Controlo de Sistemas Compensadores de atraso

Controlo de Sistemas

Compensadores de atraso

• Projeto de compensadores de avanço

– Projeto baseado na resposta em frequência

– Projeto baseado no LGR

• Compensadores de atraso

– Projeto baseado na resposta em frequência

– Projeto baseado no LGR

• Resumo de compensadores e seu projeto

– Família dos PID

– Avanço

– Atraso

Objectivos do compensador de atraso:

1. Melhorar a resposta estacionária

do anel fechado:

– Melhorar precisão do anel fechado, i.e., aumentar os

coeficientes de erro estacionário (posição, velocidade, ou

aceleração)

2. Manter a resposta transiente

do anel fechado:

– Não alterar significativamente a localização dos polos

dominantes do sistema não compensado

– Não alterar significativamente as Margens de Ganho e de

Fase do sistema não compensado

Considere que um sistema não compensado (em anel fechado, sem um

controlador específico, i.e., 𝐺_𝑐 𝑠 = 1) apresenta as seguintes

caraterísticas

Compensadores de atraso:

objetivos

O sistema com compensador apresenta as seguintes caraterísticas

Compensadores de atraso:

objetivos

• Seja o sistema de controlo por realimentação, com 𝐾 = 1 e 𝐾₁ > 0:

• Qual a forma mais simples de aumentar a precisão do anel de controlo?

➢ Aumentando o ganho 𝐾 para 𝐾 = 𝐾₂ > 1

Exemplo

• Erro estacionário de posição 𝑒_𝑠𝑠 = 1 1+𝐾_𝑝 – com controlador, 𝐾 = 1: 𝐾_𝑝 = lim 𝑠→0𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑝 𝑠 = lim𝑠→0 1 ∗ 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾1 – com controlador, 𝐾 = 𝐾₂ > 1: 𝐾_𝑝 = lim 𝑠→0𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑝 𝑠 = lim𝑠→0 𝐾2 ∗ 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾2𝐾1

• A precisão do anel de controlo melhorou

𝑒_𝑠𝑠𝐾=1 = 1

1 + 𝐾₁ ≫ 𝑒𝑠𝑠

𝐾>1 ₌ 1

1 + 𝐾₂𝐾₁

mas à custa da diminuição da margem de fase do sistema:

Exemplo

Resposta em frequência do anel aberto para 𝐾 = 1

Resposta em frequência do anel aberto para

• A FT do compensador de atraso

𝐺

𝑠 =

𝑠 + 𝑎

𝑠 +

, 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

– Tem

ganho 𝜶

, permitindo alterar a precisão do sistema

não compensado

– Tem o

zero à esquerda do polo

, introduzindo um ganho e

uma fase negativos, diminuindo as Margens de Ganho e

de Fase relativamente ao sistema não compensado

• Nota: quanto maior 𝛼, maior o afastamento relativo entre o

polo e o zero

Compensadores de atraso

Compensadores de atraso

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑎

𝑠 + _𝛼𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Frequência central ou mínima (curva de fase): d𝜙_𝑐 d𝜔 = 0 ⇒ ω𝑐𝑡𝑟 = 𝑎 𝛼 • Na curva de magnitude: 20 log₁₀ 𝐺_𝑐(𝑗ω_𝑐𝑡𝑟) = 20 log₁₀ 𝛼 • Na curva de fase: 1

Compensadores de atraso

Comp. avanço vs. Comp. atraso

estacionário do sistema compensado 0 dB Gama de frequências para o projeto do controlador para manter MF Gama de frequências para o projeto do controlador para aumentar MF

• Seja o sistema de controlo por realimentação, agora com 𝐺_𝑐(𝑠) um compensador de atraso:

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑎

𝑠 + _𝛼𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Como sintonizar o pico mínimo de fase, por forma a não diminuir a Margem de Fase (manter caraterísticas da resposta transiente)?

• Como garantir a precisão necessária (aumento do coeficiente de erro estacionário)?

Exemplo

• A margem de fase manteve-se, MF₂ ≈ MF₁, mas o coeficiente de erro estacionário aumentou:

– Sistema não compensado

𝐾_𝑝 = lim s→0 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾1 – Sistema compensado 𝐾_𝑝 = lim s→0 𝑠 + 𝑎 𝑠 + _𝛼𝑎 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝛼𝐾1

• A precisão melhorou (erro estacionário de posição diminuiu): 𝑒_𝑠𝑠n.comp. = 1 1 + 𝐾₁ ≫ 𝑒𝑠𝑠 comp. = 1 1 + 𝛼𝐾₁

Exemplo

• O projeto de compensadores de atraso refere-se à determinação

dos parâmetros 𝛼 > 1 e 𝑎 > 0 de 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠+𝑎

𝑠+𝑎

𝛼

, de modo a satisfazer as especificações dadas para o anel fechado

• Dependendo das especificações, o projeto pode ser baseado – Na resposta em frequência

– No LGR

Compensadores de atraso:

Projeto

Procedimento:

1. Calcular o valor do coeficiente de erro estacionário do sistema não compensado:

Sistema tipo 0: 𝐾_𝑝𝑝 = lim

𝑠→0 𝐺𝑝(𝑠)

Sistema tipo 1: 𝐾_𝑣𝑝 = lim

𝑠→0 𝑠𝐺𝑝(𝑠)

Sistema tipo 2: 𝐾_𝑎𝑝 = lim

𝑠→0 𝑠 2_𝐺

𝑝(𝑠)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

Procedimento:

2. Determinar o aumento de ganho 𝐾 necessário introduzir na função de transferência do anel aberto:

Sistema tipo 0: 𝐾 = 𝐾𝑝 𝑑 𝐾_𝑝𝑝 Sistema tipo 1: 𝐾 = 𝐾𝑣𝑑 𝐾_𝑣𝑝 Sistema tipo 2: 𝐾 = 𝐾𝑎𝑑 𝐾_𝑎𝑝

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

Procedimento:

3. Determinar o valor do parâmetro 𝛼 do

compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro estacionário:

20log₁₀ 𝛼 = 20 log₁₀(𝐾)

𝛼 = 𝐾

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

Permite alterar o erro estacionário do sistema

Procedimento:

4. Determinar o valor de 𝑎

(zero do compensador) por forma a estar

suficientemente abaixo da frequência de cruzamento de ganho do sistema não

compensado, 𝜔_𝑐𝑔:

Sistema tipo 0: 𝑎 = 𝜔𝑐𝑔

10

Sistema tipo 1: 𝑎 = 𝜔𝑐𝑔

20

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

𝑎 Τ 𝑎 𝛼 Gama de frequências para o projeto do controlador para manter MF

Procedimento:

5. Caso as especificações de desempenho não sejam satisfatórias, voltar ao ponto 4. actualizando o parâmetro 𝑎. Caso contrário terminar o projecto

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

Projectar um compensador de atraso para o sistema

por forma a garantir as seguintes especificações de desempenho:

• Coeficiente de erro estacionário de posição, 𝐾_𝑝 = 50

• Margens de estabilidade aproximadamente idênticas às do

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência

(Exemplo)

Análise do sistema não compensado

• através da sua resposta ao degrau 𝐾_𝑝 = lim 𝑠→0 𝐺𝑝 𝑠 = lim 𝑠→0 25 (𝑠 + 1)(𝑠 + 5) = 5

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Análise do sistema não compensado • através da resposta em frequência do processo 𝐺_𝑝 𝑠 = 25 (𝑠 + 1)(𝑠 + 5)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

1. Calcular o valor do coeficiente de erro

estacionário do sistema não compensado: 𝐾_𝑝𝑝 = lim 𝑠→0 𝐺𝑝 𝑠 = 5 2. Determinar o aumento de ganho 𝐾 necessário introduzir na função de

transferência do anel aberto:

𝐾 = 𝐾𝑝

𝑑

= 50 = 10

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

3. Determinar o valor do parâmetro 𝛼 do

compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro estacionário:

20log₁₀ 𝛼 = 20 log₁₀(𝐾)

𝛼 = 𝐾 = 10

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

4. Determinar o valor de 𝑎

(zero do compensador) por forma a estar

suficientemente abaixo da frequência de cruzamento de ganho do sistema não

compensado, 𝜔_𝑐𝑔: 𝑎 = 𝜔𝑐𝑔

10

Do gráfico, 𝜔_𝑐𝑔 = 3.9 rad/s,

e portanto

3.9

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

Obtem-se o compensador de atraso

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 0.39

𝑠 + 0.039 adicionando ao anel aberto • Um zero em -0.39 rad/s • Um polo em -0.039 rad/s • Que resposta esperar deste

sistema?

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

5. Verificar se desempenho do sistema compensado satisfaz especificações

Coeficiente de erro estacionário de posição:

𝐾_𝑝 = lim 𝐺_𝑐(𝑠)𝐺_𝑝 𝑠 = lim 𝑠 𝑠+0.39 25 = 50 

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

do sistema não compensado do sistema compensado

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

do processo do processo e compensador

• Polos do sistema não

compensado (resíduo: 2.73) −3.0 ± 4.58𝑗

polos desejados

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

• Embora a margem de fase tenha diminuído ligeiramente, o

• Polos do sistema compensado: −2.84 ± 4.49𝑗

polos dominantes

(resíduo: 2.78)

−0.35 (resíduo: 0.036)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

• Embora a margem de fase tenha diminuído ligeiramente, o

comportamento transitório não sofreu alterações significativas:

NOTAS:

– quanto menor o valor do parâmetro 𝑎, menor será a redução na margem de fase do sistema compensado

– embora com resíduo baixo, um polo próximo do eixo imaginário, −𝑎/𝛼, resulta num aumento do tempo de estabelecimento da resposta do sistema

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

• O projeto de compensadores de atraso refere-se à determinação

dos parâmetros 𝛼 > 1 e 𝑎 > 0 de 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠+𝑎

𝑠+𝑎

𝛼

, de modo a satisfazer as especificações dadas para o anel fechado

• Dependendo das especificações, o projeto pode ser baseado

– Na resposta em frequência 

Compensadores de atraso:

Projeto

• Seja o sistema de controlo por realimentação, agora com 𝐺_𝑐(𝑠) um compensador de atraso:

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑎

𝑠 + _𝛼𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Que impacto tem a colocação do controlador de atraso no LGR do sistema?

Exemplo

LGR do sistema compensado LGR do sistema não compensado

Exemplo

Resposta ao degrau do sistema compensado

Resposta ao degrau do sistema não compensado

• Os polos dominantes do sistema mantêm-se sensivelmente nas mesmas posições com a introdução do compensador de atraso,

originando regimes transitórios semelhantes

• A precisão do anel fechado melhorou:

𝑒_𝑠𝑠degrau = 1

1 + 𝐾_𝑝

Sistema não compensado: 𝐾_𝑝 = lim

𝑠→0

𝐾₁

𝑇𝑠+1 2 = 𝐾1

Sistema compensado: 𝐾_𝑝 = lim

𝑠→0 𝑠+𝑎 𝑠+𝑎 𝛼 𝐾₁ 𝑇𝑠+1 2 = 𝛼𝐾1 𝑒n.comp. = 1 ≫ 𝑒comp. = 1

Exemplo

Procedimento:

1. Determinar a localização dos polos dominantes do sistema não

compensado (polos desejados): 𝑠_𝑑

2. Calcular o valor do coeficiente de erro estacionário do sistema não compensado:

Sistema tipo 0: 𝐾_𝑝𝑝 = lim

𝑠→0 𝐺𝑝(𝑠)

Sistema tipo 1: 𝐾_𝑣𝑝 = lim

𝑠→0 𝑠𝐺𝑝(𝑠)

Sistema tipo 2: 𝐾_𝑎𝑝 = lim

𝑠→0 𝑠 2_𝐺

𝑝(𝑠)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

Procedimento:

3. Determinar o aumento de ganho 𝐾 necessário introduzir na função de transferência do anel aberto:

Sistema tipo 0: 𝐾 = 𝐾𝑝 𝑑 𝐾_𝑝𝑝 Sistema tipo 1: 𝐾 = 𝐾𝑣𝑑 𝐾_𝑣𝑝 Sistema tipo 2: 𝐾 = 𝐾𝑎𝑑 𝐾_𝑎𝑝

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

Procedimento:

4. Determinar o valor do parâmetro 𝛼 do compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro

estacionário: lim 𝑠→0 𝐺𝑐 𝑠 = lim𝑠→0 𝑠 + 𝑎 𝑠 + _𝛼𝑎 = 𝐾 𝛼 = 𝐾

5. Determinar o valor do parâmetro 𝑎 através da condição de módulo aplicada ao sistema compensado numa localização próxima dos polos desejados determinados no ponto 1.:

𝐺_𝑐 𝑠_𝑑′ 𝐺_𝑝 𝑠_𝑑′ = 1 onde 𝑠_𝑑′ ≈ 𝑠_𝑑

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

• Porque razão é impossível garantir a mesma localização dos polos

dominantes do sistema não compensado, 𝑠_𝑑, para o sistema

compensado, escolhendo-se por isso polos próximos, 𝑠_𝑑′ ?

• Seja o sistema não compensado:

• Para os pólos dominantes do anel fechado, 𝑠_𝑑

ቐ 𝐺𝑝(𝑠𝑑) = 1, condição de módulo

arg 𝐺 (𝑠 ) = −180° , condição de argumento

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

• Porque razão é impossível garantir a mesma localização dos polos

dominantes do sistema não compensado, 𝑠_𝑑, para o sistema

compensado, escolhendo-se por isso polos próximos, 𝑠_𝑑′ ?

• Seja o sistema compensado:

• 𝑠_𝑑 será um polos da FT do anel fechado se e só se:

ቐ 𝐺𝑐(𝑠𝑑)𝐺𝑝(𝑠𝑑) = 1, condição de módulo

arg 𝐺_𝑐(𝑠_𝑑)𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = −180° , condição de argumento

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

൝ 𝐺𝑐(𝑠𝑑) |𝐺𝑝(𝑠𝑑)| = 1 arg 𝐺_𝑐(𝑠_𝑑) + arg 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = −180° |𝐺_𝑐(𝑠_𝑑)| 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) 1 = 1 arg 𝐺_𝑐(𝑠_𝑑) + arg 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) −180° = −180° ቊ|𝐺𝑐(𝑠𝑑)| = 1 arg 𝐺_𝑐(𝑠_𝑑) = 0° ቐ |𝐺_𝑐(𝑠_𝑑)| = 1

arg 𝐺_𝑐(𝑠_𝑑) = arg 𝑠_𝑑 + 𝑎 − arg 𝑠_𝑑 + 𝑎

𝛼 = 0°

⇓

𝑠+𝑎

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR

Projectar um compensador de atraso para o sistema

por forma a garantir as seguintes especificações de desempenho:

• Coeficiente de erro estacionário de velocidade, 𝐾_𝑣 = 5

• Não alterar significativamente a localização dos polos dominantes do sistema não compensado

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Coeficiente de erro estático de velocidade: 𝐾_𝑣 = lim 𝑠→0 𝑠𝐺𝑝 𝑠 = lim 𝑠→0𝑠 1.06 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) = 0.53

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Polos do sistema não compensado: 1 + 𝑘𝐺_𝑝 𝑠 = 0, 𝐾 = 1 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 1.06 = 0 𝑠 = −2.34 𝑠_𝑑 = −0.33 ± 𝑗0.59 polos dominantes

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

1. Determinar a localização dos polos dominantes do sistema não compensado

𝑠_𝑑 = −0.33 ± 𝑗0.59

2. Calcular o valor do coeficiente de erro estático do sistema não compensado

𝐾_𝑣𝑝 = 0.53

3. Determinar o aumento de ganho 𝐾 por forma a garantir a precisão desejada, 𝐾_𝑣𝑑 = 5

𝐾 = 𝐾𝑣

𝑑

𝑝 = 9.43

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

4. Determinar o valor do parâmetro 𝛼 do compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro estacionário:

lim

𝑠→0 𝐺𝑐 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠 + 𝑎

𝑠 + _𝛼𝑎 = 𝐾

𝛼 = 𝐾 = 9.43

5. Determinar o valor do parâmetro 𝑎 através da condição de módulo aplicada ao sistema compensado numa localização próxima dos polos desejados determinados no ponto 1.:

𝐺_𝑐 𝑠_𝑑′ 𝐺_𝑝 𝑠_𝑑′ = 1 onde 𝑠_𝑑′ ≈ 𝑠_𝑑

𝑠_𝑑′ + 𝑎 𝑠_𝑑′ + _9.43𝑎

1.06

𝑠_𝑑′ 𝑠_𝑑′ + 1 𝑠_𝑑′ + 2 = 1

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

• Encontrar a melhor solução de 𝑎 tal que 𝑠_𝑑′ + 𝑎 𝑠_𝑑′ + _9.43𝑎 1.06 𝑠_𝑑′ 𝑠_𝑑′ + 1 𝑠_𝑑′ + 2 = 1 • Considerar as seguintes localizações para 𝑠_𝑑′ : ❖ 𝑠_𝑑′₁ = −0.34 ± 𝑗0.61 ❖ 𝑠_𝑑′_{2 = −0.25 ± 𝑗0.44} ❖ 𝑠_𝑑′₃ = −0.34 ± 𝑗0.58

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

• Polos do sistema compensado:

𝑠4 + 3.072𝑠3 + 2.216𝑠2 + 1.204𝑠 + 0.7194 = 0 (𝑠 + 2.27)(𝑠 + 0.81)(𝑠 − 0.001 ± 𝑗0.63

polos instáveis

) = 0

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador • Caso 𝑠_𝑑′_{2 = −0.25 ± 𝑗0.44:} 𝑠_𝑑′₂ + 𝑎 𝑠_𝑑 2 ′ ₊ 𝑎 9.43 1.06 𝑠_𝑑 2 ′ _𝑠 𝑑′₂ + 1 𝑠𝑑′₂ + 2 = 1 𝑎 = 0.23, 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎_𝛼 = 𝑠 + 0.23 𝑠 + 0.024 • Polos do sistema não compensado e respetivo resíduo, 𝑅:

−2.34 𝑅 = 0.24 , −0.33 ± 𝑗0.59 polos desejados

(𝑅 = 0.43) • Polos do sistema compensado:

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

LGR do sistema compensado: LGR do sistema não compensado:

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Resposta à rampa do sistema não compensado:

Resposta à rampa do sistema compensado:

Projeto do compensador • Caso 𝑠_𝑑′_{3 = −0.34 ± 𝑗0.58:} 𝑠_𝑑′₃ + 𝑎 𝑠_𝑑 3 ′ ₊ 𝑎 9.43 1.06 𝑠_𝑑 3 ′ _𝑠 𝑑′₃ + 1 𝑠𝑑′₃ + 2 = 1 𝑎 = 0.026, 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎_𝛼 = 𝑠 + 0.026 𝑠 + 0.0027 • Polos do sistema não compensado e respetivo resíduo, 𝑅:

−2.34 𝑅 = 0.24 , −0.33 ± 𝑗0.59 polos desejados

(𝑅 = 0.43) • Polos do sistema compensado:

−2.34 𝑅 = 0.24 , −0.03 𝑅 = 0.001 , −0.32 ± 𝑗0.58 polos dominantes

(𝑅 = 0.44)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

LGR do sistema compensado: LGR do sistema não compensado:

Projeto de compensadores de atraso:

Baseado no LGR (Exemplo)

Resposta à rampa do sistema não compensado:

Resposta à rampa do sistema compensado:

Resumo dos controladores dados

Nome FT Influência na resposta transiente Influência na resposta estacionária P 𝐾_𝑝 I 1 𝑇_𝑖𝑠 PI 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑠 + 1 𝑇_𝑖𝑠 PD 𝐾_𝑝 1 + 𝑇_𝑑𝑠 PID 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠 2 _{+ 𝑇} 𝑖𝑠 + 1 𝑇_𝑖𝑠 Avanço 𝛼𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0 Atraso 𝑠 + 𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Revisões para o 1º teste

• Introdução aos sistemas de controlo digital

– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008

• Capítulo 8

– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010

• Capítulo 4

– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002

• Capítulo 8

– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011