ ⃗H = 0 (3-1d) onde

(31)

Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 31 e ∇ = 1 sρ ∂ ∂ρ⃗aρ+ 1 sφ ∂ ∂φ⃗aφ+ 1 sz ∂ ∂z⃗az (3-2)

representa o operador Nabla modiﬁcado em coordenadas cilíndricas. Nota-se que não existe PML na direção azimutal φ, logo não há expansão complexa nesta direção. Entretanto, sφ é mantido em (3-2), sendo deﬁnido por sφ = ( ˜ρ/ρ), como será deduzido mais adiante.

Considere a variável de expansão complexa sζ dada por: sζ = κζ(ζ) + ı

σζ(ζ) ωϵ0

(3-3) onde ζ = ρ, z; κζ e σζ são funções de perﬁl da PML. Observa-se também que κζ ≥ 1 garante que ondas evanescentes sofrerão atenuação exponencial mais rápida na região da PML e σζ ≥ 0 assegura que ondas propagantes sofrerão uma atenuação exponencial adicional. Dentro da região da PML, os modos de propagação longitudinais são transformados em e−κzβ|z|_e−ıβ_ωϵ0σz |z|_;

onde β = ω√µ0ϵ0, e similarmente para os modos radiais em termos de funções

de Hankel. Assim, os modos de propagação transformados exibem decaimento exponencial dentro da PML, reduzindo portanto as reﬂexões espúrias das terminações da grade. Cabe ressaltar que as equações de Maxwell são um caso especial das equações (3-1) quando sζ = 1. Logo, as variáveis da expansão complexa podem ser entendidas como graus de liberdade acrescentados as equações de Maxwell.

Uma maneira direta e elegante de verificar a característica de casamento perfeito (reflexão nula) que deve existir na PML é observar que as variáveis de expansão complexa são apenas um mapeamento particular das coordenadas espaciais para o espaço complexo (i.e. uma continuação analítica das variáveis espaciais) [56]. Este mapeamento é definido da seguinte forma:

ζ → eζ = ζ0+ ∫ ζ ζ0 sζ(ζ′)dζ′ = ζ0+ ∫ ζ ζ0 ( κζ(ζ′) + ı σζ(ζ′) ωϵ0 ) (3-4) de modo que 1 sζ ∂ ∂ζ = ∂ ∂ ˜ζ (3-5)

em conformidade com o operador Nabla deﬁnido em (3-2). eζ representa a variável espacial complexa e ζ0 representa a interface da PML.

No sistema de coordenadas cilíndricas, a lei de Faraday no espaço complexo pode ser escrita como:

(32)

Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 32 ıωµH_ρc = 1 ˜ ρ ∂Ec z ∂φ − ∂Ec φ ∂ ˜z (3-6a) ıωµH_φc = ∂E c ρ ∂ ˜z − ∂Ec z ∂ ˜ρ (3-6b) ıωµH_zc = 1 ˜ ρ ∂ ∂ ˜ρ(˜ρE c φ)− 1 ˜ ρ ∂Ec ρ ∂φ (3-6c)

onde eρ e ez são as variáveis espaciais complexas deﬁnidas em (3-4). Observa-se que os campos em (3-6) não satisfazem as equações de Maxwell quando sζ ̸= 1, ou seja, dentro da PML. Para tornar isto mais explícito, adiciona-se o sobreescrito c nas variáveis dos campos.

Da deﬁnição da variável espacial complexa ˜ζ em (3-4), tem-se ∂/∂ ˜z = (1/sz)∂/∂z e ∂/∂ ˜ρ = (1/sρ)∂/∂ρ. Se estas últimas identidades forem substi-tuídas em (3-6), e multiplicar (3-6a) por sz(˜ρ/ρ), (3-6b) por szsρ, e (3-6c) por sρ( ˜ρ/ρ), então (3-6) pode ser reformulada da seguinte forma:

ıωµ [( ˜ ρ ρ ) ( sz sρ )] ( sρHρc ) = 1 ρ ∂ ∂φ(szE c z)− ∂ ∂z ( ˜ ρEc φ ρ ) (3-7a) ıωµ [( ρ ˜ ρ ) szsρ ] ( ˜ ρH_φc ρ ) = ∂ ∂z(sρE c ρ)− ∂ ∂ρ(szE c z) (3-7b) ıωµ [( ˜ ρ ρ ) sρ sz ] (szHzc) = 1 ρ ∂ ∂ρ [ ρ ( ˜ ρE_φc ρ )] − 1 ρ ∂ ∂ϕ ( sρEρc ) (3-7c)

A partir de (3-7) e de suas duais (lei de Ampère), um novo conjunto de campos deﬁnido por Ea

ρ = sρEρc, Eφa = sφEφc e Eza = szEzc (similar para o campo magnético), obedece as equações de Maxwell em um meio anisotrópico de parâmetros constitutivos ¯µ = µ ¯Λ e ¯ϵ = ϵ ¯Λ, com

¯ Λ = ( ˜ ρ ρ ) ( sz sρ ) ⃗aρ+ ( ρ ˜ ρ ) (szsρ)⃗aφ+ ( ˜ ρ ρ ) ( sρ sz ) ⃗az (3-8)

onde tem-se sφ = ( ˜ρ/ρ) de forma que o tensor (3-8) e as equações de mapeamento do campo (3-7) têm o mesmo formato das suas respectivas expressões no sistema de coordenadas Cartesianas.

3.2

Desempenho Teórico da PML 3.2.1

O Espaço Contínuo

Considere uma PML de espessura d terminada por um condutor elétrico perfeito (PEC) e que uma onda incide na PML com um ângulo de incidência

(33)

θ em relação a uma superfície normal na direção ζ. A reﬂexão da onda na superfície da PML pode ser computada de forma semelhante ao cálculo da reﬂexão em uma linha de transmissão, ou seja:

R(θ) = e−2σζηd cos θ _(3-9)

onde η e σζ são a impedância característica da onda na PML e sua condutivi-dade (considerando propagação na direção ζ), respectivamente.

Computacionalmente, R(θ) é referido como “erro de reflexão"visto que consiste de uma reflexão não-física devida ao PEC que finaliza a PML. Nota-se que o erro de reflexão é o mesmo tanto para PML de campos-decompostos como para PML anisotrópica, uma vez que ambas suportam a mesma equação da onda. Cabe observar que este erro decresce exponencialmente com σζ e d. Contudo, o erro de reflexão aumenta com ecos(θ)_{, atingindo o seu pior caso para}

θ = 90o_{. Neste ângulo de incidência, tem-se R = 1 e a PML é completamente} ineficiente. Para que a PML seja eficiente em simulações computacionais, R(θ) deve ser o menor possível. Cabe ressaltar que para uma PML fina σζ deve ser o mais alto possível para reduzir R(θ) a níveis aceitáveis, especialmente para valores de θ próximos de 90◦.

3.2.2

O Espaço Discreto

Classiﬁcação dos parâmetros de atenuação da PML

No espaço contínuo, uma transmissão total da onda (sem reflexão) pode ocorrer na interface da PML. Entretanto, em representações discretas das equações de Maxwell, discrepâncias numéricas aparecem devido a amostragem espacial finita. Consequentemente, a implementação da PML com um único passo de descontinuidade na condutividade da PML na grade computacional leva a reflexões espúrias significativas na superfície da PML.

Para reduzir este erro de reflexão, Berenger propôs que as perdas da PML ao longo da direção normal até a superfície aumentassem gradualmente a partir de zero [9]. Assumindo tal escalonamento, a PML permanece casada. Seguindo esta idéia, considere uma onda plana propagando-se na direção z e incidindo em uma PML (ângulo de incidência θ) de espessura d, terminada por PEC, cuja a interface está localizada em z = 0. Assumindo-se um perfil de condutividade da PML σz(z), o erro de reflexão é dado por:

R(θ) = e−2η cos θ∫0dσz(z)dz (3-10)

Vários perfis foram sugeridos na literatura para escalonar σz(z) e κz(z) (parte real da expansão complexa). Os perfis mais eficientes utilizam uma

(34)

variação polinomial ou geométrica para a perda da PML na direção longitudi-nal [46].

1. Escalonamento Polinomial

O escalonamento polinomial adotado neste trabalho é dado por: σz(z) = (_z d )m σ_zmax (3-11a) κz(z) = 1 + (κmaxz − 1) (_z d )m (3-11b)

onde m é o índice do escalonamento polinomial. Nota-se que neste tipo de escalonamento o valor de σz aumenta de zero em z = 0 (interface da PML) até σmax_z em z = d (fronteira PEC). De forma análoga, κz aumenta de um em z = 0 até κmax_z em z = d.

Substituindo (3-11) em (3-10), obtém-se:

R(θ) = e−2ησzmaxd cos θ/(m+1) _(3-12)

Cabe ressaltar que valores elevados de m leva a uma distribuição de σz(z) relativamente plana perto da região da PML. Contudo, no interior da PML, σz aumenta mais rapidamente do que para valores baixos de m. Nesta região, as amplitudes do campo são substancialmente reduzidas e reﬂexões devidas a erro de discretização interferem menos. Tipicamente, 3 ≤ m ≤ 4 são considerados valores ótimos para simulações no método das diferenças ﬁnitas no domínio do tempo (FDTD) [32, 46, 47, 53]. Os parâmetros da PML podem ser rapidamente determinados para um dado erro estimado. Por exemplo, sejam m, d e o erro desejado R(0) conhecidos. Então, a partir de (3-12), σmax_z é dado por:

σ_zmax=−(m + 1) ln[R(0)]

2ηd (3-13)

A Figura 3.1 ilustra o perﬁl polinomial para uma PML de 10 camadas com interface em z = 0.

2. Escalonamento Geométrico

O perﬁl geométrico de perda da PML adotado é o seguinte [47]: σz(z) = ( g∆z1 )z σ0_z (3-14a) κz(z) = ( g∆z1 )z (3-14b)

(35)

Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 z σz (z) m=1 m=2 m=3 m=4 m=5

Figura 3.1: Perﬁl Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10 camadas com interface em z = 0.

onde σ_z0 é a condutividade da PML em sua interface, g é o fator de escalonamento e ∆z é o incremento espacial do FVM. Aqui, a condutividade da PML aumenta de σ0

z, em sua interface, para g

d

∆σ0

z,

na fronteira do PEC. Substituindo-se (3-14) em (3-10) resulta em: R(θ) = e−2ησ 0 z∆z ( g∆zd −1 ) cos θ/ ln g (3-15) Ressalta-se que σ0

z deve ser pequeno para minimizar o erro de discretiza-ção inicial e a métrica g > 1 governa a taxa de aumento da condutividade dentro da PML. Valores elevados de g tornam o perﬁl da condutividade plano próximo a z = 0, aumentando o valor no interior da PML. Nor-malmente, g, d e R(0) são pré-determinados. Dessa forma, tem-se:

σ_z0 =− ln[R(0)] ln(g) 2η∆z

(

g∆zd − 1

) (3-16)

A Figura 3.2 ilustra o perﬁl geométrico para uma PML de 10 camadas com interface em z = 0.

Cabe observar que neste trabalho foram implementadas PMLs nas di-reções longitudinal e radial. O escalonamento utilizado na direção radial é idêntico ao da direção longitudinal. Portanto, para PML radial, utiliza-se os mesmos escalonamentos apresentados nas equações de (3-11) a (3-16), apenas com a mudança da variável de z para ρ.

(36)

Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML) 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 z σz (z) g=2.0 g=2.4 g=2.8 g=3.2 g=3.4

Figura 3.2: Perﬁl Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10 camadas com interface em z = 0.

Erro de Discretização

O projeto de uma PML eﬁciente requer um equilíbrio entre o erro de reﬂexão teórico, R(θ), e o erro de discretização numérico. Por exemplo, (3-13) fornece σmax

z para R(0) e m pré-determinados. Se σzmax é pequeno, a reflexão primária da PML é proveniente da PEC. A equação (3-10) fornece uma aproximação precisa do erro de reflexão para este caso. Contudo, normalmente define-se o valor de σmax

z o maior possível visando minimizar R(θ). Infelizmente, se σmax

z é muito elevado, o erro de discretização devido a aproximação do método numérico domina, e o erro de reﬂexão real é de ordem de grandeza superior ao que (3-10) prediz. Consequentemente, há uma escolha ótima para σmax_z que equilibra a reﬂexão da PEC e o erro de discretização.

Cabe ressaltar que Berenger postulou que o maior erro de discretização manifestado como reflexão ocorre em z = 0, na interface da PML [46, 47]. Qualquer energia de onda que penetrar mais na PML e for refletida, sofre atenuação antes e depois do ponto de reflexão, e tipicamente não é uma grande contribuição. Portanto, é aconselhável minimizar a descontinuidade em z = 0. Como discutido anteriormente, uma maneira de obter tal característica é tornar mais plano o perfil de perda da PML em z = 0. Contudo, se o aumento da perda com a profundidade for muito rápido, reflexões no interior da PML podem predominar.

(37)

3.3

Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) O desempenho da PML, até o momento, levou em consideração apenas a absorção da onda propagante com ângulos de incidência próximo da normal. Entretanto, já foi observado que, em implementações numéricas da PML no método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD), podem ocorrer reflexões espúrias nos casos onde a onda incide na PML com ângulos de incidência quase rasantes. Tal comportamento é observado quando a PML finaliza um domínio muito longo. Além disso, indícies de reflexão altos podem ocorrer quando a onda é evanescente. Isto ocorre quando a fronteira da PML está localizada muito perto de uma singularidade do campo, por exemplo, próximo a uma borda ou canto metálico ou na região de campo próximo de uma antena.

Em geral, a PML é projetada para absorver ondas propagantes e ondas evanescentes. Entretanto, para se ter uma maior compreensão das vantagens e desvantagens na utilização da CFS-PML como ABC, faz-se necessário compará-la com a PML quanto ao nível de absorção.

Pela teoria eletromagnética, tem-se que o coeﬁciente de reﬂexão quando uma onda incide do meio 1 (meio sem perdas) para o meio 2 (PML) é dado por: Γ = η1 − η2 η1+ η2 (3-17) sendo η1 = √ µ1 ϵ1 (3-18a) η2 = v u u u tµ2 ( 1 + σ∗ζ ıωµ2 ) ϵ2 ( 1 + σζ ıωϵ2 ) (3-18b)

onde µ1 e µ2 são a permeabilidade magnética dos meios 1 e 2, respectivamente;

ϵ1 e ϵ2 são a permissividade elétrica dos meios 1 e 2, respectivamente.

Considerando que √ µ1 ϵ1 = √ µ2 ϵ2 = √ µo

ϵo e observando que a interface

entre o meio sem perdas e a PML é na grade primária, ou seja, apenas as componentes do campo elétrico estão presentes, deduz-se que

(

1 + σ∗

ıωµ2

) = 1. Sendo assim, após substituir (3-18) em (3-17) e realizar algumas manipulações matemáticas, obtém-se a seguinte relação para o coeﬁciente de reﬂexão: