Demonstrações Legíveis Geradas por Computador em Geometria Euclidiana Plana: O Método da Área

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Demonstrações Legíveis Geradas por

Computador em Geometria Euclidiana Plana:

O Método da Área

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Fluminense

Escola de Verão

Universidade Federal do Espírito Santo

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Equipe

Este é um trabalho conjunto de: Humberto José Bortolossi (UFF), Carlos Tomei (PUC-Rio),

(3)

(4)

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(6)

Matemático × Máquina

???

Pode o computador demonstrar teoremas?

(7)

Um pouco de história: Leibniz (1646–1716)

Characteristica Universalis

Uma linguagem simbólica precisa na qual todas as afirmações científicas poderiam ser feitas.

Calculus Ratiocinator

Um método para manipular afirmações a fim de esclarecer seu significado e veracidade.

(8)

Um pouco de história: Hilbert (1862–1943)

Segundo Congresso Internacional de Matemática (1900) em Paris:

A teoria dos números é completa?

Em uma teoria completa é sempre

possível determinar através de uma

demonstração se uma sentença

(9)

Um pouco de história: Gödel (1906–1978)

A resposta énãopelo

Primeiro Teorema de Incompletude de Gödel:

Um sistema de axiomas para a

aritmética não consegue nem

demonstrar nem negar determinadas afirmações sobre os números!

(10)

Um pouco de história: Tarski (1902–1983)

Por outro lado, Tarski demonstrou que:

A teoria da Geometria Elementar é

(11)

Um pouco de história: Tarski (1902–1983)

Mais ainda, Tarski demonstrou que:

A teoria da Geometria Elementar é

decidível!

Uma teoria é decidível se existe um

algoritmo que em um número finito

de passos consegue determinar se cada uma das sentenças da teoria é verdadeira ou falsa.

(12)

Um exemplo de teoria decidível: sistemas lineares

É possíveldecidirse um sistema linear possui solução?

   x + 2 y + z = 3 2 x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 3

Sim! Use eliminação gaussiana (escalonamento)!    x + 2 y + z = 3 − 3 y − z = −5 z = 2

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Um exemplo de teoria decidível: sistemas lineares

É possíveldecidirse um sistema linear possui solução?

   x + 2 y + z = 3 2 x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 3

Sim! Use eliminação gaussiana (escalonamento)!    x + 2 y + z = 3 − 3 y − z = −5 z = 2

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A Álgebra Elementar de Tarski

É a parte da teoria geral dos números reais com as seguintes restrições de linguagem:

Variáveis: representam exclusivamente números reais. Constantes: −1, 0 e +1.

Operações algébricas: adição (+), subtração (−) e multiplicação (·).

Operações relacionais: desigualdade (< e >) e igualdade (=).

Operações lógicas: conjunção (∧), disjunção (∨) e negação (∼).

(15)

O que é uma Teoria Elementar?

São exemplos de sentenças em álgebra elementar: 0 > 1 + 1;

∀ a, b, c, d ∈ R, [(a < 0 ∨ a > 0) ⇒

(∃x ∈ R | a · x · x · x + b · x · x + c · x + d = 0)]; ∀ x ∈ R, [(0 < x ∧ x < 1) ⇒ (x · x · x · x < x · x)];

que normalmente são escritas como 0 > 2;

∀ a, b, c, d ∈ R, [a 6= 0 ⇒

(∃x ∈ R | ax3₊_bx2₊_{cx + d = 0)];}

(16)

O que é uma Teoria Elementar?

São exemplos de sentenças em álgebra elementar: 0 > 1 + 1;

∀ a, b, c, d ∈ R, [(a < 0 ∨ a > 0) ⇒

(∃x ∈ R | a · x · x · x + b · x · x + c · x + d = 0)]; ∀ x ∈ R, [(0 < x ∧ x < 1) ⇒ (x · x · x · x < x · x)];

que normalmente são escritas como 0 > 2;

∀ a, b, c, d ∈ R, [a 6= 0 ⇒

(∃x ∈ R | ax3₊_bx2₊_{cx + d = 0)];}

(17)

O que é uma Teoria Elementar?

Não são exemplos de sentenças em álgebra elementar: ∀ n ∈ N, (∃ a, b, c ∈ N) | an₊_bn₌_cn _e

Toda função polinomial real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

Geometria elementar é a parte da geometria euclidiana que pode ser traduzida para a linguagem de álgebra elementar fixando-se um sistema de coordenadas.

(18)

O que é uma Teoria Elementar?

Não são exemplos de sentenças em álgebra elementar: ∀ n ∈ N, (∃ a, b, c ∈ N) | an₊_bn₌_cn _e

Toda função polinomial real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

Geometria elementar é a parte da geometria euclidiana que pode ser traduzida para a linguagem de álgebra elementar fixando-se um sistema de coordenadas.

(19)

A Eliminação de Quantificadores

∃ x ∈ R | x2₊_{b · x + c = 0}

⇓eliminando o quantificador

(20)

A Eliminação de Quantificadores

∃ x ∈ R | x2₊_{b · x + c = 0}

⇓eliminando o quantificador

(21)

A Eliminação de Quantificadores

Determine os valores de c, d e r a fim de que o círculo de centro (c, d ) e raio r esteja contido no círculo de centro (0, 0) e raio 1.

c 1 x 1 0 d y r Resposta: r > 0 ∧ √c2₊_d2₊_{r ≤ 1.} r > 0 ∧ ∀ x, y ∈ R, (x − c)2+ (y − d )2=r2 ⇒ x2₊_y2_{≤ 1}

(22)

A Eliminação de Quantificadores

c 1 x 1 0 d y r Resposta: r > 0 ∧ √c2₊_d2₊_{r ≤ 1.} r > 0 ∧ ∀ x, y ∈ R, (x − c)2+ (y − d )2=r2 ⇒ x2₊_y2_{≤ 1}

(23)

A Eliminação de Quantificadores

c 1 x 1 0 d y r Resposta: 0 < r ≤ 1 ∧ c2+d2≤ (1 − r )2_. r > 0 ∧ ∀ x, y ∈ R, (x − c)2+ (y − d )2=r2 ⇒ x2₊_y2_{≤ 1}

(24)

O problema da elipse de Kahan (1975)

c 1 x 1 0 d y a b a>0 ∧ b>0 ∧ ∀ x,y ∈R,(x −c)2 a2 + (y −d )2 b2 =1 ⇒ x 2_+y2_≤1

(25)

O problema da elipse de Kahan (1975)

c 1 x 1 0 d y a b a>0 ∧ b>0 ∧ [∀ x ,y ∈R,b2_{(x −c)}2_+a2_{(y −d )}2_=a2_b2 _{⇒ x}2_+y2_≤1]

(26)

O problema da elipse de Kahan (1975)

Resposta:

[(a>0) ∧ (T ≥0) ∧ (c2_{+(b+|d |)}2_{−1≤0) ∧ (a}2_{≤b ∨ a}2_d2_≤(1−a2_)(a2_−b2_))] ∨

[(0<a=b) ∧ (c2_+d2_≤(1−a)2_{) ∧ (a≤1)]} ∨

(27)

O problema da elipse de Kahan (1975)

T = a4_d8_{+((2 a}2_b2_{+2 a}4₎_c2_{+(−4 a}4_{+2 a}2₎_b2_{+2 a}6_{−4 a}4₎_d6 + ((b4_{+4 a}2_b2_+a4₎_c4_{+((−6 a}2_{−2) b}4_{+(2 a}4_{+2 a}2₎_b2_{−2 a}6_{−6 a}4₎_c2 + (6 a4−6 a2_{+1) b}4_{+(−6 a}6_{+10 a}4_{−6 a}2₎_b2_+a8_{−6 a}6_{+6 a}4₎_d4 + ((2 b4_{+2 a}2_b2₎_c6_{+(−2 b}6_{+(2 a}2_{−6) b}4_{+(−6 a}4_{+2 a}2₎_b2_{−2 a}4₎_c4 + ((6 a2_{+4) b}6_{+(−10 a}4_{−6 a}2_{+6) b}4_{+(6 a}6_{−6 a}4_{−10 a}2₎_b2_{+4 a}6 +6 a4₎_c2_{+(−4 a}4_{+6 a}2_{−2) b}6_{+(6 a}6_{−8 a}4_{+4 a}2_{−2) b}4 + (−2 a8_{+4 a}6_{−8 a}4_{+6 a}2₎_b2_{−2 a}8_{+6 a}6_{−4 a}4₎_d2_+b4_c8 + (2 b6_{+(−4 a}2_{−4) b}4_{+2 a}2_b2₎_c6_+(b8_{+(−6 a}2_{−6) b}6 + (6 a4_{+10 a}2_{+6) b}4_{+(−6 a}4_{−6 a}2₎_b2_+a4₎_c4_{+((−2 a}2_{−2) b}8 + (6 a4_{+4 a}2_{+6) b}6_{+(−4 a}6_{−8 a}4_{−8 a}2_{−4) b}4_{+(6 a}6_{+4 a}4_{+6 a}2₎_b2 − 2 a6_{−2 a}4₎_c2_+(a4_{−2 a}2_{+1) b}8_{+(−2 a}6_{+2 a}4_{+2 a}2_{−2) b}6 + (a8_{+2 a}6_{−6 a}4_{+2 a}2_{+1) b}4_{+(−2 a}8_{+2 a}6_{+2 a}4_{−2 a}2₎_b2_+a8_{−2 a}6_+a4_.

(28)

Um Programa para Eliminação de Quantificadores

QEPCAD (para Linux)

http://www.eecis.udel.edu/∼saclib/

Desvantagem: extremamente lento

(29)

Um Programa para Eliminação de Quantificadores

QEPCAD (para Linux)

http://www.eecis.udel.edu/∼saclib/

Desvantagem: extremamente lento

(30)

Outras tentativas . . .

Gelerntern, Hanson e Loveland (1960): ferramentas sintéticas.

Não consegue demonstrar teoremas relativamente difíceis. Wu (1984): essencialmente bases de Gröbner.

Apesar de demonstrar

teoremas difíceis, a prova não é “legível”.

(31)

O método da área

Chou, Gao e Zhang (1992): o método da área.

O método produz demonstraçõeslegíveispara teoremas

difíceis.

Ao invés desemelhançade triângulos, o método

consideraas áreasde triânguloscom um lado em comum.

O método tem sido usado no treinamento de alunos chineses em olimpíadas de matemática.

(32)

A medida de um segmento orientado

A medida de um segmento orientado:

AB = (

+|AB|, “de A para B” coincide com o sentido da reta l, −|AB|, caso contrário.

A B l

(33)

A propriedade da decomposição

A P B l |AB| = +|AP| + |PB| AB = AP + PB A B P l |AB| = +|AP| − |PB| AB = AP + PB A B P l |AB| = −|AP| + |PB| AB = AP + PB

(34)

A propriedade da decomposição

(35)

A propriedade da decomposição

(36)

A propriedade da decomposição

(37)

A propriedade da decomposição

(38)

A área com sinal de um triângulo

B C A b h SABC = +∇ABC = + b · h 2 B C A b h SABC = −∇ABC = − b · h 2

(39)

A propriedade da permutação

S_ABC=S_BCA=S_CAB = −S_ACB = −S_BAC = −S_CBA.

B C

A

b h

(40)

A propriedade da decomposição

∇ABC = ∇PAB + ∇PBC + ∇PCA,

S_ABC =SPAB +SPBC+SPCA.

B C

A

P P

(41)

A propriedade da decomposição

B C A P B C A P B C A P

∇ABC=+∇PAB+∇PBC−∇PCA ∇ABC=+∇PAB−∇PBC−∇PCA ∇ABC=−∇PAB+∇PBC+∇PCA

B C A P B C A P B C A P

(42)

Um caso demonstra todos . . .

Se A = (xA,yA), B = (xB,yB) e C = (xC,yC), então SABC = 1 2· det     xA yA 1 xB yB 1 x_C y_C 1     = 1 2· (xA− xB) · (yB− yC) − (yA− yB) · (xB− xC) .

Se A, B e C estão fixos e P = (x , y ), então a expressão p(x , y ) = SABC− SPAB− SPBC− SPCA

(43)

Um caso demonstra todos . . .

Se A = (xA,yA), B = (xB,yB) e C = (xC,yC), então SABC = 1 2· det     xA yA 1 xB yB 1 x_C y_C 1     = 1 2· (xA− xB) · (yB− yC) − (yA− yB) · (xB− xC) .

Se A, B e C estão fixos e P = (x , y ), então a expressão p(x , y ) = SABC− SPAB− SPBC− SPCA

(44)

Proposição básica

A B C P SPBC SPAB = BC AB.

(45)

O teorema do co-lado

P Q A M B Se M =←AB ∩→ ←PQ, então→ SPAB SQAB = PM QM. SPAB S_QAB = SPAB SPAM | {z } P “fora” ·SPAM S_QAM | {z } A “fora” ·SQAM S_QAB | {z } Q “fora” = AB AM · PM QM · AM AB = PM QM.

(46)

O teorema do co-lado

P Q A M B Se M =←AB ∩→ ←PQ, então→ SPAB SQAB = PM QM. SPAB S_QAB = SPAB SPAM | {z } P “fora” ·SPAM S_QAM | {z } A “fora” ·SQAM S_QAB | {z } Q “fora” = AB AM · PM QM · AM AB = PM QM.

(47)

Um primeiro exemplo

B C P A D E F Hipótese:

A, B, C e P são pontos livres. D =←AP ∩→ ←CB.→ E =←PB ∩→ ←AC.→ F =←CP ∩→ ←AB.→ Tese: PD AD + PE BE + PF CF =1.

(48)

O teorema de Ceva

A, B, C e P são pontos livres. D =←AP ∩→ ←CB.→ E =←PB ∩→ ←AC.→ F =←CP ∩→ ←AB.→ Tese: AF FB · BD DC · CE EA =1.

(49)

O teorema de Menelau

B C A D E F Hipótese:

A, B e C são pontos livres. F ∈←AB.→ D ∈←BC.→ E ∈←AC.→ Tese: D, E e F são colineares m AF FB · BD DC · CE EA = −1.

(50)

(51)

A medida de um segmento orientado

A P B l

AB = (

+|AB|, “de A para B” coincide com o sentido da reta l, −|AB|, caso contrário.

Propriedades:

AB = −BA AB = AP + PB

(52)

A área com sinal de um triângulo

B C A P P Propriedades:

SABC=SBCA=SCAB= −SACB = −SBAC = −SCBA

(permutação)

SABC=SPAB +SPBC+SPCA

(53)

Proposição básica

(54)

O teorema do co-lado

P Q A M B Se M =←AB ∩→ ←PQ, então→ SPAB SQAB = PM QM.

(55)

Exercício

Sejam B, C, D e H quatro pontos colineares, com B 6= C. Mostre que se BH/HC = BD/DC, então D = H.

DH = +DB + BH = − BD + BH = − BH ·DC HC+BH = +BH HC· −DC + HC = −BH HC· +DC + CH = −BH HC· DH ⇓ DH ·1 + BH/HC=0 ⇓ DH ·BH + HC HC =0 ⇓ DH · BC/HC = 0 ⇓ DH = 0 ⇓ D = H.

(56)

Exercício

(57)

Exercício

DH = +DB + BH = −BD + BH = − BH ·DC HC+BH = +BH HC· −DC + HC = −BH HC· +DC + CH = −BH HC· DH ⇓ DH ·1 + BH/HC=0 ⇓ DH ·BH + HC HC =0 ⇓ DH · BC/HC = 0 ⇓ DH = 0 ⇓ D = H.

(58)

Exercício

DH = +DB + BH = − BD + BH = −BH ·DC HC+BH = +BH HC· −DC + HC = −BH HC· +DC + CH = −BH HC· DH ⇓ DH ·1 + BH/HC=0 ⇓ DH ·BH + HC HC =0 ⇓ DH · BC/HC = 0 ⇓ DH = 0 ⇓ D = H.

(59)

Exercício

(60)

Exercício

(61)

Exercício

(62)

Exercício

(63)

Exercício

(64)

Exercício

(65)

Exercício

(66)

Exercício

(67)

Exercício

DH = +DB + BH = − BD + BH = − BH ·DC HC+BH = +BH HC· −DC + HC = −BH HC· +DC + CH = −BH HC· DH ⇓ DH ·1 + BH/HC=0 ⇓ DH ·BH + HC HC =0 ⇓ DH · BC/HC = 0 ⇓ DH = 0 ⇓

(68)

Exercício: a área com sinal de um quadrilátero

A D B C Definição:

SABCD =SABC+SACD.

Exercício: SABCD =SBCDA.

(69)

Exercício: o teorema de Menelau

B C A D E F Hipótese:

A, B e C são pontos livres. F ∈←AB.→ D ∈←BC.→ E ∈←AC.→ Tese: D, E e F são colineares m AF FB · BD DC · CE EA = −1.

(70)

Vamos praticar!

A, B, C e P são pontos livres. D =←AP ∩→ ←CB.→ E =←PB ∩→ ←AC.→ F =←CP ∩→ ←AB.→ Tese: AP AD + BP BE + CP CF = ?.

(71)

Vamos praticar!

A B C D O E F G H Hipótese: ABCD é um quadrilátero. O é um ponto livre. E =←AO ∩→ ←BD.→ F =←BO ∩→ ←AC.→ G =←→CO ∩←BD.→ H =←→DO ∩←AC.→ Tese: AH HC · CF FA · BE ED · DG GB = ? .

(72)

(73)

Fácil ou difícil?

A B E C D P 5 4 2 6 160/31 x Qual é o valor de x ?

(74)

Proposição básica

(75)

O teorema do co-lado

P Q A M B Se M =←AB ∩→ ←PQ, então→ SPAB SQAB = PM QM.

(76)

Teorema

A B E C D P Hipótese:

A, B e C são pontos livres. D ∈←AC.→ E ∈←AB.→ CD = u · AD. AE = v · BE . P =←BD ∩→ ←CE .→ Tese: PD PB = u · v u − 1. u = −3 e v = −5/4 ⇒ PD/PB = u · v /(u − 1) = −15/16 ⇒ PD = (−15/16) · PB = −150/31.

(77)

Teorema

A B E C D P 5 4 2 6 160/31 x Hipótese:

(78)

Teorema

A B E C D P 5 4 2 6 160/31 x Hipótese:

(79)

Demonstração do teorema

A B E C D P CD = u · AD, AE = v · BE , P =←BD ∩→ ←CE .→ PD PB = SDEC SBEC , SDEC SDEA = DC DA = CD AD =u, SBEC SAEC = BE AE = 1 v, PD PB = SDEC S_BEC = u · SDEA 1 v · SAEC =u · v ·SDEA S_AEC =u · v · DA AC =u · v · DA AD + DC =u · v · DA AD + u · DA = u · v u − 1.

(80)

Demonstração do teorema

(81)

Demonstração do teorema

(82)

Demonstração do teorema

(83)

Demonstração do teorema

A B E C D P CD = u · AD, AE = v · BE , P =←BD ∩→ ←CE .→ PD PB = SDEC SBEC , SDEC SDEA = DC DA = CD AD =u , SBEC SAEC = BE AE = 1 v, PD PB = SDEC S_BEC = u · SDEA 1 v · SAEC =u · v ·SDEA S_AEC =u · v · DA AC =u · v · DA AD + DC =u · v · DA AD + u · DA = u · v u − 1.

(84)

Demonstração do teorema

A B E C D P CD = u · AD, AE = v · BE , P =←BD ∩→ ←CE .→ PD PB = SDEC SBEC , SDEC SDEA = DC DA = CD AD =u, SBEC SAEC = BE AE = 1 v , PD PB = SDEC S_BEC = u · SDEA 1 v · SAEC =u · v ·SDEA S_AEC =u · v · DA AC =u · v · DA AD + DC =u · v · DA AD + u · DA = u · v u − 1.

(85)

Demonstração do teorema

(86)

Demonstração do teorema

(87)

Demonstração do teorema

A B E C D P CD = u · AD, AE = v · BE , P =←BD ∩→ ←CE .→ PD PB = SDEC SBEC , SDEC SDEA = DC DA = CD AD =u, SBEC SAEC = BE AE = 1 v, PD PB = SDEC S_BEC = u · SDEA 1 v · SAEC =u · v ·SDEA S_AEC =u · v ·DA AC =u · v · DA AD + DC =u · v · DA AD + u · DA = u · v u − 1.

(88)

Demonstração do teorema

(89)

Demonstração do teorema

(90)

Demonstração do teorema

(91)

Demonstração do teorema

(92)

Corolário

A B F C D E P

Asmedianasde um triângulo são sempreconcorrentese o

(93)

Vamos praticar!

A B E C D P Se

A, B e C são pontos livres, D ∈←AC,→

E ∈←AB,→ CD = u · AD, AE = v · BE e P =←BD ∩→ ←CE ,→

então sabemos que

PD

PB =

u · v u − 1.

Pergunta: qual é o valor de PE

(94)

Fácil ou difícil?

C A B D E F Q R P (1 3) jAC jÁ (2 3) jAC jÁ (1 3) jAC jÁ (2 3) jAC jÁ (1 3) jBC jÁ (2 3) jBC jÁ

Qual é o valor de área do ∆PQR

(95)

Teorema

C A B D E F Q R P Hipótese:

A, B e C são pontos livres. D ∈←AC.→ E ∈←AB.→ F ∈←BC.→ CD = u · AD. AE = v · BE . BF = w · CF . u = v = w = −1/2. Tese: S_PQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(96)

Teorema

C A B D E F Q R P (1 3) jAC jÁ (2 3) jAC jÁ (1 3) jAC jÁ (2 3) jAC jÁ (1 3) jBC jÁ (2 3) jBC jÁ Hipótese:

A, B e C são pontos livres. D ∈←AC.→ E ∈←AB.→ F ∈←BC.→ CD = u · AD. AE = v · BE . BF = w · CF . u = v = w = −1/2. Tese: S_PQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u) = 1 7.

(97)

Lema

A B E C D P Hipótese:

A, B e C são pontos livres. D ∈←AC.→ E ∈←AB.→ CD = u · AD. AE = v · BE . P =←BD ∩→ ←CE .→ Tese: SPBC SABC = u u − 1 − u · v.

(98)

Demonstração do lema

A B E C D P CD = u · AD, AE = v · BE , P =←BD ∩→ ←CE .→ SABC S_PBC = SPBC+SPCA+SPAB S_PBC = SPBC S_PBC + SPCA S_PBC + SPAB S_PBC =1 − SAPC SBPC − SAPB SCPB =1 − AE BE − AD CD =1 − v − 1 u = u − u · v − 1 u .

(99)

Demonstração do lema

(100)

Demonstração do lema

(101)

Demonstração do lema

(102)

Demonstração do lema

(103)

Demonstração do lema

(104)

Demonstração do lema

(105)

Demonstração do teorema

C A B D E F Q R P CD = u · AD, AE = v · BE , BF = w · CF . SPQR SABC

=SABC− SPBC− SQCA− SRAB SABC =1 −SPBC SABC −SQCA SABC −SRAB SABC ⇓ SPQR SABC =1 − u u − 1 − u · v− v v − 1 − v · w − w w − 1 − w · u ⇓ SPQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(106)

Demonstração do teorema

(107)

Demonstração do teorema

(108)

Demonstração do teorema

=SABC− SPBC− SQCA− SRAB SABC =1 −SPBC SABC −SQCA SABC −SRAB SABC ⇓ SPQR SABC =1 − u u − 1 − u · v− v v − 1 − v · w− w w − 1 − w · u ⇓ SPQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(109)

Demonstração do teorema

=SABC− SPBC− SQCA− SRAB SABC =1 −SPBC SABC −SQCA SABC −SRAB SABC ⇓ SPQR SABC =1 − u u − 1 − u · v− v v − 1 − v · w− w w − 1 − w · u ⇓ SPQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(110)

Corolário: versão forte do teorema de Ceva

C A B D E F Q R P CD = u · AD, AE = v · BE , BF = w · CF . ←→

AF ,←BD e→ ←CE são concorrentes ⇔ u·v ·w =→ CD AD· AE BE· BF CF = −1. SPQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(111)

Corolário: versão forte do teorema de Ceva

C A B D E F Q R P CD = u · AD, AE = v · BE , BF = w · CF . ←→

AF ,←BD e→ ←CE são concorrentes ⇔ u·v ·w =→ CD AD· AE BE· BF CF = −1. SPQR SABC = (1 + u · v · w ) 2 (1 − u + u · v ) · (1 − v + w · v ) · (1 − w + w · u).

(112)

Vamos praticar!

P Q A M B Sabemos que se M =←AB ∩→ ←PQ, então→ SPAB SQAB = PM QM. Mostre que: SBPQ S_BPAQ = MB AB = SMBQ S_ABQ.

(113)

Lema 3.1 (de eliminação)

A B C D L Hipótese:

A, B, C e D são pontos livres. L =←AB ∩→ ←CD.→ Tese: SBCD SBCAD = LB AB = SLBD SABD , isto é, SLBD = SBCD· SABD SBCAD .

(114)

Teorema 3.7: construção de seqüências harmônicas

A B C D L F K G Hipótese:

A, B, C e D são pontos livres. L =←AB ∩→ ←CD.→ K =←AD ∩→ ←BC.→ F =←BD ∩→ ←LK .→ G =←AC ∩→ ←KL.→ Tese: LF KF = LG GK.

(115)

Teorema 3.8: o teorema de Pappus

A B C r D E F s P Q R Hipótese: r e s são retas. A, B e C são pontos em r . E , F e G são pontos em s. P =←AE ∩→ ←DB.→ Q =←AF ∩→ ←DC.→ R =←BF ∩→ ←EC.→ Tese:

(116)

Teorema 3.9

A B

P

Q

R _Hipótese:

A, B, P e Q são pontos livres. R ∈←PQ.→ Tese: SRAB = PR PQ· SQAB+ RQ PQ · SPAB.

(117)

Teorema 4.1

A B D C O Hipótese: ABCD é um paralelogramo. O =←AC ∩→ ←BD.→ Tese: AO = OC, isto é, AO OC =1.

(118)

Teorema 4.2: o teorema de Tales

C A X r m n s t Z B Y Hipótese:

r , s e t são retas paralelas. m e n são retas transversais. A = m ∩ r . B = m ∩ s . C = m ∩ t . X = n ∩ r . Y = n ∩ s . Z = n ∩ t . Tese: AB CB = XY ZY.

(119)

Teorema 4.3

A B C D P Q M Hipótese: ←→

AB e←CD são retas paralelas.→ P =←AC ∩→ ←BD.→

Q =←AD ∩→ ←BC.→ M =←PQ ∩→ ←AB.→

Tese:

(120)

Teorema 4.4: o axioma de Pascal

A C R B Q P Hipótese:

r e s são duas retas. A, B , C ∈ r . P , Q, R ∈ s. AQ k RB. BP k QC. Tese: AP k RC.

(121)

Teorema 4.5: o axioma de Desargues

S A C B X Y Z t s r Hipótese:

r , s e t são retas distintas. S = r ∩ s ∩ t. A, X ∈ r . B , Y ∈ s. C, Z ∈ t . AB k XY . AC k XZ . Tese: BC k YZ .

(122)

Teorema 4.6

A B D X C Y Z W P Q R S CX CD = DY DA = AZ AB = BW BC = 1 3 ⇒ SPQRS = SABCD 13 .

(123)

Proposição 4.2

A B

D C

P O Q _Hipótese:

ABCD é um paralelogramo. P e Q são pontos livres.

Tese:

(124)

Proposição 4.3

A B D C P Hipótese: ABCD é um paralelogramo. P é um ponto livre. Tese:

(125)

Características de um teorema de interseção pura

Os únicos objetos geométricos que aparecem no

enunciado do teorema sãopontoseretas.

As únicas operações geométricas permitidas sãotraçar

uma reta por pontos,marcar a interseção entre duas retas

etraçar uma reta paralela à outra por um dado ponto.

O teorema é do tipoconstrutivo: todos os pontos e retas

envolvidos na formulação da hipótese do teoremapodem

ser definidos ou construídos um a um.

A tese é uma propriedade sobreconcorrênciaou

(126)

Exemplo: o teorema de Ceva

B C P A D E F S = (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7; G) G = (E1,E2) E1(x , y , z) = x + y + z, E2(x , y , z) = 1 x =AF FB, y = BD DC e z = CE EA

C1: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre A.

C2: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre B.

C3: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre C.

C4: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre P.

C5: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo D, definido como a interseção das retas←AP e→ ←CB.→ Condição de não-degenerescência: AP ∦ CB.

C6: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo E , definido como a interseção das retas←BP e→ ←AC.→ Condição de não-degenerescência: BP ∦ AC.

C7: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo F , definido como a interseção das retas←CP e→ ←AB.→ Condição de não-degenerescência: CP ∦ AB.

(127)

Condições de não-degenerescência

B C P A D E F S = (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7; G) AP ∦ CB, BP ∦ AC, CP ∦ AB | {z } provenientes de C5, C6e C7 F 6= B, D 6= C, E 6= A | {z }

provenientes das razões em E1

C1: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre A.

C2: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre B.

C3: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre C.

C4: é uma construção do tipo (CT1) que introduz o ponto livre P.

C5: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo D, definido como a interseção das retas←AP e→ ←CB.→ Condição de não-degenerescência: AP ∦ CB.

C6: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo E , definido como a interseção das retas←BP e→ ←AC.→ Condição de não-degenerescência: BP ∦ AC.

C7: é uma construção do tipo (CT4) que introduz o ponto fixo F , definido como a interseção das retas←CP e→ ←AB.→ Condição de não-degenerescência: CP ∦ AB.

(128)

O teorema da reta de Gauss

Sejam A0, A1, A2e A3quatro pontos no plano.

Se X = ←−→A1A2∩ ←−→ A0A3, Y = ←−→ A0A1∩ ←−→ A2A3e M1, M2e M3 são os

pontos médios de A1A3, A0A2e XY , respectivamente, então

M1, M2e M3são colineares. A2 A3 A1 A0 M1 M2 M3 X Y