JOGOS COM POLIEDROS E PERMUTAÇÕES

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JORGE REZENDE

1. Introduc¸˜ao

Este artigo descreve um conjunto de jogos didácticos com poliedros e permuta¸cões. Num texto escrito já há alguns anos [1] foi atribu´ıdo a estes jogos o nome de puzzles numéricos poliédricos. Embora a palavra puzzle não seja portuguesa, é aquela que, tendo entrado na linguagem comum, melhor identifica o que se pretende com o jogo. Trata-se de juntar pe¸cas segundo uma determinada regra e de modo a formar um resultado final coerente.

Tendo uma inten¸cão lúdica, estes jogos servem também para pensar e para ensinar. Por exemplo, as no¸cões elementares da teoria dos grupos (grupos de permuta¸cões, opera¸cões de grupos sobre conjuntos, grupos c´ıclicos, etc.), podem ser ilustradas com estes jogos. As no¸cões de simetria a duas e a três dimensões, tão importantes em Matemática e em F´ısica, também podem ser ensinadas com esta ajuda. A constru¸cão dos jogos é baseada no cálculo combinatório, pelo que aqui está mais uma área na qual eles podem ser úteis. As solu¸cões, de um determinado puzzle, podem ser calculadas com um computador, pelo que as técnicas de programa¸cão podem ser assim utilizadas e, consequentemente, treinadas.

1.1. Defini¸cão geral. Consideremos um poliedro regular (platónico), semi-regular (arquimedeano) ou dual de semi-regular. As suas faces são pol´ıgonos, regulares ou não. Exemplos:

a) O cubo tem seis faces que s˜ao quadrados.

b) O dodecaedro tem doze faces que s˜ao pent´agonos regulares. c) O cuboctaedro tem catorze faces, pol´ıgonos regulares, sendo oito

triˆangulos e quatro quadrados.

d) O icositetraedro deltóide tem vinte e quatro faces todas iguais, que são quadriláteros não regulares (faces deltóides).

Construamos em seguida placas poligonais no mesmo n´umero e com o mesmo formato e tamanho das faces do poliedro. Adjacentemente `as

O Grupo de F´ısica-Matemática é financiado pelo Ministério da Ciência e Tecnolo-gia.

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1 1 3 2 3 2 Figura 1. 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 3 2 4 3 2 Figura 2.

arestas das placas poligonais escrevem-se números tal como indicam as figuras 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Algumas dessas placas, ou todas, podem ter números escritos de ambos os lados sendo iguais os números adjacentes `

a mesma aresta (ver figura 6).

Agora, o problema consiste em colocar as placas poligonais sobre as faces do poliedro (placas com um determinado formato sobre as faces

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3 2 1 1 3 1 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 2 2 1 1 Figura 3.

com o mesmo formato) de tal forma que os dois números (de duas placas distintas) adjacentes a uma mesma aresta, sejam iguais. Se existir, pelo menos, uma solu¸cão para este problema dizemos que estamos perante um puzzle numérico poliédrico.

Repare-se que fazer o puzzle equivale a atribuir a cada aresta do po-liedro um número. Se cada face tiver números distintos atribu´ıdos às respectivas arestas dizemos que é um puzzle sem números repetidos. 1.2. Constru¸cão prática. Um material rudimentar que pode ser usado para a constru¸cão de um puzzle numérico poliédrico é a cartolina. Podem-se usar diferentes cores para as diferentes placas poligonais e para os diferentes poliedros.

Em primeiro lugar há que ter a base poliédrica na qual se vai resolver o puzzle. Esta base deve possuir, por exemplo, três cantos de fotografia auto-adesivos junto de três vértices distintos em cada face, de forma a que

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4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 3 4 Figura 4.

se possa a´ı encaixar cada placa poligonal, que dever´a ter um tamanho ligeiramente inferior ao da face. A placa poligonal ´e colocada sobre a face do poliedro como uma fotografia num album.

1.3. Sum´ario. Este artigo est´a organizado como segue:

Na segunda seçcão descrevem-se exemplos de puzzles com poliedros platónicos.

Na terceira seçcão dá-se um método de resolver alguns dos puzzles, baseado na teoria elementar dos grupos. A informa¸cão matemática re-lacionada pode ser obtida nas Referências [4]–[6]. Esta seçcão termina com exemplos e um desafio ao leitor.

Na quarta seçcão descrevem-se alguns puzzles sem números repetidos. Isto significa que em cada placa poligonal os números são todos distin-tos. Claro que há outros poss´ıveis puzzles que não são considerados aqui. Sobre os poliedros mencionados nesta seçcão, pode-se consultar as Re-ferências [2]–[5].

Na quinta seçcão discutem-se poss´ıveis generaliza¸cões com base nas indica¸cões das seçcões precedentes.

2. Exemplos de puzzles com poliedros plat´onicos

Como se sabe os poliedros platónicos têm como faces pol´ıgonos regu-lares e são cinco: o tetraedro (4 triângulos), o cubo (6 quadrados), o octaedro (8 triângulos), o dodecaedro (12 pentágonos) e o icosaedro (20 triângulos). Vamo-nos concentrar, portanto, nos triângulos equiláteros, nos quadrados e nos pentágonos regulares. São três formatos distintos.

No seguimento deste artigo consideraremos um número inteiro n ≥ 1. A questão que se coloca é a seguinte: de quantas maneiras distintas ´

e poss´ıvel atribuir a cada lado de um triângulo equilátero os números 1, 2, . . . , n sem repetir qualquer um deles? Se n = 1 ou n = 2, não há

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3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 5 4 3 2 1 1 1 1 5 5 5 5 4 4 4 4 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 5. 5 5 4 4 3 3 1 1 3 3 4 4 5 5 2 2 1 1 1 3 5 2 4 1 3 4 2 5 c b a

Figura 6. Os dois lados de uma placa: a) pentagonal regular, b) pentagonal irregular, c) delt´oide

maneira. Se n = 3, há 2 possibilidades: 123 e 132 lidos por esta ordem no sentido directo (contrário ao dos ponteiros do relógio); ver figura 1. Se n = 4, há 8 possibilidades: 123, 132, 124, 142, 134, 143, 234 e 243

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lidos no sentido directo (ver figura 2). Repare-se que 8 é precisamente o número de faces do octaedro. Se n = 5, há 20 possibilidades cuja listagem se deixa ao leitor. Repare-se que 20 é precisamente o número de faces do icosaedro. Se n = 6, há 40 possibilidades cuja listagem se deixa, mais uma vez, ao leitor. Repare-se que 40 é precisamente o dobro do número de faces do icosaedro. De facto, no que ao triângulo equilátero diz respeito, o número g de possibilidades é g = 2 n₃ = n(n−1)(n−2)

3 .

Identicamente se pode perguntar: de quantas maneiras distintas é poss´ıvel atribuir a cada lado de um quadrado os números 1, 2, . . . , n sem repetir qualquer um deles? Se n = 1, n = 2 ou n = 3, não há maneira. Se n = 4, há 6 possibilidades, exactamente o número de faces do cubo (ver figura 4). No que ao quadrado diz respeito o número g de possibilidades ´

e g = 6 n₄.

E o que se passa com o pentágono regular? De quantas maneiras distintas é poss´ıvel atribuir a cada lado de um pentágono regular os números 1, 2, . . . , n sem repetir qualquer um deles? Se n = 1, n = 2, n = 3 ou n = 4, não há maneira. Se n = 5, há 24 possibilidades, exactamente o dobro do número de faces do dodecaedro (ver figura 5). No que ao pentágono regular diz respeito o número g de possibilidades é g = 4! n₅.

Estes resultados sugerem-nos a constru¸cão de placas poligonais tendo em vista puzzles a fazer sobre os cinco sólidos platónicos.

Vejamos, em primeiro lugar, o tetraedro. Atribuindo a cada aresta um número, de forma que não haja repeti¸cões em cada face, constatamos a seguinte realidade: se n = 3, as placas têm que ser todas iguais; se n > 3, não há solu¸cões que esgotem todas as possibilidades.

Consideremos agora o octaedro. Com n = 4 podemos construir 8 placas diferentes, que esgotam as possibilidades, com números escritos só num dos lados de cada placa. Neste caso há solu¸cões.

Seja, em seguida, o icosaedro. Com n = 5 podemos construir 20 placas diferentes, que esgotam as possibilidades, com números escritos só num dos lados de cada placa. Também aqui há solu¸cões. Com n = 6 podemos construir 20 placas diferentes, que esgotam as possibilidades, com números escritos nos dois lados de cada placa. Se num dos lados de uma placa estiverem os números abc, lidos por esta ordem no sentido directo, no outro lado estão os números acb. Mais um caso com solu¸cões. Consideremos o cubo. Com n = 4 podemos construir 6 placas dife-rentes, que esgotam as possibilidades, com números escritos só num dos lados de cada placa. Este caso tem solu¸cões; por exemplo, a figura 7

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4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Figura 7. Cubo

Finalmente temos o dodecaedro. Com n = 5 podemos construir 12 placas diferentes, que esgotam as possibilidades, com números escritos nos dois lados de cada placa. Se num dos lados de uma placa estiverem os números abcde, lidos por esta ordem no sentido directo, no outro lado estão os números aedcb. Este é um puzzle bem estudado com várias solu¸cões como adiante veremos.

A maneira espontânea de resolver estes puzzles é por tentativas. Mas há outras. Por exemplo, no caso do icosaedro, com n = 5, há uma forma “natural” que a seguir se expõe. Fixemos uma aresta do icosaedro. Há uma que lhe é paralela e outras quatro que lhe são perpendiculares. Ao todo, são seis. Estão colocadas sobre as faces de un cubo “virtual” no qual o icosaedro está inscrito (ver figura8). Como há cinco desses cubos “virtuais”, a cada um deles associamos um dos números 1, 2, . . . , 5 de tal forma que cada cubo tenha um número distinto dos outros. Agora, a cada aresta do icosaedro assente sobre a face de um determinado cubo associemos o número desse cubo. Temos assim uma solu¸cão do puzzle (ver figura 9).

3. Resoluc¸˜ao

Nesta seçcão desenvolveremos um método de resolu¸cão de alguns puzz-les numéricos poliédricos utilizando apenas, sem perda de generalidade, aqueles que definimos na seçcão precedente. Para tal usaremos a teo-ria dos grupos (ver as Referências [4]-[6]). Em seguida, ilustraremos o método com exemplos simples. A última parte da seçcão desenvolver-se-á em torno da defini¸cão natural de solu¸cões equivalentes.

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Figura 8. Icosaedro 5 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 9. Icosaedro

Na parte restante deste artigo F representa o conjunto das faces, A o conjunto das arestas e P o conjunto das placas.

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3.1. Um método de resolu¸cão. O grupo das permuta¸cões de {1, 2, . . . , n}, Sn, é o conjunto de todas as bijeçcões

σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} ,

com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao. A identidade designa-se pela letra e: e (1) = 1, e (2) = 2, . . . , e (n) = n.

Sn e os seus subgrupos operam sobre o conjunto das placas, P . Dados

σ ∈ Sn e π ∈ P , ou seja σ é uma permuta¸cão e π é uma placa, então σπ

´

e a placa que se obtem de π submetendo-a `a permuta¸c˜ao σ.

Seja G um subgrupo de Sn. G dá origem a uma rela¸cão de equivalência.

Duas placas, π1 e π2 s˜ao equivalentes se existir σ ∈ G tal que

π2 = σπ1.

As classes de equivalência associadas a esta rela¸cão de equivalência chamam-se órbitas da açcão do grupo sobre P .

Entre os subgrupos de Sn h´a os grupos c´ıclicos. Seja G um subgrupo

c´ıclico de Sn de gerador σ e de ordem r (o cardinal de G), com r > 1.

Ent˜ao G = {e, σ, σ2_{, . . . , σ}r−1_{}; σ}2 _{= σ ◦ σ, σ}3 _{= σ ◦ σ ◦ σ, e assim}

sucessivamente.

Regressemos agora ao poliedro. Um poliedro, dos que temos consi-derado, tem eixos de simetria. Admitamos que o poliedro que esta-mos a tratar tem um eixo de rota¸cão de ordem r. Isto significa que se se rodar o poliedro em torno desse eixo, sem deslizar, de um ângulo de (360/r)◦[≡ (2π/r) rad], ele passa a ocupar uma situa¸cão semelhante `

aquela de que partiu. Exemplos:

a) O cubo tem 3 eixos de simetria de ordem 4 que s˜ao aqueles que unem os centros de faces opostas; se se roda o cubo de 90◦ em torno de um desses eixos ele adopta uma posi¸c˜ao que em nada se distingue da que tinha.

b) O cubo tem 4 eixos de ordem 3 que são aqueles que unem vértices opostos; o ângulo de rota¸cão é neste caso de 120◦.

Suponhamos que o grupo G opera no conjunto P das placas corres-pondentes às faces do poliedro da forma já descrita. Ilustraremos isto com dois exemplos. Seja n = 4 e as seis placas correspondentes às 6 faces do cubo as seguintes: π1 = 1234, π2 = 1243, π3 = 1324, π4 = 1342,

π5 = 1423, π6 = 1432; isto é, em cada uma das placas os números estão

dispostos pela ordem indicada adjacentemente às arestas. Depois desta introdu¸cão, vejamos então os dois exemplos:

a) Seja σ o gerador do grupo c´ıclico G, de ordem 4, tal que σ (1) = 2, σ (2) = 3, σ (3) = 4, σ (4) = 1; ent˜ao, σπ1 = π1, σπ2 = π5,

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b) Seja σ o gerador do grupo c´ıclico G, de ordem 3, tal que σ (1) = 2, σ (2) = 3, σ (3) = 1, σ (4) = 4; ent˜ao, σπ1 = π5, σπ2 = π1,

σπ3 = π4, σπ4 = π6, σπ5 = π2, σπ6 = π3.

Chamemos µ : F → F à fun¸cão que a cada face do poliedro associa a face que lhe corresponde fazendo uma rota¸cão de (360/r)◦ em torno do eixo de simetria já considerado; µ2 _{= µ ◦ µ, µ}3 _{= µ ◦ µ ◦ µ, e assim}

sucessivamente.

Consideremos também ξ : A → A a fun¸cão que a cada aresta do poliedro associa a aresta que lhe corresponde fazendo a mesma rota¸cão.

Diz-se que duas faces ϕ1 e ϕ2 s˜ao equivalentes se existir i tal que

ϕ2 = µiϕ1. Diz-se que duas placas π1 e π2 s˜ao equivalentes se existir i

tal que π2 = σiπ1. Estas rela¸cões de equivalência dão origem a conjuntos

de classes de equivalˆencia (´orbitas) F e P, respectivamente.

Naturalmente o que se espera é que exista uma solu¸cão do puzzle a que correspondam uma fun¸cão bijectiva u : F → P que a cada face associa a placa que a´ı está colocada, e uma fun¸cão v : A → {1, 2, 3, . . . , n} que a cada aresta associa o número que a´ı está colocado, de tal forma que u ◦ µ (ϕ) = σu (ϕ), qualquer que seja a face ϕ, e também u−1(σπ) = µ ◦ u−1(π) qualquer que seja a placa π, e ainda tal que v ◦ ξ = σ ◦ v. Se esta situa¸cão acontecer a fun¸cão u dá origem a uma fun¸cão bijectiva U : F → P que a cada classe de equivalência elemento de F associa uma classe de equivalência elemento de P com o mesmo cardinal. É o que sucede nos exemplos atrás referidos:

a) Exemplos das al´ıneas a): F (respectivamente P) tem 3 elemen-tos, classes de equivalˆencia: dois com uma face (respectivamente placa) e um com quatro faces (respectivamente placas).

b) Exemplos das al´ıneas b): F (respectivamente P) tem dois ele-mentos, classes de equivalˆencia, ambos com trˆes faces (respecti-vamente placas).

Este m´etodo pode, obviamente, ser generalizado, mutatis mutandis, considerando G um subgrupo de Sn, n˜ao necessariamente c´ıclico, e um

subgrupo do grupo das simetrias do poliedro.

3.2. Exemplos. Somos portanto conduzidos a procurar solu¸c˜oes que res-peitem as rela¸c˜oes que acabamos de escrever. Vejamos o que se passa com os exemplos que temos estado a tratar.

Exemplos das al´ıneas a). Na figura 10a, e também na figura 10b, está desenhada uma face-placa, e os números adjacentes às arestas, da classe de equivalência que tem quatro elementos. Os números têm que ser tais que conduzam de facto a uma face-placa da referida classe. As

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y ’ y ’ z z y y x x 4 4 3 3 2 2 1 1 b a Figura 10. Cubo

arestas que têm o y e o y0 ≡ σ (y) pertencem também a outras faces-placas da mesma classe. As arestas que têm o x e o z pertencem também `

as faces-placas das outras duas classes: a que tem o x a uma das classes e a que tem o z `a outra classe. Fazendo x = 1, o y s´o pode ser 2 (figura

10a) ou 3 (figura 10b); se y = 2, ent˜ao y0 ≡ σ (y) = 3 e z = 4; se y = 3, ent˜ao y0 ≡ σ (y) = 4 e z = 2. 4 4 4 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 z’ z’ y ’ y ’ x ’ x ’ z z y y x x b a C C D D Figura 11. Cubo

Exemplos das al´ıneas b). Na figura 11a, e também na figura 11b, estão desenhadas duas faces-placas pertencentes a cada uma das classes de equivalência. O eixo de simetria é a recta definida pelos vértices C e D. O número x só pode ser 1, 2 ou 3. Se x = 1, então x0 ≡ σ (x) = 2 e y só pode ser 3 (figura 11a) ou 4 (figura 11b); se y = 3 então y0 ≡ σ (y) = 1, z = 2 e z0 ≡ σ (z) = 3; se y = 4 então y0 ≡ σ (y) = 4, z = 1 e y0 ≡ σ (y) = 2.

A figura12mostra a resolu¸cão do caso relativo ao dodecaedro, apresen-tado no quadro 2, utilizando este método. A recta definida pelos vértices C e D é o eixo de simetria, de ordem três. Também aqui x0 ≡ σ (x), y0 ≡ σ (y), etc.

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z’

z

x ’

x

w ’

w

v ’

v

y y ’ 1 1 1 1 2 2 ₂ 2 3 3 3 4 4 5 5 5 C D Figura 12. Dodecaedro

3.3. Solu¸cões equivalentes. Põe-se agora o problema de saber quantas solu¸cões tem um determinado puzzle. É um problema que fica, em geral, em aberto. Dizemos que duas solu¸cões são equivalentes se existir uma composi¸cão envolvendo uma simetria do poliedro e uma permuta¸cão dos números que transforme uma solu¸cão na outra solu¸cão.

Uma forma de distinguir duas solu¸cões que não são equivalentes está ligada à no¸cão de invariante das classes de equivalência. De uma forma ingénua, diz-se que um invariante é uma caracter´ıstica de uma solu¸cão que não muda quando se considera uma solu¸cão equivalente. Um invari-ante é uma fun¸cão cujo conjunto de partida é constitu´ıdo pelas solu¸cões do puzzle em questão, e que é constante em cada classe de equivalência. No que diz respeito ao puzzle do cubo desta seçcão é elementar ve-rificar directamente que o conjunto das solu¸cões só tem uma classe de equivalência.

Já o puzzle do octaedro é mais complicado, embora se possa verificar, também directamente, que tem três classes de equivalência que se distin-guem da forma que a seguir se descreve. Numa solu¸cão, e relativamente a um vértice, anotemos os números que correspondem às quatro arestas que convergem nesse vértice. Pode haver duas situa¸cões: a) quatro números distintos; b) três números distintos, com um deles repetido. Fa¸camos isso para cada um dos seis vértices. Contemos o número de vértices em que acontece a situa¸cão a). Podem ser 6, 2 ou 0, que diferenciam as três classes de equivalência.

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Os exemplos do cubo e do octaedro mostram que, embora estes dois poliedros sejam duais, os puzzles não o são. Só a primeira classe de equivalência mencionada do octaedro é dual da do cubo.

Consideremos agora uma solu¸cão do puzzle do dodecaedro já referido. Vejamos que tem três classes de equivalência. Em cada vértice concor-rem três arestas, e, a´ı, estão três números todos distintos. Há vinte possibilidades, mas nem todas fazem parte da solu¸cão. Algumas têm uma repeti¸cão. Essas só podem ser em número de 3 ou 7. Esse número, o cardinal desse conjunto de pares, é um invariante. As solu¸cões que têm o número 7 são todas equivalentes. As que têm o número 3 pertencem a duas classes de equivalência. Numa delas cada par está em vértices opos-tos. Na outra cada par pertence a uma mesma aresta. Esta conclusão foi obtida com a ajuda de um computador.

Nos casos relativos a poliedros com mais faces do que o dodecaedro deve ser bastante mais dif´ıcil dar uma resposta precisa como esta. Fica aqui um desafio a todos os leitores.

4. Alguns puzzles sem n´umeros repetidos

4.1. Placas poligonais. Suponhamos que o poliedro referido na intro-du¸cão tem f faces com um determinado formato. Convém aqui esclarecer que f é menor ou igual ao número total de faces e que se considera que também têm o mesmo formato duas faces em que cada uma delas seja como que a imagem num espelho (reflexão) da outra. Isto é, diz-se que duas faces têm o mesmo formato se forem isométricas. Por exemplo, o cuboctaedro tem oito faces que são triângulos equiláteros; neste caso f = 8 relativamente ao formato do triângulo equilátero. Outro exem-plo: o hexaquisoctaedro tem quarenta e oito faces que são triângulos escalenos; estas quarenta e oito faces dividem-se em dois conjuntos de vinte e quatro cada que são reflexões um do outro; neste caso f = 48 relativamente ao formato do triângulo escaleno.

Seja agora n um determinado número inteiro maior do que zero. Seja g o número de possibilidades diferentes de distribuir os números 1, 2, 3, . . . , n adjacentemente às arestas de uma das faces referidas sem repetir na mes-ma face o mesmo número. Exemplos:

a) Se n = 3 e as faces forem triângulos equiláteros o número g de possibilidades é 2 (ver figura 1).

b) Se n = 4 e as faces forem triângulos equiláteros o número g de possibilidades é 8 (ver figura 2).

c) Se n = 3 e as faces forem triângulos escalenos o número g de possibilidades é 12 (ver figura 3).

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d) Se n = 4 e as faces forem quadrados o n´umero g de possibilidades ´e 6 (ver figura 4).

e) Se n = 5 e as faces forem pentágonos regulares o número g de possibilidades é 24 (ver figura 5).

O quadro 1 dá o número de possibilidades g em fun¸cão do número n e em fun¸cão do pol´ıgonos, face de um determinado formato do poliedro.

Por formato deltóide entende-se o formato das faces do icositetraedro deltóide ou do hexacontaedro deltóide; são quadriláteros irregulares em que os lados são iguais dois a dois; os lados iguais têm um vértice comum. Ver figura 6c.

(Quadro 1)

n → 3 4 5 6 7 8

formato↓

triˆangulo equil´atero 2 8 20 40 70 112

quadrado − 6 30 90 210 420

pentágono regular − − 24 144 504 1344 hexágono regular − − − 120 840 3360 formato deltóide − 24 120 360 840 1680 formato rômbico − 12 60 180 420 840 pentágono irregular − − 120 720 2520 6720

triângulo isósceles 6 24 60 120 210 336 triângulo escaleno 12 48 120 240 420 672 Por formato rômbico entende-se o de um quadrilátero com os lados to-dos iguais mas que não é quadrado; por exemplo, o triacontaedro rômbico tem as faces rômbicas.

Pentágono irregular designa, abreviadamente, o formato das faces do icositetraedro pentagonal ou do hexacontaedro pentagonal; são pentágonos irregulares com três lados iguais entre si e os restantes dois iguais entre si; estes últimos têm um vértice comum e as faces são simétricas. Ver figura 6b.

No que diz respeito ao triângulo escaleno o número g inclui as reflexões. Ver figura 3.

Para construir o quadro 1 a fórmula a utilizar, no caso dos pol´ıgonos regulares, é g = n!/ ((n − i)!i) em que i é o número de lados. Os números da linha referente ao formato deltóide são quatro vezes os números da linha referente ao quadrado. Os números da linha referente ao forma-to rômbico são duas vezes os números da linha referente ao quadrado. Os números da linha referente ao pentágono irregular são cinco vezes os números da linha referente ao pentágono regular. Os números da linha re-ferente ao triângulo isósceles são três vezes os números da linha referente

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ao triângulo equilátero. Os números da linha referente ao triângulo esca-leno são seis vezes os números da linha referente ao triângulo equilátero. 4.2. Defini¸cão. Regressemos ao poliedro e às suas f faces de um deter-minado formato. Relembremos que f é menor ou igual do que o número total de faces do poliedro. Vamos agora definir um processo de cons-tru¸cão de placas correspondentes. Decomponhamos esse conjunto de f faces em p subconjuntos de tal modo que o subconjunto de ordem j tem fj faces: f1 + f2 + f3+ · · · + fp = f . Admitamos que no quadro 1 e na

linha correspondente ao formato das faces est´a um dos n´umeros fjou 2fj,

para todo j = 1, 2, 3, . . . , p; se o número que se encontra no quadro for fj as placas têm números desenhados só de um dos lados; se o número

que se encontra no quadro for 2fj as placas tˆem n´umeros desenhados nos

dois lados; em qualquer dos casos esgotar˜ao todas as possibilidades (fj

ou 2fj) de, para um determinado n, escrever os n´umeros 1, 2, 3, . . . , n,

adjacentemente às arestas das placas poligonais sem números repetidos em cada lado da placa e de acordo com a defini¸cão geral.

A constru¸c˜ao das placas poligonais por este processo faz-se relativa-mente a todos os formatos das faces do poliedro.

No caso de existir solu¸cão, para o problema já exposto na defini¸cão geral estamos, portanto, perante um puzzle numérico poliédrico sem números repetidos.

4.3. Exemplos. Apresentam-se em seguida quadros com alguns casos relativos a poliedros regulares (sistematizando o conteúdo da segunda seçcão), poliedros semi-regulares e duais dos poliedros semi-regulares. 4.3.1. Poliedros regulares (quadro 2).

(Quadro 2)

nome faces (f ) n g

cubo 6 quadrados 4 6

octaedro 8 triângulos equiláteros 4 8 dodecaedro 12 pentágonos regulares 5 24

icosaedro 20 triângulos equiláteros 5 20 icosaedro 20 triângulos equiláteros 6 40 A interpreta¸cão deste quadro é simples.

Nos casos do cubo e do octaedro, para n = 4, o número g de possibi-lidades é precisamente igual ao número de faces; nestes casos as placas poligonais só têm números desenhados de um dos lados.

No caso do dodecaedro, para n = 5, o número g de possibilidades é o dobro do número de faces; aqui cada placa poligonal tem de um dos lados números colocados numa determinada sequência no sentido directo

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e do outro lado n´umeros colocados pela mesma ordem mas no sentido retr´ogrado, de forma a esgotar as 24 possibilidades.

O caso do icosaedro, para n = 5, é idêntico ao do cubo ou do octaedro, isto é, as placas só têm números desenhados de um dos lados; para n = 6, o caso do icosaedro é idêntico ao do dodecaedro: placas desenhadas com números dos dois lados.

O tetraedro não aparece no quadro visto que os casos que há ou são triviais ou não têm solu¸cão.

Para todos os casos do quadro 2 há solu¸cões como já vimos. 4.3.2. Poliedros semi-regulares (quadro 3).

(Quadro 3)

nome faces (f ) n g

cuboctaedro rômbico 8 triângulos equiláteros 4 8 + 18 quadrados 4 6 cuboctaedro 8 triângulos equiláteros 4 8 + 6 quadrados 4 6 icosidodecaedro 20 triângulos equiláteros 5 20

+ 12 pentágonos regulares 5 24 cubo obl´ıquo 32 triângulos equiláteros 4 8

+ 6 quadrados 4 6 dodecaedro obl´ıquo 80 triˆangulos equil´ateros 5 20

+ 12 pentágonos regulares 5 24 icosidodecaedro rômbico 20 triângulos equiláteros 5 20 + 30 quadrados 5 30 + 12 pentágonos regulares 5 24 O cuboctaedro rômbico pode ser de dois tipos: com ou sem simetria equatorial.

Tomemos, no quadro 3, o caso relativo ao cuboctaedro rômbico; como há 18 faces quadradas e o número de possibilidades, para n = 4, é 6, isso significa que cada possibilidade aparece 3 vezes nas placas quadradas. Situa¸cão idêntica aparece no caso relativo ao cubo obl´ıquo ou no caso relativo ao dodecaedro obl´ıquo no que diz respeito às placas triangulares. Para todos estes casos há solu¸cões; por exemplo, a figura 13 mostra uma das solu¸cões para o puzzle do cuboctaedro.

Repare-se que h´a mais possibilidades com solu¸c˜oes do que aquelas que figuram no quadro 3. Deixa-se ao leitor a sua descoberta.

No quadro 3 n˜ao figuram os poliedros semi-regulares obtidos por trun-camento. No entanto, ´e poss´ıvel organizar puzzles com estes poliedros a partir dos poliedros que figuram no quadro 3. Por exemplo, o octaedro truncado tem 8 faces hexagonais e 6 quadradas. As placas poligonais

(17)

4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 13. Cuboctaedro

relativas a este poliedro podem ser constru´ıdas a partir das do cuboc-taedro fazendo com que as hexagonais que fiquem vizinhas não tenham qualquer número (ou tenham o número 0) adjacente à aresta comum.

A mesma técnica pode ser usada para outros poliedros obtidos por truncamento. Assim, como o octaedro truncado resulta do cuboctaedro, temos que: o tetraedro truncado resulta do octaedro; o icosaedro trunca-do resulta trunca-do icositrunca-dodecaedro; o cubo truncatrunca-do resulta trunca-do cuboctaedro; o dodecaedro truncado resulta do icosidodecaedro; o cuboctaedro truncado resulta do cuboctaedro rômbico; o icosidodecaedro truncado resulta do icosidodecaedro rômbico.

4.3.3. Duais dos poliedros semi-regulares (quadro 4). Neste quadro não estão considerados os trapezoedros arquimedianos (cujas faces são deltóides) nem as pirâmides duplas arquimedianas (cujas faces são triângulos isósceles), visto que são em número infinito.

(18)

O icositetraedro delt´ode pode ser de dois tipos: com ou sem simetria equatorial.

´

E poss´ıvel que os casos do quadro 4 relativos ao icositetraedro deltóide sem simetria equatorial, ao dodecaedro rômbico, ao hexacontaedro pen-tagonal e ao triaquistetraedro, não tenham solu¸cão. Todos os outros ca-sos apresentados no quadro têm solu¸cão. Por exemplo, o icositetraedro deltóide com simetria equatorial tem a solu¸cão que a figura 14mostra. Quadro 4

nome faces (f ) n g

icositetraedro deltóide 24 faces deltóides 4 24 dodecaedro rômbico 12 faces rômbicas 4 12 triacontaedro rômbico 30 faces rômbicas 5 60 icositetraedro pentagonal 24 faces pentagonais − − hexacontaedro pentagonal 60 faces pentagonais 5 120

hexacontaedro deltóide 60 faces deltóides 5 120 triaquistetraedro 12 triângulos isósceles 4 24 triaquishexaedro 24 triângulos isósceles 4 24 pentaquisdodecaedro 60 triângulos isósceles 5 60 triaquisoctaedro 24 triângulos isósceles 4 24 triaquisicosaedro 60 triângulos isósceles 5 60 hexaquisoctaedro 48 triângulos escalenos 4 48 hexaquisicosaedro 120 triângulos escalenos 5 120 A figura 15 mostra a resolu¸cão do caso relativo ao hexacontaedro deltóide, apresentado no quadro 4, utilizando o método descrito na ter-ceira seçcão. O eixo de simetria é a recta CD que é de ordem cinco.

5. Generalizac¸ ˜oes

Quando se trata de dar uma defini¸cão de puzzle, que generalize os exemplos anteriores, e que seja suficientemente interessante, encontram-se manifestas dificuldades. Por um lado, porque encontram-ser suficientemente in-teressante é subjectivo. Por outro lado, porque se corre o risco de, ao tentar generalizar, se banalizar a defini¸cão. Por estas razões, não parece haver uma defini¸cão evidente. Todavia, nesta seçcão far-se-á um esfor¸co nesse sentido.

Suponhamos que o poliedro tem faces de k formatos distintos e seja Fj

o conjunto de faces de um determinado formato: F = ∪k

j=1Fj. A tarefa

consiste, pois, em construir o conjunto P das placas correspondentes: P = ∪k

j=1Pj. Os n´umeros inscritos nas placas s˜ao ≤ n.

Sejam Gj, j = 1, 2, . . . , k, subgrupos de Sn. Gj e Pj s˜ao tais que Gj

(19)

4

1

2

3

3 ₃

3

4

Figura 14. Icositetraedro delt´oide

que seja Pj h´a sempre um subgrupo de Sn que opera sobre Pj: {e}. O

conjunto dos subgrupos poss´ıveis n˜ao ´e, portanto, vazio.

Consequentemente h´a pares (Pj, Gj) em que o cardinal do conjunto

das órbitas respectivas é m´ınimo. São esses pares, e os que se aproximam desse m´ınimo, que não trivializam o conjunto Pj de placas. Esta

formu-la¸cão peca por algum subjectivismo, mas não se vê como lhe escapar. Exemplos:

(20)

5

1

5

4

3

2

1

1 C

D

Figura 15. Hexacontaedro delt´oide

a) Consideremos o caso do dodecaedro. Construamos as 12 placas da forma descrita na segunda sec¸c˜ao. Seja G o subgrupo de S5,

isomorfo a S4, constitu´ıdo pelas permuta¸c˜oes que deixam o 5 fixo.

Então, G opera sobre P e há uma só órbita constitu´ıda por P . b) Seja ainda o dodecaedro. Construamos as 12 placas da forma que

a seguir se descreve. Os números estão só num dos lados de cada placa. Fixemos o 5. Nas outras posi¸cões, lidas no sentido directo, estão as 12 permuta¸cões pares de {1, 2, 3, 4}. Seja G o subgrupo de S5 constitu´ıdo pelas permuta¸cões pares que deixam o 5 fixo.

(21)

3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 16. Cuboctaedro 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Figura 17. Cubo

c) Consideremos o icositetraedro pentagonal. Construamos as 24 placas da forma que a seguir se descreve. Os números estão só

(22)

4

2

3

2

1

1 ₁

1

Figura 18. Icositetraedro delt´oide

num dos lados de cada placa. Fixemos o 5. Nas outras posi¸cões, lidas no sentido directo, estão as 24 permuta¸cões de {1, 2, 3, 4}. Seja G o subgrupo de S5 constitu´ıdo pelas permuta¸cões que

dei-xam o 5 fixo. Então, G opera sobre P e há uma só órbita consti-tu´ıda por P .

d) As figuras 16, 17 e 18 mostram puzzles com números repetidos. As placas têm os números 1, 2, 3, 4 escritos só de um dos lados.

(23)

5 5 5 5 4 4 4 ₃ 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Figura 19. Cubo

Em todos estes trˆes casos G ´e S4 e cada conjunto de placas do

mesmo formato constitui a ´orbita ´unica.

e) Na figura 19, de um puzzle relativo ao cubo, as placas têm os números 1, 2, 3, 4, 5 escritos só de um dos lados. G é o subgrupo de S5, isomorfo a S3, que mantém fixos os números 1 e 2, e P

constitui a ´orbita ´unica.

Agradecimentos

O autor agradece às Professoras Margarida Mendes Lopes e Ilda Perez o apoio que lhe deram. Agradece particularmente à Professora Ilda Perez pelo cuidado que teve em ler o artigo e pelas sugestões que deu no sentido de melhorar a sua compreensão.

Nota

Este artigo foi publicado no Boletim da SPM no _{43, de Outubro de}

(24)

Referˆencias

[1] Jorge Rezende: Puzzles num´ericos poli´edricos (1988).

[2] Tiberiu Roman: Regul¨are und halbregul¨are polyeder. Berlin: VEB Deutscher Ver-lag der Wissenschaften 1968.

[3] Manus J. Wenninger: Polyhedron Models. Cambridge University Press 1985. [4] M. A. Armstrong: Groups and Symmetry. Berlin: Springer-Verlag 1988.

[5] Marcel Berger: Géométrie, 3, convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes. Cedic / Fernand Nathan.

[6] Serge Lang: Algebra. New York: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1965. Grupo de F´ısica-Matemática da Universidade de Lisboa, Av. Prof. Ga-ma Pinto 2, 1649-003 Lisboa, Portugal, e Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa