A FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA DE ENSINO ALINHADA À BNCC

A FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA

DE ENSINO ALINHADA À BNCC

Aspectos relacionados ao processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática no Ensino Médio – I ENOPEM

Gleidson Santos Correia1

Irene Maurício Cazorla2

Resumo

A função exponencial é estudada no Ensino Médio e pode ser usada para modelar diversos fenômenos como a reprodução de bactérias, os juros compostos e o crescimento populacional. Entretanto alguns fenômenos, como o número de casos da Covid-19, embora tenha um comportamento exponencial, não é determinístico. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC), indica diversas habilidades que devem ser desenvolvidas ao estudar essa função e também na Educação Básica em geral. Destaca-se a necessidade de correlacionar certeza e incerteza no estudo da matemática. Diante disso, nosso objetivo é discutir uma proposta de ensino da função exponencial na Educação Básica, pautada no Letramento Estatístico e nas habilidades propostas pela BNCC, modelando os dados da pandemia da Covid-19. Esta pesquisa foi pautada na proposta da BNCC e numa revisão bibliográfica das pesquisas sobre o ensino da função exponencial, tendo como sustentação teórica para a construção da sequência de ensino o Letramento Estatístico, o Ciclo Investigativo PPDAC e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Evidenciamos que propostas como esta tem potencial para subsidiar práticas educativas alinhadas à BNCC na Educação Básica e que a adaptação da mesma deve ser realizada sempre levando em consideração o contexto dos estudantes.

Palavras-chave: BNCC; função exponencial; Letramento Estatístico; sequência de ensino; Ensino

Médio.

1. Introdução

A função exponencial é um objeto matemático que é estudado, no Brasil, no componente curricular de Matemática do Ensino Médio, dada a sua relevância para o estudo de diversos fenômenos que permeiam a vida humana. Iezzi, Dolce e Murakami (1977) apresentam a definição desta função conforme o Quadro 1, definição semelhante a usada por Lima (2013).

1 _{Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC). gleidson.correia@enova.educacao.ba.gov.br} 2 _{Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC). icazorla@uol.com.br}

Quadro 1 – Definição da função exponencial

Dado um número real “a”, tal que 0 < a ≠ 1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de ℝ em ℝ que associa a cada x real o número ax_.

Em símbolos: 𝑓: ℝ → ℝ 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥

Fonte: Adaptado de IEZZI, DOLCE e MURAKAMI, 1977, p.23-B.

Lima (2013), que também caracteriza a função exponencial por meio de suas propriedades algébricas. Essas propriedades também são utilizadas por Dante (2013) no seu livro didático para o Ensino Médio, conforme Quadro 2.

Quadro 2 – Caracterização algébrica da função exponencial

1) 𝒂𝒙_{∙ 𝒂}𝒚_{= 𝒂}𝒙+𝒚_;

2) f(1) = 𝒂𝟏_{= 𝒂;}

3) 𝒙 < 𝒚 ⟹ 𝒂𝒙_{< 𝒂}𝒚 _{quando 𝒂 > 𝟏 e}

𝒙 < 𝒚 ⟹ 𝒂𝒚_{< 𝒂}𝒙 _{quando 𝟎 < 𝒂 < 𝟏}

Fonte: Construído com base em Lima (2013) e Dante (2013).

Para que compreendam os conceitos envolvidos na definição dessa função, os estudantes necessitarão de conhecimentos prévios como o de relação de conjuntos, noções básicas de funções e potenciação que, via de regra, são estudados inicialmente no Ensino Fundamental. Além desses conceitos, tem-se o conceito de variável, dependente (Y) e independente (X); taxa de variação de X, taxa de variação de Y e covariação; pares ordenados, eixos coordenados, plano cartesiano, o que via de regra implica na mudança de registros de representação semiótica, pois são utilizadas a língua materna, a representação numérica em formato tabular, a representação gráfica e algébrica.

Observamos que o estudo de funções se inicia no 9º ano do ensino fundamental, com o estudo da função linear, passando pela função afim onde o conceito de covariação é fundamental, assim a função linear e a função afim se caracterizam por manterem uma taxa de variação constante.

Por essa razão se justifica que a função exponencial seja estudada no Ensino Médio, conforme proposto pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC) para o componente curricular de Matemática, uma vez que neste nível de ensino se passa a estudar a taxa de variação não constante, onde se enquadram a função quadrática, cúbica e de forma mais geral as funções polinomiais, a função exponencial e a logarítmica, a função inversa e as funções trigonométricas que modelam as relações periódicas.

Nos referimos, até aqui, à função exponencial como função determinística, matemática. Todavia, muito fenômenos, como o contágio da Covid-19, não são determinísticos, mas probabilístico, estatístico, uma vez que a taxa média de contágio, como o nome indica, é uma “média”, calculada a partir de modelos epidemiológicos, um conceito abstrato. E neste caso, a função exponencial é um bom modelo para descrever a trajetória da pandemia da Covid-19.

Destacamos a seguir, as Habilidades específicas para a aprendizagem de Matemática no Ensino Médio, que se referem ao aprendizado da função exponencial, conforme Quadro 3.

Quadro 3 – Habilidades propostas pela BNCC para a aprendizagem da função exponencial Código da

habilidade Descrição da habilidade

EM13MAT101

Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT203

Planejar e executar ações envolvendo a criação e a utilização de aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros compostos, dentre outros, para aplicar conceitos matemáticos e tomar decisões.

EM13MAT303 Resolver e elaborar problemas envolvendo porcentagens em diversos contextos e sobre juros compostos, destacando o crescimento exponencial.

EM13MAT304

Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais é necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira e o do crescimento de seres vivos microscópicos, entre outros.

EM13MAT403

Comparar e analisar as representações, em plano cartesiano, das funções exponencial e logarítmica para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada uma, com ou sem apoio de tecnologias digitais, estabelecendo relações entre elas.

EM13MAT404

Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT508

Identificar e associar sequências numéricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos para análise de propriedades, incluindo dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.

Fonte: Elaborado com base em BRASIL (2018)

Deste modo, o processo de aprendizagem da função exponencial deve envolver a contextualização, interdisciplinaridade, conexão com outros blocos de conhecimentos matemáticos, recursos digitais, a elaboração e resolução de problemas, o estudante como sujeito ativo do processo, o desenvolvimento da capacidade crítica e argumentativa, entre outros.

Diante disso, essa pesquisa tem por objetivo discutir uma proposta de sequência para o ensino da função exponencial para o Ensino Médio, pautada no Letramento Estatístico e nas habilidades propostas pela BNCC, modelando os dados da pandemia da Covid-19, para a aprendizagem da função exponencial e o desenvolvimento de competências que possam estar para além do aprendizado matemático.

2. O diálogo entre as pesquisas sobre ensino da função exponencial e a BNCC

Espindola (2016) verificou em sua pesquisa com um professor do Ensino Médio, que o planejamento de ensino da função exponencial era voltado à preparação para exames, sem utilização de recursos tecnológicos e que, embora o livro didático adotado propunha a introdução do conteúdo de forma contextualizada, o professor o fazia por meio da definição.

Embora esse tipo de prática com características de um ensino tradicional ainda vigore em muitas salas de aula, anteriormente à homologação da BNCC, algumas pesquisas já vêm sendo desenvolvidas com o foco no processo de ensino e aprendizagem da função exponencial revelando aspectos importantes que se aproximam ao que é proposto no documento.

Eisermann, et al (2017) e Bonotto e Bisognin (2015) desenvolveram pesquisas com estudantes do Ensino Médio trabalhando com questões de Matemática Financeira e propondo a relação desta com as funções exponencias. Estes trabalhos revelam a conexão entre os blocos da própria Matemática e também da Educação Financeira, conforme preconizado a habilidade EM13MAT203.

Breunig e Gabbi (2011) propuseram uma sequência didática na qual, por meio de um jogo utilizando um tabuleiro de xadrez e grãos de trigo, os estudantes simulariam um crescimento exponencial. Sperotto, Goés e Miqueletto (2015) desenvolvem uma ideia semelhante, utilizando um tabuleiro e grãos de arroz, onde os estudantes alocavam em cada casa o dobro de grãos de arroz da casa anterior, simulando um crescimento exponencial.

A interdisciplinaridade pode ser visualizada na pesquisa de Meneghetti e Redling (2012), que desenvolveram com os estudantes o estudo de um problema que buscava analisar o volume de água em um reservatório ao longo de uma estiagem, uma temática ambiental, envolvendo a Geografia, Biologia, Física e Química, e a função exponencial para sua resolução. A utilização de recursos digitais é relatada na pesquisa de Mendonça e Pires (2016), Eisermann, et al (2017) e Bonotto e Bisognin (2015), que utilizaram o software GeoGebra, e afirmam que este recurso colaborou na aprendizagem dos estudantes acerca dos conceitos sobre função exponencial por proporcionar a manipulação dos parâmetros das funções e uma melhor visualização gráfica ajudando a compreender o comportamento exponencial.

Outros recursos digitais foram utilizados no processo de aprendizagem da função exponencial, como o software Graph na pesquisa Breunig e Gabbi (2011), planilhas eletrônicas na pesquisa realizada por Eisermann et al (2017), entre outros recursos digitais como na pesquisa de Bonotto e Bisognin (2015).

A coordenação dos registros semióticos na aprendizagem da função exponencial também é relevante na proposta da BNCC. Meneghetti e Redling (2012), Bonotto e Bisognin (2015), Sperotto, Goés e Miqueletto (2015), Mendonça e Pires (2016) e Eisermann, et al (2017) consideraram esse aspecto, utilizando pelo menos dois registros de representação distintos, como o gráfico, o algébrico, a notação de função ou a representação em tabelas.

O trabalho realizado por Sureda e Otero (2013) com estudantes do Ensino Médio constataram a predominância de esquemas lineares na resolução de tarefas em detrimento de esquemas exponenciais e que os estudantes davam respostas distintas quando propostos sistemas distintos de representação para um mesmo objeto matemático, sendo que as tarefas propostas, nos diversos sistemas de registros semióticos, estão diretamente ligadas ao desempenho na resolução de problemas envolvendo a função exponencial.

As pesquisas citadas trazem importantes contribuições para o ensino e aprendizagem da função exponencial na Educação Básica, entretanto percebe-se que existe uma lacuna quanto a um dos pressupostos da BNCC para o Ensino Médio.

“[...] No Ensino Médio, esses diferentes campos da Matemática são integrados de forma ainda mais consistente. Para tanto, são definidos, nessa etapa, um conjunto de pares de ideias fundamentais que produzem articulações entre os vários campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Probabilidade e Estatística, Grandezas e Medidas – e que são importantes para o desenvolvimento do pensamento matemático. Estes são os pares de ideias fundamentais adotados: variação e constância; certeza e

incerteza; movimento e posição; relações e inter-relações.” (BRASIL, 2018, p.

520, grifo do autor).

Embora a função exponencial possa ser utilizada para modelar fenômenos como os juros compostos, a reprodução de bactérias, a velocidade de reações químicas e o crescimento de algumas populações, esses fenômenos nem sempre são determinísticos, como o número de casos na pandemia da Covid-19 que embora tenha um comportamento exponencial, não é determinístico. E, justamente por isso a BNCC traz a importância de que variação e constância, certeza e incerteza sejam estudados pelos estudantes de modo a compreender esses fenômenos. Nesse sentido, este trabalho traz a perspectiva do uso da função exponencial em contexto da covariação estatística, que detalhamos a seguir.

3. O Letramento Estatístico

Gal (2002) aponta a necessidade de que os cidadãos sejam estatisticamente letrados, para que possam ler, interpretar, criticar, argumentar, sobre informações que possuem dados estatísticos. Por vezes, informações podem apresentar dados tendenciosos ou mesmo

apresentados de forma inadequada o que pode levar o leitor a acreditar em informações distorcidas, parciais ou inverídicas, caso este não tenha habilidades de Letramento Estatístico.

Cada vez com mais frequência, a sociedade lança mão de ferramentas, termos e jargões estatísticos na veiculação de informações nos diversos tipos de mídia. Isso pode ser verificado, por exemplo, nas informações divulgadas acerca da pandemia da Covid-19. E por isso o Letramento Estatístico deve ser desenvolvido desde a Educação Básica.

O Letramento Estatístico proposto por Gal (2002), possui elementos cognitivos e atitudinais que, embora eles estejam separados em categorias, devem ser compreendidos em um só conjunto que será sempre evocado em um contexto.

Quadro 4: Modelo de letramento estatístico

Elementos Cognitivos Elementos atitudinais

Habilidade de letramento Conhecimento estatístico Conhecimento matemático Conhecimento de contexto Capacidade de formular questões críticas

Crenças e atitudes Postura Crítica

Fonte: Adaptado de Gal (2002)

Desta forma, ser letrado estatisticamente envolve ter habilidades gerais de letramento, o que envolve a capacidade de leitura e interpretação de textos em suas diversas representações e registros, como a escrita na língua materna, imagens, texto oral etc. Pois isso influenciará diretamente na compreensão das informações estatísticas envolvidas.

Segundo Gal (2002), é necessário também ter conhecimento do contexto em que a informação estatística foi gerada, quais os temas que estão diretamente envolvidos e como eles influenciam na informação obtida. O conhecimento do contexto perpassa toda a informação, pois os dados estatísticos sem um contexto pouco/ou nenhum sentido pode apresentar.

É necessário ainda conhecimento matemático básico para entender os números, as operações envolvidas que auxiliarão a compreender conceitos de medidas estatísticas, etc. Entretanto o autor salienta que esse conhecimento não precisa ser avançado e sim, servirá de base para a compreensão geral da informação.

Gal (2002) também destaca a necessidade de um conhecimento estatístico básico. Sendo necessário saber porque os dados são necessários e como os dados podem ser produzidos, ter familiaridade com termos e ideias básicas relacionados à estatística descritiva, familiaridade com termos e ideias básicas relacionados a exibições gráficas e tabelas, ter compreensão básica sobre noções de probabilidade e saber como chegar a conclusões ou inferências estatísticas.

Destaca-se ainda, no Letramento Estatístico, a capacidade de formular questões críticas, de questionar a veracidade da informação, a intencionalidade. É o lançar dúvidas sobre o que está sendo apresentado, independente da fonte, de modo a extrair sempre informações confiáveis que sirvam de subsídios para a tomada de decisões.

Nos elementos atitudinais, destaca-se a postura crítica, para que o sujeito não acredite em qualquer informação apenas por trazer dados estatísticos; devem antes ter ação questionadora ao se deparar com esses dados, perguntando como foram gerados, porque, para que, em que contexto. Questionando foram apresentados de maneira adequada ou para influenciar os leitores. Nota-se que essa componente é atitudinal, pois espera-se que o sujeito seja voltado para essa ação crítica, seja qual for a notícia apresentada (GAL, 2002).

A postura crítica é influenciada pelas crenças e atitudes do sujeito. As atitudes são construídas ao longo de um processo de respostas a determinadas situações, já as crenças são mais sólidas e estão ligadas a uma construção histórico social do sujeito. Por isso a importância de já no seu período de escolarização aprenda a se colocar como um sujeito questionador.

Destacamos que o Letramento Estatístico em muito pode contribuir para o desenvolvimento das competências gerais elencadas pela BNCC, como a capacidade de exercitar a curiosidade intelectual e a de argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, visando a tomada de decisões conscientes. Por isso defendemos o ensino da Função Exponencial na perspectiva do letramento estatístico, para que o estudante possa desenvolver além de conceitos matemáticos e/ou estatísticos, a capacidade crítica de em meio a um contexto, de construção de argumentos sólidos para a tomada de decisão consciente em prol do seu bem estar e de sua comunidade.

4. Os registros de representação semiótica

A BNCC afirma que os estudantes da Educação Básica devem desenvolver habilidades para representar objetos matemáticos nos diversos registros de representação, quando descreve a quarta competência geral de matemática para o Ensino Médio.

“4. Compreender e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional, etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.” (BRASIL, 2018, p.523). Duval (2006a) afirma que em outras ciências, os objetos de estudo estão acessíveis no mundo concreto. Aos estudar bactérias, por exemplo, é possível recorrer a microscópios e ter acesso direto ao objeto verificando suas reais características pela observação e experimentação.

Já na Matemática, todo objeto obrigatoriamente passará por um sistema de representação semiótica para ser acessado, e diante da diversidade de representações é que surge uma maior complexidade no estudo desta ciência.

Segundo Duval (2000, p.12) “A aprendizagem de matemática consiste em desenvolver coordenações progressivas entre vários sistemas semióticos de representação”. Entretanto, os objetos matemáticos não devem ser confundidos com as suas representações, sob o perigo da perda da compreensão do objeto em questão; as representações são apenas formas pelas quais conseguimos acessar os objetos matemáticos, os quais são abstratos (DUVAL, 2012).

“Em outras palavras, a primeira coisa que importa para o ensino de matemática não é a escolha do melhor sistema de representação, mas garantir que os alunos possam se relacionar com muitas maneiras de representar o conteúdo matemático." (DUVAL, 2006b, p.158-159, tradução nossa).

Para que possa ocorrer uma representação em sistema semiótico é necessário respeitar três premissas. A primeira é que a representação precisa ser identificável, respeitando as regras de conformidade, próprias do sistema semiótico em questão, de modo a permitir identificar e reconhecer o objeto representado pela semiose (DUVAL, 2012).

O segundo ponto refere-se ao tratamento de uma representação, tratamento este que ocorre dentro deste mesmo sistema de registro. Esses tratamentos irão depender das possibilidades em cada sistema de representação, podendo um apresentar mais possibilidades que outro. Por exemplo, ao escrevermos a fração 10

5 =

1

2 estamos realizando um tratamento

dentro do mesmo sistema de representação semiótico (DUVAL, 2012).

A terceira premissa refere-se à conversão, nesta ocorre a transformação do registro para um outro sistema de representação distinto do inicial. No tratamento existem regras definidas que devem ser alocadas dentro do registro para assim obter o tratamento desejado; já na conversão não existem regras que determinem a passagem de um registro para outro, e por isso a conversão não pode ser confundida como interpretação ou tradução (DUVAL, 2012).

A BNCC também aponta que os estudantes do Ensino Médio devem desenvolver habilidades para reconhecer objetos matemáticos em distintas representações e efetuar as diversas transformações sobre um objeto, conforme destaca-se a seguir:

“(EM13MAT405) Reconhecer funções definidas por uma ou mais sentenças (como a tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, convertendo essas representações de uma para outra e identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento.” (BRASIL, 2018, p. 531).

Diante disso, defendemos que para a aprendizagem da função exponencial, objeto de estudo dessa sequência, é necessário considerar as diversas representações semióticas desse objeto matemático, assim como os tratamentos e conversões, proporcionando ao estudante uma experiência de coordenação entre os distintos registros para o mesmo objeto.

5. Aspectos Metodológicos

Esta pesquisa teve como caminho metodológico a revisão da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), identificando as competências gerais elencadas para a Educação Básica, para o Ensino Médio, assim como as competências e habilidades específicas para a aprendizagem da matemática e da função exponencial e da Estatística neste nível de ensino.

Foi realizada uma busca por pesquisas, no período de 2015 a 2020, que abordasse o ensino da função exponencial no Ensino Médio nas plataformas Google Scholar, Redalic e Eric. O termo de busca utilizado foi “função exponencial”, e utilizou-se também o mesmo termo na tradução para a língua inglesa e para a língua espanhola. Sendo selecionados, pela leitura do resumo, as pesquisas que apresentavam propostas ou desenvolvimento de atividades com estudantes no Ensino Médio. Algumas poucas pesquisas, fora do período delimitado, foram incluídas por apresentarem aspectos relevantes ao que nos propomos discutir, salientando que o objetivo desta pesquisa não foi uma revisão sistemática.

A partir da BNCC, da revisão de literatura e do referencial teórico, identificaram-se as categorias essenciais para o aprendizado da função exponencial na Educação Básica como a interdisciplinaridade, contextualização, recursos digitais, coordenação de registros de representação, variação e covariação, pesquisa e investigação, desenvolvimento da capacidade crítica e estudante como sujeito ativo do processo de aprendizagem.

A sequência de ensino da função exponencial para o Ensino Médio, foi construída com base teórica no Letramento Estatístico de Gal (2002), nas habilidades propostas pela BNCC, na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2012) e no Ciclo Investigativo PPDAC de Wild e Pfannkuch (1999).

O conhecimento de contexto para a construção desta sequência de ensino emerge da pandemia da Covid-19, dada a emergência da compreensão deste fenômeno, de sua modelagem por modelos estatísticos e exponenciais, e da necessidade de que os estudantes possam melhor compreender os conceitos envolvidos, e formular argumentos com base em informações confiáveis para a tomada de decisões que sejam favoráveis ao seu bem estar e ao de sua comunidade.

O Ciclo Investigativo proposto por Wild e Pfannkuch (1999), conforme Figura 1, visa desenvolver o pensamento estatístico à medida que os sujeitos participam ativamente do processo de investigação estatística, desde a formulação do problema, passando pelo planejamento, coleta de dados, análise e conclusões.

Defendemos que o estudante possa vivenciar todas as etapas investigativas deste ciclo pois, conforme preconiza a BNCC, o estudante deve desenvolver habilidades de investigação, participando ativamente de processos de formulação de problema, coleta de dados, análise e interpretação, principalmente dos problemas que emergem da sua realidade, do seu contexto.

Figura 1 – Ciclo Investigativo PPDAC

6. Descrição

A sequência de ensino segue as fases do Ciclo Investigativo de Wild e Pfannkuch (1999). Na primeira fase, que é a definição do Problema, é importante já levar em consideração o que Gal (2002) chama de conhecimento de contexto.

A contextualização proposta refere-se ao processo de eutrofização, pela planta aquática

E. crassipes. Conhecida no Brasil como baronesa, esta macrófita é um bioindicador de poluição,

de ambientes aquáticos e utilizada também como fitorremediadora de alguns metais pesados (OLIVEIRA. et al, 2012). E, De acordo com Pott e Pott (2000) apud Reis (2002), em condições ideias, consegue duplicar a sua biomassa em um período de aproximadamente 15 dias.

Problema

Planejamento

Dados análises

Conclusões

 Dinâmica do sistema de apreensão

 Definição do problema

 Sistema de medida

 “Projeto de amostragem”

 Tratamento de dados

 Projeto piloto e análises

 Coleta de dados

 Tratamento de dados

 Limpeza dos dados

 Exploração dos dados

 Análises planejada

 Análises não planejadas

 Geração de hipóteses

 Interpretação

 Conclusões

 Novas ideias

É importante, nesta etapa, discutir conceitos como poluição das águas, processo reprodutivo de plantas aquáticas e eutrofização. Após a contextualização, formula-se a seguinte questão de investigação: considerando que a E. crassipes duplica a sua biomassa a cada 15 dias, em quanto tempo o lago estaria totalmente eutrofizado?

Nesta etapa estaremos evidenciando o desenvolvimento de habilidades como a formação de questões críticas, a capacidade de argumentar, de levantar hipóteses, assim como de promover a investigação de um problema que tem características e impactos sociais, e que possibilitam a interdisciplinaridade com outras ciências.

Na fase de Planejamento o professor deve promover a discussão, com e entre os estudantes, sobre o processo de produção dos dados. Levantando possibilidades investigativas para responder a perguntar, promovendo o raciocínio e valorizando a s contribuições dos estudantes em todo o processo.

Sob orientação do professor, os estudantes deverão confeccionar dois lagos fictícios em cartolina, podendo utilizar de desenhos ou impressão. As baronesas podem ser representadas por tampinhas de garrafa, por moedas, balas, pedrinhas etc, de acordo com a disponibilidade de material. Sugere-se, nesta etapa, a construção das tabelas que serão utilizadas para efetuar os registros dos dados e a disponibilização de papel com malha quadriculada ou milimetrada onde deverão ser construídos os gráficos no ambiente papel e lápis.

Aqui já elencamos a utilização de representações semióticas distintas, conforme defende Duval (2012) e preconiza a BNCC. A língua materna sendo utilizada para a formulação do problema de característica exponencial, o material concreto como suporte para a compreensão do fenômeno em estudo por meio da experimentação, assim como os gráficos e tabelas para registrar este mesmo objeto matemático. Recomenda-se utilizar as mesmas taxas para crescimento exponencial e para o linear, permitindo aos estudantes comparar ambos os crescimentos, e perceber as diferenças entre eles.

Na fase relativa aos Dados, os estudantes deverão utilizar os materiais produzidos na etapa de planejamento para simular o crescimento da biomassa da baronesa no lago de acordo com o problema de investigação. Ao colocarem as tampinhas que simulam a baronesa no lago, deverão observar o que ocorre e registrar esses dados na tabela.

A taxa 2 para ambas as situações, exponencial e linear, serão simuladas simultaneamente em lagos diferentes, sendo que se deve considerar como variável de tempo os períodos os quais correspondem a 5 dias, conforme indicado para a espécie em estudo. Após o

término da simulação e de posse dos registros dos dados na tabela, os estudantes deverão registrar os respectivos pontos na malha quadriculada com os eixos calibrados, construindo assim os gráficos, conforme exemplificados nas Figuras 3 e 4.

Na fase de Análises, deve-se promover a discussão sobre o os procedimentos realizados na experimentação, os dados obtidos, e as diversas representações, destacando as diferenças entre o comportamento linear e exponencial. É relevante proposto aos estudantes uma descrição do que viram na experimentação, tendo assim mais um registro para explorar, podendo desenvolver a escrita, a expressão, e habilidades referente ao próprio processo de investigação. Conclui-se o ciclo respondendo à pergunta de investigação que foi formulada na fase de Problema. Deve-se discutir que em algumas situações reais esse crescimento ocorre exponencialmente até chegar a um ponto de saturação (como na simulação aqui apresentada), onde se estabiliza e se mantém constante e, em alguns casos, após certo período de estabilidade, tende-se ao declínio.

Figura 2: Crescimento linear e exponencial da baronesa com material concreto

Dias Período (x) Linear f(x) = 2x Exponencial f(x) = 2x 0 0 0 1 15 1 2 2 30 2 4 4 45 3 6 8 60 4 8 16 75 5 10 32 90 6 12 64*

Fonte: construção dos autores. *o lago foi tomado com 48 moedas.

Figura 3: Registro numérico e gráfico do crescimento da baronesa

Em seguida o professor poderá propor ao estudante uma análise, comparando os registros da simulação com dados da Covid-19 apresentados pela mídia ou por órgãos oficiais, conforme o modelo exemplificado na figura 4. Deve-se promover a modelo determinístico e um modelo estatístico. Nesta discussão além dos aspectos matemáticos e estatísticos o professor

0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 N º d e b ar o n es as Período Linear Exponencial

pode aproveitar para incluir pontos como os fatores de influência para o crescimento do número de casos, taxa de contágio, isolamento social, uso de máscara e os impactos dessas medidas para a mudança do comportamento do número de casos em locais diversos.

Para finalizar sugere-se que o professor possa utilizar com os estudantes uma planilha eletrônica como o Excel, por exemplo, onde os estudantes lançarão os dados do número de casos de sua Cidade, com base nos registros dos órgãos oficiais, desde o primeiro caso confirmado, e então construir o gráfico do número de casos de sua cidade, verificando qual foi o comportamento ao longo do tempo.

discussão com os estudantes apontando as diferenças e similaridades entre ambos os casos, apontando a diferença entre um

Figura 4: Nº de casos e óbitos pela Covid-19 acumulados no Brasil.

Se ainda houver tempo, pode-se simular utilizando o software Geogebra diferentes taxas de contágio, conforme as medidas de prevenção como o uso de máscara ou sem máscara, ambiente abertos ou fechados, locais com poucas pessoas ou com aglomeração. E ao variar esse parâmetro no Geogebra, como taxa de contágio, os estudantes poderão verificar como as trajetórias do gráfico mudam, muitas vezes drasticamente.

Com isso poderão ser discutidos, com mais subsídios e de modo a desenvolver as habilidades de argumentação, e postura crítica os impactos dos comportamentos individuais e coletivos na luta contra o vírus em uma situação de pandemia. Além disso, espera-se que os estudantes possam desenvolver, com base nos estudos, atitudes positivas quanto as políticas para a prevenção ao contágio pelo vírus, preservando assim sua saúde e a de sua comunidade.

Como atividade final os estudantes poderão confeccionar um pequeno vídeo mostrando o que aprenderam e divulgar nas suas redes sociais, para auxiliar a multiplicar ideias positivas e confiáveis em sua comunidade quanto à saúde, que neste caso é coletiva.

Fonte: Construção dos autores 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Nº d e ób itos a cu m u la d os Nº d e ca so s ac u m u la d o s co n fi rm ad o s Dias de contaminação Casos Mortes

7. Considerações Finais

Espera-se que as discussões aqui apresentadas possam contribuir para o ensino da função exponencial de forma contextualizada e alinhada à BNCC, promovendo aos estudantes momentos de aprendizagens que possibilitem os desenvolvimentos de habilidades diversas que estão para além da matem ética. Salientamos que a sequência de ensino aqui proposta tem a sua construção com subsídios teóricos e metodológicos dos documentos norteadores e do referencial teórico aqui apresentado, mas que podem e devem ser adaptados a cada contexto de ensino e à realidade dos estudantes.

A discussão teórica aqui apresentada será implementada em uma turma de Ensino Médio pelos autores, em um projeto de pesquisa em andamento, passando do campo teórico para o empírico, levantando dados em campo que possam dar mais subsídios à construção e análise dessa proposta, assim como na análise e novas considerações para pesquisas futuras que possam efetivamente contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da matemática na Educação Básica.

8. Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum da Educação. MEC, 2018..

BONOTTO, A. K.; BISOGNIN, E. Contribuições de um objeto de aprendizagem e dos registros de representações semióticas no Estudo da função exponencial. Novas Tecnologias na Educação. CINTED-UFRGS.V. 13 Nº 2, dezembro, 2015.

BREUNIG, R. T.; GABBI, R. Ensino de função exponencial e o jogo de xadrez. Anais do II Congresso Nacional de Educação Matemática. 2011.

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