Rafael Henrique Viana Abreu. Modelo para Instabilidade e Vibrações de Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos

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Rafael Henrique Viana Abreu

Modelo para Instabilidade e Vibrações

de Placas Submetidas a Carregamentos

Conservativos e Não Conservativos

Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva

Rio de Janeiro Dezembro de 2015 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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Rafael Henrique Viana Abreu

Modelo para Instabilidade e Vibrações

de Placas Submetidas a Carregamentos

Conservativos e Não Conservativos

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Cientifico da PUC-Rio. Aprovada pela comissão examinadora abaixo assinada.

Prof. Raul Rosas e Silva Orientador Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Márcio da Silveira Carvalho Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 11 de dezembro de 2015

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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Rafael Henrique Viana Abreu Graduou-se em Engenharia Civil no Departamento de Engenharia Civil da UNAMA (Universidade da Amazônia, PA, Brasil), em 2012. Em 2013 iniciou o curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio, na área de Estruturas, atuando na linha de pesquisa de Estabilidade e Dinâmica de Estruturas.

Ficha Catalográfica

COD: 624

Abreu, Rafael Henrique Viana

Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos / Rafael Henrique Viana Abreu; orientador: Raul Rosas e Silva. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2015. v., 84 f.: il. ; 29,7 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Placas espessas. 3. Frequências naturais. 4. Estabilidade de placas. 5. Método Rayleigh-Ritz. I Rosas e Silva, Raul. II Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV Título.

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Dedicado a minha família, em especial a minha mãe Ana Cristina, por cada um de seus ensinamentos, conselhos e, especialmente, pelo amor e apoio incondicional que me foi oferecido ao longo de toda minha vida.

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Aos professores da pós graduação em estruturas da PUC-Rio, incluindo o professor Emil Sanchez (UFF) e Ivan Menezes (Departamento de Engenharia Mecânica da PUC-Rio) que puderam transmitir conhecimento e experiência ao longo aulas cursadas no mestrado da PUC-Rio.

Em especial, ao professor Raul Rosas e Silva, meu orientador, por todo apoio, confiança, paciência, pelos momentos de descontração e pela disposição, me guiando e compartilhando conhecimento e ensinamentos, demonstrando que além de professor e pesquisador de excelência é um grande ser humano.

A minha alma mater, UNAMA, em especial ao meu professor e amigo Selênio Feio, que foi o responsável por despertar em mim a centelha que me fez chegar aqui. A todos os companheiros do mestrado, que me ajudaram a crescer como ser humano e a conhecer a diversidade cultural e de pensamentos.

À PUC-Rio pela oportunidade de poder cursar o mestrado nesta instituição de excelência.

Ao CNPq por incentivar-me com uma bolsa de estudos, que me possibilitou realizar esta pesquisa.

E por fim a minha família, que sempre me deu apoio incondicional. Obrigado a minha mãe Ana Cristina por me apoiar neste e em tantos outros desafios. A minha irmã Suzane, meus Tios e Tias Carlaide, Dayse e Mario e minha avó Therezinha, por estarem presentes nos momentos de necessidade e de alegria.

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Resumo

Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Orientador). Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Dissertação de Mestrado. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de elementos enriquecidos para análise de cargas críticas, frequências de vibração e seus respectivos modos de peças estruturais bidimensionais funcionando como placas espessas sujeitas a cargas conservativas e não conservativas. O método de aproximação empregado foi o de Rayleigh-Ritz usando elementos finitos convencionais enriquecidos com funções de deslocamentos adicionais internas. As funções adicionais internas são desenvolvidas de forma a não envolver deslocamentos e rotações nodais e no contorno. No contorno foi utilizada a interpolação usual para elementos quadriláteros isoparamétricos. Para este estudo foram desenvolvidas duas famílias de funções internas, uma com termos adicionais polinomiais e outra com termos adicionais com polinômios de Legendre. Para a determinação de frequências, modos de vibração e cargas críticas com efeitos conservativos e não conservativos são utilizadas as matrizes de rigidez elástica, rigidez geométrica, de massa e de correção das cargas, introduzidas em problemas generalizados de autovalores. Resultados numéricos são obtidos através de procedimentos computacionais utilizando o software MAPLE. São comparados resultados dos modelos com elementos para placas espessas (Teoria de Mindlin), com três graus de liberdade por nó. Mostra-se que há certas restrições quanto às funções não nodais adicionais e o tipo de elemento utilizado, para se ter convergência no cálculo das cargas críticas e frequências em situações gerais. Os exemplos mostram a eficácia desta abordagem na análise de placas espessas e trazem outro enfoque a este problema clássico, que apresenta comparações interessantes que descrevem o efeito de deformação de cisalhamento e no caso das vibrações o efeito das rotações inerciais, focando na análise das frequências e modos de vibração, cargas de flambagem e uma análise de cargas seguidoras tangenciais não conservativas na estabilidade, utilizando o critério dinâmico é executada. Esta modelagem envolvendo combinação de funções adicionais gerais em elementos convencionais outra é proposta como uma técnica apropriada ao estudo de modos globais e localizados de instabilidade.

Palavras-chave

Placas espessas; carga conservativa e não conservativa; estabilidade de placas espessas; método de Rayleigh-Ritz.

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Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Advisor). A Model for Instability and Vibrations of Plates Subjected to Conservative and Nonconservative Loadings. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Msc. Dissertation. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work presents a model of enriched elements for analysis of critical loads, vibration frequencies, and their respective modes of two-dimensional structural components behaving as thick plates subjected to conservative and non-conservative loads. The method employed was the Rayleigh-Ritz using conventional finite elements enriched by internal and boundary additional displacements functions. The additional internal functions do not involve nodal boundary displacements and rotations. The contour functions are the usual interpolation of isoparametric quadrilateral elements. For this study two families of internal functions were developed, one with polynomial additional terms and other with Legendre polynomials additional terms. For the determination of frequencies, mode shapes and critical loads with conservative and non-conservative effects the matrices of elastic stiffness, geometric stiffness, and load correction are stablished and introduced in generalized eigenvalue problems. Numerical results are obtained through computational procedures using the MAPLE software. The results obtained with the model developed herein are compared with results using conventional elements for thick plates formulation (Mindlin theory) with three degrees of freedom per node. It is shown that certain restrictions apply to the additional non-nodal functions, and the element type used, in order to have convergence in the calculation of critical loads and frequencies in general situations. The examples show the effectiveness of this approach to the analysis of thick plates and present another approach to this classical problem, presenting interesting comparisons that describe the shear deformation effect, and in the case of vibrations, the effect of rotational inertia, focusing on frequencies, vibration modes, buckling loads and an analysis of follower tangential non-conservative loads in stability, using dynamic criteria. This combined model, with a additional functions included in conventional elements, is proposed as a technique applicable to the study of global and local instability problems.

Keywords

Thick plate; conservative and non-conservative loads; stability of thick plates; Rayleigh-Ritz method. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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Sumário

1 Introdução ... 17

1.1 Relevância e Justificativa da Pesquisa 17

1.2 Objetivos 21

2 Formulação Geral do Problema ... 22 2.1 Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin 22

2.1.1 Esforços Generalizados e Curvaturas ... 26 2.1.2 Equacões de Equilibrio ... 29 2.1.3 Condições de Contorno ... 30

2.2 Método de Ritz 32

2.3 Análise Dinâmica 33

2.3.1 Frequências Naturais ... 33

2.4 Carga Crítica de Flambagem 33

3 Desenvolvimento da Metodologia ... 35

3.1 Considerações Gerais 35

3.2 Desenvolvimento do método dos elementos finitos 36 3.2.1 Campo de deslocamento e Graus de liberdade ... 36 3.2.2 Funções de Forma Nodais ... 37

3.3 Funções Adicionais Internas 39

3.3.1 Função Adicional Polinomial ... 39 3.3.2 Função Adicional Polinomio de Legendre ... 41

3.4 Matriz de Rigidez 43

3.5 Matriz de Massa 44

3.6 Mariz Geométrica 44

3.7 Matriz de Imposição das Condições de Contorno 45

3.8 Frequências Naturais 46 3.9 Carga Crítica 46 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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4.1.1 Matriz de Carga Flutter ... 51

4.1.2 Matriz de Carga dependente do deslocamento ... 52

4.2 Carga Crítica Dinâmica 52 5 Aplicações da Metodologia ... 53

5.1 Análise de Vibrações 54 5.1.1 Engastado em uma extremidade ... 55

5.1.2 Completamente engastada ... 62

5.2 Análise de Instabilidade 68 5.1.1 Carga crítica da placa engastada em uma extremidade ... 69

5.2.2 Carga crítica da placa completamente engastada ... 71

5.2.3 Análise comparativa das cargas críticas e frequências ... 74

5.2.4 Carga crítica de Flutter ... 75

5.2.5 Carga dependente do deslocamento ... 77

6 Considerações Finais ... 79

6.1 Conclusões 79 6.2 Sugestões para trabalhos futuros 80 7 Referências Bibliográficas ... 82 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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Lista de Figuras

Figura 2-1: Sistema de Eixos de Referência 22

Figura 2-2: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal

(direita). 23

Figura 2-3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano . 24 Figura 2-4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa. 26

Figura 2-5: Representação dos Esforços 28

Figura 2-6. Placa simplesmente apoiada. 31

Figura 2-7: Placa com bordos engastados. 31

Figura 2-8: Forças aplicadas na Placa. 34

Figura 3-1: Generalização do Elemento utilizado. 37 Figura 3-2. Funções de forma de elementos isoparamétricos

Serendipity 38

Figura 3-3. Gráfico representando cinco primeiros modos para a

função polinomial. 40

Figura 3-4. Gráfico representando os cinco primeiros modos para a

função polinomial de Legendre. 42

Figura 4-1: Representação gráfica dos tipos de instabilidade,

divergência e Flutter. 49

Figura 4-2: Representação da geometria e da atuação da carga

seguidora como componente estabilizadora. 51

Figura 4-3: Representação da geometria e da atuação da carga a

tangente superfície. 52

Figura 5-1: : Placa engastada em uma extremidade. 55 Figura 5-2: Convergência da primeira frequência da placa engastada

em uma extremidade, com espessura 5 cm. 56

Figura 5-3: Convergência da segunda frequência da placa engastada

Figura 5-4: Convergência da terceira frequência da placa engastada

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Figura 5-6: Erro relativo da segunda frequência placa engastada em

uma extremidade, com espessura 5 cm. 57

Figura 5-7: Erro relativo da terceira frequência placa engastada em

uma extremidade, com espessura 5 cm. 58

Figura 5-8: Convergência da primeira frequência da placa engastada

Figura 5-9: Convergência da segunda frequência da placa engastada

Figura 5-10: Convergência da terceira frequência da placa engastada

Figura 5-11: : Erro relativo da primeira frequência placa engastada

Figura 5-12: Erro relativo da segunda frequência placa engastada

Figura 5-13: Erro relativo da terceira frequência placa engastada

Figura 5-14: Modos de vibração da placa engastada em uma

extremidade. 61

Figura 5-15: Placa completamente engastada. 62

Figura 5-16: Convergência da primeira frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm. 63

Figura 5-17: Convergência da segunda frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm. 63

Figura 5-18: Convergência da terceira frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm.. 64

Figura 5-19: Erro relativo da primeira frequência placa toda engastada,

com espessura 5 cm. 64

Figura 5-20: Erro relativo da segunda frequência placa toda engastada,

Figura 5-21: Erro relativo da terceira frequência placa toda engastada,

Figura 5-22:Convergência da primeira frequência da placa toda

engastada (50 cm). 66

Figura 5-23: Convergência da segunda frequência da placa toda

engastada (50 cm). 66 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(12)

Figura 5-24: Convergência da terceira frequência da placa toda

engastada (50 cm). 66

Figura 5-25: Erro relativo da primeira frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-26: Erro relativo da segunda frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-27: Erro relativo da terceira frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-28: Modos de vibração da placa completamente engastada. 68 Figura 5-29: Placa engastada em uma extremidade sobre compressão

axial. 69

Figura 5-30: Convergência da carga crítica da placa com uma

extremidade engastada, com espessura 5 cm. 70

Figura 5-31: Erro relativo da carga crítica da placa com uma

Figura 5-32: Convergência da carga crítica da placa com uma

Figura 5-34: Placa engastada em todas as extremidades sobre

compressão axial. 71

Figura 5-35: Convergência da carga crítica da placa com todas as

extremidades engastadas, com espessura 5 cm. 72

Figura 5-37: Convergência da carga crítica da placa com todas as

extremidades engastadas, com espessura 50 cm. 73

Figura 5-39: Variação dos valores de carga crítica e frequência para

placa engastada em uma extremidade. 74

Figura 5-40: Variação dos valores de carga crítica e frequência para

placa engastada em todas as extremidades. 75

Figura 5-41: Coalescência das duas primeiras frequências da placa

espessa. 75

Figura 5-42: Modo de vibração resultante da coalescência pelo flutter. 76

(13)

Figura 5-44: Coalescência das duas primeiras frequências da placa

espessa. 78

Figura 5-45: Modo de vibração resultante da coalescência. 78

(14)

Lista de Tabelas

Tabela 5-1: Comparação das três primeiras frequências da placa com

espessura de 5 cm. 55

Tabela 5-5: Comparação da carga crítica da placa com espessura de

5 cm. 69

20 cm. 70

5 cm. 72

50 cm. 73 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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Letras Latinas

, , Coordenadas cartesianas

, , Deslocamentos

Modulo de elasticidade longitudinal Modulo de elasticidade transversal Espessura

, , Momentos fletores

, , Momentos torsores

, , Esforços transversais

Modulo de Rigidez a Flexão

, Esforços cortantes

Fator de correção de Cisalhamento Comprimento da placa em x

b Comprimento da placa em y

Deslocamento transversal

Momento que provoca uma rotação normal

U Energia de deformação por flexão

Energia cinética Matriz de Rigidez Matriz de massa Matriz geométrica Vetor de translações

, , Vetores que descrevem estas translações e rotações

, , Vetores de funções básicas de interpolação nodais

, , Vetores de funções adicionais internas Número de Graus de liberdade

(16)

ó Número de nós

Vetor Nulo Referente as Funções de Forma Vetor Nulo Referente as Funções Adicionais Funções de Forma

, Função adicional polinomial simples

, Função adicional polinômio de Legendre Número total de elementos

Matriz das Condições De Contorno Matriz da Carga Seguidora

Letras Gregas , , Deformações longitudinais , , Deformações transversais , , Rotações , , Tensões , , Tensões de Cisalhamento

Representação do Tensor de Tensões Coeficiente de Poisson

, , Curvatura da superfície média

, Contribuições das Rotações

Rotação tangente

Π Energia de deformação total do sistema

Ω Energia potencial das cargas externas

Frequências

Magnitude de carga crítica

, Vetores de translações

, Coordenadas locais isoparamétricas

 Densidade do material   Derivada parcial

 

 Vetor de deslocamentos PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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1 Introdução

1.1

Relevância e Justificativa da Pesquisa

Placas retangulares, tais como lajes, pilares-parede e tabuleiros de pontes, são estruturas bastante susceptíveis a carregamentos dinâmicos, tais como máquinas rotativas e tráfego de pedestres. As novas tecnologias construtivas permitem planejar e construir estruturas cada vez mais esbeltas com vãos cada vez maiores. Para este tipo de estruturas, com deslocamentos e flexibilidade elevados, a análise dinâmica é fundamental.

Encontrar a solução da equação diferencial parcial dinâmica de placas e achar uma função para o deslocamento transversal é fundamental para estudar seu comportamento dinâmico, o que nem sempre é fácil. Para placas apoiadas em bordas opostas, a solução do problema de placa pode ser encontrada de forma analítica. Para outras combinações das condições de contorno, alguns trabalhos utilizam o método de Ritz (BASSILY e DICKINSON, 1972) ou o método de Galerkin (ILANKO, 2002; AMABILI, 2004) para obter as frequências naturais ou as cargas críticas de placas, usando, geralmente, uma soma de funções de vigas para aproximar a solução do problema. Para a solução generalizada do problema alguns métodos têm sido propostos por vários pesquisadores (SAHA, 2005; MACHADO, 2007).

Dentro da linha de pesquisa de Instabilidade e Dinâmica de Estruturas da PUC-Rio, há diversas dissertações e teses sobre o assunto (SUANO, 1988, JAREK, 2007, SALAS, 2015), e neste trabalho em particular utilizou-se o método de Rayleigh Ritz para encontrar uma solução para a análise de carga crítica de flambagem estática e dinâmica e para a análise de vibração de placas submetidas a diversas condições de contorno.

Os problemas mais comuns no campo da Mecânica dos Sólidos envolvem forças do tipo conservativas, cujo trabalho não depende da trajetória do sistema;

(18)

18

isso significa dizer que essas forças contribuem de maneira única e constante no funcional de energia do sistema. Outro tipo de forças, chamadas de não conservativas, são aquelas que têm a sua contribuição no funcional de energia do sistema variável ou não conservada. Na prática, isso significa dizer que o trabalho realizado pelas forças não conservativas depende da trajetória do movimento do sistema entre um estado inicial e um estado final.

A análise de sistemas do tipo não conservativo é um importante estudo associado com vários problemas na engenharia em geral, como na engenharia aeronáutica e espacial, e também em vários campos da mecânica aplicada e engenharia.

Os carregamentos convencionais considerados na teoria da elasticidade e na estabilidade elástica, bem como em outros campos da mecânica aplicada são forças conservativas as quais possuem uma única função potencial.

Tais forças satisfazem o princípio da conservação da energia e o trabalho por elas realizado sobre um deslocamento admissível em um corpo é independente da trajetória do corpo.

Exemplos simples, seriam as cargas permanentes que, permanecem constantes em intensidade e direção durante a deformação e movimento do corpo.

As forças ditas não conservativas, são muito comuns. Surgem por exemplo da interação mecânica de um sistema contínuo com o meio que o envolve. São forças de interação, por exemplo, forças de contato que aparecem da interação com outros corpos sobre uma certa superfície de contato. As forças de contato em geral dependem da deformação e do movimento do corpo em que atuam e são quase sempre, devido a sua natureza não conservativas.

As cargas que surgem oriundas de pressões causadas por gases, água ou vento, podem ser consideradas como os mais importantes tipos de carregamentos não conservativos que ocorrem na análise estrutural.

A solução de problemas não conservativos por métodos analíticos resolve poucos casos, principalmente se forem não lineares.

Os primeiros estudos de problemas não conservativos considerando forças circulatórias conforme relata BOLOTIN (1963), tiveram início com NIKOLAI (1928). Neste trabalho estudou-se a estabilidade de uma barra flexível na forma retilínea engastada em uma extremidade e livre na outra sujeita a uma força de compressão e a um momento de torção aplicados na extremidade livre.

Observou-PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

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se que quando o vetor do momento é tangencial, isto é, na direção da tangente do eixo deformado da barra, nenhuma forma de equilíbrio existe além da linear. Conclui portanto que o método usual de determinação de forças críticas não é válido para este tipo de problema. Após desenvolver a equação para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, desprezando o amortecimento, mostrou que a mesma era instável qualquer que fosse o valor.

Com o passar dos anos, outros problemas interessantes foram resolvidos, como, por exemplo, por PFLÜGER (1950) e BECK (1952). Basicamente, trata-se da estabilidade de uma barra flexível engastada em uma extremidade e sujeita a uma força normal de compressão tangencial à deformada da barra. Onde se demonstrou que para estes casos não existe nenhuma posição de equilíbrio próxima da indeformada. Outros autores a seguir, incluindo PFLÜGER (1955) consideraram o mesmo problema apenas incluindo a massa concentrada e distribuída.

HERMANN e BUNGAY (1964) apresentam um trabalho mostrando os vários modos de instabilidade dependendo do grau de não conservatividade da força.

Mais recentemente, SUANNO (1988), apresentou uma metodologia para a determinação da carga crítica de pórticos espaciais submetidos a carregamentos não-conservativos dependentes dos deslocamentos. O método dinâmico de determinação da carga crítica é empregado através de uma formulação matricial. Na modelagem desenvolvida ele utilizou o elemento de viga espacial, podendo ser consideradas cargas dependentes dos deslocamentos, conservativas ou não-conservativas, incluindo a possibilidade de carregamento distribuído seguidor e dirigido para ponto fixo. Resultados interessantes foram obtidos, dando destaque para demonstração da influência do efeito do cisalhamento na carga critica dinâmica (Flutter).

Outro pesquisador da estabilidade muito relevante, que passou a publicar desde os anos de 1960 uma série de trabalhos foi LEIPHOLZ (1970). Pode-se destacar entre seus vários trabalhos LEIPHOLZ e PFENDT (1982), onde apresentam as várias formas de instabilidade de placas em função da relação entre largura e o comprimento da mesma, quando sujeitas a forças circulatórias uniformemente distribuídas ao longo do plano da placa.

Trabalhos como os de ADALI (1981) e KIM (1998), estudaram a estabilidade dinâmica de placas retangulares sob a ação de forças seguidoras. O primeiro

(20)

20

considerando a formulção de Kirkoff-Love para placas, mostrou além do efeito da base elastica na estabilidade, uma razão de aspecto para casos de instabilidade dinâmica. O segundo considerou a teoria de Mindlin para placas, utilizando a formulação de elementos finitos considerando materiais isotropicos e ortotropicos, e ainda o efeito da deformação de cisalhamento e inercia rotacional.

Através do método dos elementos finitos, a solução de problemas não conservativos já se torna mais ampla que as soluções analíticas.

Propõem-se então modelar problemas de sistemas conservativos e não conservativos em placas, considerando inercia rotacional e deformação de cisalhamento, utilizando o método de Rayleigh-Ritz, baseado no método dos elementos finitos, permitindo uma solução rápida e adequada com uso de funções especializadas, sendo útil para projetos preliminares ou revisões de projeto.

Para avaliação do desempenho do elemento, optou-se pelo uso do elemento isolado, e não uma malha de elementos finitos. Isto trará uma redução do tempo de simulação do programa e permitirá melhor compreensão das qualidades e deficiências da formulação. É claro que uma malha de elementos finitos discretizaria melhor o problema de flambagem, principalmente, pela livre escolha de uma região na estrutura em que a malha poderia ser refinada para gerar um resultado com uma aproximação mais convergente. Mas, considerando trabalhos como de JAREK (2007) e SALAS (2015), ao testar a metodologia de funções adicionais em um elemento isolado, observa-se um bom resultado final para o estudo de flambagem e das primeiras frequências.

(21)

1.2 Objetivos

Os principais objetivos desde trabalho são:

 O desenvolvimento de uma rotina em MAPLE considerando a formulação de placas retangulares espessas (com inercia rotacional e deformação de cisalhamento).

 Realizar análise de vibrações em placas espessas avaliando a influência dos efeitos com a variação do aumento da espessura.  Análise da estabilidade estática e dinâmica de placas sujeitas a cargas

conservativas e não conservativas.

 Comparar os resultados obtidos pelo método Rayleigh–Ritz com o método analítico e com SAP 2000, na determinação das frequências e cargas críticas em placas espessas.

(22)

2 Formulação Geral do Problema

O presente capítulo apresenta aspectos básicos da teoria de Mindlin para placas espessas, os funcionais de energia utilizados para a obtenção da rigidez de uma placa. Além disso, desenvolve-se uma formulação matricial para o estudo da vibração e flambagem de tais estruturas apropriada para representação computacional no formato combinado de Rayleigh-Ritz e elementos finitos.

2.1

Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin

A Teoria de Mindlin surge em consequência da existência de placas que não podem ser consideradas finas para as quais os efeitos das tensões de corte transverso podem ser significativos. Para este tipo de placas as hipóteses de Kirchhoff consideradas válidas para as placas finas, deixam de ser admissíveis.

No caso dos deslocamentos transversais serem pequenos quando comparados com a espessura da placa, é possível modificar a Teoria das placas de forma a incluir a possibilidade da espessura ter dimensões mais elevadas modificando as hipóteses. O sistema de eixos coordenados a ser considerado é o sistema cartesiano ( , , ), representado na figura 2.1, o qual é definido de modo que o plano ( , ) seja coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo ( ) seja normal ao plano médio da placa. A origem do sistema de eixos existe sobre o plano médio da placa.

Figura 2.1: Sistema de Eixos de Referência.

(23)

As hipóteses de Reissner-Mindlin que são consideradas válidas para placas espessas e moderadamente espessas, utilizadas para efeitos de representação do campo de descolamentos e das tensões em placas com isotropia total submetidas a ações normais ao plano médio, são:

 A superfície média é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano são nulas ( = = = 0, para = 0).

 As linhas retas inicialmente normais ao plano médio permanecem retas, mas não necessariamente normal à superfície média fletida. Tendo em conta isto, os deslocamentos e de um ponto P da placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados a partir dos valores das rotações e da normal que após deformação se admitiu ser linear, mas não necessariamente normal à superfície média fletida.

Figura 2.1: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal (direita).

 A tensão na direção normal ao plano médio, é irrelevante quando comparada com as tensões e pelo que se considera ≅ 0.

O tensor das tensões toma neste caso uma forma análoga à considerada na Teoria Clássica de Placas que é a forma seguinte:

=

0

(2.1)

Tendo em conta a segunda hipótese, os deslocamentos e de um ponto P da placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados a partir dos valores das rotações e da normal que após deformação se admitiu ser

(24)

24

linear mas não necessariamente normal à superfície média fletida como se representa na figura 2.3. O vetor de deslocamentos { , , } no ponto P é tal que:

Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano . =

∙ − ∙

( , )

(2.2)

As deformações no plano a uma distância do plano médio da placa atendendo a expressão (2.2) e considerando o contexto das pequenas deformações, onde os termos de segunda ordem são eliminados, as deformações devidas à flexão e cisalhamento são: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ − ∙ − ∙ ∙ + ∙ ∙ + − ∙ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ (2.3)

As deformações de corte transversais, nesta teoria, são consideradas constantes ao longo da espessura e são diferentes de zero, contrariamente ao que acontecia na Teoria Clássica das Placas. As deformações , e variam linearmente ao longo da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses de Reissner-Mindlin já referidas. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(25)

A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre as tensões e deformações no plano como mostrado na relação (2.4), sendo o modulo de Young e o coeficiente de Poisson.

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = 1 + ∙ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡1 1 − 1 − 0 0 0 1 − 1 1 − 0 0 0 0 0 1 ₂ 0 0 0 0 0 1 ₂ 0 0 0 0 0 1 _2⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.4)

Tendo em conta as equações 2.3 e 2.4 é possível relacionar as tensões com os deslocamentos transversais do seguinte modo:

= − 1 − + (2.5) = − 1 − + (2.6) = − 2(1 + ) + (2.7) = 2(1 + ) + (2.8) = 2(1 + ) − + (2.9)

As tensões , e variam linearmente ao longo do eixo como se representa na figura 2.4, sendo nulas para = 0, como seria de esperar tendo em conta as hipóteses de Reissner-Mindlin. As tensões de cisalhamento são constantes ao longo da espessura. Esta aproximação contraria o fato de tensões cisalhantes se anularem na realidade para = /2 e = − /2, onde é a espessura da placa, o que sugere a possibilidade de se considerar teorias que sejam de ordem superior.

(26)

26

Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.

2.1.1

Esforços Generalizados e Curvaturas

Os esforços unitários, os momentos fletores unitários e , o momento torsor unitário e os esforços transversos unitários e são calculados de modo análogo ao considerado no caso das placas finas. O momento fletor unitário , é o momento resultante por unidade de comprimento da direção das tensões ao longo da espessura da placa, ou seja:

= ∙

/

(2.10)

De maneira análoga se definem momentos unitários, e que resultam das tensões e , ou seja:

= ∙ / / (2.11) = ∙ / / (2.12)

Os esforços transversais unitários definem-se a partir das tensões e do seguinte modo: = / / (2.13) = / / (2.14) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(27)

Integrando as expressões 2.10 a 2.12 para os momentos, tendo em conta as equações 2.5 a 2.7 para as tensões, obtém-se as expressões de 2.15 a 2.17, onde

= ⁄ 12 (1 − ) o modulo de rigidez à flexão da placa.

= − + (2.15)

= − + (2.16)

=1 −

2 +

(2.17)

As derivadas das rotações ⁄ , ⁄ e ⁄ + ⁄ são as curvaturas da superfície média fletida as quais poderão ser designadas por , e respectivamente. Portanto as equações de 2.15 a 2.17 podem ser escritas em função das curvaturas da superfície média fletida.

= −

1 0

0 0 1 − ₂

(2.18)

As contribuições das rotações para as deformações de corte podem ser designadas por e e definidas do seguinte modo:

= ⎩ ⎨ ⎧ + − + ⎭ ⎬ ⎫ (2.19)

As forças cortante tomam o seguinte valor em função das rotações, onde = _{2(1 + ), módulo de elasticidade transversal .}

= 1 0

0 1

(2.20)

Segundo Reddy (2007), considerando que a deformação de cisalhamento é representada como constante na espessura, logo a tensão de cisalhamento também será constante. É sabido da teoria elementar homogênea de vigas que a tensão de cisalhamento varia parabolicamente pela espessura da viga. Em placas a tensão de cisalhamento varia no mínimo quadraticamente através da espessura. Essa

(28)

28

discrepância entre o real estado e o estado constante predito pela teoria de primeira ordem é frequentemente corrigido nas forças resultantes de cisalhamento. Esse fator de correção de cisalhamento é usualmente multiplicando nas integrais 2.13 e 2.14 gerando:

=

/

(2.21)

Esse fator modifica a rigidez cisalhante da placa de tal forma que a energia de deformação devido a tensão cisalhante (equação 2.21) seja igual a energia de deformação predita pela teoria da elasticidade tridimensional.

= 3 2 1 − 2 , − 2≤ ≤2 (2.22)

Onde é a força cortante. A teoria de primeira ordem para tensão de cisalhamento constante é dada por = . A energia devido a tensão de cisalhamento pelas duas teorias são:

= 1 2 ( ) = 3 5 (2.23) = 1 2 ( ) = 2 (2.24)

O fator de correção de cisalhamento é a razão entre 2.23 e 2.24, a qual resulta em _{Κ = 5 6.}

Figura 2.5: Representação dos Esforços.

(29)

Os esforços no plano médio são , , , , e , como se determinou e estão representados no plano médio na figura 2.5. Estes esforços são unitários e são análogos aos considerados para efeitos de equilíbrio na teoria das placas finas. A diferença essencial neste caso, como já descrito, resulta do fato de deformação de cisalhamento não ser nula, o que é genericamente positivo para as placas espessas e moderadamente espessas e de os esforços cortantes poderem ser calculados a partir das deformações de cisalhamento conduzindo a valores constantes da tensão de cisalhamento, pelo que se consideram fatores de correção para efeitos de cálculo das tensões cisalhantes. Em suma a distribuição de tensões ao longo da espessura não parece a mais adequada, embora corresponda a uma melhoria significativa em relação à situação verificada no caso da Teoria Clássica das Placas (REDDY, 2007).

2.1.2

Equações de Equilíbrio

As equações de equilíbrio são estabelecidas em termos dos esforços unitários que resultam das tensões atuantes em um elemento paralelepipédico de placa de dimensões , segundo , segundo e segundo , sendo estas equações análogas às equações obtidas no caso da Teoria Clássica de Placas e são as equações resultantes do equilíbrio dos esforços que na forma de:

+ = (2.25)

+ = (2.26)

+ = − ( , ) (2.27)

onde ( , ) representa a resultante de ações externas normais ao plano médio no elemento , , sendo = e representam duas equações de equilíbrio de momentos e uma equação de equilíbrio de forças segundo o eixo vertical.

As condições de contorno conjuntamente com as equações de equilíbrio têm de ser verificadas. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(30)

30

Substituindo as equações 2.18 e 2.20 nas equações 2.25, 2.26 e 2.27 obtém-se: − +1 − 2 + 1 + 2 − + = 0 (2.28) − 1 + 2 + 1 − 2 + − − = 0 (2.29) + + − − ( , ) = 0 (2.30)

Estas são as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos transversais e das rotações. Neste caso a solução de um problema de placas implica na determinação de três grandezas que devem atender as equações de equilíbrio e as condições de contorno. Uma vez conhecidos o deslocamento transversal e as rotações, o cálculo dos esforços, tensões e deformações pode ser realizado.

2.1.3

Condições de Contorno

Para as condições de bordo simplesmente apoiado o movimento no eixo está impedido, podendo no entanto rodar livremente. As condições de contorno simplesmente apoiado são:

= 0 ; = 0 ; = (2.31)

sendo o deslocamento transversal, a rotação tangente e o momento que provoca uma rotação normal no bordo simplesmente apoiado.

Para o caso de uma placa retangular de bordos simplesmente apoiados paralelos aos eixos coordenados e , de dimensões segundo e segundo , como se representa na figura 2.6. As condições de contorno ao longo dos lados e que correspondem a = 0 e = são:

= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.32)

e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , são:

= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.33) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(31)

Figura 2.6: Placa simplesmente apoiada.

No bordo perfeitamente engastado os deslocamentos e as inclinações têm valor nulo, ou seja:

= 0 ; = 0 ; = 0 (2.34)

No caso da placa engastada representada na figura 6.7, as condições de contorno são:

Figura 2.7: Placa com bordos engastados.

ao longo dos lados AB e CD que correspondem a = 0 e = , representadas através das seguintes igualdades:

= 0 ; = 0 ; = 0 (2.35) e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , traduzem-se do seguinte modo: = 0 ; = 0 ; = 0 (2.36) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(32)

32

Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem ser nulos os momentos fletores e os esforços transversais . Estes esforços serão não nulos, caso exista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão iguais a uma função de ou conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas ser coincidente ou paralelo ao eixo as condições de bordo livre exprimem-se do seguinte modo, para = 0 ou = :

= 0 ; = 0 (2.37)

se for coincidente ou paralelo a as condições de bordo livre exprimem-se do seguinte modo, para = 0 ou = :

= 0 ; = 0 (2.38)

As funções consideradas para a deformada e rotações de uma placa devem verificar as equações de equilíbrio e as condições de contorno.

2.2

Método de Rayleigh-Ritz

A energia de deformação total do sistema Π é igual à soma da energia de deformação por flexão U de uma placa circular e a energia potencial das cargas externas Ω:

Π = + Ω (2.39)

A energia de deformação por flexão de uma placa considerando a deformação cisalhante é dada por:

= 1

2 + + +

+

(2.40)

A energia potencial das cargas externas Ω, para um sistema conservativo, é igual ao trabalho realizado pelas cargas aplicadas quando a estrutura está deformada, e é dada pela seguinte equação:

Ω = ( , ) ( , ) (2.41) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(33)

Onde é a componente do carregamento externo transversal aplicado sobre a superfície da placa, e é a função de deformação do elemento.

2.3

Análise dinâmica

Para o problema dinâmico de placas pelo método das energias é preciso ter a expressão da energia cinética que é dada pela seguinte expressão:

= 1

2 ̇ + ̇ + ̇

(2.42)

Onde é a densidade da placa e o ponto acima dos campos de deslocamentos representa a diferenciação com respeito ao tempo.

2.3.1

Frequências Naturais

O cálculo das frequências naturais e os modos de vibração conduzem a um problema linear de autovalor e autovetor generalizado da seguinte forma.

([ ] − [ ]){ } = 0 (2.43)

Onde os autovalores representam o quadrado das frequências naturais e os autovalores os modos de vibração.

2.4

Carga crítica de Flambagem

Para o cálculo da carga crítica aproximada de flambagem, utiliza-se o método Rayleigh-Ritz, obtida através da minimização do quociente de Rayleigh começando da igualdade da energia de deformação e o trabalho das forças externas.

([ ] − [ ]) = 0 (2.44)

= [ ] [ ] (2.45)

A magnitude de carga crítica é representada pelo fator , portanto o valor da carga crítica resulta da relação entre a matriz da energia de deformação geométrica [ ] pela matriz da rigidez da energia de deformação elástica [ ].

(34)

34

A energia de deformação elástica e dada pela seguinte forma: [ ] =1

2 + +

(2.42)

Figura 2.8: Forças aplicadas na Placa (Cook, 2002).

(35)

3 Desenvolvimento da Metodologia

O presente capítulo apresenta os elementos testados, para a análise de flambagem e vibrações, e suas respectivas propriedades relevantes que ajudaram na escolha do elemento satisfatório. Os elementos têm os deslocamentos determinados a partir de graus de liberdade nodais e parâmetros adicionais não nodais. Para as funções adicionais foram consideradas duas famílias de funções, uma envolvendo funções polinomiais simples e outras apenas com polinômios de Legendre, com o intuito de melhor aproximar o que acontece no interior da placa. Finalmente, é abordada a implementação computacional elaborada para análise dos cálculos, incluindo comentários sobre como generalizar a uma malha de elementos finitos.

3.1

Considerações Gerais

A solução das equações que regem o comportamento de placas de Mindlin é facilitada pelo uso de métodos numéricos, dentre os métodos numéricos disponíveis para a solução de equações diferenciais definidas em domínios arbitrários, o Método dos Elementos Finitos tem mostrado ser o mais eficiente (DINIS, 2004). Há vários tipos de modelos de elementos finitos desenvolvidos para serem utilizados no contexto das teorias de placas. Estes modelos podem agrupar-se em três modelos que são: modelos baseados numa formulação em termos de deslocamentos, modelos mistos ou híbridos e modelos de equilíbrio. Os modelos formulados em termos dos deslocamentos são baseados no teorema dos trabalhos virtuais sendo as equações correspondentes formuladas em termos dos deslocamentos. Os modelos mistos ou híbridos são baseados em princípios variacionais mistos da teoria das placas sendo as tensões e deslocamentos aproximados de forma independente. Os modelos de equilíbrio são baseados no princípio das forças virtuais. Dentre os modelos referidos o que é mais frequentemente utilizado é o modelo baseado numa formulação em termos de deslocamentos. O modelo aqui referido é deste tipo.

(36)

36

Um dos modos de encarar o método dos elementos finitos é como uma técnica de produção de funções de aproximação para serem utilizadas em métodos variacionais de aproximação como, por exemplo o método de Rayleigh-Ritz, mínimos quadrados, subdomínio, etc. A escolha das funções de aproximação é em geral condicionada a cada problema sendo no entanto possível ter vários modelos de elementos finitos para uma dada equação.

No processo de definição de funções de aproximação há uma metodologia de formulação muito utilizada que faz uso do conceito de elemento isoparamétrico. Este conceito veio permitir a consideração de fronteiras do elemento com formas mais complexas do que as usualmente permitidas por outro tipo de elementos.

Um aspecto fundamental da formulação por elementos finitos consiste na escolha das funções a interpolar que representam as variáveis a determinar no problema. No caso de se tratar de um elemento finito a ser considerado no âmbito da Teoria de Mindlin de Placas as variáveis a interpolar no contexto de uma formulação em termos dos deslocamentos são o deslocamento transversal e as rotações e . Esta formulação conduz em geral a um sistema de equações cujas incógnitas são os valores das funções interpoladas nos chamados pontos nodais dos elementos finitos que constituem o domínio.

3.2 Desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos

3.2.1

Campo de deslocamentos e Graus de liberdade

O campo de deslocamentos da placa espessa é dado por três vetores que descrevem translações no eixo , rotações no eixo e rotações no eixo . Como se pode ver seguir equação 3.1, os vetores que descrevem estas translações e rotações são: , e , vetores estes compostos basicamente pelas funções de forma básicas de interpolação nodais, , e , que descrevem os deslocamentos e rotações nodais, relacionadas com a quantidade de graus de liberdade ( ) e nós considerados no elemento ( ó ); funções adicionais

internas, , e , que são interpolações dos deslocamentos e rotações dentro do elemento, sendo um vetor nulo referente as funções de forma entre

(37)

os graus de liberdade e um vetor nulo referente as funções adicionais entre os graus de liberdade. = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ ; = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ ; = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ (3.1) 3.2.2

Funções de Forma Nodais

Considerando o conceito de elemento isoparamétrico, então as funções de forma são definidas em coordenadas locais e , como se representa na figura 3.1.

Figura 3.1: Generalização do Elemento utilizado.

Para elementos de quatro, oito, doze e dezesseis nós, as coordenadas de um ponto do elemento ( , ) podem ser calculadas a partir das coordenadas nodais ( , ) do seguinte modo: = ; = (3.2) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(38)

38

Nota-se que as dimensões do elemento isoparamétrico de 4 nós, o sistema de eixos local são dois por dois sendo as coordenadas do canto do elemento (−1, −1), (1, −1), (1, 1) (−1, 1). No caso do elemento de oito nós os pontos nodais são colocados nos cantos do elemento e no meio dos lados. A representação dos elementos utilizados se apresenta na figura 3.2, assim como as funções de forma para os elementos isoparamétricos. Estão representados os elementos lineares, quadráticos, cúbicos e de quarta ordem da família Serindipity.

Figura 3.2: Funções de forma de elementos isoparamétricos Serendipity. ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧±1 ±1 ±1 0 0 ±1 1 4(1 + )(1 + )( + − 1) 1 2(1 + )(1 + ) 1 2(1 + )(1 + ) ±1 ±1 1 4(1 + )(1 + ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧±1 ±1 ±1 ±1 3 ±1 3 ±1 1 32(1 + )(1 + )[9( + ) − 10] 9 32(1 + )(1 − )(1 + 9 ) 9 32(1 + )(1 − )(1 + 9 ) ( , ) Funções de Formas Coordenadas Nodais ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧±1 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 ±1 2 ±1 2 ±1 1 12(1 + )(1 + )[4( − 1) + 4( − 1) + 3 ] 1 2(1 + )( − 1)( − ) 1 2(1 + )( − 1)( − ) 3 4(1 + )(1 − )( + ) 3 4(1 + )(1 − )( + ) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(39)

Para trazer as funções de formas definidas das coordenadas isoparamétricas normalizadas para cartesianas, basta substituir = 2 e =2 . Essas funções de forma nodais serão adotadas como mesma aproximação para os deslocamentos e rotações do elemento, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , será igual ao das rotações e , independentemente da interpolação utilizada.

= = (3.3)

3.3

Funções Adicionais Internas

As funções adicionais internas são polinômios hierárquicos que não tem um significado físico, mas que ajudam a descrever as deformações dentro do domínio da placa.

Serão utilizadas funções do tipo polinomiais. Para a dedução das funções adicionais de uma placa, pode-se partir de um elemento finito de viga (KOTSOVOS, 1995) ou outra função unidimensional, sendo que a expressão final para uma placa é obtida pela multiplicação de funções das duas nas direções (x, y). Os parâmetros que definem uma função de interpolação numa estrutura são os graus de liberdade por nó sendo, estes, uma translação ( ) e duas rotações

, .

Neste caso foram adotadas duas famílias de funções, polinomiais simples, partindo de uma função quadrática e polinômio de Legendre, adaptados ao problema.

3.3.1

Função Adicional Polinomial

Em diversos livros tais como (COOK, 2002), normalmente é adotada uma função básica polinomial de terceiro grau de uma viga. JAREK (2007), com o intuito é reduzir o erro no resultado, inseriu ainda termos adicionais senoidais.

Aqui, fez se uso de um polinômio como mostrado em 3.4, onde a partir de 2, começando então por uma função quadrática, até o número de termos necessários para se chegar a um resultado aceitável.

(40)

40

= + + (3.4)

Nesta expressão a equação relaciona as coordenadas normalizadas com as globais. Para isso é necessário conhecer as constantes e substituindo as duas condições nodais que se conhecem:

= − 2 = 2 → = −1 → = 1 1=− 1 2− (−1) 2 ; 2=− 1 2+ (−1) 2 (3.5)

Substituindo as constantes e da equação 3.5 e o valor de na equação 3.4 obtém-se: ==−1 2− (−1) 2 + − 1 2+ (−1) 2 + (3.6)

Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu domínio. Substituindo = 2 na equação 3.6, tem-se a função na direção

, com o respectivo índice :

= −1 2− (−1) 2 + 2 −1₂−(−1)₂ + 2 (3.7)

A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):

Figura 3.3: Gráfico representando cinco primeiros modos para a função polinomial.

A função ao longo do eixo é obtida analogamente à obtida para o eixo resultando em: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(41)

= −1 2− (−1) 2 + 2 −1₂−(−1)₂ + 2 (3.8)

Tendo em vista a obtenção das funções adicionais nos sentidos e , é possível chegar à função adicional para a placa através da multiplicação de e

como mostra a equação (3.9).

= (3.9)

Essa multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos conjuntos definidos com o número de termos necessários para se chegar a um resultado aceitável

3.3.2

Função Adicional Polinômio de Legendre

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em = ± 1 então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá se | | < 1. Quando é um inteiro, a solução ( ) que é regular em = 1 é também regular em = −1, e a série para esta solução é finita, ou seja, um polinômio.

Esta solução para valores inteiros de forma uma seqüência polinomial de polinômios ortogonais chamados polinômios de Legendre. Cada polinômio de Legendre ( ) é um polinômio de n-ésimo grau. Isto pode ser expresso utilizando a fórmula de Rodrigues.

( ) = − 1

2 ! [( − 1) ]

(3.10)

Baseando-se na Formula de Rodrigues, de forma análoga a dedução anterior, como mostrado em 3.4 a 3.7, onde também a partir de 2 até o número de termos necessários para se chegar a um resultado aceitável, obtem-se:

= 1

2 ! [( − 1) ] −

(3.11)

Onde C um coeficiente para adaptar o polinômio as condições do problema, variando em função do tipo de polinômio, par ou impar, como mostrado a seguir:

(42)

42

= 1 (3.12)

Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu domínio. Subistituindo = 2 na equação 3.11 e 3.12, tem-se e

na direção , com o respectivo índice :

= 1 2 ! 2 − 1 − 1 (3.13) = 1 2 ! 2 − 1 −2 (3.14)

Para obter as mesmas equações (3.13) e (3.14), em função de y, basta fazer as seguintes mudanças:

= ; = ; = ; = (3.15)

A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):

Figura 3.4: Gráfico representando os cinco primeiros modos para a função polinomial de Legendre.

Tendo em vista a obtenção das funções adicionais com os polinômios de Legendre nos sentidos e , é possível chegar à função adicional para a placa através da multiplicação de e como mostra a equação (3.16), lembrando

que multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos conjuntos

(43)

definidos com o número de termos necessários para se chegar a um resultado aceitável.

= (3.16)

Ambos os conjuntos de funções adicionais internas serão adotadas como mesma aproximação para os deslocamentos e rotações do elemento, análogo ao feito com as funções nodais, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , , será igual ao das rotações e , independentemente da interpolação utilizada.

= = (3.17)

Uma outra discussão a respeito das funções adicionais internas são suas vantagens e desvantagens. Da teoria de séries de Fourier, sabe-se das propriedades de convergência superiores das funções trigonométricas. No entanto, as funções polinomiais, no programa, reduzem substancialmente o tempo de simulação, assim, é possível adicionar um maior número de funções. Um dos motivos, que o torna mais ágil, é o fato de que a obtenção das derivadas e integrais de funções polinomiais é bem mais rápida que no caso das trigonométricas, ainda mais considerando um programa como o Maple.

Um outro fato importante a ressaltar é a possível deterioração do resultado em função da não ortogonalidade das funções, fato que foi observado por JAREK (2007). Esta limitação também pode ocorrer na combinação de polinômios e funções trigonométricas, mas de forma menos acentuada, segundo JAREK (2007).

3.4

Matriz de rigidez

Uma vez conhecido o campo de deslocamentos e deformações da placa espessa pode se enxergar a energia de deformação da placa espessa, sabendo que a relação tensão deformação para uma placa elástica espessa pode ser descrida pelas tensões ( , ) que são tensões normais e ( , , ) que são tensões cisalhantes.

A matriz de rigidez pode ser construída através do princípio da energia de deformação. Sabendo que a deformação pode ser representada de maneira vetorial, então consideramos os seguintes elementos como vetores ( , , , , ) os módulo de elasticidade longitudinal ( ) e transversal ( )são dados por:

(44)

44

=

(1 − ) ; =2(1 − )

(3.18) Com os valores da equação (3.18), integrando a equação (2.40) de tensões e deformações, deixando em função das deformações de flexão e cisalhamento, tem-se: [ ] ã = { } { } + + { } + { } (3.19) [ ] = { } Κ{ } + Κ + (3.20)

Lembrando que Κ é o fator de correção de cisalhamento, definido em (2.21), que não atua na deformação de cisalhamento por torção ( ). A matriz de rigidez total será a soma das duas matrizes definidas acima.

[ ] = [ ] _ã + [ ] (3.21)

3.5

Matriz de massa

A matriz de massa contém a ação inercial de um elemento devido as acelerações unitárias nos graus de liberdade. Estas ações inerciais são transformadas em forças concentradas nos nós. Substituindo os deslocamentos na equação (2.42), obtém-se: [ ]= 2 ({ } { }) − 2 2 − 2 2 − 2 + { } { } + (3.22) 3.6 Matriz geométrica

A matriz de rigidez geométrica para a placa pode ser obtida pelo trabalho realizado pelas forças constantes agindo em direção axial do plano médio da placa.

(45)

A matriz de rigidez geométrica pode ser obtida em função da energia de deformação das cargas externas, equação (2.42).

[ ] = { } { } +

+ { }

(3.23)

3.7

Matriz de imposição das condições de contorno

O método de imposição das condições de contorno utilizado é o da penalidade, através da adição de valores de rigidez na diagonal principal da matriz de rigidez [ ] referente aos graus de liberdade do elemento. O número total de elementos da matriz é dado por:

= ó + (3.24)

Onde é o número de graus de liberdade por nó, _ó é o número de nós e é o número total de funções adicionais, que é a multiplicação do número de funções utilizadas em cada eixo.

A matriz de imposição das condições de contorno ([ ]) terá tamanho ( × ), e para conhecer os elementos da diagonal principal da matriz é preciso conhecer além da quantidade de nós, as condições de contorno do problema. Os demais termos desta matriz serão iguais a zero.

A imposição das condições de contorno se faz somando-se à matriz de rigidez ( ) a matriz de imposição das condições de contorno ([ ]), como mostrado em (3.26). [ ] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( , ) 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ 0 0 ⋯ 0 ₍ _, ₎ 0 ⋱ 0 0 ⋱ 0 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (3.25) ( × ) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(46)

46

[ ] = [ ] + [ ] (3.26)

A diagonal principal penaliza apenas os graus de liberdade nodais, ou seja, ela vai à ₍ _, ₎, onde é o número de funções adicionais multiplicado pelo número de graus de liberdade.

= _ó (3.27)

Outro fator importante, é a rigidez das molas que se encarregarão de restringir as rotações e translações nos nós. Esses valores podem ser calibrados para cada problema separadamente levando em consideração a grandeza dos elementos da matriz de rigidez, de forma a evitar possíveis erros numéricos.

3.8

Frequências naturais

As frequências podem ser obtidas através da solução da seguinte equação:

{ } = [ ] [ ] (3.28)

Onde [ ] é a matriz de massa e [ ] é a matriz elástica da placa. Resolvendo este problema obtemos os auto valores para poder obter desta forma as frequências naturais do sistema { }= { }

3.9

Carga crítica

Para a determinação das cargas críticas, em forma linearizada, utiliza-se a mesma formulação já citada no capítulo 2, fazendo isso tem-se a obtenção desta carga:

{ } = −[ ] [ ] (3.28)

Onde [ ] é a matriz geométrica e [ ] é a matriz elástica da placa. Resolvendo este problema obtem-se os auto valores e dessa forma a carga crítica o sistema. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA

(47)

4 Comportamento das Cargas

Os tipos mais comuns de forças não conservativas são as chamadas forças circulatórias, tais como as forças e momentos seguidores (“follower”), isto é forças não deriváveis de um potencial e não dependentes explicitamente do tempo, e que seguem completamente ou parcialmente os deslocamentos ou rotações das superfícies onde estão aplicados.

As forças generalizadas externas que atuam em um sistema podem ser classificadas com relação a sua conservatividade. Pode-se definir como forças conservativas qualquer força generalizada associada com um valor estacionário de uma função potencial dependente dos deslocamentos generalizados. O trabalho do sistema, para qualquer deslocamento atual depende somente da configuração inicial e final do sistema. As forças conservativas podem ser independentes dos deslocamentos (cargas permanentes) ou dependentes dos deslocamentos (forças centrifugas e outras).

Considerando a definição dita acima, forças não conservativas são aquelas que possuem um potencial dependente da velocidade ou do tempo. As forças não conservativas estacionárias, independentes do tempo, podem ser classificadas como dependentes da velocidade ou independentes da velocidade, isto é, dependendo puramente do deslocamento. Nesse último caso são forças denominadas circulatórias.

O efeito de forças não conservativas do tipo circulatórias em elementos finitos é feita pela adição de uma matriz chamada de rigidez tangente ou de correção das cargas, sendo esta em geral uma matriz não simétrica.

Com relação ao comportamento dos sistemas estruturais sujeitos às forças circulatórias, dois tipos de instabilidade podem ocorrer. Em termos gerais pode-se dizer que na análise de problemas de estabilidade elástica, a natureza dos carregamentos externos, determina a característica do problema de autovalor a que se chega na formulação que rege o problema. O carregamento conservativo leva a uma solução de autovalores associados a matrizes de rigidez efetivas simétricas e

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somente autovalores reais. Para carregamentos não conservativos, por exemplo do tipo circulatório, chega-se a um problema de autovalor associado a uma matriz de rigidez efetiva não simétrica, ocorrendo autovalores complexos e reais.

Pode-se distinguir duas formas de instabilidade:

 "Instabilidade estática ou divergência": existindo uma configuração de equilíbrio adjacente. A estrutura passa por uma posição de equilíbrio não trivial antes de atingir a instabilidade, isto é, a transição da estrutura da estabilidade para a instabilidade ocorre com um autovalor nulo. Para valores da carga acima da de flambagem, todos os autovalores são reais, sendo que o autovalor nulo mencionado anteriormente torna-se real e negativo.

 "Instabilidade dinâmica, drapejamento ou Flutter": oscilações com amplitudes crescentes exponencialmente acima da carga crítica. Nestes casos a perda da estabilidade do sistema ocorre com autovalores diferentes de zero. De fato a instabilidade do sistema manifesta-se por si mesma em oscilações com amplitudes crescentes ilimitadamente. A perda da estabilidade ocorre quando para um valor finito do carregamento, carga de Flutter, pode-se observar a coalescência de pelo menos dois autovalores consecutivos, ou seja, eles tornam-se iguais. Além deste valor o movimento perturbado do sistema apresenta as mencionadas oscilações divergentes, com os autovalores críticos tomando a forma de conjugados complexos.

Expressando a intensidade da carga externa por um parâmetro P, o limite da estabilidade pode ser observado pelo comportamento dos autovalores assim que o parâmetro da carga varia, isto é, pela relação λ = λ(P), conforme a figura 4.1, onde λ = 1, 2, 3, são os três primeiros autovalores do problema.

Se p = 0, todos os autovalores são reais e positivos, eles são as frequências da estrutura sem carregamento. Para valores das cargas aplicadas inferiores a crítica todos os autovalores são positivos e reais (estável). Para a carga critica o menor dos autovalores torna-se nulo, isto é, a curva correspondente intercepta o eixo das cargas P, atingindo-se a carga de flambagem. Após atingir a carga crítica o autovalor torna-se real negativo, torna-sendo o fenômeno da divergência, ou então conforme a figura 4.1, dois autovalores (frequência), usualmente os de mais baixo valor, aproximam-se