Resultados Numéricos - Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do

Os modelos teóricos desenvolvidos nas seções anteriores foram implementados em Matlab para simular computacionalmente a distribuição de campos eletromagnéticos em geometrias coaxiais bi-dimensionais (2D) terminadas por condicões de contorno absorventes (ABC) do tipo camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layer - PML). A geometria coaxial 2D imita a geometria das ferramentas de perfilagem de poços petrolíferos logging-while- drilling (LWD). Entretanto, como mencionado nos capítulos anteriores, o objetivo principal desta dissertação e, portanto, das simulações aqui realizadas, é analisar o coeficiente de reflexão e a degradação do número de condição da matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo método dos volumes finitos (FVM) no domínio da frequência quando PML são incorpo- radas ao domínio computacional. Dois tipos de PML cilíndricas foram anali- sadas: PML (anisotrópica via coordenadas stretching) e CFS-PML (Complex frequency shifted -PML). Além disso, para efeitos de comparação, dois perfis de escalonamento da condutividade no interior da PML são implementados: perfil polinomial e perfil geométrico.

O sistema de equações lineares resultante é resolvido por dois méto- dos iterativos: Método do Gradiente Bi-Conjugado Estabilizado (BICGSTAB) e o Método Generalizado dos Mínimos Resíduos (GMRES). Para acelerar a convergência da solução, utiliza-se pré-condicionadores baseados em fa- torização LU incompleta (LUINC). Ambos os métodos iterativos e os pré- condicionadores fazem parte do toolbox do Matlab.

As simulações são realizadas em um PC com processador Intel Core i7 3,4 GHz e 32Gb RAM.

As ferramentas de perﬁlagem de poços LWD operam na faixa de 100 kHz a 4 MHz, sendo 2 MHz a frequência comercial. A menos que mencionado, a frequência utilizada nas simulações desta dissertação é 2 MHz. Além disso, a permissividade relativa e a permeabilidade relativa do meio são consideradas unitárias em todas as simulações.

A Figura 4.1 ilustra a geometria do problema físico. Neste caso, considera- se uma região interior (sem perdas), denominada formação, limitada por

Capítulo 4. Resultados Numéricos 41

Figura 4.1: Geometria do problema bidimensional (2D) para aplicação da PML na direção longitudinal.

uma superfície cilíndrica metálica (condutor elétrico perfeito), com o eixo coincidente com o eixo dos z e raio interno ρ = ρ1. A região que compreende a

formação é ilimitada nas direções radial e longitudinal. Essa geometria imita o cenário da ferramenta de perﬁlagem operando em um poço de perfuração cujo raio interno é ρ1 = 0, 1016m.

4.1

Ajuste nos Parâmetros dos Métodos Iterativos e do Pré-Condicionador Para um melhor desempenho do pré-condicionador e dos métodos iterativos aqui utilizados, é necessário que seus valores de entrada sejam os mais adequados possíveis. Para realizar tal ajuste foi utilizada a geometria do problema com a PML na direção longitudinal.

Considera-se uma região interior (sem perdas) a duas superfícies cilín- dricas metálicas (condutores elétricos perfeitos), com o eixo coincidente com o eixo dos z, ρ = ρ1 e ρ = ρ2, respectivamente. Essa geometria imita o cenário

da ferramenta de perﬁlagem operando em um poço de perfuração cujo raio interno é ρ1 = 0, 1016m. O raio externo que termina a região de interesse

é ρ2 = 110, 1016m. Como a região é ilimitada em z, para desenvolvimento

do modelo numérico, a região é terminada em z = z1 e z = z2 por PML.

A Figura 4.2 ilustra o domínio do modelo computacional simulado, incluindo uma PML longitudinal de espessura d. A espessura da PML compreende o número de células na PML multiplicado pelo tamanho da célula. Os cortes transversal e longitudinal do modelo computacional é mostrado na Figura 4.3. A Tabela 4.1 apresenta os valores iniciais utilizados na simulação.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 42

Figura 4.2: Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção longitudinal.

As funções do pré-condicionador e dos métodos iterativos no Matlab apresentam a seguinte forma:

– [M 1, M 2] = luinc(A, droptol)

– [x, iter] = bicgstab(A, b, tol, maxit, M 1, M 2) – [x, iter] = gmres(A, b, tol, maxit, M 1, M 2)

Inicialmente foram definidos alguns valores de entrada para essas funções. As matrizes A e b são definidas pelo problema, fazendo parte do sistema de equações lineares [A][x] = [b], no qual a solução que se deseja obter é o vetor incógnita x. Para que esta solução seja a mais precisa possível, é definida uma tolerância (critério de parada) para os métodos iterativos bem exigente, tol = 10−12. As matrizes M 1 e M 2 são obtidas do pré-condicionador, sendo matrizes triangular inferior e superior, respectivamente. O número máximo de iterações adotado para os métodos iterativos BICGST AB e GM RES é de maxit = 3.000.

Para acelerar a convergência dos métodos é necessário deﬁnir também valores apropriados para a tolerância de descarte (drop tolerance - dtol ) utilizada na fatorização incompleta LU (ILU). Sabe-se que a escolha ótima deste parâmetro não é trivial, em especial em problemas mal-condicionados, sendo fortemente dependente da matriz do problema.

Com o objetivo de utilizar nas simulações futuras um valor razoável para droptol, foi realizado um estudo do número de iterações em função da droptol.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 43

Figura 4.3: Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com PML na direção longitudinal.

Os resultados estão na Tabela 4.2. Observa-se que a medida que a droptol diminui, o número de iterações necessário para convergência também diminui. Cabe ressaltar que o método pode convergir ou não para a solução correta e, portanto, adota-se um valor intermédiário (e não aquele com o menor número de iterações) para este parâmetro, ou seja, droptol = 10−3.

Com todos os parâmetros do pré-condicionador e dos métodos iterativos deﬁnidos inicialmente, passa-se para a próxima etapa, que consiste na validação do método FVM.

4.2

PML na Direção Longitudinal 4.2.1

Validação

Para validar o modelo 2D FVM com PML na direção longitudinal, o algoritmo é aplicado a um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os resultados númericos são comparados com os resultados obtidos através de soluções analíticas. A geometria do problema está ilustrada nas Figuras 4.2 e 4.3. Os dados iniciais utilizados nesta simulção estão contidos na Tabela 4.1.

A Figura 4.4 apresenta a distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal do guia em questão. Nesta simulação, utiliza-se os métodos GM RES e BICGST AB sem pré-condicionamento. Para ﬁns de comparação, neste caso, assim como no restante do trabalho, dois perﬁs de escalonamento para a condutividade da PML são utilizados: polinomial e geométrico. Observa-

Capítulo 4. Resultados Numéricos 44

Tabela 4.1: Dados de entrada utilizados na simulação de ajuste dos parâmetros do pré-condicionador e dos métodos iterativos.

Número de células em ρ 50

Número de células em z 300

Existência da PML na direção ρ Não

Existência da PML na direção z Sim

Número de camadas PML 8

Fator de escalonamento polinomial 2

Fator de escalonamento geométrico 3,2

Valor máximo da parte real da coordenada stretching 1

Célula da fonte em ρ 10

Célula da fonte em z 150

Célula do ponto de observação em ρ 40

Célula do ponto de observação em z 5

Tamanho da célula em ρ 2,2 m

Tamanho da célula em z 5 m

Condutividade do meio 0

Coeﬁciente de reﬂexão teórico máximo 10−6

αmax 0

Tabela 4.2: Número de iterações em função da droptol do pré-condicionador ILU.

ITERAÇÕES BICGSTAB ITERAÇÕES GMRES

droptol Sem PML Polin. Geom. Sem PML Polin. Geom.

10−1 2.163 2.332 2.391 412 418 417 10−2 216 337 352 129 138 132 10−3 82 103 110 60 60 60 10−4 14 18 18 19 23 22 10−5 4 3 3 7 7 7 10−6 2 2 2 4 4 4

se que, apesar da ausência do pré-condicionador, o método GM RES conseguiu convergir para o resultado correto após 1.637 e 1.333 iterações, para o perfil polinomial e geométrico, respectivamente. A simulação demorou 691 segundos, aproximadamente. Entretanto, o método BICGST AB não conseguiu obter o mesmo êxito e, após 143 (perfil polinomial) e 145 (perfil geométrico) iterações, o método convergiu para o resultado errado. Neste caso, a simulação levou aproximadamente 7 segundos para terminar.

Em seguida, realiza-se a mesma simulação, mas utilizando o pré- condicionador ILU em conjunto com os métodos iterativos na solução do sistema linear. A Figura 4.5 mostra a distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal para este caso. Nesta simulação, inclui-se a resposta da distribuição do campo quando a PML não está incorporada ao domínio, ou seja,

Capítulo 4. Resultados Numéricos 45 0 500 1000 1500 0 0.5 1 1.5 z(m) |E|(V/m) Solução Analítica

Com PML Polinomial − BICGSTAB Com PML Geométrica − BICGSTAB Com PML Polinomial − GMRES Com PML Geométrica − GMRES

Figura 4.4: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos não utilizam pré-condicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2.

a região de interesse é terminada por condutores elétricos perfeitos na direção longitudinal. Observa-se que quando a PML não está presente, a distribuição de campo elétrico apresenta um comportamento estacionário, como era esperado. Para o caso onde a PML está terminando o guia, o erro entre a solução numérica e a analítica é praticamente desprezível, não excedendo a 0,25%. Ambos os métodos convergiram, sendo o BICGST AB após 120 (perfil poli- nomial) e 102 (perfil geométrico) iterações, com um tempo de processamento de 5 segundos aproximadamente. Já o GM RES convergiu após 58 iterações (para ambos os perfis) em 3 segundos. Observa-se o número de iterações e o tempo de processamento foram reduzidos em comparação a simulação sem o pré-condicionador ILU.

Para melhor visualização dos resultados, a Figura 4.6 apresenta um zoom em duas regiões do domínio, a primeira onde o campo é praticamente constante e a segunda região mais próxima da fonte, onde a intensidade de campo é mais elevada.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 46 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 6 z(m) |E|(V/m) Solução Analítica

Com PML Polinomial − BICGSTAB Com PML Geométrica − BICGSTAB Com PML Polinomial − GMRES Com PML Geométrica − GMRES Sem PML

Figura 4.5: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2.

4.2.2

Estudo do Coeﬁciente de Reﬂexão Numérico

Um dos parâmetros utilizados para estudar o desempenho da PML é o coeficiente de reflexão teórico (COEF ). Entretanto, ao se implementar com- putacionalmente a PML, torna-se relevante analisar o coeficiente de reflexão numérico (COEF N ), pois nele estão inseridos tanto os erros devido a dis- cretização quanto aqueles inerentes a própria implementação computacional.

Para estudar a variação do COEF N em relação ao COEF , considera-se o mesmo cenário utilizado na validação. O cálculo do COEF N é realizado a partir da taxa de onda estacionária (T OE), que pode ser obtida através da razão entre as amplitudes máximas e mínimas do campo elétrico em uma configuração de onda estacionária. Neste trabalho, estas amplitudes são tomadas em uma região do domínio físico onde a distribuição de campo elétrico não sofra tanta influência da fonte e das camadas da PML. Para fins do cálculo do COEFN, os campos foram amostrados no intervalo 150m≤ z ≤ 665m.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 47 150 200 250 300 350 400 450 500 550 0.763 0.764 0.765 0.766 0.767 0.768 0.769 z(m) |E|(V/m) Solução Analítica

Com PML Polinomial − BICGSTAB Com PML Geométrica − BICGSTAB Com PML Polinomial − GMRES Com PML Geométrica − GMRES Sem PML 640 660 680 700 720 740 760 780 800 820 840 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 z(m) |E|(V/m) Solução Analítica

Com PML Polinomial − BICGSTAB Com PML Geométrica − BICGSTAB Com PML Polinomial − GMRES Com PML Geométrica − GMRES Sem PML

Figura 4.6: Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo).

Capítulo 4. Resultados Numéricos 48

Sendo assim, com exceção dos dados que variam em cada simulação, os dados de entrada são idênticos aos utilizados na validação e apresentados na Tabela 4.1. Aqui são feitas três análises, cada uma variando um dado parâmetro da PML, são eles: o número de camadas da PML (N P M L), o fator de escalonamento do perﬁl polinomial (m) e do geométrico (g) e a parte real da variável de expansão (KP M L). Cabe ressaltar que na validação os valores obtidos para o COEF N foram 6, 5843× 10−4 e 1, 7670× 10−3, para os perﬁs polinomial e geométrico, respectivamente.

As Figuras 4.7 e 4.8 mostram a variação do COEF N em relação ao COEF para valores de N P M L diferentes. Utiliza-se na solução do sistema de equações lineares o método do BICGST AB + ILU e o método GM RES + ILU , respectivamente. São apresentados os resultados tanto para o perfil polinomial, quanto para o geométrico. Pode-se concluir para ambos os casos que, a medida que o N P M L aumenta, o COEF N diminui, como esperado. Contudo, para um valor de COEF N desejável, na ordem de grandeza obtida na validação, observa-se que o N P M L não influencia quando N P M L≥ 4 para o perfil polinomial e N P M L≥ 6 para o geométrico. Além disso, nota-se que para perfis de escalonamento iguais os métodos iterativos apresentaram resultados idênticos. Por isso, a partir deste ponto os resultados serão apresentados somente para o método BICGST AB + ILU , visando reduzir o número de resultados repetidos.

A Figura 4.9 apresenta o COEF N em função do COEF para valores de m e g diferentes. No caso polinomial, observa-se que para m > 1 e COEF ≥ 10−6, o valor do COEF N é praticamente o mesmo para qualquer valor de m. Porém, para COEF ≤ 10−6 e m̸= 1, há uma pequena variação no COEF N , mas a ordem de grandeza se mantem igual e de acordo com o obtido na validação. Já no geométrico, quanto maior for o fator de escalonamento, menor será o COEF N e para COEF ≥ 10−4, COEF N é independente de g. Além disso, para COEF < 10−4 a ordem de grandeza do COEF N se mantem concordando com o valor obtido na validação, apresentando uma pequena variação em função de g.

A Figura 4.10 mostra a variação do COEF N em relação ao COEF para valores de KP M L diferentes. Para o caso polinomial, nota-se uma maior independência do COEF N em relação ao KP M L do que é apresentado para o caso geométrico. Observa-se ainda que, para o caso geométrico e para COEF ≤ 10−6 (onde o KP M L inﬂuencia no COEF N ), os valores de COEF N tendem a diminuir com o aumento de KP M L. Entretanto, para valores de KP M L ≥ 4 esse comportamento modiﬁca e o valor de COEF N aumenta chegando a 4× 10−3 para KP M L = 10.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 49

A convergência dos métodos iterativos para cada um dos estudos reali- zados nessa seção é apresentada nas Tabelas 4.3-4.5. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = 10−6. Observa-se que nos três estudos, para cada método analisado separadamente, os perfis polinomial e geométrico apresen- tam número de iterações próximos. Contudo, o método GM RES apresentou convergência mais rápida em comparação ao BICGST AB.

Capítulo 4. Resultados Numéricos 50 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 10−4 10−3 10−2 10−1 100

Perfil polinomial da PML na direção longitudinal

Coeficiente de Reflexão Teórico